Rozdział 1 Cząstki o spinie ½. Podstawowe procesy elektromagnetyczne
2.1 Swobodna cząstka o spinie J = ½
Rozdział 1 Cząstki o spinie ½. Podstawowe procesy elektromagnetyczne.
2.1 Swobodna cząstka o spinie J = ½.
Stan cząstki z J = ½ można opisać przy pomocy dwóch wielkości ϕλ (λ = 1, 2 ), które mają sens amplitudy prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w stanie z rzutami spinu ½ i – ½. Wielkości te możemy połączyć w jedną, dwuskładnikową wielkość :
( ϕ1 ) ( ϕ2 )
Wtedy to funkcje falową spoczywającej cząstki zapiszemy tak :
Ψ0 = ( ϕ1 ) exp(–imt) (2.1)
( ϕ2 )
Dla cząstki poruszającej się o spinie J = 0 mieliśmy : Ψ = exp(–ipx) /√2p0
W naszym przypadku sytuacje jest bardziej złożona – aby otrzymać funkcje falowa cząstki o skończonym pędzie należy dokonać przekształcenia od spoczywającego do poruszającego się układu odniesienia. W tym celu należy znać prawo, według którego będą przekształcały się wielkości ϕλ przy przekształceniach Lorentza. Innymi słowy, zagadnienie sprowadza się do znalezienia reprezentacji grupy Lorentza, według jakiej przekształcają się nasze wielkości dwuskładnikowe.
Przekształcenia Lorentza maja postać :
x'i = aik xk (2.2)
przy czym macierz przekształcenia zależy od sześciu parametrów : trzech kątów Eulera θi odpowiadającym obrotom przestrzennym i trzech składowych prędkości vi odpowiadającym przejściu od jednego UO do drugiego UO, poruszającego się względem tego pierwszego.
Zastanówmy się teraz nad funkcjami falowymi. Jeśli w spoczywającym UO mięliśmy pewne wielkości ξ1 i ξ2 to przy przejściu do układu poruszającego się będą się one przekształcały następująco :
Mówiąc ogólnie zarówno ξi jak i uik są wielkościami zespolonymi. Dlatego tez macierz uik zawiera 8 parametrów.
Nałożymy na nie warunek :
det(uik ) = u11 u22 – u12 u21 = 1 (2.4)
W wyrażeniu (2.4) zawarte są faktycznie dwa warunki – na część rzeczywista i urojoną, tak wiec macierz uik będzie teraz zawierała 6 niezależnych parametrów – tyle ile występuje w standardowym przekształceniu Lorentza.
Dalej ustanowimy odpowiedniości pomiędzy takimi wielkościami i parametrami przekształcenia Lorentza. Jak wiadomo, dowolną macierz drugiego rzędu można przedstawić w postaci superpozycji czterech macierzy : jednostkowej i trzech macierzy Pauliego :
Macierze Pauliego posiadają następujące własności :
[ σi σk ] = 2iεikł σk ; σx σy = iσz ; σy σz = iσx ; σz σx = iσy (2.5) tj. zachowują się jak generatory obrotu w trójwymiarowej przestrzeni.
Obrotom w standardowej trójwymiarowej przestrzeni odpowiada następujące przekształcenie wielkości ξ = ( ξ1 )
u = exp( ½iσnθn ) (2.8) gdzie σn – „rzut” wektora σ = (σx, σy , σz ) na oś obrotu ; θn – kąt obrotu względem tej osi.
Wielkość sprzężona ξ* będzie przekształcała się tak : ξ’* = exp( – ½σ*nθn ) ξ*
transponując taką zależność, otrzymamy : ξ’*⊥ = exp( – ½σ*n⊥θn ) ξ*⊥
lub
ξ’+ = exp( – ½σnθn ) ξ+ (2.9)
na mocy hermitowskości macierzy Pauliego. Symbol * oznacza sprzężenie zespolone; znak ⊥ - transponowanie, a znak + - sprzężenie hermitowskie; ξ+ - oznacza tutaj wiersz ( ξ*1 , ξ*2 ) ,w miejsce kolumny ( ξ1 )
(ξ2 ) Wielkość (ξ+ξ ) zgodnie z zasadą standardowego mnożenia macierzy ma postać :
(ξ+ξ ) = ξ*1ξ1 + ξ*2ξ2 (2.10)
co pokrywa się ze standardową definicją iloczynu skalarnego w dwuwymiarowej przestrzeni.
