Wprawdzie część dyskutowanych tu pojęć i faktów ma swoje odpowiedniki w do-wolnych pierścieniach, jednak dla uproszczenia zakładać będziemy stale, że rozpa-trywane pierścienie są przemienne. W związku z tym, od tego miejsca począwszy, słowo pierścień oznacza zawsze pierścień przemienny. Dla podkreślenia tego stałego założenia pierścienie będziemy oznaczać literami A, B w odróżnieniu od dotychcza-sowej praktyki oznaczania pierścieni literami P, R.
Wśród pierścieni przemiennych krańcową z naszego punktu widzenia klasę tworzą ciała. Z łatwością bowiem stwierdzamy, że każde ciało K ma tylko dwa ideały: ideał zerowy 0K = {0} oraz ideał jednostkowy 1K = K. Łatwo także stwierdzić, że jeśli pierścień A ma tylko dwa ideały, mianowicie 0A i A, to A jest ciałem.
Jeśli S = {s1, . . . , sn} jest skończonym podzbiorem pierścienia A, to ideał SA gene-rowany przez zbiór S oznaczać będziemy (s1, . . . , sn). Zatem
SA = AS = (s1, . . . , sn) =ns1x1+ · · · + snxn∈ A : x1, . . . , xn ∈ Ao. Wprowadzimy teraz trzy podstawowe operacje na ideałach pierścienia.
Sumą ideałów a oraz b pierścienia A nazywamy zbiór a + b wszystkich elementów postaci a + b, gdzie a ∈ a oraz b ∈ b. Jest to więc zwykła suma podgrup a i b ad-dytywnej grupy A. Ponieważ suma ta jest zamknięta ze względu na mnożenie przez elementy pierścienia A, jest ona ideałem w A.
Jeśli S i T są podzbiorami pierścienia A oraz a = AS, b = AT są ideałami generowanymi przez zbiory S i T , to suma ideałów a + b jest ideałem genero-wanym przez sumę mnogościową zbiorów S ∪ T. W szczególności, dla dowolnych
a1, . . . , an, b1, . . . , bm ∈ A,
(a1, . . . , an) + (b1, . . . , bm) = (a1, . . . , an, b1, . . . , bm).
Iloczynem ideałów a oraz b pierścienia A nazywamy zbiór a·b wszystkich skończonych sum postaci
c1d1+ · · · + cndn, ci ∈ a, di ∈ b, n ∈ N.
Iloczyn a · b jest ideałem pierścienia A.
Zauważmy, że jeśli a = (a1, . . . , an), b = (b1, . . . , bm) to a· b = (a1b1, a2b1, . . . , aibj, . . . , anbm).
Zarówno dodawanie jak i mnożenie ideałów są operacjami przemiennymi i łącznymi.
Ponadto, mnożenie ideałów jest rozdzielne względem dodawania ideałów, to znaczy, dla każdych trzech ideałów a, b, c pierścienia A mamy
(a + b) · c = a · c + b · c.
Przekrojem ideałów a oraz b nazywamy część wspólną a ∩ b ideałów a i b. Jest to ideał pierścienia A. Przekrój ideałów nie jest na ogół rozdzielny względem dodawania ideałów. Można tylko pokazać, że dla ideałów a, b, c pierścienia A, jeśli a ⊆ c lub b⊆ c, to
(a + b) ∩ c = a ∩ c + b ∩ c.
Jest to tak zwane prawo modularności. Warto zwrócić uwagę, że zawsze a · b ⊆ a ∩ b.
Natomiast jak pokazują najprostsze przykłady (powiedzmy A = Z, a = 2Z, b = 4Z), nie ma tu na ogół równości. Łatwo jednak wskazać ogólny warunek wystarczający na to, by iloczyn dwóch ideałów był równy ich przekrojowi. Korzystając z rozdzielności mnożenia ideałów względem dodawania otrzymujemy dla dowolnych ideałów a, b, c pierścienia A
(a + b) · (a ∩ b) = a · (a ∩ b) + b · (a ∩ b).
