Elektrodynamika kwantowa

################################################################################

Elektrodynamika kwantowa

Władimir Naumowicz Gribow

Tytuł oryginału : Квантовая электродинамика Владимир Наумович Грибов

R&C Dynamics Moskwa –Iżewsk 2001

************************************************************************************************

Tłumaczenie : R. Waligóra Pierwsze tłumaczenie : 2016

Ostatnia modyfikacja : 2017-12-01 Tłumaczenie całości książki

************************************************************************************************

Wstęp własny

1) Co to jest elektrodynamika kwantowa ?

Najprościej rzecz ujmując elektrodynamika kwantowa, jest to kwantowa teoria pola elektrodynamicznego – w szczególności pola swobodnego (tutaj pojawia się pojęcie fotonu jako kwantu takiego pola ) i kwantowa teoria oddziaływania takiego skwantowanego pola z innymi polami i cząstkami kwantowymi – głównie z cząstkami naładowanymi elektronem i pozytonem, jak również pola ze sobą tj. fotonów z fotonami

(rozpraszanie świtała na świetle ).

Jak zapewne czytelnik się domyśla QED stanowi integralną część współczesnej kwantowej teorii pola (KTP) – QFT ( gdzie oprócz QED omawia się kwantową teorię oddziaływań silnych – chromodynamikę kwantową - QCD, jak również zunifikowaną teorię oddziaływań elektrosłabych ).

Elektrodynamika kwantowa była pierwszą z sukcesem opracowaną teorią w ramach tzw. drugiego kwantowania – kwantowania pól. (oczywiście, jeśli nie liczyć „akademickich” ale równie ważnych, prób kwantowania np. pól skalarnych – kwantowania pola Kleina –Gordona ). I co najważniejsze QED jest teorią renormalizowalną.

W ramach prób kwantowania pola EM można zapoznać się z ogólną „anatomią” funkcjonowania QFT.

( m.in. poznać mechanizm funkcjonowania procedur renormalizacyjnych - regularyzacyjnych, technikę diagramów Feynmana, procedurę całkowania funkcjonalnego, można również dostrzec liczne trudnościami natury formalnej np.

dowiedzieć się czym jest przestrzeń z nieokreśloną formą metryczną, poznać szczególne techniki całkowania funkcjonalnego itp. )

Centralnym problemem elektrodynamiki kwantowej jest obliczanie przekrojów (amplitud ) rozpraszania dla procesów emisji, anihilacji fotonów, przez cząstki naładowane np. elektrony.

Jak w pierwszych słowach przedstawionej książki pisze autor, istnieją co najmniej trzy główne sposoby podejścia do całkowania pola EM :

1) podejście oparte na formalizmie drugiego kwantowania – kanoniczne kwantowanie pola EM 2) metoda całkowania funkcjonalnego

3) podejście, oparte na diagramach Feynmana ( metoda funkcji Greena ) W książce prezentowane jest podejście ostatnie.

Aby ułatwić czytelnikowi orientacje w temacie, w krótkim wstępie omówię podejście pierwsze.

Z podejściem drugim, zainteresowany czytelnik może zapoznać się w książce [4] zalecanej literatury wstępnej.

Krótki rys historyczny.

Pierwsze próby sformułowania elektrodynamiki kwantowej podjęli Heisenberg i Pauli : Heisenberg W., Pauli W. Zs. F. Phys. 56, 1 (1929 )

Wprowadzili oni ogólny schemat kwantowania pól, mając przy tym nadzieję, iż będzie on stosowalny i dla pola Maxwella. Ponieważ w standardowej MQ podstawową rolę odgrywa hamlitonian Heisenberg i Pauli zaproponowali, że równania pola – podobnie do równań ruchu w mechanice klasycznej, można wyprowadzić z zasady najmniejszego działania, które to pozwoli określić pola Pα „kanonicznie sprzężone” z wejściowymi polami Qα i znaleźć „kanoniczne zależności – relacje komutacyjne” oraz hamiltonian układu. Można pokazać, że znalezione relacje komutacyjne są inwariantne względem nieskończenie małych przekształceń Lorentza, jeśli inwariantna będzie wejściowa gęstość lagranżjanu. Taki formalizm kanoniczny, który był mocnym narzędziem przy analizie np. pól skalarnym, okazał się być niewystarczający dla rozwiązania zagadnienia kwantowania równań elektrodynamiki.

Jeśli bowiem wyjdziemy od standardowej gęstości lagranżjanu dla swobodnego pola EM :

£ = – ¼ FµνFµν = ½ ( E2 – B2 )

to okaże się iż pęd kanonicznie sprzężony jest równy zero.

Zatem, kanoniczne relacje komutacyjne nie mogą być wykorzystywane w tym przypadku. Jak się okazało, jest to związane z zerową masą spoczynkową fotonu i inwariantnością całej teorii ze względu na przekształcenia cechowania 4-potencjału .

Pauli i Heisenberg wskazali na dwa formalne sposoby, pozwalające obejść taką trudność : Heisenberg W., Pauli W. Zs. F. Phys. 59, 168 (1930 )

Pierwszy z nich polega na dodaniu do gęstości lagranżjanu członu o postaci ½ ε ( ∂Fµ/∂xµ)2 z tym warunkiem, że ostatecznych wyrażeniach dążymy ze stałą ε do zera tj. ε → 0.

Drugi sposób polegał na wyzerowaniu A4 tj. wyzerowaniu składowej czasowej 4-potencjału (przekształcenie Lorentza dopełnili oni przekształceniem cechowania ), przy tym wymagano, aby (niezależna od czasu ) przestrzenna funkcja C = div E + ρ była równa tożsamościowo zero.

Oba te sposoby prowadziły do celu, jednakże wydawały się być nieco sztuczne.

Inne podejście zastosował Fermi :

Fermi E. R. Accad. Lincei. 9, 881; 12. 431 (1929- 1930 )

Wybrał on lagranżjan w taki sposób, aby wynikowe równania pola miały postać :

∂2/∂xµ2 Aµ = –sµ

sµ - prąd i gęstość ładunku.

Równania Maxwella wynikają z takich równań, jeśli dopełnić je warunkiem Lorentza tj. równością zero 4-dywergencji : Ω≡ ∂Aµ /∂xµ

Jednakże jak wiemy i takie podejście prowadzi do zerowania się pędu kanonicznego sprzężonego do A0.

[1r, od str. 63 ]

Możliwe jest również przeprowadzenie kwantowania kanonicznego z użyciem niezależnych od cechowania pól E i B bez odwoływania się do potencjałów. Rolę współrzędnej kanonicznej spełnia wtedy pole B, a rolę prędkości E.

Pęd kanoniczny odpowiada polu indukcji elektrycznej D, która z definicji równa się pochodnej lagranżjanu : Di = ∂£/∂Eµ

Kanoniczne reguły komutacji mają postać : [ Di(t, x ), Bj (t, x‘ ) ] = –i εijk ∂k δ3( x – x’ )

Interpretacja cząstkową pola jest możliwa tylko w przypadku elektrodynamiki Maxwella, w której D = E i pola swobodne spełniają równanie d’Alemberta :

E = 0 ; B = 0

co zapewnia jednoznaczność rozkładu pól na składowe fourierowskie o dodatniej i ujemnej częstości, a więc w przypadku kwantowym na operatory anihilacji i kreacji.

[4, str. 64]

Oczywiście zagadnienie kwantowania czystego pola EM było jedynie zagadnieniem wejściowym. Całkowity lagranżjan QED ma postać :

gdzie ψ(x) – spinor Diraca , γµ - macierze Diraca [ J. Schwinger Phys. Rev. 74. 10. 1439 (1948)]

Jak widać jest to wystarczająco skomplikowana teoria, w celu rozwiązania równań ruchu wynikających z powyższego (lub analogicznych ) lagranżjanu wprowadzono szereg bardzo pomysłowych metod rachunkowych. Pośród licznych uczonych mających duży wpływ na rozwój QED należy wymienić :

S. Tomanogę; F. J. Dysona; R. P. Feynmana; J. Schwingera ; M. Fierz’a ; G. C. Wick’a ; E. E. Salpeter’a; H. B.

Bethe’go.

( zobacz np. zbiór artykułów w języku rosyjskim :

„Nowejszee razwitie kwantowoj elektrodynamiki” zbornik statej perewod A. M. Borodskogo red. D. D. Iwanenko Moskwa 1954 )

2) Kwantowanie kanoniczne.

( zobacz teksty pt. Podstawowe równania kwantowej teorii pola

Wprowadzenie do klasycznej i kwantowej relatywistycznej teorii pola )

W pierwszej kolejności należy podkreślić specyfikę procesu kwantowania pola EM – jako pola wektorowego bezmasowego, opisywanego czteropotencjałem A(r, t) ( lub Aµ(x) ). Składa się ono z czterech składowych, ale znaczenie fizyczne mają tylko dwie z nich odpowiadające składowym wektora polaryzacji fotonu. Poprzez nałożenie odpowiedniego warunku cechowania dwie z nich mogą być wyeliminowane. Jednakże teoria w zapisie jawnie relatywistycznym wymaga operowania wszystkimi czterema składowymi ( patrz zapis równań Maxwella w zapisie relatywistycznym ). Oczywiście nie jest możliwe zachowanie tych dwóch warunków. Z tego powodu mamy do wyboru dwa wyjścia ( dwa rodzaje kwantowania ) – wybór cechowania Coulomba ( zapis niekowariantny ), lub wybór

cechowania Lorentza ( kwantowanie jawnie relatywistycznie niezmiennicze ).

Na pierwszy wzgląd wydaje się oczywistym wybór tego drugiego rozwiązania, jednakże konsekwentnie prowadzona procedura kwantowania pokazuje, że przy takim wyborze pojawiają się problemy z ujemną (nieokreśloną ) normą i ujemną energią. ( jest to konsekwencją istnienia dwóch niefizycznych stopni swobody – fotonów podłużnych i skalarnych ). Aby wyeliminować te problemy nakłada się odpowiedni warunek, który kasuje wzajemnie fotony z polaryzacją podłużną i skalarną. Sposób kwantowania z nieokreśloną metryką iloczynu skalarnego stanów w przestrzeni Hilberta wraz z odpowiednim warunkiem umożliwiającym wyeliminowanie niefizycznych stopni swobody nazywa się metodą Gupty-Bleulera.

Jak wiemy dalszym krokiem (po wprowadzeniu podstawowych zasad MQ – tzw. stara teoria kwantów Planck, Bohr, Sommerfeld ) było wprowadzenie bardziej ogólnego schematu przejścia od wielkości klasycznych do kwantowych.

Procedurę tą nazwano kwantowaniem kanonicznym, a jej głównym autorem był Dirac.

Metoda kanoniczna jest metodą najprostszą i stanowi „naturalne” przejście od MK do MQ, a dalej od MQ do KTP.

Przepis dla kwantowania kanonicznego jest następujący :

klasyczne zmienne dynamiczne ( które są zwykłymi liczbami ) zamieniamy na operatory działające w przestrzeni Hilberta.

Podstawowe własności tych operatorów zadane są poprzez związki komutacyjne lub antykomutacyjne, postulowane w procesie kwantyzacji. Przyjmujemy, że postać tych związków otrzymamy, zamieniając nawiasy Poissona na

komutatory :

{ A, B } → (1/iħ ) [ A^, B^ ] , gdzie { , } – nawias Poissona ; [ , ] – komutator W szczególności biorąc nawiasy Poissona współrzędnych i pędów :

{ qi , qj } = 0 , { pi , pj } = 0 , { qi , pj } = δij

w podanym schemacie otrzymujemy fundamentalny komutator MQ :

[ q^i , p^j ] = iħδij

Dynamika pola A zadana jest przez równanie operatorowe (równanie Heisenberga ) : i (dA/dt ) = [ A, H ]

Wielokrotnie procedurę kwantyzacji pól klasycznych nazywa się procedurą drugiej kwantyzacji.

(„pierwszą” kwantyzacją miała by być kwantyzacja układów o skończonej liczbie stopni swobody )

Z wielu powodów termin ten jest nieuzasadniony i mylący, dlatego też obecnie odchodzi się od jego wprowadzania.

Z „polowego” punktu widzenia mówimy, że zadane jest pewne pole kwantowe, jeśli każdemu punktowi przestrzeni przyporządkowano operator lub zbiór operatorów, działających w określonej przestrzeni stanów kwantowych.

KTP podobnie jak i KLTP dzielimy na relatywistyczną i nierelatywistyczną.

Jak wiemy w KLTP rozpatrujemy pola φi(t, x ) i pędy kanonicznie sprzężone do nich πi(t, x ) ( i = 1, 2, ... , k ) Zgodnie z przepisem kanonicznego kwantowania wielkości te zamieniamy na operatory.

Nawiasy Poissona ( równoczasowe ) dla pola i pędu kanonicznego mają postać : {φi (t, x ), πi (t, x‘ ) } = δ3( x – x’ ) ; δ3(x – x’ ) – trójwymiarowa funkcja Diraca

{φi (t, x ), qi (t, x‘ ) } = {πi (t, x ), πi (t, x‘ ) } = 0 Zgodnie z regułą komutacyjną, komutatory (równoczasowe ) mają postać :

[ φ^i (t, x ), π^i (t, x‘ ) ] = iδ3( x – x’ )

[ φ^i (t, x ), q^i (t, x‘ ) ] = [ π^i (t, x ), π^i (t, x‘ ) ] = 0 Tak kwantuje się pola bozonowe np. pole EM, skalarne pole naładowane. Pola fermionowe opisywane są przez równanie Diraca. W tym przypadku kwantowanie przeprowadza się analogicznie, jednakże teraz operatory pola Diraca spełniają warunki antykomutacyjne.

Przypominam, że antykomutator jest wyrażeniem o postaci : { A^ , B^ } = AB + BA

( komutator ma postać [ A^, B^ ] = A^B^ – B^A^

( Formalnie powinno być A^B^ – B^A^ = ihI^ - zobacz tekst pt. Formalizm matematyczny w mechanice kwantowej ) Przy kwantowaniu takiego pola występują dwa niezależne operatory pola ψ, ψ†, rozwiniecie tych operatorów

wprowadza cztery współczynniki operatorowe postaci : ak(k ) , b†

k(k ) dla operatora ψ i

a†k(k ) , bk(k ) dla operatora ψ†.

Operatory a† i a są operatorami odpowiednio kreacji i anihilacji cząstki (fermionu ), a operatory b†, b są odpowiednio operatorami kreacji i anihilacji antycząstki ( antyfermionu ).

Stąd wynika, że operator pola ψ może anihilować cząstkę lub kreować antycząstkę, operator ψ† odwrotnie – może kreować cząstkę lub anihilować antycząstkę.

Kwantowanie kanoniczne – układy z więzami.

Trudniejszy zagadnieniem jest kwantowanie układów z więzami, w których to w szczególności nie można przejść bezpośrednio od formalizmu Lagrange’a do formalizmu Hamiltonowskiego.

Ogólnie sytuacja przedstawia się następująco :

W pierwszej kolejności powinniśmy dysponować hamiltonowskim sformułowaniem teorii, którą chcemy poddać procedurze kwantyzacji. Rozpatrujemy zatem, opis tego układu z użyciem zmiennych ( qn , pn ) określonych w przestrzeni fazowej. Głównymi równaniami dynamiki tych zmiennych są równania Hamiltona lub równania z użyciem NP :

q•

n = [ qn , H ] , p•

n = [ pn , H ]

gdzie H = H(q, p ) – hamiltonian danego układu.

Zakładamy, że wszystkie wielkości fizyczne A mogą być wyrażone w postaci funkcji zmiennych fazowych A = A(q, p)

Wiemy dalej, że stanowi układu kwantowemu przyporządkowujemy pewien wektor Ψ określony na przestrzeni Hilberta ℑ.

Wielości klasycznej A przyporządkowujemy pewien operator A^ ( również działający w przestrzeni ℑ ).

Postulujemy przy tym odpowiednie zależności komutacyjne.

Podstawowym równaniem ewolucji wektora Ψ jest równanie : i (∂Ψ/∂t ) = H^Ψ

Są to podstawowe kroki realizowane przy procedurze kwantowania kanonicznego, pojawiają się tutaj już pierwsze trudności, po pierwsze sformułowanie hamiltonowskie teorii nie jest zawsze możliwe ( czasami jest możliwe przy wprowadzeniu pewnych dodatkowych warunków ), po drugie występują ( i stanowią one dużą klasę ) układy, które nazywa się układami osobliwymi tj. układy dla których hesjan ( wyznacznik poniżej określonej macierzy ) : Mab = ∂2L / ∂g^•α g^•β

jest równy zero. Dla układów osobliwych nie można przejść od formalizmu Lagrange’a do formalizmu Hamiltona.

Następnym problemem jest występowanie więzów tj. pewnych zależności wiążących zmienne dynamiczne.

Wszystkie te problemy sprawiają, iż należy wypracować pewne procedury kwantyzacji układów w których pojawiają się powyżej zasygnalizowane problemy.

3) Kwantowanie kanoniczne pola EM – podejście pierwsze.

Jak już wiemy przy próbie kanonicznego kwantowania pola EM (swobodnego lub też pola z ładunkami i prądami ) pierwszej kolejności dokonujemy przejścia od „lagranżjanu do hamiltonianiu” tj. z równania pola próbujemy wydzielić istotne zmienne dynamiczne.

Dla takiego celu najdogodniejszym jest oczywiście zapis jawnie relatywistycznie niezmienniczy (zobacz tekst pt. Podstawy elektrodynamiki klasycznej )

Tensor pola EE ma postać

Fµν = –Fνµ = ( 0 -Ex/c -Ey/c -Ez/c ) ( Ex/c 0 -Bz By )

( Ey/c Bz 0 -Bx ) ( Ez/c -By Bx 0 ) Czterowektor potencjału (czteropotencjał ) ma postać :

Aµ = ( V/c, Ax, Ay , Az ) ≡ ( A0, A1, A2 , A3 ) ≡ ( A, A ) Operator Hamiltona w przestrzeni Minkowskiego zapisujemy w postaci : ∂µ = ( (1/c) ∂/∂t , ∇ ) (4-gradient )

Z użyciem czteropotencjału :

Fµν = ∂µAν – ∂νAµ Równania Maxwella możemy teraz zapisać w postaci :

∂µFµν = µ0 jν lub ∂αFαβ = 0 ; jν - wektor czteroprądu

∂α Fβγ + ∂γFαβ + ∂β Fγα = 0

Jak wiemy transformacja cechowania w zapisie czterowymiarowym ma postać : Aµ → Aµ + ∂µλ ; λ - dowolna funkcja w przestrzeni Minkowskiego

Wiemy również, że lagranżjan (gęstość lagranżjanu ) dla swobodnego pola Maxwella ma postać :

£ = – ¼ FµνFµν = ½ ( E2 – B2 )

Z £ budujemy pędy kanonicznie sprzężone według standardowej zależności : πµ = ∂£/ ∂x._{µ ; x}.µ - współrzędne uogólnione

Gęstość funkcji Hamiltona określona jest następująco :

Ħ = Σ ^π_{µ x}._{µ −} ₤ µ

W elektrodynamice najczęściej zmiennymi dynamicznymi będą składowe czteropotencjału Aµ.

Pędy sprzężone mają postać

π0 = ∂£/∂A0 = 0 ; πk = ∂£/∂Ak = – Ak – ∂A0/∂xk = Ek

Prowadząc kwantowanie pola Maxwella traktujemy Aµ(x) jako operatory i narzucamy związki komutacyjne pomiędzy Aµ i pędami kanonicznymi πk. Rozpoczynamy od zanikających komutatorów równoczasowych :

[ Aµ(t, x ), Aν(t, x‘ )] = [ πk(t, x ), πj(t, x‘ )] = [ πk(t, x ), A0(t, x‘ )] = 0

Przepis ten wyróżnia potencjał skalarny A0 kosztem jawnej współzmienniczości lorentzowskiej. Ponieważ pęd π0(x) sprzężony do A0(x) znika, a sam A0(x) komutuje ze wszystkimi operatorami, to można przyjąć, że jest to zwykła liczba, a nie operator (w przeciwieństwie do składowych przestrzennych Ak (x)). Właśnie tutaj tracimy jawną

współzmienniczość. Chociaż po drodze napotykamy wiele wyrażeń nie będących lorentzowsko współzmienniczymi, możemy stwierdzić, że wyniki fizyczne, a mianowicie amplitudy przejścia (elementy macierzy S są lorentzowsko współzmiennicze i niezależne od cechowania.

Dalej zapisujemy niezerowe zależności komutacyjne dla potencjałów Aj(t, x ) i pędów sprzężonych πk(t, x ) : [πk(t, x ), Aj(t, x ) ] = – [ Ej(t, x ), Aj(t, x ) ] = – iδij δ3(x – x’ )

Jednakże takie zależności są sprzeczne z równaniami Maxwella (prawem Gaussa ).

Musimy zatem zmodyfikować warunek komutacyjny : [ πk(t, x ), Aj(t, x ) ] = i δijtr(x – x’ )

δijtr(x – x’ ) ≡ ∫ d3k/(2π )3 exp[ ik( x – x’ )]( δij – kjkj /k2 ) Na podstawie [6 od str. 315 ; 4 od str. 59]

Aby wyeliminować powyższe problemy wprowadza się zmodyfikowany lagranżjan :

£ = – ¼ FµνFµν – ½ λ (∂Aµ /∂xµ )2 gdzie λ ≠ 0 – dowolna stała.

Równania Maxwella zamieniają się przy tym na równania o postaci : Aµ – ( 1 – λ ) ∂µ (∂Aµ /∂xµ ) = 0

4) Kwantowanie swobodnego pola EM – podejście drugie

Jako prostszą przedstawię teraz metodę kwantowania swobodnego pola EM przy nałożeniu warunku cechowania Coulomba. Na początku jednakże warto przypomnieć schemat realizacji operatorów pola dla najprostszego przypadku jednowymiarowego równania Kleina-Gordona.

W tym przypadku równanie to oczywiście przedstawia się następująco :

∂ttφ – ∂xxφ = m2φ

Rozwiązanie szczególne tego równania możemy zapisać w postaci fal płaskich : φ(x, t) = eikx – iωt

φ*(x, t) = e-ikx + iωt

Rozwiązanie ogólne można rozwinąć w bazie rozwiązań szczególnych w formie : φ(x, t) = Σ czynnik normujący ( ak eikx – iωt + a† -ikx + iωt )

Kwantując pole w sposób kanoniczny nakładamy określone warunki komutacyjne.

Taki ogólny schemat ten zastosujemy w celu skwantowania swobodnego pola EM.

Niech A(r, t) - będzie potencjałem wektorowym swobodnego pola EM, spełniającym warunek cechowania Coulomba :

div A = 0 (D4.2.1)

i niech, potencjał skalarny φ = 0.

