Pierścienie noetherowskie

Pierścień A nazywa się pierścieniem noetherowskim, jeśli A−moduł A jest noethe-rowski.

Ta zwięzła definicja wymaga komentarza. Przede wszystkim przypomnijmy, że podmodułami A−modułu A są ideały pierścienia A. Pierścień A spełnia więc wa-runek (FG), gdy każdy ideał pierścienia A jest skończenie generowany. Podobnie, pierścień A spełnia warunek (ACC) gdy każdy łańcuch wznoszący ideałów pierście-nia A

a₁ ⊂ a₂ ⊂ · · · ⊂ a_n⊂ · · · , a_i 6= a_i+1

jest skończony. Wreszcie pierścień A spełnia warunek (MAX) gdy każdy niepusty zbiór S ideałów pierścienia A zawiera ideał maksymalny w zbiorze S (nie musi to oczywiście być ideał maksymalny pierścienia A). Na podstawie twierdzenia 6.1.2 te trzy własności pierścienia A są równoważne.

Wynika stąd w szczególności, że pierścienie ideałów głównych, takie jak Z i K[X], gdzie K jest ciałem, są pierścieniami noetherowskimi (gdyż każdy ideał jest ge-nerowany przez zbiór jednoelementowy, zatem spełniony jest warunek (FG)). Po-nadto pierścienie ideałów głównych mają własności (ACC) i (MAX). Okazuje się, że także pierścień Z[X] wielomianów o współczynnikach całkowitych, mimo że nie jest pierścieniem ideałów głównych, jest pierścieniem noetherowskim. Wynika to z twierdzenia Hilberta o bazie, które udowodnimy poniżej.

Twierdzenie 6.1.7. (Twierdzenie Hilberta o bazie.)

Jeśli pierścień A jest noetherowski, to pierścień A[X] wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach z pierścienia A, jest pierścieniem noetherowskim.

Dowód. Pokażemy, że pierścień A[X] spełnia warunek (FG). Niech więc a będzie ideałem pierścienia A[X]. Ideał a jest sumą mnogościową podzbiorów złożonych z wielomianów tego samego stopnia należących do a. Dla każdej liczby całkowitej i ­ 0

rozważmy zbiór a_i złożony z zera pierścienia A oraz tych wszystkich elementów pier-ścienia A, które są najwyższymi współczynnikami wielomianów stopnia i należących do ideału a. Tak więc

a_i := {a ∈ A : ∃ a₀, . . . , a_i−1∈ A aXⁱ+ a_i−1Xⁱ⁻¹+ · · · + a₁X + a₀ ∈ a}.

Łatwo sprawdza się, że a_i jest ideałem w pierścieniu A oraz a_i ⊆ a_i+1 dla każdego i ­ 0. To ostatnie wynika z faktu, że jeśli f ∈ a jest wielomianem stopnia i z najwyż-szym współczynnikiem a, to Xf ∈ a jest wielomianem stopnia i + 1 z najwyżnajwyż-szym współczynnikiem a.

Mamy więc łańcuch wznoszący ideałów a₀ ⊆ a₁ ⊆ · · · pierścienia A i wobec zało-żenia, że A jest pierścieniem noetherowskim, łańcuch ten zawiera jedynie skończoną liczbę różnych ideałów. Istnieje więc liczba naturalna r taka, że a_r = a_r+1 = · · · . Skorzystamy jeszcze raz z faktu, że A jest pierścieniem noetherowskim obierając dla każdego z ideałów a0, a1, . . . , ar skończony układ generatorów. Niech n będzie największą spośród liczb generatorów tych ideałów. Dopuszczając generatory równe 0 ∈ A możemy założyć, że każdy z ideałów a₀, a₁, . . . , a_r ma n−elementowy układ generatorów. Dla każdego i = 0, 1, . . . , r niech więc

a_i1, a_i2, . . . , a_in

będzie układem generatorów ideału ai. Dla każdego niezerowego a_ij obieramy wielo-mian f_ij ∈ a stopnia i, którego najwyższym współczynnikiem jest element a_ij, jeśli zaś a_ij = 0, to jako f_ij obieramy wielomian zerowy. Udowodnimy, że wielomiany f_ij tworzą zbiór generatorów ideału a.

Niech b będzie ideałem pierścienia A[X] generowanym przez wszystkie wielomiany f_ij. Zatem b ⊆ a i należy udowodnić, że b = a. Niech więc f ∈ a i niech d będzie stopniem wielomianu f. Dla dowodu, że

f ∈ a ⇒ f ∈ b (6.4)

posłużymy się indukcją ze względu na d.

