Ideały pierścienia ułamków

= g(a) · g(s)⁻¹.

Sprawdzimy, że h(a/s) nie zależy od przedstawienia a/s w postaci ułamka. Mamy bowiem

a/s = a₁/s₁ ⇒ ∃s₂ ∈ S s₂s₁a = s₂sa₁ ⇒ g(s₂)g(s₁)g(a) = g(s₂)g(s)g(a₁), skąd wobec odwracalności elementów g(s), g(s₁), g(s₂) mamy

g(a)g(s)⁻¹ = g(a₁)g(s₁)⁻¹.

Sprawdzenie, że h jest homomorfizmem pierścieni takim, że h◦ϕ_S = g, pozostawiamy Czytelnikowi.

2.4.3 Ideały pierścienia ułamków

Główne zastosowania pierścieni ułamków w teorii pierścieni bazują na następującym twierdzeniu ustalającym związek pomiędzy ideałami pierścienia A i jego pierścienia ułamków S⁻¹A.

Twierdzenie 2.4.5. Niech S będzie zbiorem multyplikatywnym w pierścieniu A.

Niech ϕ = ϕ_S będzie homomorfizmem ϕ : A → S⁻¹A, ϕ(a) = ^a₁.

(a) Każdy ideał A pierścienia S⁻¹A jest rozszerzeniem pewnego ideału a pierścienia A za pomocą homomorfizmu ϕ, to znaczy, A = ϕ(a)S⁻¹A.

(b) Każdy ideał pierwszy P pierścienia S⁻¹A jest rozszerzeniem pewnego ideału pierwszego p pierścienia A rozłącznego ze zbiorem S, to znaczy

P = ϕ(p)S⁻¹A, p∩ S = ∅.

(c) Dla każdego ideału pierwszego p pierścienia A rozłącznego ze zbiorem S rozsze-rzenie ϕ(p)S⁻¹A jest ideałem pierwszym pierścienia S⁻¹A.

Dowód. (a) Niech A będzie dowolnym ideałem pierścienia S⁻¹A i niech a = ϕ⁻¹(A) będzie zwężeniem ideału A w pierścieniu A za pomocą homomorfizmu ϕ. Jak wiemy, a jest ideałem w A. Ponadto ϕ(a) ⊆ A, więc także ϕ(a)S⁻¹A ⊆ A. Z drugiej strony, jeśli x = ^a_s ∈ A, gdzie a ∈ A, s ∈ S, to x = (a/1)/(s/1) = ϕ(a)/ϕ(s), zatem ϕ(a) = ϕ(s)x ∈ A. Wobec tego a ∈ a oraz

x = ^a_s = ϕ(a) · ¹_s ∈ ϕ(a)S⁻¹A.

A więc A ⊆ ϕ(a)S⁻¹A.

(b) Niech P będzie ideałem pierwszym w S⁻¹A. Na podstawie (a), P jest rozsze-rzeniem pewnego ideału p pierścienia A i na podstawie twierdzenia 2.3.7 (a), p jest ideałem pierwszym w A. Ponadto, P jest ideałem właściwym, nie zawiera zatem elementów odwracalnych pierścienia S⁻¹A, w szczególności więc jest rozłączny ze

zbiorem ϕ(S). Stąd wynika, że p jest rozłączny ze zbiorem S.

(c) Niech p będzie ideałem pierwszym w A rozłącznym z S i niech P = ϕ(p)S⁻¹A będzie jego rozszerzeniem w S⁻¹A. Pokażemy, że P jest ideałem pierwszym. Weźmy więc dwa ułamki ^a_s,^b_t ∈ S⁻¹A, gdzie s, t ∈ S i przypuśćmy, że ^a_s^b_t ∈ P. Istnieją więc elementy p_i ∈ p, c_i ∈ A, r_i ∈ S takie, że

a s b

t =^X

i pi

1 ci

ri.

Sumę po prawej stronie tej równości można zapisać w postaci ^p_r, gdzie r =^Q_iri ∈ S oraz p jest pewnym elementem ideału p. Zatem istnieje element u ∈ S taki, że

u(rab − pst) = 0.

Tak więc u(rab − pst) ∈ p, a ponieważ p ∩ S = ∅, wnioskujemy, że rab − pst ∈ p.