( zostają zatem dwie niezależne składowe pola EM ) Pola E i H wyrażają się zatem poprzez zależności :

E = – A^• , H = rot A (D4.2.2) (kropka oznacza pochodną po czasie )

Równania Maxwella sprowadzają się do równania falowego (równania d’Alemberta ) :

A = 0 (D4.2.3)

Rozważmy teraz pole w skończonej objętości V, wtedy potencjał wektorowy możemy przedstawić w postaci szeregu Fouriera, fal płaskich :

A = Σ ( ak eikr + a*k e-ikr ) (D4.2.4)

k

gdzie współczynniki rozkładu ak zależą od czasu zgodnie z prawem :

ak ~ eikr , ω = | k | (D4.2.5)

Na mocy warunku (D4.2.1) wektory zespolone ak są ortogonalne do odpowiednich wektorów falowych, tj. :

ak ^• k = 0 (D4.2.6)

Do sumy (D4.2.4) wchodzi nieskończony dyskretny zbiór wartości wektora falowego ( jego trzech składowych kx , ky , kz ). Przejście do całkowania względem ciągłego rozkładu wartości można zrealizować przy pomocy wyrażenia : d3k /(2π)3 – jako liczbę możliwych wartości wektora k przypadającą na element objętości przestrzeni k : d3k = dkxdky dkz .

W wyniku tego pole będzie całkowicie określone poprzez wielkości ak , które rozpatrujemy jako zbiór klasycznych zmiennych polowych. Aby przejść do teorii kwantowej należy dokonać przekształceń tych zmiennych, w którego wyniku równania pola uzyskują postać analogiczną do równań kanonicznych ( równania Hamiltona ).

Kanoniczne zmienne polowe określamy poprzez następujące zależności :

Qk= [1/sqrt(4π)] (ak + a*k ) (D4.2.7)

Pk= – [ωk /sqrt(4π)] (ak − a*k ) = Qk^• (D4.2.8)

( łatwo zauważyć, że zmienne te są rzeczywiste i odpowiadają kolejno uogólnionym współrzędnym i pędom ) Rozkład (D4.2.4) możemy teraz przepisać następująco :

A = sqrt(4π) Σ [ Qk cos(kr ) – (1/ωk ) Pk sin(kr )] (D4.2.9)

W celu znalezienia hamiltonianu H należy obliczyć całkowitą energię pola :

E = (1/8π) ∫ d3r ( E2 + H2 ) (D4.2.10)

i wyrazić ja za pomocą zmienne Qk , Pk. W tym celu zapisujemy rozkład (D4.2.9) , korzystamy z zależności (D4.2.2), podstawiamy odpowiednie wyrażenia do (D4.2.10), a następnie całkujemy , operacje takie pozwalają otrzymać :

H = ½ Σ ( Pk2 + ωk2 Qk2 ) (D4.2.11)

k

Zgodnie z warunkiem poprzeczności wielkości Pk i Qk są ortogonalne do wektora falowego k , tak że faktycznie mają one tylko dwie niezależne zmienne. Kierunki tych wektorów określone są poprzez kierunki polaryzacji odpowiedniej dla nich fali. Takie dwie składowe oznaczymy jako ( na płaszczyźnie ortogonalnej do wektora k ) :

Pkα i Qkα , gdzie α = 1, 2. Wtedy (D4.2.11) możemy przepisać jako :

H = ½ Σ ( Pkα2 + ωk2 Qkα2 ) (D4.2.12)

kα

Tak więc hamiltonian H rozpada się na sumę niezależnych składowych, każda z których posiada postać hamiltonianu jednowymiarowego oscylatora harmonicznego. W ten sposób dokonaliśmy rozłożenia pola na oscylatory harmoniczne.

Teraz bez problemu możemy dokonać kwantowania, ponieważ dane zagadnienie sprowadza się do dobrze znanego kwantowania oscylatora harmonicznego.

Procedura kwantowania polega na zamianie wielkości Pk i Qk na odpowiednie operatory, spełniające standardowe zależności komutacyjne :

[ Q^kα , P^kα ] = iħ (D4.2.13)

( wszystkie operatory z różnymi wskaźnikami kα są wzajemnie przemienne ).

Oczywiście wielkości A, H, E również stają się operatorami.

Wartości własne hamiltonianu (D4.2.12) mają postać :

E = Σ ( Nkα + ½ ) ωk (D4.2.14)

Gdzie : Nkα – są liczbami całkowitymi reprezentującymi sobą liczby fotonów w stanach kα.

Elementy macierzowe operatora Q^kα można obliczyć z następującej zależności :

< Nkα | Q^kα | Nkα – 1 > = < Nkα – 1 | Q^kα | Nkα > = sqrt( Nkα / 2ω ) (D4.2.15) Elementy macierzowe Pkα różnią się od elementów macierzowych Qkα tylko o czynnik ±iω.

W dalszych rozważaniach wprowadza się następujące operatory :

ckα = (1/√2ωk ) ( ωk Qkα + iPkα ) , c†kα = (1/√2ωk ) ( ωk Qkα− iPkα ) (D4.2.16) Wtedy (D4.2.15) możemy zapisać następująco :

< Nkα – 1 | ckα | Nkα > = < Nkα | c†kα | Nkα – 1 > = sqrt( Nkα ) (D4.2.17) Zależności komutacyjne dla operatorów ckα , c†kα mają postać :

[ckα , c†kα ] = 1

Operatory ckα , c†kα nazywają się odpowiednio operatorem anihilacji i kreacji fotonu w stanie o wektorze falowym ( pędem) k i polaryzacji α.

Operator A ma postać :

A = Σ ( ckα Akα + c†kα A*kα ) (D4.2.18)

kα

gdzie : Akα = sqrt(4π)(1/√2ωk ) e(α) eikr (D4.2.19)

gdzie : e(α) – wektor jednostkowy polaryzacji dla danego oscylatora polowego.

W analogiczny sposób można wyrazić rozkłady dla operatorów E i H :

E = Σ ( ckα Ekα + c†kα E*kα ) (D4.2.20)

kα

H = Σ ( ckα Hkα + c†kα H*kα ) (D4.2.21)

kα

gdzie : Ekα = i ωkAkα , Hkα = [ n × Ekα ] , n = k / ωk – wektor jednostkowy w kierunku propagacji fotonu.

Hamiltonian możemy teraz zapisać następująco :

H = Σ ( ckα c†kα + c†kα ckα ) (1/4π) ∫ _{d3r ( Ekα} E*k’α’ + Hkα H*k’α’ ) = Σ ½ ( ckα c†kα + c†kα ckα )ωk (D4.2.22)

kα kα

lub wykorzystując zależności komutacyjne :

H = Σ ( c†kα ckα + ½ )ωk (D4.2.23)

kα

i jest to hamiltonian układu fotonów.

Porównując powyższe wyrażenie do (D4.2.14) widać, że :

Nkα = c†kα ckα (D4.2.24)

Nkα reprezentuje operator liczby fotonów w stanie kα. ( liczba zapełnienia ) W elektrodynamice klasycznej pęd pola EM określa się poprzez wyrażenie : P = (1/4π) ∫ d3r ( E × H )

Przechodząc do KTP mamy :

P = Σ ( c†kα ckα + ½ )k (D4.2.25)

kα

Obecność składników nie zależnych o liczb zapełnienia we wzorach (D4.2.23) i (D4.2.25) ( związana ze składową ½ w nawiasach ) przejawia się jako nieskończony wkład tzw. fluktuacji próżniowych ( drgań zerowych ). Najniższemu poziomowi energii pola odpowiada równość zeru liczby obsadzeń wszystkich oscylatorów. ( jest to tzw. stan próżni kwantowej ), jednakże nawet w tym stanie każdy oscylator posiada różną od zera energię drgań zerowych.

