Iloczyny obiektów kategorii

= g_i(b) · g_i

1 a



= gi(b) g_i(a). A więc g₁ = g₂.

W związku z tą sytuacją w niektórych kategoriach konkretnych należałoby roz-różniać monomorfizmy i kategoryjne monomorfizmy. Pierwsze są injektywnymi ho-momorfizmami, drugie monomorfizmami w sensie definicji 5.1.1. Podobnie, epimor-fizm jest surjektywnym homomorepimor-fizmem, natomiast kategoryjny epimorepimor-fizm jest morfizmem spełniającym warunek definicji 5.1.1.

5.2 Iloczyny obiektów kategorii

Iloczyn kartezjański dwóch zbiorów A i B definiuje się jako zbiór par uporządkowa-nych (a, b), gdzie a ∈ A oraz b ∈ B. Ta definicja odwołuje się więc bezpośrednio do elementów zbiorów A i B i określa zbiór K = A × B poprzez wskazanie elementów tego zbioru. Na pierwszy rzut oka trudno sobie wyobrazić charakteryzację iloczynu kartezjańskiego zbiorów, która nie odwołuje się w ogóle do elementów zbiorów. Jeśli jednak interesuje nas nie tyle natura elementów zbioru K ale jego własności w ze-stawieniu z innymi zbiorami, to taki opis w języku zbiorów i odwzorowań zbiorów jest możliwy i jest to właśnie opis w języku kategorii zbiorów.

Wraz z iloczynem K = A × B rozpatrzmy rzutowania

ρ₁ : K → A, ρ₁(a, b) = a oraz ρ₂ : K → B, ρ₂(a, b) = b.

Jeśli teraz weźmiemy dowolną trójkę (C, α1, α₂) składającą się ze zbioru C i od-wzorowań α₁ : C → A oraz α₂ : C → B, to trójka (K, ρ₁, ρ₂) ma następującą charakterystyczną własność:

istnieje dokładnie jedno odwzorowanie g : C → K takie, że ρ₁ ◦ g = α₁, ρ₂◦ g = α₂.

Jeśli odwzorowanie g o takiej własności istnieje, to dla każdego c ∈ C mamy ρ_i(g(c)) = α_i(c) i z definicji rzutowań ρ_i wynika, że g(c) = (α₁(c), α₂(c)). A więc jeśli g istnieje, to jest jedyne. Z drugiej strony, odwzorowanie g : C → P określone wzo-rem g(c) = (α1(c), α2(c)) dla każdego c ∈ C spełnia ρi(g(c)) = ρi(α1(c), α2(c)) = α_i(c).

Tę własność iloczynu kartezjańskiego wykorzystamy dla wprowadzenia pojęcia pro-duktu dwóch obiektów dowolnej kategorii A.

Definicja 5.2.1. Iloczynem lub produktem obiektów A i B kategorii A nazywamy trójkę (P, π₁, π₂), gdzie P jest obiektem kategorii A natomiast π₁ : P → A oraz π₂ : P → B są morfizmami kategorii A, takimi, że dla każdego obiektu C kategorii A i każdych morfizmów α₁ : C → A, α₂ : C → B istnieje dokładnie jeden morfizm h : C → P taki, że następujący diagram jest przemienny:

C

P

A B

?

 ^

 j

α₁ h α2

π₁ π₂

Przykład 5.2.1. Objaśnijmy najpierw czym jest produkt dwóch obiektów w kate-gorii zbiorów. Dla zbiorów A i B rozpatrujemy iloczyn kartezjański K = A × B oraz rzutowania ρ₁ : K → A, ρ₂ : K → B oraz produkt (P, π₁, π₂) zbiorów A, B trakto-wanych jako obiekty w kategorii zbiorów. Na podstawie definicji produktu istnieje dokładnie jedno odwzorowanie h : K → P takie, że π_i◦ h = ρ_i, i = 1, 2. Wobec tego dla każdej pary (a, b) ∈ K mamy

π₁h(a, b) = ρ₁(a, b) = a, π₂h(a, b) = ρ₂(a, b) = b. (5.1) Z drugiej strony na podstawie własności iloczynu kartezjańskiego istnieje odwzo-rowanie g : P → K takie, że ρ_i ◦ g = π_i, i = 1, 2. Zatem dla dowolnego x ∈ P mamy

ρ₁g(x) = π₁(x), ρ₂g(x) = π₂(x) i wobec tego mamy

g(x) = (π₁(x), π₂(x)).

