Grupa Grothendiecka

Niech R będzie dowolnym pierścieniem. Ważnym problemem jest opisanie z do-kładnością do izomorfizmu wszystkich skończenie generowanych modułów projek-tywnych nad pierścieniem R. W związku z tym będziemy tu rozpatrywać kategorię P(R) skończenie generowanych R−modułów projektywnych. Dla obiektu M tej ka-tegorii (czyli skończenie generowanego R−modułu projektywnego) klasę obiektów izomorficznych z M oznaczymy (M ). A więc N ∈ (M ) ⇐⇒ N ∼= M . Zbiór B = {(M ) : M ∈ Ob(P(R))} wszystkich klas potraktujemy jako bazę grupy abelo-wej wolnej F_R. Jej elementy są więc skończonymi kombinacjami liniowymi klas ze zbioru B postaci

x₁(M₁) + · · · + x_n(M_n), x_i ∈ Z, (M_i) ∈ B.

W grupie F_R rozpatrujemy podgrupę H generowaną przez wszystkie elementy po-staci

(M ) − (M⁰) − (M⁰⁰) (5.7)

gdzie moduły M, M⁰, M⁰⁰ są tak dobrane, że istnieje ciąg dokładny 0 → M⁰ → M → M⁰⁰ → 0

w kategorii P(R). Ponieważ jednak każdy taki ciąg dokładny rozszczepia się (na podstawie definicji modułu projektywnego), więc w sposób równoważny można po-wiedzieć, że podgrupa H grupy F_R jest generowana przez elementy postaci (5.7) gdzie moduły M, M⁰, M⁰⁰ spełniają warunek

M ∼= M⁰⊕ M⁰⁰.

Tutaj ⊕ oznacza sumę obiektów w kategorii P(R) (jest to więc zewnętrzna suma prosta modułów w sensie rozdziału 3).

Definiujemy teraz grupę abelową K₀P(R) jako grupę ilorazową K₀P(R) := F_R/H.

Grupę tę nazywamy grupą Grothendiecka kategorii P(R). Dla modułu M warstwę (M )+H będziemy oznaczać [M ]. Każdy skończenie generowany moduł projektywny nad R ma więc swój odpowiednik [M ] w grupie Grothendiecka K₀P(R). Zauważmy, że jeśli moduł M jest sumą prostą modułów M⁰ i M⁰⁰, to jego klasa [M ] jest w K₀P(R) sumą klas [M⁰] i [M⁰⁰]. Rzeczywiście, jeśli M ∼= M⁰⊕ M⁰⁰, to (M ) − (M⁰) − (M⁰⁰) ∈ H zatem

H = (M ) − (M⁰) − (M⁰⁰) + H = [M ] − [M⁰] − [M⁰⁰],

to znaczy [M ] = [M⁰] + [M⁰⁰] w grupie K₀P(R), lub nieco wyraźniej,

[M⁰⊕ M⁰⁰] = [M⁰] + [M⁰⁰]. (5.8) Można więc powiedzieć, że grupa Grothendiecka zapamiętuje relację pomiędzy mo-dułami M , M⁰, M⁰⁰ polegającą na tym, że jeden z tych modułów jest sumą prostą pozostałych.

Z tego, że grupa F_R ma bazę B wynika, że zbiór

B + H =ⁿ[M ] : [M ] = (M ) + H, (M ) ∈ B^o

jest zbiorem generatorów grupy K₀P(R). Elementy grupy K₀P(R) są więc kombina-cjami liniowymi ze współczynnikami całkowitymi elementów zbioru B + H. Okazuje się jednak, że istnieje o wiele prostszy sposób prezentowania elementów grupy Gro-thendiecka.

Stwierdzenie 5.5.1. Każdy element grupy K0P(R) można przedstawić w postaci [M ] − [N ], gdzie [M ], [N ] ∈ B + H.

Dowód. Niech X będzie dowolnym elementem grupy K₀P(R). Zatem X jest kombi-nacją liniową elementów zbioru B + H ze współczynnikami całkowitymi. Grupując w tej kombinacji liniowej oddzielnie składniki ze współczynnikami dodatnimi i ujem-nymi, możemy więc (dopuszczając powtórzenia składników) napisać

X = [M₁] + · · · + [Mk] − ([N1] + · · · + [N`]).