Sumowanie nieskończonej liczby takich oscylatorów daje w wyniku nieskończoną wartość energii. Jest to przykład typowej dla KTP rozbieżności ( przejawiającej się najczęściej jako nieskończone

wartości pewnych wielkości fizycznych ).

Aby wyjść z tego problemu możemy po prostu przejść do nowego poziomu odniesienia energii, zapisując :

H = Σ c†kα ckα ωk (D4.2.26)

kα

P = Σ c†kα ckα k (D4.2.27)

kα

Jak się jednak okazuje przejaw niezerowej energii próżni jest jak najbardziej mierzalny. Jednym z takich przejawów jest zjawisko Casimira, które stanowi bardzo konkretny przejaw kwantowej natury pola EM.

Wzory (D4.2.26-27) pozwalają wprowadzić podstawowe dla całej elektrodynamiki kwantowej pojęcie kwantów

świetlnych, czyli fotonów. Mianowicie swobodne pole EM możemy rozpatrywać jako zbiór cząstek, każda, z których ma energię ħω i pęd k.

Na podstawie [8 od str. 19]

5) Równania całkowe, funkcje Greena, propagatory i całki Feynmana.

Zobacz wcześniej tekst pt. Równania fizyki matematycznej 1. Funkcje Greena. Definicja ogólna.

Metoda funkcji Greena pozwala rozwiązywać niejednorodne liniowe równania różniczkowe z dowolnymi prawymi częściami.

Funkcja Greena pierwszego rodzaju G(x, x’ ) ; x, x’ ∈ D ⊂ Rn zagadnienia brzegowego :

Lu = f , Bu | x∈S = 0 (D5.1.1)

Gdzie : L, B – pewne liniowe operatory różniczkowe spełnia równanie :

LG(x, x’ ) = δ(x – x‘ ) (D5.1.2)

i warunek brzegowy BG(x, x’ )| x∈S = 0.

Schematycznie obszar D i jego brzeg pokazuje rysunek D5.1.

Rys.5.1.1

Zazwyczaj rozwiązanie zagadnienia (D5.1.1) wyrażamy poprzez całkę : u(x) = ∫ G(x, x’ ) f(x’) dx’

Metoda funkcji Greena stanowi bardzo ważne narzędzie w rozwiązywaniu równań różniczkowych. Ponadto okazuje się, że istnieje bliski związek między operatorami różniczkowymi i operatorami całkowymi. Kluczowym ogniwem łączącym te dwa pojęcia są warunki brzegowe. Związek między operatorami różniczkowymi i całkowymi stanowi teoria funkcji Greena. Teoria ta znalazła swoje bardzo ważne zastosowanie w fizyce, a zwłaszcza w KTP.

Przykład. 5.1.1 Rozważmy następujące, proste rr :

dy/dx = f(x) (D5.1.3)

Dla warunku początkowego y(a) = y0 możemy zapisać rozwiązanie równania (D5.1.3) :

φ(x ) = y0 + ∫ f(x’ ) dx’ (D5.1.4)

Jest to oczywiście rozwiązanie rr poprzez jednokrotne scałkowanie.

Pójdźmy teraz dalej, niech x ∈ [a, b ], równanie (D5.1.4) możemy teraz zapisać następująco : b

φ(x ) = y0 + ∫ θ(x – x‘ ) f(x’ ) dx’ (D5.1.5)

a

gdzie θ(t ) jest funkcją schodkową : θ(t) = { 1 dla t > 0

{ 0 dla t ≤ 0

mającą za zadanie urwanie całkowania po x’ przy x’ = x.

Równanie (D5.1.5) jest równoważne równaniu całkowemu : y(x) = y0 + K f(x)

gdzie K jest operatorem całkowym : b

K = ∫ θ(x – x‘ ) f(x’ )dx’

a

w którym jądrem jest funkcja θ( x – x’ ).

W przypadku, kiedy jądro pochodzi z rozwiązania równania zawierającego operator różniczkowy, nazywa się ono funkcją Greena tego operatora różniczkowego dla odpowiednich warunków granicznych. Zatem :

G(x, x’ ) = θ(x –x’ )

Jest funkcja Greena dla operatora d/dx, dla układu poddanego warunkom brzegowym y(a) = y0.

Jak widać zamieniliśmy rr w równanie całkowe, co być może akurat dla powyższego, prostego przykładu nie jest atrakcyjnym rozwiązaniem, jednakże dla przypadków bardziej skomplikowanych jest już opłacalne.

W fizyce funkcje Greena związane są z pojęciem propagatora ( propagator jest funkcją Greena dla odpowiedniego równania pola )

Przykład 5.1.2 Mając do rozwiązania niejednorodne rr ( niejednorodne równanie Kleina-Gordona ) : ( + m2 )φ(x) = J(x)

z dowolną funkcją źródłem J(x), szukamy najpierw funkcji Greena G(x – y ) spełniającej równanie :

( + m2 )G( x – y ) = - δ4(x – y ) (*)

a następnie ogólne rozwiązanie danego równania możemy przedstawić w postaci : φ(x) = φ0(x) – ∫ d4y G(x – y ) J(y )

gdzie φ0(x) – jest rozwiązaniem jednorodnego równania Kleina-Gordona.

Funkcja Diraca δ4(x – y ) opisuje źródło punktowe.

Funkcja Greena ( stosowana dla pól swobodnych, zwana propagatorem ) G(x – y ) dla równania Kleina-Gordona jest określona jako rozwiązanie równania z gwiazdką. Oczywiście równanie to jest niejednoznaczne i zależy od nałożonych warunków początkowych. Z tego względu możemy zdefiniować różne funkcje Greena dla tego samego operatora różniczkowego. Przykładem są opóźnione i przedwczesne funkcje Greena, w zależności od tego, czy opisują propagacje w „przód” czy w „tył” w czasie, lub funkcje Greena Feynmana ( propagatory Feynmana ) opisujące jednocześnie te dwie ewolucje. W KTP najbardziej odpowiednim opisem jednocześnie cząstek i antycząstek jest właśnie propagator

Feynmana.

Zalecana literatura wstępna

1) „Elementy klasycznej i kwantowej teorii pola” - Jerzy Karaśkiewicz ; UMCS 2003 2) „Wstęp do teorii pól kwantowych” - Iwo Białynicki-Birula ; PWN 1971

3) „Elektrodynamika kwantowa” - Iwo Białynicki-Birula, Zofia Białynicka-Birula ; PWN 1974 4) „Kwantowa teoria oddziaływań - Adam Bechler ; PWN 1991

elektromagnetycznych”

5) „Wykłady z kwantowej teorii pola” - Marek Wolf ; S-UWr Wrocław 1988 6) „Relatywistyczna teoria kwantów” - J. D. Bjorken, S. D. Drell ; PWN 1985 7) „Piętnaście wykładów z kwantowej teorii pola” - Z. Jacyna-Onyszkiewicz ; W-UAM 2009

8) „Relatywistyczna teoria kwantów” część I - W. B. Bierestecki, E. M. Lifszyc, L. P. Pitajewski; PWN 1972 po angielsku

1a) The principles of quantum mechanics - P. A. M. Dirac ; Oxford 1958 2a) Lecures on quantum mechanics - P. A. M. Dirac ; Oxford 1958 tłumaczenie rosyjskie Moskwa Nauka 1979

3a) Quantum field theory - Lewis H. Ryder ; Cambridge University Press 1985, 1995 4a) Principles of quantum electrodynamics – W. E. Thirring ; Academic Press 1958

po rosyjsku

1r) artykuł : H. Wentzel – Kwantowa teoria pól (do 1947 roku )

w książce : Fizyka teoretyczna w XX wieku. Tom poświęcony Wolfgangowi Pauliemu ; Cambridge 2r) Pola i oddziaływania fundamentalne – A. I. Ahiezer; S. W. Peletminskij ; Kijów 1986

2) Nota o autorze.

