W przykładzie 7.1.2 zauważyliśmy, że dla dowolnego ideału a pierścienia wielomia-nów k[X1, . . . , Xn] mamy I(Z(a)) ⊇ a. W tym rozdziale ustalimy precyzyjnie zwią-zek pomiędzy ideałami I(Z(a)) oraz a w przypadku gdy k jest ciałem algebraicznie domkniętym.
Przykład 7.4.1. Pokażemy najpierw, że na ogół I(Z(a)) 6= a.
Niech a = (X, Y2) będzie ideałem pierścienia C[X, Y ]. Wtedy zbiór algebraiczny ideału a w przestrzeni Cn jest jednopunktowy: Z(a) = {(0, 0)}. Rozpatrzmy wielo-mian g = X + Y. Ponieważ g(0, 0) = 0, więc g ∈ I(Z(a)). Natomiast g 6∈ a. Gdyby bowiem g ∈ a, to wobec X ∈ a mielibyśmy także Y = g −X ∈ a, a to jest niemożliwe
(przedstawienie Y = Xh1+ Y2h2 prowadzi do sprzeczności po podstawieniu X = 0).
A więc g ∈ I(Z(a)) oraz g 6∈ a. Z drugiej strony jednak zauważmy, że g2 = X(X + 2Y ) + Y2 ∈ a,
co oznacza, że g ∈ rad a.
Przykład 7.4.2. Punktem wyjścia do ustalenia związku między ideałami a oraz I(Z(a)) jest następująca uwaga. Dla każdego ideału a pierścienia k[X1, . . . , Xn],
I(Z(a)) ⊇ rad a ⊇ a,
gdzie rad a = {f ∈ k[X1, . . . , Xn] : ∃ n ∈ N fn ∈ a} jest radykałem ideału a rozważanym już w rozdziale 6.2.1.
Jeśli bowiem f ∈ rad a, to fn ∈ a dla pewnej liczby naturalnej n. Wtedy fn(x) = 0 dla każdego punktu x ∈ Z(a) i wobec tego także f (x) = 0 dla każdego x ∈ Z(a).
Zatem f ∈ I(Z(a)).
Twierdzenie Hilberta o zerach (w jednej z jego wersji) udziela wyczerpującej odpowiedzi na pytanie, jaki jest dokładny związek pomiędzy ideałem a i ideałem I(Z(a)). Okazuje się, że jeśli k jest ciałem algebraicznie domkniętym, to
I(Z(a)) = rad a.
Twierdzenie Hilberta o zerach (znane jako Nullstellensatz), jest jednym z kluczowych punktów podstaw geometrii algebraicznej. Spośród różnych znanych dowodów tego twierdzenia zaprezentujemy dowód podany przez O. Zariskiego.1 Wykorzystuje on następujący lemat z teorii ciał.
Lemat 7.4.1. Niech K będzie podciałem pierścienia przemiennego A i niech L = K[x1, . . . , xn]
będzie podpierścieniem pierścienia A generowanym przez K oraz elementy x1, . . . , xn pierścienia A. Jeśli pierścień L jest ciałem, to L jest skończonym rozszerzeniem ciała K (w szczególności więc, wszystkie elementy x1, . . . , xn są algebraiczne nad ciałem K).
Dowód. Przeprowadzimy dowód indukcyjny ze względu na n. Gdy L = K[x1] jest ciałem, to można założyć, że x1 6= 0, i wobec tego także 1/x1 ∈ L. Istnieje zatem niezerowy wielomian g ∈ K[X] taki, że 1/x1 = g(x1). Wtedy mamy x1g(x1) − 1 = 0, czyli element x1 jest algebraiczny nad K jako zero wielomianu Xg(X) − 1. Zatem L = K[x1] jest skończonym rozszerzeniem K.
Niech teraz n > 1 i niech L = K[x1, . . . , xn] będzie ciałem. Zatem L zawiera ciało K(x1) i wobec tego
L = K(x1)[x2, . . . , xn].