Jeśli d = 0, to f jest wielomianem stałym, zatem należy do ideału a₀ generowanego przez f₀₁ = a₀₁, . . . , f_0n = a_0n. Ponieważ wszystkie te generatory należą do b, więc a₀ ⊆ b, skąd f ∈ b.

Załóżmy teraz, że 0 < d ¬ r oraz (6.4) zachodzi dla wszystkich wielomianów stopnia

< d. Niech f ∈ a będzie wielomianem stopnia d. Wtedy istnieją e₁, . . . , e_n∈ A takie, że wielomian

h := f − (e₁f_d1+ · · · + e_nf_dn)

ma stopień mniejszy od d i także należy do ideału a. Na podstawie założenia induk-cyjnego h ∈ b, skąd także f ∈ b.

W końcu załóżmy, że d > r. Wtedy każdy z wielomianów X^d−rf_r1, . . . , X^d−rf_rn

ma stopień d oraz najwyższe współczynniki tych wielomianów generują ideał a_r. Ponieważ jednak a_r = a_d i najwyższy współczynnik wielomianu f należy do a_d, więc

współczynnik ten da się przedstawić jako kombinacja liniowa generatorów ideału a_r. Istnieją więc c₁, . . . , c_n∈ A takie, że wielomian

g := f − (c1X^d−rfr1+ · · · + cnX^d−rfrn) (6.5) ma stopień mniejszy od d. Ponadto z (6.5) wynika, że g ∈ a. Zatem na podstawie założenia indukcyjnego g ∈ b. Zauważmy jednak, że z równości (6.5) wynika, iż f ∈ b wtedy i tylko wtedy gdy g ∈ b. A więc f ∈ b. Kończy to dowód (6.4). Zatem a = b jest ideałem generowanym przez skończony układ wielomianów fij.

Wniosek 6.1.8. Pierścienie Z[X] i Z[X1, . . . , Xn] wielomianów jednej i wielu zmiennych o współczynnikach całkowitych są pierścieniami noetherowskimi.

Dowód. Dla pierścienia Z[X] wynika to bezpośrednio z twierdzenia Hilberta o bazie.

Natomiast dla pierścienia wielu zmiennych zauważamy, że Z[X1, . . . , X_n] = Z[X1, . . . , X_n−1][X_n], i stosujemy indukcję ze względu na liczbę zmiennych.

Wniosek 6.1.9. Jeśli K jest ciałem, to pierścień wielomianów K[X1, . . . , X_n] wie-lomianów wielu zmiennych o współczynnikach z ciała K jest pierścieniem noethe-rowskim.

Dowód. Indukcja ze względu na liczbę zmiennych.

Twierdzenie Hilberta można uzupełnić uwagą, że twierdzenie do niego odwrotne jest także prawdziwe. Otrzymujemy w ten sposób następujący warunek konieczny i wystarczający na to by pierścień A był noetherowski.

Twierdzenie 6.1.10. Dla dowolnego pierścienia A, pierścień A jest noetherowski wtedy i tylko wtedy gdy pierścień wielomianów A[X] jest noetherowski.

Dowód. Wobec twierdzenia Hilberta wystarczy udowodnić, że jeśli pierścień A[X]

jest noetherowski, to A jest noetherowski. Niech a będzie ideałem w pierścieniu A i rozpatrzmy ideał aA[X] pierścienia A[X] generowany przez podzbiór a pierścienia A[X]. Mamy zatem

aA[X] =ⁿa₁h₁+ · · · + arh_r∈ A[X] : a_i ∈ a, h_i ∈ A[X], r ∈ N^o.

Ponieważ A[X] jest noetherowski, więc ideał ten jest skończenie generowany, po-wiedzmy

aA[X] = (f₁, . . . , f_k)

dla pewnych wielomianów fi ∈ A[X]. Dla dowolnego elementu a ∈ a wobec a ⊂ aA[X] mamy przedstawienie

a = g₁f₁+ · · · + g_kf_k

dla pewnych g_i ∈ A[X] i stąd a = g₁(0)f₁(0) + · · · + g_k(0)f_k(0). Zatem a⊆ (f₁(0), . . . , f_k(0)).