Zauważmy teraz, że na podstawie (5.8) mamy

[M1] + · · · + [Mk] = [M1⊕ · · · ⊕ M_k], [N1] + · · · + [N`] = [N1⊕ · · · ⊕ N<sub>`</sub>].

Zatem X = [M ] − [N ], gdzie M = M₁⊕ · · · ⊕ M_k oraz N = N₁⊕ · · · ⊕ N_`.

Przykład 5.5.1. Najprostszy przykład grupy Grothendiecka otrzymamy rozpatru-jąc kategorię skończenie generowanych modułów projektywnych nad ciałem. Niech więc R = L będzie ciałem. Moduły nad L są przestrzeniami wektorowymi i każdy moduł nad L jest wolny (ma bazę), zatem jest także projektywny. A więc P(L) jest kategorią skończenie wymiarowych przestrzeni wektorowych nad ciałem L. Pokaże-my, że odwzorowanie

D : K₀P(L) → Z, D([U ] − [V ]) = dim U − dim V

jest dobrze określone na elementach grupy K₀P(L) i jest izomorfizmem grup.

Najpierw wykorzystamy fakt, że odwzorowanie d : B → Z bazy grupy abelowej wolnej F_L w grupę liczb całkowitych zadane wzorem d₁(U ) = dim U ma dokładnie jedno przedłużenie do homomorfizmu d : F_L → Z grupy wolnej FL na Z (zob.

twierdzenie 3.3.2). Jest to surjekcja, gdyż d1(L) = dim L = 1. Zauważmy ponadto, że H ⊂ ker d. Rzeczywiście,

d

 Xa_i



(M_i⁰⊕ M_i⁰⁰) − (M_i⁰) − (M_i⁰⁰)



=^Xa_i



d(M_i⁰⊕ M_i⁰⁰) − d(M_i⁰) − d(M_i⁰⁰)



= 0,

gdyż d(M_i⁰⊕M_i⁰⁰) = dim M_i⁰⊕M_i⁰⁰ = dim M_i⁰+dim M_i⁰⁰ = d(M_i⁰)+d(M_i⁰⁰). Stąd wynika, że odwzorowanie D : F_L/H → Z, gdzie dla X ∈ FL kładziemy D(X + H) = d(X), jest dobrze określonym surjektywnym homomorfizmem grup. W szczególności mamy D([U ]) = d(U ) = dim U , zatem także

D([U ] − [V ]) = D([U ]) − D([V ]) = dim U − dim V.

Mamy więc surjektywny homomorfizm D : K₀P(L) → Z. Homomorfizm D jest także injektywny, gdyż

D([U ] − [V ]) = 0 ⇐⇒ dim U = dim V ⇐⇒ (U ) = (V )

=⇒ [U ] = [V ] ⇐⇒ [U ] − [V ] = 0.

A więc grupa Grothendiecka K0P(L) kategorii skończenie wymiarowych przestrzeni wektorowych nad dowolnym ciałem L jest izomorficzna z grupą liczb całkowitych.

W powyższym przykładzie wykorzystaliśmy oczywistą implikację (U ) = (V ) ⇒ [U ] = [V ] chociaż w tej konkretnej sytuacji moglibyśmy także użyć równoważności.

Wynika to z następującego faktu.

Stwierdzenie 5.5.2. Dla R−modułów projektywnych M i N równość [M ] = [N ] w grupie Grothendiecka K₀P(R) ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki R−moduł projektywny P , że

M ⊕ P ∼= N ⊕ P.

Dowód. Jeśli M ⊕ P ∼= N ⊕ P , to

[M ] + [P ] = [M ⊕ P ] = [N ⊕ P ] = [N ] + [P ], skąd [M ] = [N ]. Wystarczalność warunku jest więc oczywista.