Stąd też wynika, że dla każdego elementu (a, b) ∈ K mamy

g ◦ h (a, b) = g(h(a, b)) = (π₁(h(a, b)), π2(h(a, b))) = (a, b),

gdzie ostatnia równość jest konsekwencją (5.1). Zatem złożenie odwzorowań g ◦ h jest identycznością na zbiorze K, skąd wynika, że h : K → P jest odwzorowaniem

injektywnym. Pokażemy teraz, że także złożenie h ◦ g jest identycznością na zbiorze P , a więc dla każdego x ∈ P ,

h(π₁(x), π₂(x)) = h ◦ g (x) = x.

Przypuśćmy, że h(g(x)) = y dla pewnego y ∈ P . Wtedy g(x) = (g ◦ h)(g(x)) = g(h(g(x))) = g(y), a więc także

(π₁(x), π₂(x)) = (π₁(y), π₂(y)).

Jeśli teraz x = h(a, b), y = h(c, d), gdzie a, c ∈ A, b, d ∈ B, to na podstawie (5.1) mamy

a = ρ₁(a, b) = π₁h(a, b) = π₁(x) = π₁(y) = π₁h(c, d) = ρ₁(c, d) = c i podobnie b = d. Zatem (a, b) = (c, d) skąd

x = h(a, b) = h(c, d) = y.

Pokazaliśmy więc, że h(g(x)) = x dla każdego x ∈ P , skąd wynika, że h jest odwzo-rowaniem surjektywnym. Podsumowując możemy stwierdzić, że jeśli (P, π1, π₂) jest produktem zbiorów A, B w sensie definicji 5.2.1, to istnieje bijekcja h : A × B → P taka, że jeśli h(a, b) = x, to π₁(x) = a = ρ₁(a, b) oraz π₂(x) = b = ρ₂(a, b). Bijekcja h ustala więc odpowiedniość pomiędzy elementami zbiorów A × B oraz P , w której rzutowania ρ_i działają na elemencie (a, b) ∈ A × B tak samo jak odwzorowania π_i na obrazie elementu (a, b) poprzez h. Można więc powiedzieć, że trójki (A × B, ρ₁, ρ₂) i (P, π1, π₂) różnią się właściwie tylko oznaczeniami.

Definicję 5.2.1 produktu dwóch obiektów kategorii można oczywiście rozszerzyć na dowolne rodziny obiektów kategorii.

Definicja 5.2.2. Iloczynem lub produktem rodziny obiektów {Ai : i ∈ I} kategorii A nazywamy układ (P, {π_i : i ∈ I}), gdzie P jest obiektem kategorii A natomiast π_i : P → A_i, i ∈ I, są morfizmami kategorii A, takimi, że dla każdego obiektu C kategorii A i każdej rodziny morfizmów α_i : C → A_i, i ∈ I, istnieje dokładnie jeden morfizm h : C → P , dla którego

π_i◦ h = α_i ∀ i ∈ I.

Definicja produktu pozostawia otwartą kwestię istnienia produktu obiektów da-nej kategorii A. W kategorii zbiorów S produkt kartezjański K rodziny zbiorów {A_i : i ∈ I} wraz z rzutowaniami π_i : K → A_i jest jej produktem w sensie po-wyższej definicji. A więc w kategorii zbiorów istnieją produkty dowolnych rodzin zbiorów. Ta sama konstrukcja pozwala także udowodnić istnienie produktów w ka-tegorii grup i w kaka-tegorii modułów. Dla przykładu podamy szczegółowy dowód tego faktu dla kategorii grup. Zamieniając w nim słowo grupa przez zbiór (lub odpo-wiednio przez moduł ) oraz słowo homomorfizm przez odwzorowanie (i zachowując słowo homomorfizm) otrzymamy dowód istnienia produktów w kategorii zbiorów (i kategorii modułów nad ustalonym pierścieniem R).