Zatem (a + b) · (a ∩ b) ⊆ a · b. Jeśli więc a + b = (1) jest ideałem jednostkowym (1) = A, to otrzymujemy a ∩ b ⊆ a · b. Wobec tego,
a + b = (1) ⇒ a· b = a ∩ b.
Ideały a i b spełniające warunek a + b = (1) nazywamy ideałami względnie pierw-szymi. Jeśli więc ideały są względnie pierwsze, to ich iloczyn i przekrój są równe.
Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe: w pierścieniu Z[X] wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach całkowitych dla ideałów głównych a = (2), b = (X) mamy a · b = (2X) = a ∩ b, natomiast a + b = (2, X) 6= (1).
2.3.1 Ideały pierwsze i maksymalne
Ideał p pierścienia A nazywa się ideałem pierwszym jeśli dla dowolnych a, b ∈ A, ab ∈ p ⇒ a ∈ p lub b ∈ p.
Wygodnie jest też posługiwać się równoważnym warunkiem
a 6∈ p i b 6∈ p ⇒ ab 6∈ p (2.1)
dla a, b ∈ A. A więc ideał p pierścienia A jest pierwszy wtedy i tylko wtedy gdy zbiór A \ p jest zamknięty ze względu na mnożenie. Zauważmy także, że ideał p pierścienia A jest pierwszy wtedy i tylko wtedy gdy pierścień ilorazowy A/p nie ma niezerowych dzielników zera. Mamy bowiem
(a + p)(b + p) = p ⇔ ab ∈ p oraz
a + p = p lub b + p = p ⇔ a ∈ p lub b ∈ p.
Prototypem ideałów pierwszych są ideały pZ pierścienia liczb całkowitych Z gene-rowane przez liczby pierwsze p. Tutaj Z/pZ jest ciałem, nie ma więc niezerowych dzielników zera.
Ideał pZ ma więc nieco silniejszą własność niż potrzeba do stwierdzenia, że jest ide-ałem pierwszym. Rozpatrzmy nieco dokładniej tę subtelną różnicę. Załóżmy więc, że p jest ideałem pierścienia A i pierścień ilorazowy A/p jest ciałem. Wtedy dla każdego elementu a ∈ A \ p istnieje element z ∈ A taki, że
(a + p)(z + p) = 1 + p,
a więc taki, że az − 1 ∈ p. Jeśli więc I jest jakimkolwiek ideałem pierścienia A zawierającym p i różnym od p, to dla każdego a ∈ I \ p istnieje element z ∈ A taki, że
I = az + I = 1 + I.
Tutaj pierwsza równość wynika stąd, że a ∈ I pociąga az ∈ I, natomiast druga stąd, że az − 1 ∈ p ⊂ I. A więc 1 ∈ I, skąd dla każdego x ∈ A mamy x = 1 · x ∈ I. Otrzymujemy więc I = A. Oznacza to, że jedynym ideałem I pierścienia A zawierającym p i różnym od p jest cały pierścień A. Ideały o tej własności nazywamy ideałami maksymalnymi.
Definicja 2.3.1. Ideał m pierścienia A nazywamy ideałem maksymalnym pierście-nia A, jeśli m 6= A i dla każdego ideału I pierściepierście-nia A,
m⊆ I ⇒ m = I lub I = A.
Twierdzenie 2.3.2. Ideał m pierścienia A jest ideałem maksymalnym wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień ilorazowy A/m jest ciałem.
Dowód. Jedną część twierdzenia udowodniliśmy już powyżej. Załóżmy więc, że m jest ideałem maksymalnym pierścienia A i niech a + m będzie dowolnym niezerowym elementem pierścienia A/m. Wtedy a 6∈ m, zatem suma ideałów m + aA jest ideałem różnym od m. Wobec maksymalności m mamy m + aA = A. W szczególności istnieją elementy m ∈ m oraz z ∈ A takie, że m + az = 1. Wtedy
(a + m)(z + m) = az + m = 1 + m,
skąd wynika, że a + m jest elementem odwracalnym pierścienia A/m. A więc A/m jest ciałem.
Uwaga 2.3.3. Powyższy dowód twierdzenia 2.3.2 jest całkowicie elementarny i bez-pośredni. Zauważmy jednak, że twierdzenie to jest natychmiastowym wnioskiem z twierdzenia 2.2.3 o odpowiedniości zastosowanym do homomorfizmu kanonicznego κ : A → A/m. Wystarczy jedynie przypomnieć, że A/m jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy ma tylko dwa ideały, zerowy i jednostkowy. Zatem na podstawie twierdze-nia 2.2.3 ma to miejsce dokładnie wtedy, gdy rodzina wszystkich ideałów pierścietwierdze-nia A zawierających m składa się tylko z dwóch ideałów: m i A, to znaczy wtedy gdy ideał m jest maksymalny w A.
Wniosek 2.3.4. Każdy ideał maksymalny jest ideałem pierwszym.
Twierdzenie 2.3.5. Każdy ideał I 6= A pierścienia A zawiera się w pewnym ideale maksymalnym pierścienia A.
Dowód. Rozpatrujemy rodzinę wszystkich ideałów właściwych (to znaczy 6= A) pier-ścienia A zawierających ideał I. Jest to zbiór częściowo uporządkowany przez inklu-zję. To uporządkowanie jest induktywne, to znaczy, dla każdego łańcucha {ai : i ∈ I}
ideałów zawierających ideał I suma mnogościowa J := S{ai : i ∈ I} jest ideałem właściwym pierścienia A (bo 1 6∈ J ) zawierającym I i oczywiście ai ⊆ J . Na podstawie lematu Kuratowskiego–Zorna rodzina ideałów właściwych pierścienia A zawierających I ma element maksymalny m. Jest to ideał maksymalny pierścienia A zawierający ideał I.
Wniosek 2.3.6. W każdym pierścieniu istnieje co najmniej jeden ideał maksymal-ny.
Dowód. Wystarczy wziąć ideał zerowy I = 0 w twierdzeniu 2.3.5.
2.3.2 Rozszerzenie i zwężenie ideału
Jeśli h : A → B jest homomorfizmem pierścieni oraz I jest ideałem w pierścieniu A, to jego obraz h(I) nie jest, na ogół, ideałem w B. Na przykład, monomorfizm Z ,→ Q przeprowadza każdy niezerowy ideał pierścienia Z na addytywną podgrupę Q, która nie jest ideałem w Q.
Można natomiast rozpatrywać w B ideał Bh(I) generowany przez h(I) w B. Ideał ten składa się z wszystkich skończonych sum
Xxih(ai), xi ∈ B, ai ∈ I.
Ideał Bh(I) nazywa się rozszerzeniem ideału I pierścienia A w pierścieniu B (za pomocą homomorfizmu h : A → B). Jeśli nie ma wątpliwości jaki homomorfizm h rozpatrujemy, to rozszerzenie Bh(I) ideału I oznaczamy Ie (od angielskiego exten-sion).
Operacja rozszerzania ideałów nie zachowuje, na ogół, charakterystycznych własno-ści ideałów. Na przykład, rozszerzenie ideału pierwszego nie jest, na ogół, ideałem pierwszym.
Przykład 2.3.1. Dla włożenia h : Z ,→ Q i dowolnego niezerowego ideału I pier-ścienia Z mamy Ie = Q. Rozszerzenie niezerowego ideału pierwszego nie jest więc ideałem pierwszym.
Przykład 2.3.2. Rozpatrzmy teraz włożenie h : Z ,→ Z[i], gdzie i =√
−1 ∈ C, oraz ideał główny (2) = 2Z liczb parzystych w Z. Jego obraz generuje ideał główny 2Z[i], to znaczy (2)e = 2Z[i]. Ponieważ (1 + i)2 = 2i oraz i jest elementem odwracalnym w Z[i], mamy
(2)e= 2Z[i] = (1 + i)2Z[i] = ((1 + i)Z[i])2,
to znaczy, rozszerzeniem ideału pierwszego (2) = 2Z jest kwadrat (1 + i)2 ideału generowanego przez liczbę 1 + i w pierścieniu Z[i]. Nie jest to ideał pierwszy, bo na przykład liczba (1 + i)2 należy do ideału generowanego przez siebie, ale jej czynniki 1 + i nie należą do tego ideału.