Z założenia indukcyjnego otrzymujemy, że x2, . . . , xn są elementami algebraicznymi nad K(x1). Pozostaje więc udowodnić, że x1 jest elementem algebraicznym nad K.
1Oscar Zariski, 1899–1986.
Przypuśćmy, że x1 jest elementem przestępnym nad K. Ciało K(x1) możemy więc traktować jako ciało funkcji wymiernych jednej zmiennej nad K, czyli jako ciało ułamków pierścienia wielomianów K[x1]. Stąd, że elementy x2, . . . , xn są alge-braiczne nad K(x1) wynika, że istnieją wielomiany a2(x1), . . . , an(x1) ∈ K[x1] takie, że elementy a2(x1)x2, . . . , an(x1)xn są całkowite nad K[x1].
Jest to konsekwencją następującej elementarnej uwagi (wykorzystanej już w do-wodzie lematu 6.4.1). Jeśli element xi jest pierwiastkiem wielomianu niezerowego f = c0+ c1X + · · · + cm−1Xm−1 + aiXm o współczynnikach z pierścienia K[x1], to aixi jest pierwiastkiem wielomianu
c0am−1i + c1am−2i X + · · · + cm−1Xm−1 + Xm
o współczynnikach z pierścienia K[x1] i najwyższym współczynniku 1. A więc aixi
jest całkowity nad K[x1].
Skoro a2(x1)x2, . . . , an(x1)xn są całkowite nad K[x1], to także dla a(x1) :=
a2(x1) · · · an(x1) elementy a(x1)xi są całkowite nad K[x1], i = 2, . . . , n. W takim razie, dla dowolnego α = f (x1, . . . , xn) ∈ L = K[x1, . . . , xn], gdzie f jest wielomia-nem o współczynnikach z K, mnożąc α przez a(x1)s gdzie s jest dostatecznie dużą liczbą naturalną, będziemy mogli napisać
a(x1)sα = a(x1)sf (x1, . . . , xn) = g(x1, a(x1)x2, . . . , a(x1)xn),
gdzie g jest pewnym wielomianem o współczynnikach z K. Wobec tego, dla każdego α ∈ L istnieje liczba naturalna s taka, że a(x1)sα jest elementem całkowitym nad K[x1]. W szczególności, dla każdego elementu α ∈ K(x1) ⊂ L istnieje liczba natural-na s taka, że a(x1)sα jest elementem całkowitym nad K[x1]. Ale pierścień K[x1] jest pierścieniem ideałów głównych (jako pierścień izomorficzny z pierścieniem wielomia-nów jednej zmiennej nad ciałem), zatem jest całkowicie domknięty. Oznacza to że a(x1)sα = h(x1) ∈ K[x1]. Otrzymaliśmy więc paradoksalny rezultat stwierdzający, że istnieje taki wielomian a(x1) ∈ K[x1], że każda funkcja wymierna α ∈ K(x1) ma przedstawienie
α = h(x1) a(x1)s,
gdzie h jest wielomianem i s jest liczbą naturalną. Jest to oczywiście niemożliwe, gdyż na przykład funkcja wymierna 1/(1 + a(x1)) nie ma takiego przedstawienia.
Ta sprzeczność pokazuje, iż przypuszczenie że x1 jest elementem przestępnym nad K prowadzi do sprzeczności.
Twierdzenie 7.4.2. (Pierwsza wersja twierdzenia Hilberta o zerach.)
Niech k będzie ciałem algebraicznie domkniętym i niech a będzie dowolnym ideałem właściwym pierścienia k[X1, . . . , Xn] (to znaczy a 6= (1)). Wtedy zbiór algebraiczny Z(a) ⊂ kn ideału a jest niepusty.