Владимир Наумович Грибов – ( 25 marca 1930 Leningrad – 13 kwiecień 1997 Budapeszt ) sowiecki i rosyjski fizyk teoretyk, profesor (1968), członek –korespondent AN ZSRR (1972).

Autor wielu oryginalnych prac z zakresu fizyki cząstek elementarnych i kwantowej teorii pola.

Jeden z wiodących światowych specjalistów w obszarze fizyki cząstek elementarnych i kwantowej teorii pola Rozwinął teorię Reggge’go (bieguny Regge’go ), pierwszy wprowadził pojecie redżeona, którego przypadkiem szczególnym jest pomeron.

Wraz z Bruno Pontecorvo przedstawił pierwszą teorie oscylacji neutrinowych. Szeroko cytowana w światowej literaturze naukowej była praca W. I. Gribowa i L. N. Lipatowa (1972) omawiająca teorię głęboko nieelastyczne rozpraszania i elektronowo- pozytonowe anihilacje w hadronach, w której to po raz pierwszy otrzymano równania ewolucji funkcji strukturalnych. W ramach chromodynamiki kwantowej metoda Gribowa i Lipatowa została zastosowana w 19777 roku przez Ju. L. Dokszicera i niezaleznie G. Altarrelliego i J. Pariziego.

Równania te (ang. oznaczenie DGLAP ) są szeroko stosowane dla opisu sztywnych zderzeń przy wysokich energiach.

W literaturze fizycznej, nazwisko Gribow pojawi się najczęściej w kontekście niejednoznaczność w nieabelowych teoriach z cechowaniem tzw. Gribov ambiguity – niejednoznaczność Gribowa.

Pierwszy wysunął myśl, że instantony opisują przejścia tunelowe w próżni. Analizował problem uwięzienia kwarków i jego związek z anomaliami w teoriach z cechowaniem.

( na podstawie : wikipedia.ru, dalsze informacje – zobacz przedsłowie )

************************************************************************************************

Skróty i oznaczenia (własne ) zastosowane w tłumaczeniu.

CP – czasoprzestrzeń.

MQ – mechanika kwantowa MK – mechanika klasyczna

EM – elektromagnetyczna, elektromagnetyzm STW – szczególna teoria względności QFT – kwantowa teoria pola

QED – elektrodynamika kwantowa.

Wielkości wektorowe zapisywane będą czcionką pogrubioną F, a , ...

Dopiski własne oznaczono symbolami (* ... *)

W tłumaczeniu dla stałej Diraca ħ ( zredukowanej stałej Plancka ) przyjęto oznaczenie h

***********************************************************************************************

Wstęp

Książkę napisano na podstawie wykładów, wygłoszonych przez autora w leningradzkim instytucie fizyki jądrowej. W książce przedstawiono podstawowe zjawiska elektrodynamiczne, ogólne własności rozpraszania i metodę renormalizacji.

Przedsłowie.

Na los mojego pokolenia wpłynął wielki dar – byliśmy ludźmi, którzy żyli w czasie naukowej kariery Władimira Naumowicza Gribowa – wielkiego fizyka, zacnego człowieka.

Gribow – to cała epoka w fizyce wysokich energii. Współczesne teoretyczne wyobrażenia o procesach mających miejsce w tym obszarze fizyki w ogromnym stopniu należą do niego. Nie przypadkowo w „heroicznej epoce” tej nauki dla teoretyków, zajmujących się takimi tematami, leningradzki instytut fizyki jądrowej był czym w rodzaju Mekki – wtedy pracował właśnie Gribow. Nadto oddział teoretyczny tego instytutu w czasie pracy Gribowa był Mekką nie tylko dla tych, którzy analizowali procesy fizyczne przy wysokich energiach. Zainteresowania Władimira Naumowicza były bardzo szerokie – fizyka była dla niego jedną całością. Pośród jego prac są m.in. badania oscylacji neutrin, oraz zagadnienia kwantowania nieabelowych teorii cechowania. Jednakże nie tylko publikacje artykułów były celem

Gribowa, bardzo cenne były osobiste z nim rozmowy. Gribow gotów był omawiać dowolne interesujące zagadnienie, bez względu na to z jakiego obszaru fizyki by one były. Jego krytyka była miażdżąca, ale zawsze konstruktywna.

Jeśli jednakże Gribow przekonał się o słuszności sądów współrozmówcy, nie było dla niego problemu, aby przyznać mu racje – nie miał problemów ambicjonalnych.

Gribow często tworzył głębokie idee. Do niego należy m.in. interpretacja instantonu - klasycznego rozwiązania

nieliniowych równań pola, jako trajektorii podbarierowej, łączącej próżnie o różnej topologii. Obecnie taka interpretacja jest już tradycją.

Już w 1971 roku tj. 2 – 3 lata do pojawienia się znanej pracy Hawkinga, Gribow sformułował w detalach wniosek o tym, że czarne dziury promieniują. Na owy czas, taki wniosek wywołał negatywną reakcje części „grawitacyjnej”

społeczności, nastawionej na myśl, że fakt emisji promieniowania przez czarna dziurę jest sprzeczny z podstawami OTW. Pozostaje zatem tylko żałować, że Gribow nie opublikował swoich wyników, jak sadzę przyjmując je za samo oczywiste.

Ogólnie Gribow bardzo spokojnie odnosił się do wszelkiego rodzaju publikacji. Bardzo wyrazista jest w tym względzie właśnie historia niniejszych wykładów z elektrodynamiki kwantowej. Zostały one wygłoszone na Uniwersytecie Leningradzkim i opublikowane w pracach Zimowej Szkoły Fizyki w 1974 roku.

Publikacja tych wykładów była przygotowana przez W. W. Fedorowicza, który wykorzystał zapiski G. M. Amalskiego i K. E. Kirjanowa.

Gribow nie tylko sam nie zapisał niniejszego tekstu, ale nawet go nie przeczytał (w najlepszym wypadku nie czytał ich w całości ). Jednakże kunszt pracy włożonej przez Fedorowicza jest taki, że przy czytaniu książki wielokrotnie pojawia się uczucie jakby słyszeć żywy głos Władimira Naumowicza.

Prace Zimowej Szkoły Fizyki z wykładami Gribowa już dawno stały się bibliograficzną rzadkością, same bowiem wykłady nie straciły niczego ze swej świeżości od 25 lat, od chwili ich wygłoszenia.

Fakt ten potwierdza jednoczesne ich wydanie w języku angielskim z wydawnictwie Cambridge University Press.

Większość pracy przygotowania wydania niniejszej książki wykonali Ju. Nyiri i M. I. Ejdes.

W. N. Gribow zmarł 13 kwietnia 1997 roku. Złożony ciężką chorobą pracował do końca swoich dni. Już po jego śmierci przygotowano do publikacji dwie jego prace, poświecone problemowi uwięzienia kwarków. Pozostała niedokończona jego ostatnia publikacja – „Elektrodynamika kwantowa na małych odległościach”

I. B. Hripłowicz

************************************************************************************************

Rozdział 1 Cząstki i ich oddziaływanie w relatywistycznej mechanice kwantowej.

Elektrodynamika kwantowa w obecnym czasie jest teorią stosunkowo dobrze opracowaną. Istnieje kilka równoważnych sposobów jej wyłożenia :

1) podejście oparte na formalizmie drugiego kwantowania 2) metoda całkowania funkcjonalnego

3) podejście, oparte na diagramach Feynmana ( metoda funkcji Greena )

Ostatnie podejście jest najbardziej klarowny fizycznie. Właśnie z tego powodu przedstawimy wykład elektrodynamiki kwantowej w języku funkcji Greena.

