Rozdział 4. Renormalizacje. Poprawki promieniste
4.5 Poprawki radiacyjne do rozpraszania elektronów w polu zewnętrznym
Jak już mówiliśmy, rozpraszanie elektronów przez pole zewnętrzne jest rozpraszaniem na obiekcie masywnym.
Amplituda takiego procesu ma postać :
gdzie
Aµ(q) = (e/q2 ) Jµ(q) (4.60)
Jµ – składowa Fouriera prądu makroskopowego cząstki masywnej.
Co stanie się, jeśli uwzględnimy procesy wyższych rzędów ?
Po pierwsze, zmieni się wierzchołek i na każdą linie elektronową doda się czynnik √Z2 tj. :
gdzie Γµ = Z1–1Γcµ
Po drugie, zmienia się pole zewnętrzne, tj. Aµ(q). Wyrażenie (4.60) ma teraz postać : Aµ(q) = e D0µν (q) Jν(q)
A zatem, z uwzględnieniem wyższych przybliżeń :
Aµ(q) = {e Z3 /q2 [ 1 – Πc (q2)] } Jν(q) (4.62)
Pole zmienia się w wyniku obecności wszelkich możliwych procesów z kreacja par, np. :
Ostatecznie amplituda rozpraszania przyjmuje postać :
gdzie :
A0µ(q) = (ec /q2 ) Jµ(q) (4.64)
Zatem, zmiana amplitudy generowana jest przez dwa efekty – renormalizacją oddziaływania i zmianą pola zewnętrznego w wyniku wirtualnej kreacji par elektron –pozyton.
Znak zmiany pola łatwo jest określić z rozważań fizycznych. Niech bowiem masywna cząstka posiada ładunek dodatni.
Wtedy przy kreacji w polu takiej cząstki pary elektron –pozyton zostają odpychane i odchodzą na dużą odległość, a sama cząstka otaczana jest przez ujemne ładunki, zatem obserwowalny jej ładunek powinien się zmniejszać.
Efekt taki nazywa się polaryzacją próżni. Faktycznie jest on analogiczny do polaryzacji dielektryka, gdzie role par elektron –pozyton odgrywają dipole molekularne.
Ładunek fizyczny i goły związane są zależnością : ec2 = Z3 e02
(przypominam, że zgodnie z tożsamością Warda Z1 = Z3 )
dlatego, jest jasne, że Z3 < 1, a zatem ładunek elektronu jest jakby ekranowany i właśnie taki zaekranowany ładunek wynosi : ec2 = 4π/137
- jest to wielkość obserwowalna na odległościach makroskopowych od elektronu.
A jeśli pójdziemy dalej w głąb tj. na odległości bardzo małe od elektronu to będziemy mierzyli ładunek wtórny, który jest większy niż 4π/137.
To oznacza, że : Πc(q2 ) > 0 , Πc(0 ) = 0
tj. oddziaływanie rośnie przy dużych przekazach pędu, odpowiadających małym odległościom :
Jak widzimy, poprawki do rozpraszania w polu zewnętrznym pojawiają się dzięki dwóm efektom – polaryzacji próżni i poprawkom do wierzchołka. