Niech M i M0 będą R−modułami. Homomorfizmem h : M → M0 nazywamy homo-morfizm h grupy abelowej M w grupę abelową M0 spełniający warunek
h(am) = ah(m) ∀ a ∈ R, m ∈ M.
Jądro i obraz homomorfizmu modułów określamy oczywiście jako jądro i obraz ho-momorfizmu grup abelowych. Również takie terminy jak epimorfizm, monomorfizm, izomorfizm modułów interpretujemy tak jak w teorii grup (jako, odpowiednio, ho-momorfizm surjektywny, injektywny, bijektywny).
Niech N będzie podmodułem R−modułu M i niech κ : M → M/N, κ(m) = m + N
będzie homomorfizmem kanonicznym grup abelowych. Wtedy κ(am) = am + N = a(m + N ) = aκ(m) dla a ∈ R, m ∈ M. Zatem κ jest homomorfizmem modułów.
Nazywamy go homomorfizmem kanonicznym modułów.
Sformułujemy teraz podstawowe twierdzenia o homomorfizmach modułów. Są one analogonami twierdzeń o homomorfizmach grup z rozdziału 1.
Twierdzenie 3.2.1. (Twierdzenie o faktoryzacji.)
Jeśli h : M → M0 jest homomorfizmem R−modułów, N = ker h oraz κ : M → M/N jest homomorfizmem kanonicznym, to istnieje dokładnie jeden injektywny homomor-fizm h∗ : M/N → M0 taki, że h = h∗◦ κ, to znaczy taki, że następujący diagram jest przemienny:
M M0
M/N h
-R
κ h∗
Twierdzenie 3.2.2. (Twierdzenie o odpowiedniości.)
Jeśli h : M → M0 jest epimorfizmem R−modułów, to przyporządkowanie N 7→
h(N ) jest bijekcją rodziny podmodułów N modułu M zawierających ker h na rodzinę wszystkich podmodułów modułu M0. Odwzorowaniem odwrotnym jest N0 7→ h−1(N0).
Ponadto, dla każdego podmodułu N modułu M zawierającego jądro ker h homomor-fizmu h mamy izomorfizm
M/N ∼= M0/h(N ).
Twierdzenie 3.2.3. (Twierdzenie o izomorfizmie.)
Niech M będzie R−modułem. Dla każdych podmodułów M0, M00 modułu M istnieje izomorfizm
(M0+ M00)/M00∼= M0/M0∩ M00. Jeśli ponadto M00 < M0 < M, to
(M/M00)/(M0/M00) ∼= M/M0.
Dowód. Istnienie odpowiednich homomorfizmów addytywnych grup abelowych wy-nika z twierdzeń o homomorfizmach grup. Sprawdzenie, że homomorfizmy te są homomorfizmami modułów pozostawiamy Czytelnikowi jako ćwiczenie.
3.2.1 Rozszczepialne ciągi dokładne
Definicja 3.2.4. Ciąg R−modułów i homomorfizmów
0 → M0 −→ Mf −→ Mg 00 → 0 (3.5)
nazywa się ciągiem dokładnym, jeśli f jest monomorfizmem, g jest epimorfizmem oraz im f = ker g.
A więc dokładność ciągu (3.5) oznacza, że ker f = 0, im f = ker g, im g = M00. Zamiast pięcioczłonowych ciągów dokładnych można rozpatrywać ciągi dowolnej długości (nawet nieskończone). Mówimy, że ciąg
· · · −→ Mi−1 −→ Mgi−1 i −→ Mgi i+1 −→ · · ·
jest dokładny w członie Mi, jeśli im gi−1 = ker gi. Ciąg nazywa się dokładny, jeśli jest dokładny w każdym członie. W szczególności, dokładność ciągu
0 → M0 −→ Mf
oznacza, że f jest monomorfizmem, natomiast dokładność ciągu M −→ Mg 00 → 0
oznacza, że g jest epimorfizmem.
Przykład 3.2.1. Każdy homomorfizm modułów g : M → M00 wyznacza ciąg do-kładny
0 → ker g −→ Mf −→ im g → 0,g
w którym f : ker g → M jest włożeniem: f (m) = m dla każdego m ∈ ker g. W szczególności, jeśli M0 jest podmodułem modułu M i κ : M → M/M0 jest homo-morfizmem kanonicznym, to mamy ciąg dokładny
0 → M0 ,→ M −→ M/Mκ 0 → 0.
Przykład 3.2.2. Niech moduł M będzie sumą prostą podmodułów M1, M2, M = M1⊕ M2. Wtedy mamy ciąg dokładny
0 → M1 −→ Mf −→ Mg 2 → 0, (3.6)
w którym f (m1) = m1 dla m1 ∈ M1, oraz g(m1 + m2) = m2, dla m1 ∈ M1, m2 ∈ M2. Ten ciąg dokładny ma pewną ważną dodatkową własność, mianowicie istnieją homomorfizmy ϕ : M2 → M oraz ψ : M → M1 określone następująco:
ϕ(m2) = m2, ψ(m1+ m2) = m1
takie, że
ψ ◦ f = 1M1, g ◦ ϕ = 1M2.
Okazuje się, że ta dodatkowa własność ciągu dokładnego (3.6) stanowi także warunek wystarczający na to, by moduł M był sumą prostą podmodułów M1 i M2.
Twierdzenie 3.2.5. Dla ciągu dokładnego
M −→ Mg 00 → 0 następujące warunki są równoważne.
(a) Podmoduł ker g modułu M jest składnikiem prostym modułu M.
(b) Istnieje homomorfizm ϕ : M00 → M taki, że g ◦ ϕ = 1M00.
Dowód. (a) ⇒ (b) Niech M = ker g ⊕ N, dla pewnego podmodułu N modułu M.
Definiujemy odwzorowanie ϕ : M00 → M następująco. Każdy element m00 modułu M00 jest postaci m00 = g(m), gdzie m ∈ M = ker g ⊕ N. Jeśli m = k + n, gdzie k ∈ ker g, n ∈ N, to kładziemy
ϕ(m00) = ϕ(g(m)) := n.
Zauważmy, że ϕ(m00) nie zależy od przedstawienia elementu m00 w postaci m00 = g(m). Jeśli bowiem g(m) = g(m0) dla m, m0 ∈ M, to m0 = k0 + n0, gdzie k0 ∈ ker g, n0 ∈ N i wobec tego
g(n) = g(k + n) = g(m) = g(m0) = g(k0+ n0) = g(n0), skąd n − n0 ∈ ker g ∩ N = 0. A więc n = n0.
Sprawdzamy teraz bezpośrednim rachunkiem, że ϕ jest homomorfizmem modułów.
Ponadto, g ◦ ϕ = 1M00, gdyż dla każdego m ∈ M mamy g ◦ ϕ(g(m)) = g(n) = g(m).
(b) ⇒ (a) Dla dowolnego elementu m ∈ M rozpatrzmy element y := m − ϕ(g(m)) ∈ M. Mamy
g(y) = g(m) − g(ϕ(g(m))) = g(m) − (g ◦ ϕ)(g(m)) = g(m) − g(m) = 0, a więc y ∈ ker g. Zatem m = y + ϕ(g(m)) ∈ ker g + im ϕ. Wynika stąd, że M = ker g + im ϕ i wobec tego wystarczy pokazać, że ker g ∩ im ϕ = 0. Przypuśćmy, że m ∈ ker g ∩ im ϕ. Wtedy g(m) = 0 oraz m = ϕ(m00) dla pewnego m00 ∈ M00. Zatem wobec (b) otrzymujemy m00 = (g ◦ ϕ)(m00) = g(m) = 0, skąd także wynika, że m = ϕ(m00) = 0. A więc M = ker g ⊕ im ϕ.
Twierdzenie 3.2.6. Dla ciągu dokładnego 0 → M0 −→ Mf następujące warunki są równoważne.
(a) Podmoduł im f modułu M jest składnikiem prostym modułu M.
(c) Istnieje homomorfizm ψ : M → M0 taki, że ψ ◦ f = 1M0.
Dowód. (a) ⇒ (c). Jeśli mamy M = f (M0) ⊕ L dla pewnego podmodułu L modułu M, to definiujemy
ψ : M → M0, ψ(f (m0) + l) = m0
dla m0 ∈ M0, l ∈ L. Wtedy ψ jest homomorfizmem R−modułów oraz (ψ ◦ f )(m0) = ψ(f (m0)) = m0 = 1M0(m0)
dla każdego m0 ∈ M0. Dowodzi to, że (a) ⇒ (c).
(c) ⇒ (a) Jeśli spełniony jest warunek (c), to dla każdego m ∈ M weźmy y :=
m − f (ψ(m)) ∈ M. Wtedy
ψ(y) = ψ(m) − ψf ψ(m) = ψ(m) − ψ(m) = 0, zatem y ∈ ker ψ. Stąd m = f (ψ(m)) + y ∈ im f + ker ψ.