Dalej rozpatrzymy jak taka wielkość przekształca się przy przekształceniach (2.3), a zatem i przy przekształceniach w standardowej przestrzeni. Widzimy, że na mocy (2.8), (2.9) :
(ξ’+ξ’ ) = (ξ+ξ ) (2.11)
tj. przekształcenie jest unitarne.
Teraz rozpatrzymy prawo przekształcenia dla wielkości : Ai = ξ+σiξ
Po przekształceniu przechodzi ona w : A’i = ξ’+σiξ’
Ponieważ ze względu na obroty wokół osi z, składowa Ax jest równa :
Ponieważ rozkład cos(x) w szereg zawiera tylko parzyste potęgi x, a σi2 = 1, to otrzymujemy : cos( ½ σzθz ) = I cos( ½ θz )
Analogicznie :
sin( ½ σzθz ) = σz sin( ½ θz )
- ponieważ rozkład sinusa zawiera tylko nieparzyste potęgi, a nieparzysta potęga σz jest równa σz.
Zatem :
Wielkość Ax przekształca się przy obrotach jak x- owa składowa trójwymiarowego wektora. Powtarzając obliczenia dla pozostałych składowych, można pokazać, że wielkość Ai = ξ+σiξ przy obrotach przekształca się jak standardowy wektor w trójwymiarowej przestrzeni. Jedyną różnica jest, to że przy odbiciach zachowuje się ona jak pseudowektor tj. nie zmienia znaku.
Faktycznie, rozpatrzyliśmy reprezentacje grupy obrotów trójwymiarowej przestrzeni, będącą trójparametrową podgrupą grupy Lorentza. Analogicznie do tego zbudowaliśmy reprezentacje, odpowiadająca przekształceniom Lorentza.
Niech układ odniesienia porusza się wzdłuż osi z z prędkością v, wtedy w tym układzie : z' = (z + vt )/ sqrt( 1 – v2 ) = z ch(χ) + t sh(χ)
lub
t' = (t + vt )/ sqrt( 1 – v2 ) = z sh(χ) + t ch(χ) (2.13)
gdzie th(χ) = v.
Przekształcenia te są bardzo podobne do obrotu o kąt zespolony, dlatego analogicznie jak dla macierzy przekształcenia dwu składowych wielkości przyjmiemy :
uz = exp( ½ χσz ) możliwe jest również u~
z = exp( –½ χσz ) tj. :
ξ’ = exp( ½ χσz )ξ ; ξ’+ = ξ+ exp( ½ χσz ) (2.14) Tak jak wcześniej, wielkość Az = ξ+σzξ będzie przekształcała się zgodnie z prawem (2.13), gdzie rolę składowej czasowej odgrywa A0 = ξ+ξ i sama wielkość A0 będzie przekształcała się jak czas w wyrażeniu (2.13). W istocie z (2.14) możemy zapisać :
A’0 = ξ’+ξ’ = ξ+exp(χσz )ξ = ξ+[ ch(χ) + σz sh(χ)]ξ = (ξ+σzξ) sc(χ) + (ξ+ξ ) ch(χ) = Az sh(χ) + A0 ch(χ) Analogicznie mamy i dla Az tj. wielkość (A0 ,A ) = (ξ+ξ , ξ+σξ ) tworzy 4- wektor.
Zatem, dla ruchu wzdłuż dowolnego kierunku n możemy zapisać :
ξ’ = exp( ½χσn )ξ (2.15)
Z drugiej jednak strony, reprezentacje grupy Lorentza możemy otrzymać poprzez przekształcenia :
ξ•’ = exp( –½χσn )ξ• (2.16)
gdzie kropkami oznaczono wielkości, które przekształcają się zgodnie z (2.16).
To mówi nam o tym, że w dwuwymiarowej przestrzeni zespolonej (wektory w takiej przestrzeni nazywają się spinorami tj. nasze dwuskładnikowe wielkości – to spinory ) realizują się dwie reprezentacje grupy Lorentza, lub tzw. reprezentacja dwuznaczna. Prawo przekształcenia (2.16) odpowiada ruchowi w kierunku przeciwnym (zamiana χ → –χ prowadzi w wyrażeniu (2.13) do zmiany znaku prędkości ).
Zatem, mamy dwa rodzaje wielkości ξ i ξ•, które przekształcają się według różnych reprezentacji grupy Lorentza.
Jaka z nich wybierzemy w charakterze funkcji falowej cząstki o spinie ½ ? Przejdźmy do układu odniesienia w którym cząstka porusza się z prędkością v : v = p/p0 ; 1/ sqrt(1 – v2 ) = p0/m = ch(χ)
Z (2.15) wynika :
ξ’ = [ ch(½χ ) + (σn) sh( ½χ )] ξ exp( –ipx) = { sqrt[ ½ (ch(χ) + 1)] + (σn) sqrt[ ½ (ch(χ) – 1 )] } ξ exp(–ipx) tj. jeśli w charakterze prawa przekształcenia funkcji falowej wziąć (2.15), to dla poruszającej się cząstki otrzymamy : ξ’ = { sqrt[ (p0 + m) 2m ] + (σn) sqrt[ (p0 – m) 2m ] ξ exp( –ipx) (2.17) Jednakże istnieje i inna możliwość – ruch w przeciwną stronę. Wykorzystując (2.16), w tym przypadku otrzymamy : ξ•’ = { sqrt[ (p0 + m) 2m ] – (σn) sqrt[ (p0 – m) 2m ] ξ exp( –ipx) (2.18) Która z tych dwóch funkcji falowych jest słuszna – jest to pytanie eksperymentalne, np. dla neutrina słuszne są obie możliwości.
Co nastąpi przy odbiciu z → –z ? Widać, że :
ξ → ξ•
To oznacza, że jeśli cząstka opisywana jest przez jakąś z takich funkcji w prawym układzie współrzędnych, to przy przejściu do układu lewostronnego jej funkcja falowa zmienia się tj. w tym przypadku cząstka sama zawiera w sobie pojęcie lewego i prawego. Tak właśnie jest w istocie z neutrinem.
Jednakże, jeśli cząstka jest zupełnie symetryczna tj., „nie wie” gdzie jest prawo, a gdzie lewo, to przy odbiciu nic nie powinno się zmienić (zachowanie parzystości). Takie cząstki powinny być opisywane przez pewną superpozycję ξ i ξ•. Jednakże standardowo postępuje się następująco : wprowadza się wielkość czteroskładnikową (bispinor),a funkcje falową przyjmuje się jako :
Ψ ~ (ξ ) = ( ξ1 ) (ξ• ) ( ξ2 ) ( ξ3 ) ( ξ4 )
Jeśli wszystkie te wielkości będą wchodziły do różnych wielkości symetrycznie, to parzystość będzie zachowana w sposób automatyczny.
Opis cząstki o spinie ½ poprzez bispinor nie jest dyktowany przez prawa przyrody, jest to po prostu dogodna forma zapisu (pojawiła się ona z równania Diraca). Często dogodnie jest wprowadzić również dwuskładnikowe funkcje falowe o określonej parzystości :
Ψ1 = ½ (ξ + ξ• ) ; Ψ2 = ½ (ξ – ξ• ) (2.19)
Jawna postać takich funkcji :
Ψ1 = sqrt[ (p0 + m) /2m ] ϕ exp( –ipx) ; Ψ2 = (σn) sqrt[ (p0 – m) /2m ] ϕ exp( –ipx) (2.20) Dogodnie jest w powyższym wyrażeniu wykluczyć n :
p = n sqrt( p02 – m ) wtedy :
Ψ2 = [(σn)/ p0 + m ] sqrt[ (p0 + m) /2m ] ϕ exp( –ipx) = [(σn)/ p0 + m ] Ψ1 (2.21) Ponieważ wprowadziliśmy dwie „nadmiarowe” wielkości Ψ2 tylko po to, aby podtrzymać symetrie funkcji falowej względem odbicia przestrzennego, to naturalnie wyraża się ona poprzez Ψ1. Teraz spróbujemy zapisać równanie, wiążące wszystkie te wielkości, tak aby w takim wyrażeniu podtrzymana była symetria pomiędzy lewym i prawym i aby spoczywająca cząstka posiadała określona (np. dodatnią ) parzystość (w układzie spoczynkowym Ψ2 = 0, jak wynika z (2.21)). W tym celu wprowadzimy czterowymiarowe macierze γ (macierze Diraca w standardowej reprezentacji ) : γ0 = ( I 0 ) ; γi = ( 0 σi )
Równanie (2.22) nazywa się równaniem Diraca. Rozpisując go we współrzędnych, otrzymamy :
(p0 – m)Ψ1 – (σp)Ψ2 = 0 (2.24)
(–p0 – m)Ψ2 + (σp)Ψ1 = 0 (2.25)
Z (2.25) wynika (2.21). Podstawiając do (2.24) wyrażenie dla Ψ2 z (2.21) otrzymamy związek pomiędzy energią i pędem :
{(p0 – m) – [(σp)2 /(p0 + m)]}Ψ1 = 0 lub
[(p02 – m2 – p2 )/p0 + m ] Ψ1 = 0 tj. p02 – p2 = m2
Równanie (2.22) jest relatywistycznie inwariantne, ponieważ γ0p0 – γp = γµ pµ ≡ p^ - inwariant relatywistyczny Zatem, równanie :
(p^ – m )Ψ = 0 (2.26)
wyróżnia stany o dodatniej parzystości, ponieważ przy v = 0 pozostaje tylko Ψ1. Odpowiednio, dla stanów o ujemnej parzystości, otrzymujemy :
(p^ + m )Ψ = 0 (2.27)
Aby nasz opis był odpowiedni również dla cząstek o zerowej masie, należy pozbyć się mas w mianownikach funkcji falowych (2.20). w tym celu wprowadzimy bispinor uλ o innej normalizacji (mnożąc wyrażenie (2.20) przez √2m ) tj. : Ψλ = ( sqrt( p0 + m) ϕλ ) exp(–ipx) =
( (σn) sqrt( p0 – m) ϕλ )
= sqrt( p0 + m) ( ϕλ ) exp(–ipx) = uλ(p) exp(–ipx) (2.28) ( (σn) /( p0 + m) ϕλ )
Ponieważ ϕ posiada dwie składowe, to istnieją dwie liniowo niezależne funkcje ϕλ, odpowiadające dum rzutom spinu, fakt ten znaczyliśmy wykorzystując indeks λ ; λ = +1, –1.
W układzie spoczynkowym ½ λ jest po prostu rzutem spinu tj. :
σzϕλ = λϕλ (2.29)
Łatwo zauważyć, że : ϕ–1= ( 0 ) ; ϕ+1 = ( 1 ) ( 1 ) ( 0 )
i funkcje falową w stanie spoczynkowym ( ϕ1 )
( ϕ2 )
można zapisać w postaci : ( ϕ1 ) = ϕ1( 1 ) + ϕ2 ( 0 ) ( ϕ2 ) ( 0 ) ( 1 )
ϕ1 i ϕ2 – mają sens amplitud prawdopodobieństwa posiadania przez cząstkę odpowiednio, projekcji spinu + ½ i – ½ . Zapiszmy wyrażenie (2.29) w sposób relatywistycznie inwariantny. W tym celu wprowadzimy wektor jednostkowy ζ, ζ2 = 1 w nieruchomym układzie, skierowany wzdłuż spinu, wtedy (2.29) można przepisać następująco :
( σζ )ϕ = λϕ (2.30)
Możemy wprowadzić przestrzenny 4-wektor ζµ, ζµζµ = –1, który w układzie spoczynkowym przechodzi w (0, ζ ).