Podobnie (wobec równości 5 = (2 + i)(2 − i)) rozszerzeniem ideału pierwszego (5) = 5Z okazuje się iloczyn dwóch ideałów pierwszych pierścienia Z[i] :
(5)e= (2 + i)Z[i] · (2 − i)Z[i].
Można też sprawdzić, że (3)e = 3Z[i] jest ideałem pierwszym pierścienia Z[i].
Na podstawie klasycznego twierdzenia Fermata, jeśli p jest liczbą pierwszą i p ≡ 1 (mod 4), to p można przedstawić w postaci sumy dwóch kwadratów liczb natu-ralnych: p = a2 + b2. Wtedy liczba p jest rozkładalna w pierścieniu Z[i] gdyż p = (a + bi)(a − bi) i żaden z czynników tego rozkładu nie jest elementem od-wracalnym w Z[i]. Dla ideału głównego (p) = pZ mamy zatem
(p)e= (a + bi)Z[i] · (a − bi)Z[i],
przy czym (a ± bi)Z[i] są ideałami pierwszymi w Z[i]. Jeśli natomiast p jest licz-bą pierwszą i p ≡ 3 (mod 4), to można udowodnić, że (p)e = pZ[i] jest ideałem pierwszym pierścienia Z[i].
Powracając teraz do homomorfizmu h : A → B zauważmy, że zupełnie inaczej niż obrazy zachowują się przeciwobrazy ideałów pierścienia B w A. Jeśli J jest ideałem w B to jego przeciwobraz h−1(J ) jest ideałem w A. Po pierwsze bowiem, przeciwobraz addytywnej grupy ideału J jest addytywną podgrupą w A, po drugie, jeśli a ∈ h−1(J ) oraz x ∈ A, to h(a) ∈ J , zatem h(ax) = h(a)h(x) ∈ J , skąd ax ∈ h−1(J ).
Ideał h−1(J ) nazywa się zwężeniem ideału J pierścienia B w pierścieniu A (za pomocą homomorfizmu h) i oznacza się Jc(od angielskiego contraction). Zauważmy, że jeśli A jest podpierścieniem B i h : A → B jest identycznościowym włożeniem A w B, to zwężenie ideału J pierścienia B w pierścieniu A jest równe A ∩ J .
Poniższe twierdzenie pokazuje, że operacja zwężania ideału zachowuje ideały pierwsze, a przy założeniu, że homomorfizm h jest epimorfizmem, także ideały mak-symalne.
Twierdzenie 2.3.7. Niech h : A → B będzie homomorfizmem pierścieni.
(a) Jeśli p0 jest ideałem pierwszym w pierścieniu B, to p = h−1(p0) jest ideałem pierwszym w pierścieniu A.
(b) Jeśli h jest epimorfizmem i m0 jest ideałem maksymalnym w pierścieniu B, to m = h−1(m0) jest ideałem maksymalnym w pierścieniu A.
Dowód. (a) Niech p := h−1(p0) i niech a, b ∈ A, ab ∈ p, a 6∈ p. Wtedy h(a) 6∈ p0. Ale h(a)h(b) = h(ab) ∈ p0, zatem h(b) ∈ p0 oraz b ∈ h−1(p0) = p.
(b) wynika z twierdzenia 2.2.3 o odpowiedniości dla homomorfizmów pierścieni.
2.3.3 Twierdzenie chińskie o resztach
Ideały a oraz b pierścienia A nazywamy względnie pierwszymi jeśli a + b = A.
Motywację dla tej nazwy odnajdujemy w pierścieniu liczb całkowitych Z. Ideały główne a = aZ i b = bZ są względnie pierwsze gdy aZ + bZ = Z, a więc wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją liczby całkowite x, y takie, że ax + by = 1. Wynika stąd, że ideały główne aZ i bZ są względnie pierwsze wtedy i tylko wtedy gdy ich generatory a i b są względnie pierwsze.