Stąd wobec p ∈ p mamy rab ∈ p i wobec r /∈ p otrzymujemy ab ∈ p. Ponieważ p jest ideałem pierwszym, otrzymujemy a ∈ p lub b ∈ p a to oznacza, że

a

s = ϕ(a)¹_s ∈ P lub ^b_t = ϕ(b)¹_t ∈ P.

Zatem P jest ideałem pierwszym jeśli tylko P 6= S⁻¹A. Gdyby 1 ∈ P, to mielibyśmy równość

1 1 = ^p_r

dla pewnych p ∈ p, r ∈ S. Stąd wynika, że istnieje element u ∈ S taki, że u(r − p) = 0 i podobnie jak wyżej wnioskujemy stąd, że r ∈ p, co jest niemożliwe wobec rozłączności S i p.

A więc P = ϕ(p)S⁻¹A jest ideałem pierwszym w S⁻¹A.

2.5 Zadania

1. Niech A będzie pierścieniem przemiennym, który ma tylko skończoną liczbę n dzielników zera. Udowodnić, że A jest pierścieniem skończonym i ma co najwyżej (n + 1)² elementów.

Wskazówka. Niech 0 6= a ∈ A będzie dzielnikiem zera i niech J będzie anihilatorem elementu a. Udowodnić, że |J | ¬ n + 1 oraz |A/J | ¬ n + 1.

2. Niech R będzie pierścieniem (niekoniecznie przemiennym), w którym każda pod-grupa addytywnej grupy pierścienia jest ideałem pierścienia R. Udowodnić, że pier-ścień R jest izomorficzny bądź z pierścieniem liczb całkowitych Z bądź z pewnym pierścieniem reszt Z/nZ, gdzie n ∈ N.

3. Niech f ∈ Z[X]. Skończony ciąg różnych liczb całkowitych x0, x₁, . . . , x_k−1 nazy-wamy f −cyklem o długości k, jeśli f (x₀) = x₁, f (x₁) = x₂, . . . , f (x_k−1) = x₀. (a) Wskazać wielomiany f i g takie, że f ma cykl długości 1 i g ma cykl długości 2.

(b) Udowodnić, że wielomian f ∈ Z[X] nie może mieć cyklu o długości ­ 3.

4. Niech f ∈ Q[X]. Udowodnić, że jeśli f (Q) = Q, to f jest wielomianem liniowym:

f = aX + b, a, b ∈ Q, a 6= 0.

5. Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej n wielomian Xⁿ+ X + 3 jest nieroz-kładalny w pierścieniu Q[X].

6. Niech f, g ∈ Z[X] i niech f będzie wielomianem unormowanym (najwyższy współ-czynnik równy 1). Udowodnić, że jeśli f (n) dzieli g(n) dla nieskończenie wielu liczb naturalnych n, to f dzieli g w Z[X].

7. Udowodnić, że nie istnieje homomorfizm pierścienia Z[√

2 ] na pierścień Z[√ 3 ].

Czy istnieje homomorfizm pierścienia wielomianów Q[X] na pierścień Z[X]?

8. Znaleźć wszystkie ideały maksymalne pierścienia funkcji rzeczywistych ciągłych na odcinku [0, 1].

9. Niech A będzie pierścieniem przemiennym i niech a, b będą ideałami w A.

(a) Udowodnić, że jeśli a · b = A, to a = b = A.

(b) Dla A = Z[√

−5 ] i a = (2, 1 +√

−5) znaleźć ideał b w A taki, że a · b jest ideałem głównym.

(c) Dla A = Z[f i], gdzie f > 1 jest liczbą naturalną oraz i² = −1, i dla a = f Z[i], sprawdzić, że a jest ideałem w A i nie istnieje niezerowy ideał b w A taki, że a · b jest ideałem głównym.

10. Niech S będzie podzbiorem multyplikatywnym pierścienia przemiennego A.

(a) Udowodnić, że w zbiorze ideałów pierścienia A rozłącznych ze zbiorem S istnieje element maksymalny p.

(b) Udowodnić, że p jest ideałem pierwszym.

11. Niech A będzie pierścieniem przemiennym i niech Σ będzie zbiorem wszystkich podzbiorów multyplikatywnych S ⊂ A.

(a) Zauważyć, że Σ jest zbiorem częściowo uporządkowanym przez relację inkluzji.