1.1 Funkcja propagacji.

W MQ ruch cząstek ruch cząstki opisywany jest przez funkcje falową Ψ(r, t ), która określa amplitudę prawdopodobieństwa wszystkich procesów i która spełnia równanie Schrödingera

i ∂Ψ/∂t = HΨ (1.1)

( przyjmujemy układ jednostek w których h = c = 1 )

Jeśli w charakterze jednostki długości wybierzemy centymetr [cm], to poprzez w/w wybór ustalona jest jednostka czasu [cm] i jednostka masy [1/cm]

Comptonowska długość fali cząstki o masie m jest dana z równania λ = h/mc →λ = 1/m

( t = 1 [cm] odpowiada czasowi, w ciągu którego światło przebiega odległość równą 1 [cm] ; m = 1 [1/cm] odpowiada masie cząstki (hipotetycznej), której comptonowska długość fali jest równa λ= 1 [cm] )

Funkcja falowa jest niedogodna w tym sensie, że jej postać zależy od warunków początkowych tj. jednemu i temu samemu procesowi mogą odpowiadać różne funkcje falowe.

Czym bardziej uniwersalnym można ja zastąpić ?

Wprowadzimy tzw. funkcje propagacji (*propagator *) K(r2, t2; r1, t1). Niech w chwili czasu t1 cząstka znajduje się w punkcie r1, zdefiniujemy wielkość K(r2, t2; r1, t1) jako amplitudę prawdopodobieństwa tego, że w chwili t2 > t1 taka cząstka będzie znajdowała się w punkcie r2. Graficznie taki proces możemy przedstawić w postaci linii :

––––––––––––––––––––––––––

r1, t1 r2, t2

Funkcje propagacji jest funkcją już nie dwóch, a czterech zmiennych, ponieważ faktycznie wchodzą do niej określone warunki początkowe. Zgodnie ze swoim sensem K(r2, t2; r1, t1) przy t2 > t1 powinna spełniać równanie Schrödingera (1.1) tj. :

K(r2, t2; r1, t1 ) = Ψ(r2, t2 ) (1.2)

Przy warunku początkowym :

K(r2, t2; r1, t1 ) = Ψ(r2, t2 ) |t2 = t1= δ(r2 – r1) (1.3)

Co jest wyrażeniem tego faktu, że w chwili t1 cząstka znajduje się w punkcie r1. Znając funkcje K, można rozwiązać zagadnienie Cauchy’ego dla równania (1.1) tj. znaleźć funkcje falową cząstki przy dowolnym warunku początkowym.

A mianowicie :

ϕ(r2, t2 ) = ∫ K(r2, t2; r1, t1 ) ϕt1(r1) d3r1 (1.4) W istocie ϕ(r2, t2 ) spełnia równanie (1.1), ponieważ spełnia go K, a oprócz tego spełniony jest warunek początkowy : ϕ(r2, t2 ) | t2 = t1= ϕt1(r2)

na mocy (1.3).

Faktycznie (1.4) wyraża ten fakt, że amplituda prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w punkcie r2 w chwili t2 jest iloczynem amplitudy przejścia z (r1, t1) do (r2, t2 ) przez amplitudę prawdopodobieństwa tego, że w chwili t1 cząstka znajdowała się w punkcie r1.

Jeśli mamy pełny układ rozwiązań stacjonarnego równania Schrödingera :

H Ψn(r , t ) = EnΨn(r, t ) (1.5)

to funkcje K możemy zapisać w następującej postaci :

Oczywiście, że taka funkcje spełnia równanie (1.1) (ponieważ spełnia go Ψn(r2, t2 )), a z warunków zupełności układu {Ψn } wynika spełnienie warunku początkowego (1.3) :

tj. (1.6) faktycznie jest funkcję propagacji.

Dalej określimy funkcje propagacji dla cząstki swobodnej :

Rozwiązaniem (1.7) jest :

Rozwiązanie to należy do spektrum ciągłego, ponieważ pęd który określa dany stan cząstki może przyjmować dowolne wartości. Dlatego tez w (1.6) należy przejść od sumowania do całkowania po wszystkich stanach. Wiadomo, że w interwale od p do p + dp zawarte jest d3p /(2π)3 kwantowych stanów, dlatego w (1.6) należy dokonać zamiany : Σ → ∫ d3p /(2π)3

n

tj. dla cząstki swobodnej otrzymamy :

Łatwo zauważyć, że K0 spełnia równanie (1.1) oraz prawidłowy warunek początkowy :

Z (1.9) wynika, że K0 rzeczywiście jest funkcją tylko dwóch zmiennych : K0 = K0(r, t ) , gdzie r = r2 – r1 ; t = t2 – t1

Nie jest to dziwne, ponieważ amplituda przejścia z r1, t1 do r2 ,t2 dla cząstki swobodnej jeśli przestrzeń i czas są jednorodne nie powinna zależeć od położenia i chwili czasu.

Całka w (1.9) może być wyrażona w sposób jawny :

Naturalnym będzie przyporządkowanie propagatorowi linii o postaci : ––––––––––––––––––––––––––

r1, t1 r2, t2

Niech teraz cząstka porusza się w polu zewnętrznym, które opisywane jest przez potencjał V(r, t ). Rozpatrzmy amplitudę przejścia cząstki z r1, t1 do r2 ,t2 Przy tym możliwe są następujące procesy.

1) Cząstka przechodzi z r1, t1 do r2 ,t2 nie oddziałując z polem zewnętrznym :

2) Cząstka propaguje się swobodnie do pewnego punktu r’, t’ w punkcie tym cząstka oddziałuje z polem zewnętrznym i dalej propaguje się swobodnie do pewnego punktu r2, t2. Proces taki przedstawimy graficznie następująco :

Aby znaleźć amplitudę takiego procesu, wykorzystamy następujące rozważania.

Funkcja falowa cząstki w polu zewnętrznym spełnia równanie : i ∂Ψ/∂t = H0Ψ + VΨ

W czasie ∆t funkcja falowa zmienia się o wielkość :

∆Ψ = –iH0Ψ∆t – iVΨ∆t

Pierwsza składowa w prawej części odpowiada zmianie funkcji falowej przy ruchu swobodnym, który już uwzględniono w wyrażeniu (1.10). Zatem, oddziaływanie z polem zewnętrznym prowadzi do następującej zmiany funkcji falowej :

∆VΨ = –iVΨ∆t

tj. amplitudę procesu (1.11) można zapisać w postaci :

Całkowanie w (1.12) odpowiada sumowaniu amplitud po wszystkich możliwych położeniach punktu (r’, t’ ).

3) Kolejnym jest proces, kiedy cząstka dwukrotnie oddziałuje z polem w punktach (r’, t’ ) i (r’’, t’’ ) :

Amplitudę takiego procesu można zapisać analogicznie do wyrażenia (1.2) :

Analogiczne rozważania można przeprowadzić dla przypadku trzech i więcej oddziaływań. Całkowita amplituda przejścia K(r2, t2; r1, t1 ) będzie równa sumie wszystkich takich amplitud :

Dalej pokażemy, że otrzymany w taki sposób propagator K jest rzeczywiście funkcją propagacji cząstki w polu zewnętrznym.

Pracując z funkcjami Kn musimy pamiętać o prawidłowej kolejności chwil czasu. Aby wyeliminować takie ograniczenie wprowadzimy nową funkcje :

tym samym automatycznie zapewniamy prawidłową kolejność chwil czasu.

Funkcja G nazywa się funkcją Greena.

Dalej wyjaśnimy jakiemu równaniu ona podlega.

Podziałajmy na G operatorem i ∂/∂t – H(r, t ). Jeśli funkcja K spełnia równanie Schrödingera, to uwzględniając, że :

d/dt θ(t) = δ(t) (1.16)

otrzymamy :

Uwzględniliśmy tutaj ten fakt, że operator H(r, t ) nie zawiera różniczkowania po czasie, jak również warunek (1.3).

