Teraz spróbujemy znaleźć funkcje propagacji cząstki relatywistycznej, która opisywana jest przez funkcje falową f+(x).
(póki co pomijamy indeksy )
W teorii nierelatywistycznej otrzymaliśmy funkcje propagacji w postaci sumy :
K(x2, x1 ) = Σ Ψn(x2) Ψ*n(x1) (1.84) n
przy czym skonstruowaliśmy ją w taki sposób, aby :
W teorii relatywistycznej należy uwzględnić następujące okoliczności : 1) w początkowej chwili czasu należy zadać i funkcje i jej pochodną po czasie.
2) funkcja falowa była u nas określona jako dodatnio- częstościowe rozwiązanie równania d’Alamberta, dlatego też należy wymagać, aby przy działaniu funkcji propagacji na stan początkowy nie pojawiały się ujemne częstości.
Spróbujmy odgadnąć postać funkcji propagacji. Zapiszmy ją analogicznie do (1.84) : K(x2, x1 ) = Σ fn+
(x2) f*n+(x1) (1.86) n
i zmienimy wzór (1.85) w następujący sposób :
Teraz można sprawdzić, że wyrażenia (1.86) i (1.87) prawidłowo opisują zmianę w czasie funkcji falowej cząstki relatywistycznej.
W pierwszej kolejności rozpatrzymy funkcje falową, która odpowiada jednemu stanowi stacjonarnemu tj. przyjmiemy : f+ (x1) = fn+(x1)
wtedy :
Uwzględniliśmy przy tym ortogonalność funkcji falowych w postaci (1.72).
W przypadku nierelatywistycznym w zależności analogicznej do (1.88) figurowałby odpowiednio, warunek ortogonalności w postaci (1.71).
W ten sposób znaleźliśmy prawidłowe prawo propagacji cząstki relatywistycznej w stanie stacjonarnym fn, a ponieważ dowolny stan można rozłożyć po fn, to takie prawo jest słuszne dla dowolnego stanu. Zauważmy, że postać (1.87) wynika z tego faktu, że równanie d’Alemberta jest równaniem drugiego rzędu po czasie, a (1.87) daje właśnie jego rozwiązanie przy zadanych warunkach początkowych tj. przy zadanej wartości funkcji i jej pochodnej w początkowej chwili czasu.
Obliczymy teraz funkcje propagacji swobodnej bezmasowej cząstki. Wiemy już, ze jej unormowana funkcja falowa ma postać :
fn = exp(–ikx )/sqrt(2k0 ) Zatem otrzymujemy :
Nasz propagator jest relatywistycznie inwariantny. Aby przekonać się o tym jawnie, wykorzystując zależność :
gdzie xi – są pierwiastkami równania f(xi) = 0 zapiszemy ja w postaci :
Funkcja θ(k0) została wprowadzona, aby otrzymać tylko dodatnie częstości.
Wyrażenie (1.90) ma jawnie relatywistycznie inwariantną postać.
( Znak energii jest również relatywistycznie inwariantny dla cząstek z kµ2 ≥ 0 ! ) łatwo zauważyć, że K(x2, x1) spełnia równanie :
2 K(x2, x1) = 0 (1.91)
2 – jest operatorem d’Alemberta.
Podstawiając (1.90) do (1.91), otrzymujemy : k2 δ(k2 ) = 0
Teraz należy wprowadzić oddziaływanie V(x) do naszej jawnie relatywistycznej teorii.
Wprowadzimy je tak, aby wykresowi :
odpowiadała (tak jak i wcześniej ) poprawka do swobodnej funkcji propagacji :
W przypadku nierelatywistycznym w analogicznym wyrażeniu wymagaliśmy, aby t1 < t < t2. Odpowiada to temu, ze cząstka na początku została wykreowana, a potem oddziaływała, uwzględniliśmy ten warunek, wprowadzając funkcje Greena :
Czy w teorii relatywistycznej można postawić taki warunek ?