Udowodnić, że w Σ istnieje element maksymalny.

(b) Udowodnić, że zbiór S ∈ Σ jest elementem maksymalnym w Σ wtedy i tylko wtedy, gdy A\S jest minimalnym ideałem pierwszym pierścienia A.

12. Niech K będzie ciałem i niech A = K[X]/(X^m). Udowodnić, że A jest pierście-niem lokalnym i jego jedyny ideał maksymalny jest ideałem głównym.

13. Udowodnić, że pierścień przemienny A jest pierścieniem lokalnym wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnych a, b ∈ A z tego, że a + b = 1 wynika, że a jest elementem odwracalnym lub b jest elementem odwracalnym.

Rozdział 3 Moduły

Ostatnie zmiany 1.12.2008 r.

3.1 Definicje i przykłady

W tym rozdziale R będzie dowolnym (a więc niekoniecznie przemiennym) pierście-niem. Będziemy rozpatrywać uogólnienie pojęcia przestrzeni wektorowej nad ciałem K, w którym rolę ciała K przejmie pierścień R.

Niech M będzie addytywną grupą abelową. Grupę abelową M nazywamy R−modułem, jeśli na grupie M określone jest działanie zewnętrzne z pierścieniem skalarów R :

R × M → M, (a, m) 7→ am i działanie to ma następujące własności:

a(m₁+ m₂) = am₁+ am₂ (3.1)

(a₁+ a₂)m = a₁m + a₂m (3.2)

(a₁a₂)m = a₁(a₂m) (3.3)

1m = m (3.4)

dla wszystkich a, a1, a₂ ∈ R, m₁, m₂, m ∈ M.

Działanie zewnętrzne R × M → M, (a, m) 7→ am nazywamy także mnożeniem elementów grupy abelowej M przez elementy pierścienia R.

Tak więc grupa abelowa M jest R−modułem wtedy i tylko wtedy, gdy na M jest określone mnożenie elementów grupy M przez elementy pierścienia R spełniające warunki (3.1)–(3.4).

Zauważmy, że jeśli M jest R−modułem, to działanie zewnętrzne na M ma także następujące własności: dla dowolnych a, b ∈ R oraz m ∈ M,

0m = 0, (−1)m = −m, (a − b)m = am − bm.

Mamy bowiem (a − b)m + bm = (a − b + b)m = am, skąd wynika, że (a − b)m jest różnicą elementów am i bm w grupie M. Kładąc a = b = 1 otrzymujemy 0m = (1 − 1)m = 1m − 1m = m − m = 0, natomiast kładąc a = 0, b = 1 otrzymu-jemy (−1)m = (0 − 1)m = 0m − 1m = 0 − m = −m.

Istnieje także inne podejście do definicji R−modułu, nie odwołujące się do najprost-szej definicji przestrzeni wektorowej. Przypomnijmy, że dla dowolnej grupy abelowej

59

M zbiór End M wszystkich endomorfizmów grupy M jest pierścieniem (zob. przy-kład 2.1.5).

Definicja 3.1.1. Niech M będzie addytywną grupą abelową i niech R będzie pier-ścieniem. Parę (M, ϕ), gdzie ϕ : R → End M jest homomorfizmem pierścienia R w pierścień endomorfizmów End M grupy abelowej M, nazywamy R−modułem.

Jeśli (M, ϕ) jest R−modułem w sensie tej definicji, to dla każdego a ∈ R ob-raz ϕ(a) elementu a jest endomorfizmem grupy abelowej M. Dla m ∈ M element ϕ(a)(m) oznacza się po prostu am, natomiast R−moduł (M, ϕ) oznacza się krótko M.

Jeśli więc (M, ϕ) jest R−modułem, to na grupie abelowej M określone jest dzia-łanie zewnętrzne z pierścieniem skalarów R :

R × M → M, (a, m) 7→ ϕ(a)(m) = am.

To działanie zewnętrzne na M ma własności (3.1) – (3.4). Pierwsza z tych równości wynika z faktu, że ϕ(a) jest endomorfizmem grupy M , natomiast trzy pozostałe wynikają z tego, że ϕ jest homomorfizmem pierścieni.