Przypuśćmy, że x ∈ im f ∩ ker ψ. Wtedy x = f (m0) dla pewnego m0 ∈ M0 oraz ψ(x) = 0, to znaczy ψf (m0) = 0. Wobec (c) wynika stąd, że m0 = 0 zatem także x = f (m0) = 0. Pokazaliśmy więc, że M = im f ⊕ ker ψ.
Podsumowując twierdzenia 3.2.5 i 3.2.6 otrzymujemy następujący rezultat.
Twierdzenie 3.2.7. Dla ciągu dokładnego
0 → M0 −→ Mf −→ Mg 00 → 0 następujące warunki są równoważne.
(a) Podmoduł im f = ker g modułu M jest składnikiem prostym modułu M.
(b) Istnieje homomorfizm ϕ : M00 → M taki, że g ◦ ϕ = 1M00. (c) Istnieje homomorfizm ψ : M → M0 taki, że ψ ◦ f = 1M0. Definicja 3.2.8. (a) Mówimy, że ciąg dokładny
0 → M0 −→ Mf −→ Mg 00 → 0 (3.7)
rozszczepia się, jeśli spełniony jest warunek (a) twierdzenia 3.2.7.
(b) Mówimy, że ciąg dokładny
M −→ Mg 00 → 0 (3.8)
rozszczepia się, gdy spełniony jest warunek (b) twierdzenia 3.2.7.
Homomorfizm ϕ nazywamy wtedy homomorfizmem rozszczepiającym ciąg dokładny (3.8).
(c) Mówimy, że ciąg dokładny
0 → M0 −→ Mf (3.9)
rozszczepia się, jeśli spełniony jest warunek (c) twierdzenia 3.2.7.
Homomorfizm ψ nazywamy wtedy homomorfizmem rozszczepiającym ciąg dokładny (3.9).
Twierdzenie 3.2.7 mówi więc, że jeśli ciąg (3.7) jest dokładny, to jego rozszcze-pialność jest równoważna rozszczepialności każdego z ciągów (3.8), (3.9).
Homomorfizmy ϕ i ψ nazywają się homomorfizmami rozszczepiającymi ciąg dokład-ny (3.7).
Wniosek 3.2.9. Jeśli ciąg dokładny (3.7) rozszczepia się i ϕ, ψ są homomorfizmami rozszczepiającymi z warunków (b) i (c), to
M = ker g ⊕ im ϕ = im f ⊕ ker ψ oraz M ∼= M0× M00.
Dowód. Pokazaliśmy, że warunek (b) pociąga M = ker g ⊕ im ϕ oraz, że warunek (c) pociąga M = im f ⊕ ker ψ. Z dokładności ciągu (3.7) wynika równość ker g = im f . Ponieważ f jest monomorfizmem, mamy im f ∼= M0. Z warunku (b) wynika, że ϕ jest także monomorfizmem, zatem im ϕ ∼= M00. A więc
M = ker g ⊕ im ϕ = im f ⊕ im ϕ ∼= M0× M00. Wniosek 3.2.10. Niech N będzie podmodułem modułu M i niech
f : N → M, g : M → M/N
będą odpowiednio identycznościowym włożeniem N w M i homomorfizmem kano-nicznym.
Podmoduł N modułu M jest składnikiem prostym modułu M wtedy i tylko wtedy gdy jeden z ciągów dokładnych
0 → N −→ M,f M −→ M/N → 0g rozszczepia się.
Rozszerzymy teraz pojęcie składnika prostego modułu przyjmując, że R−moduł M00jest składnikiem prostym R−modułu M jeśli istnieją podmoduły N1i N2modułu M takie, że M = N1⊕ N2 i N1 ∼= M00. A więc rozumieć będziemy termin składnik prosty z dokładnością do izomorfizmu modułów.
Wniosek 3.2.11. Dla R−modułów M i M00 następujące warunki są równoważne.
(a) Moduł M00 jest składnikiem prostym modułu M .
(b) Istnieje rozszczepialny ciąg dokładny M → M00 → 0.
(c) Istnieje rozszczepialny ciąg dokładny 0 → M00 → M.
Dowód. Wystarczy zauważyć, że trójczłonowy ciąg dokładny można zawsze prze-dłużyć do pięcioczłonowego ciągu dokładnego i skorzystać z wniosku 3.2.9.