Niestety - mówiąc ogólnie - uporządkowanie w czasie t1 < t nie jest relatywistycznie inwariantne. Staje się ono relatywistycznie inwariantne tylko, jeśli interwał (x – x1)2 > 0 tj. jest czasopodobny. Jednakże funkcja K(x2, x1) jest różna od zera również dla interwałów przestrzennopodobnych i dlatego warunek t1 < t < t2 prowadziłby do tego, że wyrażenie (1.92) dla amplitudy przejścia stałby się relatywistycznie nieinwariantny.
Nasze wnioski możemy sprawdzić bezpośrednio, w tym celu wprowadzimy wyrażenie : G~ = θ(t2 – t1)K(x2 – x1)
i zobaczymy, jakie równanie ona spełnia. Działając operatorem d’Alemberta na G~ otrzymamy :
W wyrażeniu tym w prawej części pierwszy człon jest równy zero na mocy (1.91), pozostałe człony są jawnie relatywistycznie nie inwariantne tj. rzeczywiście warunek t1 < t < t2 nie ma sensu. Zatem, nie udało się nam pogodzić dwóch wymagań :
1) aby propagator zawierał tylko dodatnie częstości (budowaliśmy go właśnie tak, ponieważ tylko dla dodatnich częstości można wprowadzić interpretacje probabilistyczną )
2) aby oddziaływanie miało miejsce w chwili t leżącej pomiędzy t1 i t2 tj. aby spełniona była zasada przyczynowości.
Odejście od wymogu 1 jest równoważne odejściu od probabilistycznej interpretacji MQ, pozostaje zatem przemyśleć pojęcie przyczynowości w formie p.p 2. Czy oddziaływanie może zajść wcześniej od chwili t1 w której to cząstka została wykreowana ?
Mówiąc inaczej, czy możliwy jest grafik o postaci :
(grafik 1 )
(dalej na wykresach przyjmujemy, że oś czasu skierowana jest od lewej ku prawej )
W rzeczywistości grafik ten można rozumieć również inaczej, mianowicie przyjmiemy, że w chwili t wykreowane zostają dwie cząstki, a w chwili t1 jedna z nich znika. Przy takiej interpretacji przyczynowość zostaje zachowana i podobne grafiki mają sens. Rozpatrzymy jeszcze jeden przykład :
(grafik 2 )
Jeśli t’ < t, to grafik ten można interpretować inaczej – w chwili t’ kreowane są 2 cząstki, a w chwili t cząstki propagujące się z r1 i r anihilowały i w chwili t2 pozostaje tylko jedna cząstka.
Taka interpretacje jest możliwa, jeśli założymy, że propagator w obecności oddziaływania, opisuje również procesy, w których na pewnym interwale czasu może istnieć kilka cząstek. Zatem w teorii relatywistycznej, aby wprowadzić oddziaływanie, zmuszeni jesteśmy odejść od zasady zachowania liczby cząstek.
Odpowiada to właśnie temu, że nie udało się nam wprowadzić lokalnej gęstości prawdopodobieństwa. Niezachowanie liczby cząstek tj. możliwość ich kreacji i anihilacji, nie jest z niczym sprzeczny, ponieważ na mocy zasady
nieokreśloności ∆E∆t ~ 1, w krótkich odcinkach czasu może być kreowana dowolna liczba cząstek.
Jest jasne, że opisana interpretacja propagacji cząstki od t1 do t przy t < t1 miała sens, to K(t, t1 ) przy t < t1 powinna być równa K(t, t1 ) przy t > t1 przy tej wartości | t – t1 |, jeśli zakładać, że w chwili t < t1 kreowane są te same ilości cząstek.
Aby taki fakt miał miejsce, propagator powinien posiadać nieciągłość przy t = t1. W wyniku tego tak zdefiniowana funkcja propagacji nie może spełniać jednorodnego równania d’Alemberta. Okazuje się ona być funkcją Greena tego równania.
Teraz rozpatrzymy związek pomiędzy funkcją propagacji (1.90) i funkcjami Greena równania d’Alemberta :
G(x) = –iδ(x) (1.93)
W tym celu rozłożymy G(x) w całkę Fouriera :
Analogiczny rozkład dla δ(x) ma postać :
Podstawiając (1.95), (1.94) do (1.93), otrzymamy :
skąd :
G(k) = – 1/k2 (1.96) Wtedy :
Ponieważ k2 = k02 – k2, to wyrażenie podcałkowe (1.97) posiada dwa bieguny względem k0 : k0 = ± | k |
Aby całka (1.97) miała sens, bieguny te należy nieco przesunąć na płaszczyznę zespoloną.
Rozpatrzmy płaszczyznę zespoloną k0.
Mamy 4 możliwości przesunięcia biegunów z osi rzeczywistej, tak jak pokazano to na rysunku powyżej :
1) niech oba bieguny znajdują się na dole (kółeczko „o” ), wtedy, jeśli t < 0, to kontur całkowania należy zamknąć na górę, a wtedy :
GR = 0 ; t < 0 (1.98)
Przy t > 0 kontur należy zamknąć na dół, a wtedy :
GR zawiera ujemne częstości i dlatego nie satysfakcjonuje na.
2) Teraz rozpatrzmy przypadek umiejscowienia biegunów zaznaczonych krzyżykiem „x” tj. :
przy t > 0, zamykając kontur na dół, otrzymamy :
i odpowiednio, przy t < 0 :
Porównując (1.100) z (1.89) ujawniamy zadziwiający fakt – przy t > 0 nasza funkcja Greena pokrywa się z propagatorem i jest zbudowana w taki sposób, iż zawiera ujemne częstotliwości tylko przy t < 0 (i tylko ujemne ).
Oprócz tego, ponieważ faza wyrażenia podcałkowego (1.101) zawiera | k | > 0, a t < 0, to :
G(x) = G(–x) (1.102)
Taką funkcje G nazywa się przyczynową lub feynmanowską funkcją Greena. Jak przekonamy się dalej, właśnie taka funkcja opisuje propagacje cząstek relatywistycznych w taki sposób, aby zapewnione było spełnienie zasady
przyczynowości. Położenie biegunów w przyczynowej funkcji Greena odpowiada zamianie k2 → k2 + iε w mianowniku wyrażenia (1.97).
Rozpatrzmy teraz, co nastąpi jeśli przyjąć do wiadomości spin fotonu tj. co nastąpi, jeśli uwzględnimy fakt, że funkcja falowa fotonu ma postać fµλ(x). Propagator w tym przypadku będzie zależny od spinów stanu początkowego i końcowego tj. K = Kµν przy czym :
Analogicznie funkcja Greena fotonu, którą oznaczymy jako Dµν spełnia równanie :
Mała urojona poprawka iε przesuwa bieguny w odpowiednią stronę, bowiem k2 + iε = 0 → k0 = ± sqrt (k2 – iε ).
Przy t > 0 (1.105) daje :
Funkcja ta nie całkiem pokrywa się z propagatorem (1.103), ponieważ :
Kµν =
∫
d3k /(2π)3 [ exp(–ikx) / 2| k | ] Σ eµλ* eνλ (1.107) λ=1,2W wyrażeniu (1.107) sumowanie przebiega po dwóch fizycznych polaryzacjach fotonu, a w wyrażeniu (1.106) :
tj. wyrażenie (1.106) nie uwzględnia tego faktu, że są tylko dwie niezależne polaryzacje. Z drugiej strony, jest to jedyne rozwiązanie równania (1.104), a w prawej części (1.104) niczego nie możemy zmienić bez utraty relatywistycznej inwariantności.
Zatem mówiąc ogólnie, dochodzimy do sprzeczności z inwariantnością cechowania, która jest wymagana aby foton posiadał tylko dwie fizyczne polaryzacje. Jednakże, jeśli oddziaływanie jest tak skonstruowane, że fotony z takimi
„nadmiarowymi” polaryzacjami (tzw. fotony skalarne eµ(0) i fotony poprzeczne eµ(3) nie są kreowane, to wszystko będzie w porządku. Mówiąc inaczej, inwariantność cechowania w teorii relatywistycznej nakłada określone warunki na postać oddziaływania, co oczywiście nie jest dziwne.
Dobrze bowiem znamy taki fakt już z teorii klasycznej. W istocie – rozpatrzmy równania Maxwella :
∂Fµν / ∂xν = j
Z faktu antysymetryczności Fµν wynika bezpośrednio, że :
- tj. prąd powinien być zachowany. Widzimy, że również w teorii klasycznej opisanie pola EM jest możliwe tylko przy określonym ograniczeniu na oddziaływania , mianowicie – takie oddziaływanie powinno być takie, aby prąd był zachowany :
∂jµ / ∂xµ = 0 (1.108)
Powróćmy do porównania funkcji propagacji i funkcji Greena. Funkcja propagacji została zbudowana dla realnych fotonów, dla których k0 = ± | k |, a w funkcji Greena występuje całkowanie po wszystkich k0, k1, k2 , k3 i k2 ≠ 0 tj.
foton wirtualny nie jest bezmasowy. Warunek Lorentza kµeµ = 0 w tym przypadku określa już nie dwa niezależne wektory, a trzy tj. pozornie sumowanie powinno przebiegać po trzech polaryzacjach.
Sumę po trzech polaryzacjach możemy już zapisać w relatywistycznie inwariantnej postaci, a mianowicie :
(odjęliśmy tutaj z sumy po wszystkich polaryzacjach człon, odpowiadający polaryzacji wzdłuż kµ ) Zatem, jedyna droga na jakiej możemy ulepszyć funkcje Greena (1.105), to analiza wyrażenia :
a na oddziaływanie nałożyć warunek, aby człon ~ kµkν /k2 nie dawał wkładu do wielkości fizycznie obserwowalnych.
Jak przekonamy się dalej, warunek ten jest w pełni analogiczny do warunek zachowania prądu, który mamy w teorii klasycznej. Faktycznie nie jest to nowy warunek, ponieważ w dowolnym przypadku dla przypadku realnych fotonów z k2 = 0 oddziaływanie nie powinno prowadzić do pojawienia się polaryzacji podłużnych.
Oprócz tego, mamy warunek iż oddziaływanie przy k2 ≠ 0 nie rodzi polaryzacji proporcjonalnych do kµ dla realnych fotonów, a przy k2 = 0 pozostawia tylko dwie fizyczne polaryzacje.
W rzeczywistości, łatwo przekonać się, że :
eµ(3)* eν(1) + eµ(0)*eν(0) = gµ0 δν0 (k2 /k2 ) + człony z kµ, kν
Polaryzacje proporcjonalne do kµ , kν nie rodzą się dzięki własnością oddziaływania, a pierwszy człon zeruje się dla bezmasowego fotonu.
Podsumowując, można powiedzieć, że zachowanie prądu prowadzi do tego, że przy k2 ≠ 0 dla wirtualnego fotonu z czterech polaryzacji w funkcji Greena pozostają trzy, a dla realnego fotonu – tylko dwie polaryzacje fizyczne.
I tak, jeśli prąd jest zachowany, to można wykorzystać funkcje Greena (1.106) – sumę po wszystkich czterech polaryzacjach. Łatwo zauważyć również, że słuszna jest zależność analogiczna do (1.102) :
Dµν(x) = Dνµ(–x) (1.111)
Fakt ten mówi o tym, że wraz z procesem :
(kreacja fotonu w x1 i jego anihilacja w x2 ) Dµν opisuje również proces, idący jakby odwrotnie w czasie tj. ;
i proces ten można na mocy (1.111) interpretować jako kreacje cząstki w x2 i propagacje do x1, przy czym cząstka ta jest tożsama z fotonem. Przykładami pojawienia się takiej sytuacji, w szczególności są procesy, opisywane przez
grafiki 1 i 2.
Podsumujmy otrzymane wyniki. Zapisaliśmy funkcje falową fotonu :
oraz funkcje Greena :
Oprócz tego, znamy funkcje falową cząstki nierelatywistycznej : Ψ(x) = exp(–ipx ) , p0 = p2 /2m
i jej funkcje Greena :
Jest to wystarczające aby zbudować elektrodynamikę kwantową cząstek nierelatywistycznych, która będzie równoważna standardowej kwantowej teorii promieniowania. Prościej jest jednak zbudować elektrodynamikę cząstek
relatywistycznych, z której w granicy można otrzymać również wyniki nierelatywistyczne. W tym celu zajmiemy się emisją cząstek relatywistycznych o niezerowej masie.