Interpretacja homomorfizmu ϕ : R → End M jako mnożenia elementów grupy M przez elementy pierścienia R prowadzi więc do definicji R−modułu jako bezpośred-niego uogólnienia pojęcia przestrzeni wektorowej.

Z drugiej strony, jeśli na grupie abelowej M jest określone działanie zewnętrzne z pierścieniem skalarów R i działanie to ma własności (3.1)–(3.4), to łatwo sprawdzić, że odwzorowanie ϕ : R → End M takie, że ϕ(a)(m) = am dla każdego m ∈ M, jest homomorfizmem pierścieni. A więc (M, ϕ) jest R−modułem w sensie definicji 3.1.1.

Tak więc obydwa podejścia do definicji pojęcia R−modułu są równoważne.

Następujące przykłady wskazują jak pojemne jest pojęcie modułu.

Przykład 3.1.1. Każda grupa abelowa M jest Z−modułem jeśli za działanie ze-wnętrzne na M przyjąć mnożenie elementów grupy M przez liczby całkowite.

Przykład 3.1.2. Pierścień R jest R−modułem jeśli za działanie zewnętrzne na R przyjąć mnożenie w pierścieniu R. Ogólniej, każdy ideał lewostronny J pierścienia R jest R−modułem, jeśli za działanie zewnętrzne na J przyjąć mnożenie elemen-tów ideału J przez elementy pierścienia R. W szczególności, każdy ideał pierścienia R jest R−modułem. Na odwrót, jeśli addytywna podgrupa J pierścienia R jest R−modułem (z mnożeniem jako działaniem zewnętrznym), to J jest ideałem lewo-stronnym pierścienia R.

Przykład 3.1.3. Niech K będzie ciałem. Każda przestrzeń wektorowa V nad K jest K−modułem. Każdy K−moduł V jest przestrzenią wektorową nad ciałem K.

Przykład 3.1.4. Niech R = K[X] będzie pierścieniem wielomianów jednej zmiennej nad ciałem K. Niech M = V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K i niech τ będzie endomorfizmem przestrzeni V. Rozpatrzmy homomorfizm podstawiania endomorfizmu τ przestrzeni V w miejsce zmiennej wielomianu f ∈ K[X]:

ϕ_τ : K[X] → End_KV, ϕ_τ(f ) = f (τ ).

Zgodnie z definicją 3.1.1, przestrzeń wektorowa V jest K[X]−modułem. Tak skonstruowany K[X]−moduł oznaczamy V_τ. W module V_τ działanie zewnętrzne jest określone następująco:

K[X] × V → V, (f, v) 7→ f (τ )(v).

A więc f v := f (τ )(v). Ten przykład stanowi podstawę zastosowań teorii modułów w algebrze liniowej.

Przykład 3.1.5. Niech A będzie pierścieniem przemiennym i niech S będzie zbio-rem multyplikatywnym w pierścieniu A. Niech M będzie A−modułem. Na zbiorze M × S definiujemy relację ∼ określoną następująco:

(m1, s1) ∼ (m2, s2) ⇔ ∃s ∈ S s(s2m1− s1m2) = 0.

Relacja ∼ jest relacją równoważnościową na zbiorze M × S.

Klasę abstrakcji [(m, s)]_∼oznacza się m/s lub ms i nazywa się ułamkiem o liczniku m i mianowniku s. Podobnie jak w rozdziale 2 sprawdza się, że zbiór S⁻¹M wszystkich ułamków jest grupą abelową ze względu na dodawanie ułamków określone następu-jąco:

m₁ s₁ +m₂

s₂ = s₂m₁+ s₁m₂ s₁s₂ .

Na grupie S⁻¹M określamy teraz działanie zewnętrzne z pierścieniem skalarów S⁻¹A : S⁻¹A × S⁻¹M → S⁻¹M,

a s₁,m

s₂



7→ am s₁s₂

i z łatwością stwierdzamy, że ma ono własności (3.1)–(3.4). A więc S⁻¹M jest S⁻¹A−

modułem. Nazywamy go modułem ułamków modułu M ze względu na zbiór multy-plikatywny S pierścienia A.