Zatem, funkcja Greena będzie spełniała również niejednorodne równanie :

W dalszej kolejności każdemu diagramowi będziemy przyporządkowali odpowiednia funkcje Greena, przykładowo :

itd.

Teraz pokażemy, że otrzymana w ten sposób całkowita funkcja Greena :

spełnia prawidłowe równanie.

Jeśli przyporządkujemy pełnej funkcji Greena gruba linie, to (1.18) możemy graficznie przedstawić tak :

Wyjaśnijmy jak otrzymaliśmy takie diagramy. Wszystkie diagramy, poczynając od drugiego maja następującą strukturę :

Wszystkie one kończą się diagramem o postaci :

Jeśli taki element „wyprowadzimy poza nawias”, to suma w nawiasach daje ponownie pełna funkcje Greena :

Takiej właśnie „operacji” odpowiada (1.19). Zależność (1.19) jest niczym innym jak graficznym równaniem dla funkcji Greena. Odpowiada jej równanie całkowe :

Teraz pokażemy, że to równanie jest równoważne (1.17). W tym celu podziałajmy na funkcje G (1.20) operatorem Schrödingera dla ruchu swobodnego :

Przenosząc drugą składową do lewej części równania, otrzymamy dokładnie (1.17). Funkcje G jest określona jednoznacznie jako rozwiązanie niejednorodnego równania różniczkowego (1.17) z warunkiem początkowym G(r2, t2; r1, t1 ) = 0 przy t2 < t1, lub co równoważne jako rozwiązanie równania całkowego (1.20).

Zauważmy, że rozwiązanie równania całkowego, otrzymane przez iteracje po potencjale, spełnia automatycznie warunek początkowy – dokładna funkcja Greena G jest równa zero przy t2 < t1, dlatego że swobodna funkcja G0 posiada taką własność. Tym samym pokazaliśmy, że funkcja G zbudowana zgodnie z receptą (1.18) w istocie jest funkcją Greena równania Schrödingera dla cząstki w polu zewnętrznym, a to na mocy (1.15) oznacza, że funkcja K (1.14) jest propagatorem cząstki w polu zewnętrznym.

Wprowadzone przez nas diagramy, faktycznie są to diagramy Feynmana dla rozpraszania cząstki w polu zewnętrznym w przypadku nierelatywistycznym. Zauważmy, że w otrzymanych przez nas wyrażeniach czas i współrzędne przestrzenne wchodzą całkowicie równoprawnie zarówno w argumentach funkcji Greena jak i w całkach określających Gn.

Właśnie dzięki takiej okoliczności podejście oparte na funkcjach Greena, staje się wyjątkowo dogodne, kiedy przechodzimy do teorii relatywistycznej.

Analogicznie możemy zbudować funkcje Greena dla dwóch i więcej liczby cząstek. Niech np. Mamy dwie cząstki swobodne – ich ruch opiszemy diagramem o postaci :

Funkcja Greena w tym przypadku będzie po prostu iloczynem jednocząstkowej funkcje Greena, ponieważ cząstki poruszają się niezależnie.

Zatem :

Najprostszym diagramem uwzględniającym oddziaływanie pomiędzy dwoma cząstkami jest diagram o postaci :

Linia przerywana odpowiada jednokrotnemu oddziaływaniu pomiędzy cząstkami. Analogicznie do przypadku jednej cząstki przyporządkujemy jej wyrażenie :

[ –iV(x2 – x1, τ2 – τ2 )] , gdzie V – jest potencjałem oddziaływania Dla G1 otrzymamy :

W odróżnieniu od jednej cząstki w polu zewnętrznym, w danym przypadku potencjał opisuje oddziaływanie dwóch cząstek i dlatego w wyrażeniu (1.24) jest uwzględniany tylko jeden raz. Ścisły dowód (1.24) podamy później.

W teorii nierelatywistycznej oddziaływanie rozprzestrzenia się natychmiastowo tj. potencjał zależy od czasu tak : V(x2 – x1, τ2 – τ2 ) = δ(τ2 – τ1 )

Powróćmy teraz do cząstki w polu zewnętrznym. Zazwyczaj dogodnie jest pracować w reprezentacji pędowej.

Podejście do takiej reprezentacji przeprowadzimy tak, aby zachować formalną symetrie pomiędzy zmiennymi przestrzennymi i czasowymi, a w dalszej kolejności będzie nam to potrzebne przy uogólnieniu teorii na przypadek relatywistyczny.

Funkcja Greena cząstki swobodnej ma postać (zobacz (1.15)) :

Zmienne t i r nie wchodzą do powyższej zależności symetrycznie. Jednakże (1.25) można przepisać następująco :

W wyrażeniu (1.26) zarówno r jak i t, a również p i p0 wchodzą na równym prawach. Funkcja Greena w reprezentacji pędowej G0(p, p0 ) ma postać :

gdzie ε - dowolnie mała liczba dodatnia.

Zatem :

Teraz pokażemy, że (1.28) jest równoważne (1.25). W tym celu scałkujemy po p0 wyrażenie podcałkowe (1.28).

Wyrażenie to posiada biegun prosty w punkcie : p0 = (p2/2m ) – iε

tj. na dolnej półpłaszczyźnie. Jeśli przyjąć ε = 0, to taki biegun znajdowałby się na osi rzeczywistej i całka nie miałaby sensu.

Przy t < 0 kontur całkowania można zamknąć na górnej półpłaszczyźnie, a wtedy ponieważ wewnątrz konturu C1 nie ma biegunów całka po nim jest równa zero, jednocześnie całka po górnej półpłaszczyźnie przy t < 0 jest równa zero zgodnie z lematem Jordana, to łącznie prowadzi do zerowania się całki (1.28).

Przy t > 0 zamykamy kontur całkowania w dolnej półpłaszczyźnie ( analogicznie do wcześniejszej całki po górnej półpłaszczyźnie jest ona równa zero ) tym samym otrzymujemy :

Res | p0 - jest residuum wyrażenia podcałkowego w punkcie p0 = (p2/2m ) – iε

Zatem przy t > 0

tj. mamy dokładnie (1.25) przy t > 0.

Zatem dowiedliśmy, że wyrażenie (1.25) pokrywa się z (1.28). Jawną postać G0(p, p0 ) (1.28) można otrzymać przez bezpośrednie rozwiązanie równania Schrödingera dla swobodnej funkcji Greena ( w (1.27) po prostu ja odgadliśmy ).

Mamy zatem równanie :

( i ∂/∂t + ∇2 /2m ) G0(p, p0 ) = iδ(r )δ(t) (1.29)

Rozwiązania będziemy poszukiwali w postaci (1.27) :

Podstawiając (1.27) do (1.29) i wykorzystując zależność :

otrzymujemy :

mała poprawka –iε wprowadzona jest po to, aby zapewnić spełnienie warunku przy t < 0, G0(t) = 0.

Wyprowadzimy teraz reprezentacje pędową dla potencjału zewnętrznego pola :

gdzie q = (q0, q )

Podstawiając (1.27) i (1.31) do wyrażenia dla G1(r2, t2; r1, t1 ) otrzymamy dla procesu o postaci :

Całkowanie po d3r’ , dt’ doprowadziło do δ -funkcji, co stanowi wyrażenie prawa zachowanie energii-pędu.

Całkując d4q, otrzymamy ostateczny wynik :

Zatem, oddziaływanie prowadzi do tego, że pierwsza poprawka do swobodnej funkcji Greena nie jest już funkcja tylko różnicy r2 – r1 ; t1 – t2.

G0 można przepisać w analogicznej formie :

Wprowadzając dokładną funkcje Greena w reprezentacji pędowej G(p1, p2) zgodnie z wzorem :

uwzględniając (1.34) i (1.33) otrzymujemy :