Następujące twierdzenie znane jest jako twierdzenie chińskie o resztach. Dla ideału a pierścienia A i elementów a, b ∈ A piszemy a ≡ b mod a jeśli a − b ∈ a.
gdzie a jest sumą iloczynów, w których co najmniej jeden czynnik należy do ideału a1. Zatem a ∈ a1. Połóżmy y1 := b2· · · bn. Wtedy wobec a + y1 = 1 mamy
Dowód. Na podstawie chińskiego twierdzenia o resztach homomorfizm h : A →
Zatem rezultat wynika z twierdzenia 2.2.2 o faktoryzacji homomorfizmów pierścieni.
Jako zastosowanie twierdzenia chińskiego o resztach wskażemy wzór dla wartości funkcji Eulera występującej w teorii liczb.
Funkcją Eulera nazywamy funkcję ϕ : N → N określoną następująco:
ϕ(n) := |U (Z/nZ)|.
A więc ϕ(n) jest liczbą elementów odwracalnych pierścienia reszt Zn∼= Z/nZ. Jeśli n = p jest liczbą pierwszą, to Zp jest ciałem i wszystkie różne od zera elementy Zp
są odwracalne. Wobec tego
ϕ(p) = p − 1 dla każdej liczby pierwszej p. Ogólniej,
ϕ(pm) = (p − 1)pm−1
dla każdej liczby pierwszej p i każdej liczby naturalnej m. Dla a ∈ Z mamy bowiem a + pmZ ∈ U (Z/pmZ) ⇔ ∃ y ∈ Z (a + pmZ)(y + pmZ) = 1 + pmZ
Jeśli teraz n jest dowolną liczbą naturalną i n = Qpα jest rozkładem kanonicz-nym liczby n na iloczyn potęg liczb pierwszych, to ideały pαZ są parami względnie pierwsze i wobec tego TpαZ = nZ . Z wniosku 2.3.9 mamy izomorfizm pierścieni
Z/nZ∼=YZ/pαZ.
Ponieważ izomorficzne pierścienie mają izomorficzne grupy elementów odwracal-nych, wynika stąd, że
2.3.4 Elementy nilpotentne i dzielniki zera
Element x pierścienia A nazywa się elementem nilpotentnym, jeśli xn = 0 dla pewnej liczby naturalnej n. Jeśli x, y, z ∈ A oraz xn = 0, ym = 0 dla liczb naturalnych n, m, to łatwo sprawdzić, że wtedy także (x ± y)n+m = 0 oraz (xz)n= 0. Wynika stąd, że zbiór Nil A wszystkich elementów nilpotentnych pierścienia A jest ideałem pierścienia A. Ten ideał nazywa się nilradykałem pierścienia A.
Jeśli x ∈ Nil A oraz p jest dowolnym ideałem pierwszym pierścienia A, to x ∈ p.
Rzeczywiście, jeśli xn = 0 i n > 1, to xn = x · xn−1 ∈ p pociąga, że x ∈ p lub xn−1 ∈ p. A więc prosty argument indukcyjny pokazuje, że x ∈ p. Udowodniliśmy
zatem, że Nil A ⊆ p dla każdego ideału pierwszego p.
Zbiór wszystkich ideałów pierwszych pierścienia A nazywa się spektrum pierwszym pierścienia A i oznacza się Spec A. Mamy więc
Nil A ⊆\{p : p ∈ Spec A}.
Twierdzenie 2.3.10. Dla każdego pierścienia przemiennego A, Nil A =\{p : p ∈ Spec A}.
Dowód. Połóżmy Y := T{p : p ∈ Spec A}. Zauważyliśmy już, że Nil A ⊆ Y. Aby pokazać, że Nil A ⊇ Y wystarczy sprawdzić, że
x 6∈ Nil A ⇒ x 6∈ Y. (2.2)
W dowodzie tego faktu użyjemy lematu Kuratowskiego-Zorna.