Dla dowodu konieczności warunku załóżmy, że [M ] = [N ]. Wtedy (M )−(N ) ∈ H i wobec tego (M ) − (N ) jest kombinacją liniową elementów postaci (5.7). Dopusz-czając powtarzające się składniki możemy oczywiście zapisać tę kombinację liniową ze współczynnikami ±1 i wobec tego mamy przedstawienie

(M ) − (N ) =^X



(M_i) − (M_i⁰) − (M_i⁰⁰)



−^X



(N_j) − (N_j⁰) − (N_j⁰⁰)



, gdzie M_i ∼= M_i⁰⊕ M_i⁰⁰ oraz N_j ∼= N_j⁰ ⊕ N_j⁰⁰. Stąd otrzymujemy

(M ) +^X(M_i⁰) +^X(M_i⁰⁰) +^X(N_j) = (N ) +^X(N_j⁰) +^X(N_j⁰⁰) +^X(M_i).

Jest to równość w grupie abelowej wolnej F_R, a więc jednoznaczność przedstawienia elementu grupy F_R w postaci kombinacji liniowej elementów bazowych pociąga, że układ klas izomorfizmu modułów M, M_i⁰, M_i⁰⁰, N_j co najwyżej porządkiem różni się od układu klas izomorfizmu modułów N, N_j⁰, N_j⁰⁰, M_i. W szczególności otrzymujemy stąd izomorfizm modułów

M ⊕^MM_i⁰⊕^MM_i⁰⁰⊕^MN_j ∼= N ⊕^MN_j⁰⊕^MN_j⁰⁰⊕^MM_i.

Niech P będzie R−modułem izomorficznym z każdą z powyższych sum prostych.

Wtedy

M ⊕ P ∼= M ⊕ N ⊕^LN_j⁰ ⊕^LN_j⁰⁰⊕^LM_i

∼= N ⊕ M ⊕^LN_j ⊕^LM_i⁰⊕^LM_i⁰⁰

∼= N ⊕ P.

Wykorzystaliśmy tu izomorfizmy M_i ∼= M_i⁰⊕ M_i⁰⁰ oraz N_j ∼= N_j⁰⊕ N_j⁰⁰.

Stwierdzenie 5.5.2 objaśnia dość precyzyjnie w jakim stopniu znajomość grupy Grothendiecka K₀P(R) może być wykorzystana do klasyfikacji skończenie genero-wanych modułów projektywnych nad R z dokładnością do izomorfizmu modułów.

Otóż dla R−modułów projektywnych M i N równość [M ] = [N ] wcale nie oznacza, że muszą one być izomorficzne. Oznacza jedynie, że dla pewnego modułu projek-tywnego P moduły M ⊕ P i N ⊕ P są izomorficzne. Moduł projektywny P jest składnikiem prostym pewnego modułu wolnego W , to znaczy istnieje R−moduł P1

taki, że P ⊕ P₁ = W jest modułem wolnym. A więc [M ] = [N ] wtedy i tylko wtedy gdy

M ⊕ W ∼= N ⊕ W dla pewnego modułu wolnego W. (5.9) Moduły M i N spełniające warunek (5.9) nazywają się stabilnie izomorficzne. Tak więc znajomość grupy Grothendiecka K₀P(R) rozwiązuje problem klasyfikacji pro-jektywnych R−modułów z dokładnością do stabilnego izomorfizmu modułów.

Dla niektórych pierścieni relacje stabilnego izomorfizmu i izomorfizmu są iden-tyczne. Jest tak na przykład dla ciał, gdyż w tym przypadku skończenie generowane moduły projektywne są skończenie wymiarowymi przestrzeniami wektorowymi i dla nich (5.9) pociąga oczywiście M ∼= N . Również nad pierścieniami ideałów głównych [M ] = [N ] pociąga M ∼= N . Rzeczywiście, na podstawie wniosku 4.2.3, skończenie generowany moduł projektywny nad pierścieniem ideałów głównych jest modułem wolnym skończonej rangi, zatem (5.9) pociąga równość rang wolnych modułów M i N , zatem ich izomorfizm. W szczególności więc stabilny izomorfizm skończenie generowanych modułów projektywnych pokrywa się z izomorfizmem modułów nad pierścieniem R = L[X] wielomianów jednej zmiennej nad dowolnym ciałem L. W latach 60-tych XX wieku intrygującym problemem było pytanie, czy stabilny izo-morfizm pokrywa się z izoizo-morfizmem nad pierścieniem wielomianów wielu zmien-nych R = L[X₁, . . . , X_n], gdzie L jest dowolnym ciałem. Inna wersja tego pytania brzmi następująco: czy nad pierścieniem wielomianów R−moduł projektywny sta-bilnie równoważny z modułem wolnym musi być modułem wolnym? Przypuszczenie, że odpowiedź jest ”tak” znane było jako hipoteza Serre’a. W roku 1976 opubliko-wano dwa niezależne dowody hipotezy Serre’a znalezione przez D. Quillena i A. A.