Wprowadzając również czterowymiarową macierz : γ5 = ( 0 I )
( I 0 )
możemy zapisać wyrażenie relatywistycznie inwariantne, odpowiadające (2.30) :
( γ5 ζµγµ – λ )u = 0 (2.31)
W układzie spoczynkowym mamy bowiem : – ( γ5 ζiγi + λ )u = [ (σζ ) – 1 ]ϕ = 0 Wykorzystaliśmy tutaj fakt, że : γ5γi = ( –σi 0 )
( 0 +σi )
i to, że w układzie spoczynkowym dolne składowe u są równe zero. Zatem, aby jednoznacznie określić spinor, konieczne są dwa równania :
( p^ – m )u = 0
( γ5ζ^ – λ)u = 0 (2.32)
Rozwiązanie tych równań będziemy oznaczali albo jako u(p, ζ), albo uλ(p) (gdzie już zarówno λ i ζ są ustalone ).
Omówimy probabilistyczną interpretacje spinorowych funkcji falowych. W tym celu, tak jak wcześniej, powinniśmy zestawić wielkość zachowaną. Oczywiście inwariantem relatywistycznym będzie iloczyn spinorów różnych typów tj.
spinorów przekształcających się według różnych reprezentacji grupy Lorentza. W istocie : ξ’•+ ξ’ = ξ•+ exp(– ½ χσn ) exp( ½ χσn)ξ = ξ•+ ξ
My wykorzystamy ich kombinacje liniowe : Ψ1 = ½ (ξ + ξ• ) ; Ψ2 = ½ (ξ – ξ• ) Wtedy :
( ξ•+ ξ) ( Ψ1+ – Ψ2+ , Ψ1 + Ψ2 ) = Ψ1+Ψ1 – Ψ2+ Ψ2 Wybierzmy bispinor (sprzężony dirakowsko do uλ ) : u–λ (p) = u+(p)γ0 = ( Ψ1+, Ψ2+ ) ( I 0 ) = ( Ψ1+ , – Ψ2+ ) ( 0 –I )
Wtedy wielkość :
u–λ (p) uλ’(p) = Ψ1+ Ψ’1 – Ψ2+ Ψ’2 (2.33)
jest inwariantem relatywistycznym.
Rozpatrzmy jakie równanie spełnia wielkość u–λ. Z pierwszego równania (2.32) otrzymujemy :
u+( p^+ – m ) = 0 (2.34)
gdzie :
p^+ = ( γ0 p0 – γp )+ = γ0p0 + pγ
na mocy hermitowskości γ0 i antyhermitowskości γi.
Domnożając (2.34) przez γ0 i wykorzystując relacje permutacyjne dla γ -macierzy :
A co będzie miało miejsce z drugim równaniem (2.32) ? Tak jak w poprzednim przypadku, otrzymujemy :
u+( ξ^+γ5 – λ ) = 0
Ponownie mnożąc prawostronnie przez γ0 i przenosząc macierze gamma na prawo, otrzymamy :
u–( γ5 ξ^ – λ ) = 0 (2.36)
tj. u–λ jest rozwiązaniem tych samych równań co uλ.
Ponieważ jak pokazaliśmy u–u jest relatywistycznym inwariantem, a γµ przekształca się jak 4- wektor, to wielkość : jµ = u–γµu
będzie przekształcała się jak 4- wektor a jej składową zerową u–γ0u = u+u można utożsamić z gęstością prawdopodobieństwa, zaś u– γiu – z gęstością strumienia prawdopodobieństwa.
W istocie – w reprezentacji współrzędnościowej równania (2.32) i (2.35) możemy zapisać tak :
( strzałkami oznaczono tutaj kierunek różniczkowania )
Mnożąc (2.37) lewostronnie przez Ψ–, a (2.38) prawostronnie przez Ψ i odejmując jedno od drugiego otrzymamy :
∂/∂xµ Ψ– γµΨ = 0 (2.39)
Zatem, jµ spełnia równanie ciągłości i j0 w istocie może być interpretowane jako gęstość prawdopodobieństwa. Tak jak wcześniej, cząstką odpowiadają rozwiązania dodatnio- częstościowe.