Dowód. Niech a będzie ideałem w k[X1, . . . , Xn] oraz a 6= (1). Wtedy (na podstawie twierdzenia 2.3.5) ideał a zawiera się w pewnym ideale maksymalnym m pierście-nia k[X1, . . . , Xn]. Inkluzja a ⊆ m pociąga Z(m) ⊆ Z(a) (na podstawie przykładu 7.1.2), wystarczy więc udowodnić, że Z(m) jest zbiorem niepustym dla każdego ide-ału maksymalnego m pierścienia k[X1, . . . , Xn].
Niech więc m będzie ideałem maksymalnym pierścienia k[X1, . . . , Xn]. Wtedy pier-ścień ilorazowy L := k[X1, . . . , Xn]/m jest ciałem. Ponadto, L jest homomorficznym obrazem pierścienia k[X1, . . . , Xn] przez homomorfizm kanoniczny
κ : k[X1, . . . , Xn] → k[X1, . . . , Xn]/m = L.
Wynika stąd przede wszystkim, że obraz κ(k) ciała k w L jest podciałem ciała L izomorficznym z ciałem k. W dalszym ciągu dla a ∈ k będziemy utożsamiać obraz κ(a) = a + m ∈ L z elementem a ∈ k.
Z drugiej strony, pierścień L jest homomorficznym obrazem pierścienia wielomianów k[X1, . . . , Xn]. Homomorfizm kanoniczny κ przeprowadza generatory Xi pierścienia k[X1, . . . , Xn] na generatory xi pierścienia L, zatem
L = k[x1, . . . , xn], gdzie xi = κ(Xi) = Xi+ m, i = 1, . . . , n.
Ponieważ L jest ciałem, więc na podstawie Lematu 7.4.1, L jest skończonym rozsze-rzeniem ciała k. Ale ciało k jest algebraicznie domknięte, zatem nie ma właściwych rozszerzeń skończonych (ani algebraicznych), a więc k = L.
Można wobec tego zakładać, że x1, . . . , xn∈ k. Pokażemy teraz, że każdy wielomian f ∈ m zeruje się w punkcie x = (x1, . . . , xn).
Wobec xi = κ(Xi) mamy
f (x) = f (κ(X1), . . . , κ(Xn)) = κ(f (X1, . . . , Xn)) = f + m = m.
Zatem f (x) = 0 ∈ L i wobec tego x = (x1, . . . , xn) ∈ kn jest wspólnym zerem wszystkich wielomianów w ideale m. Oznacza to, że Z(m) 6= ∅.
Wniosek 7.4.3. Jeśli a = (f1, . . . , fr) jest ideałem pierścienia k[X1, . . . , Xn], to Z(a) = ∅ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją wielomiany h1, . . . , hr ∈ k[X1, . . . , Xn] takie, że
f1h1+ · · · + frhr = 1. (7.11) Dowód. Jeśli spełniony jest warunek (7.11), to a jest ideałem jednostkowym i wobec tego oczywiście Z(a) = ∅ (zobacz przykład 7.1.1). Jeśli natomiast warunek (7.11) nie jest spełniony, to a nie jest ideałem jednostkowym i na podstawie twierdzenia 7.4.2 mamy Z(a) 6= ∅.
Uwaga 7.4.4. Istnienie tożsamości (7.11) jest dla wielomianów n 2 zmiennych warunkiem silniejszym niż fakt, że NWD(f1, . . . , fr) = 1. Jeśli bowiem zachodzi toż-samość (7.11), to oczywiście wielomiany f1, . . . , frnie mogą mieć wspólnego dzielnika nie będącego stałą, są więc względnie pierwsze. Natomiast jeśli wielomiany f1, . . . , fr są względnie pierwsze, to wielomiany te mogą mieć wspólne zero i wobec tego, na podstawie wniosku 7.4.3, nie istnieje dla nich tożsamość (7.11). Na przykład, wie-lomiany f1(X, Y ) = X, f2(X, Y ) = Y mają wspólne zero (0, 0) i są względnie pierwsze.