Z drugiej strony każdy generator f_i ideału aA[X] ma przedstawienie postaci f_i = a_i1h_i1+ · · · + a_irh_ir

dla pewnych aij ∈ a, hij ∈ A[X], r ∈ N. Stąd wynika, że f_i(0) = a_i1h_i1(0) + · · · + a_irh_ir(0) ∈ a.

Wobec tego (f₁(0), . . . , f_k(0)) ⊆ a i w rezultacie otrzymujemy równość a = (f₁(0), . . . , f_k(0)).

Pokazaliśmy więc, że każdy ideał a pierścienia A jest skończenie generowany i wobec tego A jest pierścieniem noetherowskim.

Twierdzenie 6.1.10 pokazuje, że podpierścień A pierścienia noetherowskiego A[X]

jest także noetherowski. Nie jest jednak prawdą, że każdy podpierścień każdego pierścienia noetherowskiego jest noetherowski. Pokazuje to następujący przykład.

Przykład 6.1.3. Niech A będzie podpierścieniem pierścienia Z[X] składającym się z wszystkich wielomianów, których wszystkie współczynniki potęg Xⁱ, dla i > 0, są liczbami parzystymi. Można więc napisać, że

A = Z + 2XZ[X]

jest sumą podpierścienia Z i ideału 2XZ[X] pierścienia Z[X], skąd łatwo wynika, że A jest istotnie podpierścieniem Z[X]. W pierścieniu A rozpatrujemy następujący łańcuch wznoszący ideałów:

a₁ = (2X) ⊂ a₂ = (2X, 2X²) ⊂ a₃ = (2X, 2X², 2X³) ⊂ · · · .

Najpierw sprawdzimy, że jest to ostro wznoszący łańcuch ideałów. Pokażemy mia-nowicie, że dla każdego n ­ 1 wielomian 2Xⁿ⁺¹ nie należy do a_n. Przypuśćmy, że tak nie jest. Wtedy istnieją wielomiany f1, . . . , f_n ∈ A takie, że

2Xⁿ⁺¹ = 2Xf₁+ 2X²f₂+ · · · + 2Xⁿfn. Stąd otrzymujemy tożsamość wielomianową

Xⁿ = f₁+ Xf₂+ · · · + Xⁿ⁻¹f_n, f_i ∈ A. (6.6) Wielomian po prawej stronie można zapisać w postaci

f1(0)+Xf2(0)+· · ·+Xⁿ⁻¹fn(0)^+^f1−f1(0)+X(f2−f2(0))+· · ·+Xⁿ⁻¹(fn−fn(0))^. Zauważamy, że pierwsza grupa składników tworzy wielomian stopnia < n i wobec tego nie ma wpływu na współczynnik stojący przy Xⁿ. Natomiast druga grupa składników zawiera wyłącznie wielomiany o współczynnikach parzystych. Wobec tego tożsamość (6.6) nie może mieć miejsca. W pierścieniu A wskazaliśmy więc nie-skończony łańcuch różnych ideałów co oznacza, że pierścień A nie jest noetherowski.

Pierścień noetherowski Z[X] zawiera więc podpierścień A, który nie jest noetherow-ski.

Twierdzenie Hilberta jest pierwszym źródłem przykładów pierścieni noetherow-skich. Drugim źródłem takich przykładów jest następujące twierdzenie.

Twierdzenie 6.1.11. Homomorficzny obraz pierścienia noetherowskiego jest pier-ścieniem noetherowskim.

Dowód. Jeśli h : A → B jest epimorfizmem pierścieni, to na podstawie twierdzenia 2.2.3 o odpowiedniości każdy wznoszący łańcuch ideałów pierścienia B ma swój przeciwobraz w A. Zatem jeśli A spełnia (ACC), to B także spełnia (ACC).

Przykład 6.1.4. Niech m 6= 0, 1 będzie bezkwadratową liczbą całkowitą i niech Z[

√m ] =ⁿx + y√

m : x, y ∈ Z^o. Odwzorowanie

h : Z[X] → Z[√

m ], h(f ) = f (√ m )

jest epimorfizmem pierścieni. Ponieważ Z[X] jest noetherowski, także każdy pierścień Z[

√m ] jest noetherowski.

Można także łatwo udowodnić, że dla dowolnego pierścienia noetherowskiego A i dla dowolnego podzbioru multyplikatywnego S w A pierścień ułamków AS⁻¹jest także pierścieniem noetherowskim. W szczególności, dla każdego ideału pierwszego p pierścienia noetherowskiego A lokalizacja Ap jest pierścieniem noetherowskim.