6.2 Rozkład prymarny
6.2.1 Ideały prymarne
Definicja 6.2.1. Ideał q pierścienia A nazywa się ideałem prymarnym, jeśli q 6= A i dla każdych a, b ∈ A,
ab ∈ q i b 6∈ q ⇒ ∃ n ∈ N an∈ q. (6.7) Przykład 6.2.1. W dowolnym pierścieniu A każdy ideał pierwszy q jest oczywiście ideałem prymarnym. Łatwo sprawdzić, że w pierścieniu Z liczb całkowitych każdy ideał q = (pm), generowany przez potęgę dowolnej liczby pierwszej p, jest ideałem prymarnym.
Ogólniej, jeśli A jest pierścieniem ideałów głównych, to ideał q pierścienia A jest prymarny wtedy i tylko wtedy, gdy jest potęgą ideału pierwszego (lub równoważnie, gdy jest generowany przez potęgę elementu pierwszego pierścienia A). Rzeczywiście, jeśli q = (p)n= (pn), gdzie p jest elementem pierwszym w A oraz pn|ab i pn- b, to z jednoznaczności rozkładu w A wynika, że p|a i wobec tego pn|an. Z drugiej strony, jeśli q = (c) 6= A i element c nie jest stowarzyszony z potęgą elementu pierwszego, to c dzieli się przez dwa niestowarzyszone elementy pierwsze p i q. Weźmy rozkład c = ab taki, że p|a i q|b. Wtedy c|ab i c - b ale również c nie dzieli żadnej potęgi elementu a. Wobec tego q = (c) nie jest ideałem prymarnym.
Lemat 6.2.2. Niech q 6= A będzie ideałem w pierścieniu A. Następujące warunki są równoważne.
(a) Ideał q jest prymarny.
(b) W pierścieniu ilorazowym A/q każdy dzielnik zera jest elementem nilpotentnym.
(c) Ideał zerowy pierścienia A/q jest prymarny.
Dowód. Warunek (6.7) definiujący prymarność ideału q jest równoważny warunkowi (a + q)(b + q) = q, b + q 6= q ⇒ ∃ n ∈ N (a + q)n= q.
Stąd wynika równoważność warunków (a), (b) i (c).
Przykład 6.2.2. Pokażemy, że w pierścieniu A = K[X, Y ] wielomianów dwóch zmiennych nad ciałem K ideał q = (X, Y2) jest prymarny, ale nie jest potęgą ideału pierwszego.
Rozpoczniemy od uwagi, że każdy wielomian f ∈ A można przedstawić w postaci f = X · g(X, Y ) + h(Y ) = X · g(X, Y ) + Y2· h1(Y ) + aY + b,
gdzie g(X, Y ) ∈ A, h(Y ), h1(Y ) ∈ K[Y ], a, b ∈ K. Łatwo sprawdzić, że przyporząd-kowanie
A/q → K[Y ]/(Y2), f + q 7→ aY + b + (Y2)
jest dobrze określone na warstwach i jest izomorfizmem pierścieni. A więc A/q ∼= K[Y ]/(Y2).
Pierścień K[Y ] jest pierścieniem ideałów głównych i Y jest elementem pierwszym te-go pierścienia, zatem na podstawie przykładu 6.2.1 ideał (Y2) jest prymarny. Wobec tego (na podstawie lematu 6.2.2) w pierścieniu K[Y ]/(Y2) każdy dzielnik zera jest elementem nilpotentnym i w takim razie w izomorficznym z K[Y ]/(Y2) pierścieniu A/q także każdy dzielnik zera jest elementem nilpotentnym. Na podstawie lematu 6.2.2 ideał q jest prymarny.
Zauważmy, że ideał q nie jest ideałem pierwszym, gdyż pierścień ilorazowy A/q ma dzielniki zera (w K[Y ]/(Y2) mamy, na przykład, (Y + q)2 = q oraz Y + q 6= q). Po-każemy, że nie jest on potęgą żadnego ideału pierwszego pierścienia A. Przypuśćmy zatem, że q = pm, gdzie p jest ideałem pierwszym w A. Wtedy
(X, Y2) = q = pm ⊆ p
pociąga, że X, Y2 ∈ p, zatem także X, Y ∈ p. Wobec tego (X, Y ) ⊆ p i wobec maksymalności ideału (X, Y ) otrzymujemy (X, Y ) = p. A więc jeśli q jest potęgą ideału pierwszego, to q = (X, Y )m. Ponieważ jednak
· · · ⊂ (X, Y )3 ⊂ (X, Y )2 ⊂ q ⊂ (X, Y )
i wszystkie inkluzje są ostre, wynika stąd, że q nie jest potęgą ideału (X, Y ), a więc nie jest także potęgą żadnego ideału pierwszego w A.
Definicja 6.2.3. Ideał n pierścienia A nazywa się nieprzywiedlny, jeśli n 6= A i dla każdych ideałów a i b pierścienia A,
n = a ∩ b ⇒ n = a lub n = b.
Przykład 6.2.3. W każdym pierścieniu każdy ideał maksymalny n jest nieprzywie-dlny, gdyż w przedstawieniu n = a ∩ b mamy oczywiście n ⊆ a i n ⊆ b i wobec maksymalności n mamy n = a = b.
Ogólniej, każdy ideał pierwszy jest nieprzywiedlny. Jeśli bowiem dla ideału pierw-szego p pierścienia A mamy p = a ∩ b dla pewnych ideałów a i b pierścienia A, to zakładając, że p ( a i p ( b możemy wybrać elementy a ∈ a \ p oraz b ∈ b \ p.
Wtedy ab ∈ a ∩ b = p, skąd wynika, że a ∈ p lub b ∈ p, sprzeczność.