Twierdzenie 7.4.5. (Druga wersja twierdzenia Hilberta o zerach.) Niech k będzie ciałem algebraicznie domkniętym.
Jeśli wielomian f ∈ k[X1, . . . , Xn] zeruje się w każdym wspólnym zerze wielomia-nów f1, . . . , fr ∈ k[X1, . . . , Xn], to istnieje liczba naturalna m 1 oraz wielomiany h1, . . . , hr ∈ k[X1, . . . , Xn] takie, że
fm = f1h1+ · · · + frhr.
Inaczej mówiąc, jeśli a = (f1, . . . , fr) oraz f ∈ I(Z(a)), to f ∈ rad a.
Dowód. Dla wielomianu zerowego f = 0 twierdzenie jest oczywiście prawdziwe.
Zakładamy więc, że f 6= 0. Rozpatrujemy pierścień wielomianów n + 1 zmiennych k[X1, . . . , Xn, Z] i w nim wielomiany
f1, . . . , fr, g := 1 − Zf.
Wielomiany te nie mają wspólnego zera w kn+1, gdyż każde wspólne zero wielo-mianów f1, . . . , fr w kn+1 jest także zerem wielomianu f i wobec tego wielomian g przyjmuje w takim punkcie wartość 1.
Na podstawie wniosku 7.4.3 (z pierwszej wersji twierdzenia Hilberta o zerach) ist-nieją więc wielomiany g1, . . . , gr, h ∈ k[X1, . . . , Xn, Z] takie, że
f1g1+ · · · + frgr+ (1 − Zf )h = 1.
Możemy tę tożsamość wielomianową traktować także jako tożsamość w ciele funkcji wymiernych k(X1, . . . , Xn, Z). Podstawiamy teraz wszędzie w miejsce zmiennej Z funkcję wymierną 1/f. W rezultacie otrzymujemy tożsamość w ciele funkcji wymier-nych k(X1, . . . , Xn) postaci
f1g1+ · · · + frgr = 1,
gdzie funkcje wymierne g1, . . . , gr mają mianowniki będące potęgami wielomianu f. Mnożąc obydwie strony tej tożsamości przez odpowiednio dobraną potęgę fm wielomianu f otrzymamy tożsamość wielomianową postaci
f1h1+ · · · + frhr = fm, gdzie hi = gifm ∈ k[X1, . . . , Xn].
Powyższy dowód sugeruje metodę wyznaczania radykału dowolnego ideału a pier-ścienia wielomianów k[X1, . . . , Xn].
Wniosek 7.4.6. Niech a będzie ideałem w k[X1, . . . , Xn]. Wielomian f należy do radykału rad a ideału a wtedy i tylko wtedy gdy
1 ∈ (a, 1 − Zf ),
gdzie (a, 1 − Zf ) jest ideałem w k[X1, . . . , Xn, Z] generowanym przez a i wielomian 1 − Zf .
Dowód. Niech a = (f1, . . . , fr). Jeśli 1 ∈ (a, 1−Zf ), to w dowodzie twierdzenia 7.4.5 pokazaliśmy, że istnieje liczba naturalna m taka, że fm ∈ a, a więc f ∈ rad a. Jeśli natomiast f ∈ rad a oraz fm ∈ a, to z tożsamości
1 = Zmfm+ (1 − Zmfm)
= Zmfm+ (1 − Zf ) · (1 + Zf + · · · + Zm−1fm−1) wynika, że 1 ∈ (a, 1 − Zf ).
Wniosek 7.4.7. (Twierdzenie Hilberta o zerach.)
Niech k będzie ciałem algebraicznie domkniętym. Dla każdego ideału a pierścienia k[X1, . . . , Xn] zachodzi równość
I(Z(a)) = rad a.
Dowód. Zgodnie z twierdzeniem 7.4.5 mamy I(Z(a)) ⊆ rad a, natomiast przeciwną inkluzję zauważyliśmy już w przykładzie 7.4.2.