Przykład 3.1.6. Niech M będzie R−modułem i niech f : P → R będzie homo-morfizmem pierścieni. Wtedy określamy działanie zewnętrzne na M z pierścieniem skalarów P kładąc

bm := f (b)m

dla każdego b ∈ P. Z łatwością stwierdza się, że z tak zdefiniowanym działaniem ze-wnętrznym M staje się P −modułem. Mówimy, że ten P −moduł powstaje z R−mo-dułu M przez zwężenie lub ograniczenie pierścienia skalarów (z R do P ).

W szczególności więc w poprzednim przykładzie możemy zauważyć, że dla A−modu-łu M, skonstruowany tam S⁻¹A−moduł ułamków S⁻¹M jest także A−modułem (zwężenie pierścienia skalarów jest tutaj wyznaczone przez homomorfizm naturalny ϕS : A → S⁻¹A, ϕS(a) = a/1).

Definicja 3.1.2. Niech M będzie R−modułem. Podmodułem N modułu M nazy-wamy podgrupę N addytywnej grupy M zamkniętą ze względu na mnożenie przez elementy pierścienia R, to znaczy, podgrupę N grupy M spełniającą warunek

RN ⊆ N.

Jeśli N jest podmodułem modułu M, to piszemy N < M.

Przykład 3.1.7. Każda podgrupa N grupy abelowej M jest podmodułem Z−mo-dułu M. Każdy ideał lewostronny J pierścienia R jest podmodułem R−moZ−mo-dułu R.

Każda podprzestrzeń wektorowa przestrzeni wektorowej V nad ciałem K jest pod-modułem K−modułu V.

Jeśli J jest ideałem lewostronnym pierścienia R oraz M jest R−modułem, to J M :=ⁿa₁m₁+ · · · + a_nm_n ∈ M : a_i ∈ J , m_i ∈ M, n ∈ N^o jest podmodułem modułu M.

Dla endomorfizmu τ przestrzeni wektorowej V , każda podprzestrzeń τ −niezmiennicza U przestrzeni V (to znaczy, podprzestrzeń spełniająca τ (U ) ⊆ U ) jest podmodułem K[X]−modułu V_τ. Rzeczywiście, jeśli τ (U ) ⊆ U to także τ^m(U ) ⊆ U dla każdej liczby naturalnej m, a stąd otrzymujemy łatwo f (τ )(U ) ⊆ U dla każdego wielomia-nu f ∈ K[X]. Także na odwrót, jeśli U jest podmodułem K[X]−modułu V_τ, to dla każdego wielomianu f ∈ K[X] mamy f (τ )(U ) ⊆ U. Zatem w szczególności także τ (U ) ⊆ U.

A więc U jest podmodułem K[X]−modułu V_τ wtedy i tylko wtedy, gdy U jest podprzestrzenią niezmienniczą endomorfizmu τ.

Definicja 3.1.3. Niech M będzie R−modułem.

(a) Mówimy, że podmoduł N jest generowany przez zbiór S ⊆ M, jeśli każdy ele-ment podmodułu N można przedstawić w postaci kombinacji liniowej skończonego podzbioru zbioru S ze współczynnikami z pierścienia R.

(b) Mówimy, że podmoduł N jest skończenie generowany, jeśli jest generowany przez podzbiór skończony modułu M.

(c) Podmoduł N modułu M nazywamy podmodułem cyklicznym, jeśli N jest gene-rowany przez zbiór jednoelementowy, to znaczy, jeśli istnieje element m ∈ M taki, że

N =ⁿam ∈ M : a ∈ R^o.

Przykład 3.1.8. Każda podgrupa cykliczna N grupy abelowej M jest podmodu-łem cyklicznym Z−modułu M.

Każdy ideał główny J pierścienia R jest podmodułem cyklicznym R−modułu R.

Każda jedno-wymiarowa podprzestrzeń wektorowa przestrzeni wektorowej V nad ciałem K jest podmodułem cyklicznym K−modułu V.

Każda skończenie wymiarowa przestrzeń wektorowa V nad ciałem K jest skończenie generowanym K−modułem.

Jeśli V jest skończenie wymiarową przestrzenią wektorową nad ciałem K, to rozpa-trywany w przykładzie 3.1.4 K[X]−moduł V_τ jest skończenie generowany.

W dokumencie Algebra Wykłady dla Studiów Doktoranckich (Stron 62-68)