Suslina.

Zwracamy uwagę na fakt, że istnieją przykłady pierścieni, dla których stabilny izomorfizm modułów nie pokrywa się z izomorfizmem. Można, na przykład, pokazać, że taka sytuacja ma miejsce nad pierścieniem²

R = R[X, Y, Z]/(X²+ Y² + Z² − 1).

2Zobacz pracę Lama i Siu cytowaną w §5.5.3.

5.5.2 Funktor K

Konstrukcja grupy Grothendiecka K₀P(R) przyporządkowuje każdemu obiektowi R kategorii pierścieni R grupę abelową K₀P(R), czyli obiekt kategorii grup abelowych A. Faktycznie jest to odwzorowanie obiektowe funktora kowariantnego K₀ : R → A.

Dla wyjaśnienia działania tego funktora powinniśmy wskazać odpowiednie od-wzorowanie morfizmowe. Jeśli h : R → S jest morfizmem w kategorii pierścieni (homomorfizmem pierścieni), to

K₀h : K₀P(R) → K₀P(S)

powinien być homomorfizmem grup abelowych. Dla określenia K₀h powinniśmy więc przede wszystkim dysponować metodą przyporządkowania modułowi projektywne-mu nad pierścieniem R modułu projektywnego nad pierścieniem S. Tę operację realizuje omawiana przez nas wcześniej konstrukcja iloczynu tensorowego modułów (zob. rozdział 3.6). Homomorfizm pierścieni h : R → S pozwala poprzez opera-cję zwężenia pierścienia skalarów (omawianą w przykładzie 3.1.6) traktować S jako R−moduł (z działaniem zewnętrznym a · b = h(a)b). Dla każdego R−modułu M rozpatrujemy teraz iloczyn tensorowy S ⊗_RM dwóch R−modułów. Moduł ten ma jednak także strukturę S−modułu (z mnożeniem tensorów prostych b ⊗ m przez ska-lary x ∈ S określonym następująco: x · (b ⊗ m) = xb ⊗ m). Przejście od R−modułu M do S−modułu S ⊗_RM jest podstawą do określenia homomorfizmu F_R → F_S a w konsekwencji także homomorfizmu grup abelowych K0h : K0P(R) → K0P(S).

Objaśnia to z grubsza sposób traktowania K₀ jako funktora z kategorii pierścieni do kategorii grup abelowych.

W końcu zwrócimy jeszcze uwagę, że konstrukcję grupy Grothendiecka, którą przeprowadziliśmy szczegółowo dla kategorii P(R) skończenie generowanych R−mo-dułów projektywnych można powtórzyć dla każdej kategorii A, w której jest okre-ślone pojęcie ciągu dokładnego. Fakt, że wykorzystaliśmy rozszczepialność ciągów dokładnych w kategorii modułów projektywnych i zastąpiliśmy je rozkładami mo-dułów na sumy obiektów jest specyfiką kategorii P(R) pozwalającą uzyskać tak przejrzyste rezultaty jak, na przykład, stwierdzenie 5.5.2. W ogólnym przypadku nie można oczekiwać, że sprawy potoczą się tak dobrze, tym niemniej jest możliwa konstrukcja grupy Grothendiecka K₀A jako grupy ilorazowej F/H przy odpowied-nim określeniu grupy abelowej wolnej F i jej podgrupy H. W ten sposób funktor K₀ staje się jednym z rutynowych pojęć teorii kategorii.