Jak skonstruować takie rozwiązanie równania Diraca ?
Dodatnio- i ujemnie – częstościowe rozwiązania różnią się zamianą :
p0 → –p0 , p → –p (2.40)
Wypiszmy nasz spinor :
Po dokonaniu zamiany (2.40) otrzymamy :
Znaki ± pojawiają się w wyniku obecności pierwiastka kwadratowego.
Jaki jest związek pomiędzy uλ(p) i uλ( –p) ? Dla cząstki skalarnej był on trywialny : ϕ(–p) = ϕ*(p).
Teraz też rozpatrzymy :
Pomnożyliśmy tutaj obie składowe przez σy2 = 1 i wykorzystaliśmy to, że : σ*x = σx , σ*z = σz , σxσy = –σyσx , σzσy = –σyσz
Dalej wyjaśnimy co to takiego ϕ’.
W tym celu pokażemy, że jeśli ϕλ spełnia zależność :
(σn )ϕλ = λϕλ (2.45)
to dla ϕ’λ otrzymamy :
(σn )ϕ’λ = –λϕ’λ (2.46)
tj. ϕ’λ opisuje cząstki z przeciwną projekcją spinu.
Z (2.45) otrzymujemy : (σ*n )ϕ*λ = λϕ*λ
Mnożąc lewostronnie to wyrażenie przez σy i wykorzystując zależność : σyϕ’λ = (σn)ϕ’λ
A ponieważ λ może przyjmować tylko wartości ±1, to : (σn)ϕ’λ = –λϕ’λ
tj. rzeczywiście ϕ’λ = ϕ–λ. Wykorzystując ten fakt możemy teraz zbudować spinor, sprzężony diracowsko do uλ(–p)
Otrzymujemy wtedy :
- jest tzw. macierzą sprzężenia ładunkowego. Jej własności :
Zatem, otrzymaliśmy związek pomiędzy spinorami Diraca o dodatnich i ujemnych częstościach : (uλ(–p))–– = [ u–λ(p)]⊥C
Często wprowadza się spinor vλ zgodnie z zależnością : uλ(–p) = vλ(p)
Znajdziemy teraz związek pomiędzy v i u–. Otrzymujemy : uλ(–p)+ = [ u–λ(p)]⊥Cγ0
wtedy :
tj. :
A co stanie się, jeśli w wyrażeniu dla u–λ(p) dokonamy zamiany p → –p ? Czy otrzymamy wtedy wyrażenie (2.47) ?
Z (2.28) otrzymujemy :
Dokonując w/w zamiany, otrzymamy :
Porównując to wyrażenie z (2.43), widzimy, że : u–λ(–p) ≠ (uλ )––(–p)
Wyrażenie u–λ(–p) oznacza, że dokonaliśmy zamiany p → –p w funkcji u–λ(p), a (uλ )––(–p) – że wzięliśmy sprzężenie diracowskie od funkcji uλ(–p). Zatem, funkcje u–λ(–p) i (uλ )––(–p) nie pokrywają się i różnią się znakiem.
Dlatego też jeśli mamy : vλ(p) = uλ(–p)
to
v–λ(–p) = – u–λ(–p) (2.53)
To oznacza, ze rozwiązania uλ(p) i u–λ(p) przy zamianie p → –p przestają być sprzężonymi w sensie Diraca.
Podamy teraz dwie użyteczne równości : 1) warunek normalizacji :
u–λα(p) uλ’α(p) = 2mδλλ’ (2.54)
(α numerują 4- składowe spinora )
Równość ta wynika bezpośrednio z postaci spinorów :
2) zasada sumowania po polaryzacjach :
Można ja dowieść następująco :
gdzie wprowadzono sumowanie po dwóch dodatkowych stanach o innej parzystości :