A więc załóżmy, że x 6∈ Nil A. Wtedy xn 6= 0 dla każdej liczby naturalnej n. Roz-patrzmy rodzinę F wszystkich ideałów a pierścienia A takich, że xn 6∈ a dla każdej liczby naturalnej n.
Rodzina F jest niepusta, gdyż ideał zerowy (0) należy do F .
Jeśli C = {aj : j ∈ J } jest łańcuchem w rodzinie F , to łatwo sprawdzić, że łańcuch C jest ograniczony przez ideał a =S{aj : j ∈ J } oraz a ∈ F .
Na podstawie lematu Kuratowskiego-Zorna rodzina F ma element maksymalny p.
Pokażemy, że p jest ideałem pierwszym pierścienia A. Wykorzystamy definicję (2.1).
A więc niech a, b ∈ A oraz a 6∈ p i b 6∈ p. Wtedy suma ideałów p + aA spełnia p⊂ p + aA i p 6= p + aA.
Podobnie ideał p + bA spełnia
p⊂ p + bA i p 6= p + bA.
Wobec maksymalności p w F , ideały p + aA i p + bA nie należą do F . Istnieją więc liczby naturalne n i m takie, że
xn∈ p + aA i xm ∈ p + bA.
Wynika stąd, że iloczyn xn· xm = xn+m należy do iloczynu ideałów (p + aA) · (p + bA) = p2+ aA · p + bA · p + abA.
Jednakże p2+ aA · p + bA · p ⊆ p, zatem xn+m∈ p + abA.
Wobec tego ideał p + abA nie należy do rodziny F , zatem także ab 6∈ p (gdyż w prze-ciwnym razie p + abA = p ∈ F ). Udowodniliśmy więc, że p jest ideałem pierwszym.
Ideał pierwszy p ma zatem następującą własność: xn 6∈ p dla każdej liczby natu-ralnej n. W szczególności, x 6∈ p, co pokazuje, że x 6∈ Y. Dowodzi to (2.2).
Okazuje się, że także zbiór Dz(A) wszystkich dzielników zera pierścienia A można opisać przy pomocy ideałów pierwszych pierścienia A.
Twierdzenie 2.3.11. Niech A będzie dowolnym pierścieniem przemiennym.
(a) Dla każdego x ∈ Dz(A) istnieje ideał pierwszy p pierścienia A taki, że x ∈ p oraz p⊆ Dz(A).
(b) Istnieje rodzina {pj : j ∈ J } ideałów pierwszych pierścienia A taka, że Dz(A) =[{pj : j ∈ J }.
Dowód. (b) wynika łatwo z (a), zatem udowodnimy tylko część (a). Niech x będzie dzielnikiem zera w A. Rozpatrzmy rodzinę F wszystkich ideałów a pierścienia A o następującej własności:
x ∈ a i a⊆ Dz(A).
Rodzina F jest niepusta gdyż ideał główny xA należy do F . Łatwo stwierdzić, że suma mnogościowa wszystkich ideałów dowolnego łańcucha zawartego w F jest ide-ałem należącym do F . Zatem każdy łańcuch w F jest ograniczony z góry przez pewien element rodziny F . Na podstawie lematu Kuratowskiego-Zorna istnieje ele-ment maksymalny p rodziny F . Dla dowodu (a) wystarcza pokazać, że p jest ideałem pierwszym w A.
Niech więc a, b ∈ A i załóżmy, że ab ∈ p oraz a 6∈ p, b 6∈ p. Ideały p + aA i p + bA zawierają p ale nie są równe p, zatem nie należą one do rodziny F . Istnieją więc y, z ∈ A z których żaden nie jest dzielnikiem zera w A takie, że y ∈ p + aA i z ∈ p + bA. Zauważmy, że yz 6∈ Dz(A) (ponieważ y i z nie są dzielnikami zera) oraz p⊆ Dz(A) (ponieważ p ∈ F ). Wynika stąd, że yz 6∈ p. Z drugiej strony mamy
yz ∈ (p + aA) · (p + bA) = p2+ aA · p + bA · p + abA ⊆ p + abA = p, sprzeczność. A więc p jest ideałem pierwszym.