Twierdzenie 5.2.3. Produkty istnieją w kategorii grup.

Dowód. Niech {G_i : i ∈ I} będzie dowolną rodziną grup i niech P = ^Q{G_i : i ∈ I}

będzie produktem kartezjańskim rodziny grup G_i (zob. §1.3). Dla każdego j ∈ I rozpatrujemy rzutowanie

πj : P → Gj, πj((gi)i∈I) = gj.

Każde rzutowanie π_j jest oczywiście homomorfizmem grup, czyli jest morfizmem w kategorii grup. Twierdzimy, że

(P, {π_i : i ∈ I}) jest produktem rodziny {G_i : i ∈ I} w kategorii grup.

Niech więc C będzie grupą i niech dla każdego i ∈ I odwzorowania α_i : C → G_i będą homomorfizmami grup. Określamy odwzorowanie

h : C → P, h(c) = (α_i(c))_i∈I. Jest to homomorfizm grup i dla każdego i ∈ I diagram

C

G_i ^ P^? α_i h

π_i

jest przemienny, gdyż π_i(h(c)) = π_i((α_j(c))_j∈I) = α_i(c), to znaczy π_i ◦ h = α_i dla każdego i ∈ I. Pozostaje pokazać, że h jest jedynym homomorfizmem spełniającym warunek πi ◦ h = αi dla każdego i ∈ I. Dla każdego homomorfizmu h : C → P spełniającego ten warunek i dla każdego c ∈ C mamy π_i(h(c)) = α_i(c), skąd wynika, że

h(c) = (α_i(c))_i∈I.

A więc h jest jednoznacznie wyznaczony przez rodzinę homomorfizmów α_i.

Definicję produktu obiektów ⁿA_i : i ∈ I^o kategorii A można także przedstawić w bardziej abstrakcyjnej formie używając konstrukcji kategorii, której obiektami są niektóre morfizmy kategorii A. Dla ustalonej rodziny obiektówⁿA_i : i ∈ I^okategorii A rozpatrujemy kategorię P, której obiektami są pary

T =^C,ⁿα_i : i ∈ I^o,

w których C jest dowolnym obiektem kategorii A, zaś α_i : C → A_i są morfizmami kategorii A. Morfizmem h : T → T⁰ pomiędzy obiektami T oraz

T⁰ =^C⁰,ⁿα⁰_i : i ∈ I^o

w kategorii P jest każdy morfizm h : C → C⁰ taki, że każdy diagram

C

C⁰

A_i ^{ ?}

α_i h

α⁰_i

jest przemienny. Produkt rodziny obiektówⁿA_i : i ∈ I^okategorii A jest tak zwanym obiektem końcowym kategorii P. Jest to mianowicie taki obiekt

Π =^P,ⁿπ_i : i ∈ I^o

kategorii P, że z każdego obiektu T tej kategorii istnieje dokładnie jeden morfizm h : T → Π. Łatwo zauważyć, że produkt Π = ^P,ⁿπ_i : i ∈ I^o rodziny obiektów ⁿA_i : i ∈ I^o, jeśli istnieje, jest wyznaczony jednoznacznie z dokładnością do izomorfizmu.

Rzeczywiście, przypuśćmy, że Π oraz Π⁰ =^P⁰,ⁿπ⁰_i : i ∈ I^o są dwoma produktami rodziny obiektów ⁿA_i : i ∈ I^o. Wtedy Π i Π⁰ są obiektami końcowymi kategorii P i wobec tego istnieją morfizmy h : Π⁰ → Π oraz h⁰ : Π → Π⁰. Stąd

h⁰ ◦ h : Π⁰ → Π⁰, h ◦ h⁰ : Π → Π

są morfizmami kategorii P. Z drugiej strony mamy także morfizmy identycznościowe 1_Π⁰ : Π⁰ → Π⁰, 1_Π: Π → Π

i wobec jedyności morfizmów w obiekt końcowy kategorii P mamy h⁰◦ h = 1Π⁰, h ◦ h⁰ = 1Π.

A więc h⁰ i h są izomorfizmami.