W szczególności, w pierścieniu całkowitym ideał zerowy jest nieprzywiedlny.
Nieprzywiedlność ideału n pierścienia A można także rozpoznać przez przejście do pierścienia ilorazowego A/n: Ideał n pierścienia A jest nieprzywiedlny wtedy i tylko wtedy, gdy ideał zerowy pierścienia A/n jest nieprzywiedlny.
Jeśli bowiem n jest ideałem nieprzywiedlnym pierścienia A oraz w pierścieniu A/n mamy 0 = n = a0∩ b0, gdzie a0 i b0 są ideałami pierścienia A/n, to biorąc przeciw-obrazy a := κ−1(a0), b := κ−1(b0) poprzez homomorfizm kanoniczny κ : A → A/n otrzymamy
n = κ−1(n) = κ−1(a0) ∩ κ−1(b0) = a ∩ b
skąd wobec nieprzywiedlności n w A wynika, że n = a lub n = b. A więc także n = κ(n) = κ(a) = a0 lub n = κ(n) = κ(b) = b0, co dowodzi nieprzywiedlności ideału zerowego n w pierścieniu A/n.
Podobnie pokazuje się, że nieprzywiedlność ideału zerowego w A/n pociąga nieprzy-wiedlność ideału n w pierścieniu A.
Lemat 6.2.4. W pierścieniu noetherowskim każdy ideał nieprzywiedlny jest pry-marny.
Dowód. Niech n będzie ideałem nieprzywiedlnym pierścienia noetherowskiego A.
Wobec lematu 6.2.2 wystarczy udowodnić, że w pierścieniu ilorazowym A/n każdy dzielnik zera jest nilpotentem.
Niech więc x, y ∈ A/n, xy = 0, y 6= 0. Pokażemy, że x jest elementem nilpotentnym pierścienia A/n. W pierścieniu A/n rozważamy wznoszący łańcuch ideałów
Ann x ⊆ Ann x2 ⊆ · · · ⊆ Ann xn ⊆ · · ·
gdzie Ann x jest anihilatorem elementu x, to znaczy, Ann x = {z ∈ A/n : zx = 0}.
Ponieważ A jest pierścieniem noetherowskim, pierścień ilorazowy A/n jest także
noetherowski (na podstawie twierdzenia 6.1.11), a więc spełnia warunek (ACC).
Istnieje zatem liczba naturalna n taka, że
Ann xn = Ann xn+1 = · · · Stąd wynika, że
(xn) ∩ (y) = (0). (6.8)
Niech bowiem a ∈ (xn) ∩ (y). Wtedy a = bxn i a = cy dla pewnych b, c ∈ A/n.
Mamy więc
bxn+1= bxn· x = ax = cyx = cxy = c · 0 = 0.
Stąd b ∈ Ann xn+1 = Ann xn, a więc a = bxn= 0. Dowodzi to (6.8).
Na podstawie przykładu 6.2.3 ideał zerowy pierścienia A/n jest nieprzywiedlny, za-tem z (6.8) wynika, że (xn) = (0) (gdyż y ∈ (y) oraz y 6= 0). A więc xn= 0, i element x jest nilpotentem w A/n. Dowodzi to prymarności ideału n.
Przykład 6.2.4. Ideał prymarny pierścienia noetherowskiego nie musi być nieprzy-wiedlny. Można pokazać, że w pierścieniu Z[X] ideał q = (4, 2X, X2) = (2, X)2 jest prymarny (jako potęga ideału maksymalnego, zob. przykład 6.2.8), ale nie jest nie-przywiedlny, gdyż q = (4, X) ∩ (2, X2).
Lemat 6.2.5. W pierścieniu noetherowskim każdy ideał właściwy jest przekrojem skończonej liczby ideałów nieprzywiedlnych.
Dowód. Przypuśćmy, że w pierścieniu noetherowskim A istnieją ideały właściwe nie będące przekrojem skończonej liczby ideałów nieprzywiedlnych. W rodzinie wszyst-kich tawszyst-kich ideałów pierścienia A istnieje więc element maksymalny c. Ideał c nie jest w szczególności ideałem nieprzywiedlnym. Oczywiście ideał c daje się przedstawić jako przekrój dwóch ideałów a i b, na przykład, a = c, b = c+(a), gdzie a jest dowol-nym elementem pierścienia A. Ponieważ jednak c nie jest ideałem nieprzywiedldowol-nym musi być przekrojem dwóch ideałów ostro zawierających c,
c = a ∩ b, c 6= a, c 6= b.
W takim razie ideały a i b nie należą do rozpatrywanej rodziny (skoro ostro zawiera-ją maksymalny ideał tej rodziny) i wobec tego każdy z ideałów a i b jest przekrojem skończonej liczby ideałów nieprzywiedlnych. Wobec tego także c = a∩b jest przekro-jem skończonej liczby ideałów nieprzywiedlnych, co jest sprzeczne z wyborem ideału c. Przypuszczenie, że lemat jest nieprawdziwy prowadzi więc do sprzeczności.
Twierdzenie 6.2.6. W pierścieniu noetherowskim każdy ideał właściwy a można przedstawić jako przekrój skończonej liczby ideałów prymarnych:
a = q1∩ · · · ∩ qn.
Dowód. Lemat 6.2.5 gwarantuje istnienie przedstawienia w postaci przekroju ide-ałów nieprzywiedlnych, natomiast lemat 6.2.4 pokazuje, że jest to przedstawienie w postaci przekroju ideałów prymarnych.
Przedstawienie ideału a jako przekroju skończonej liczby ideałów prymarnych na-zywa się rozkładem prymarnym ideału a. A więc w pierścieniu noetherowskim każdy ideał właściwy ma rozkład prymarny. Przejdziemy teraz do kwestii jednoznaczności rozkładu prymarnego.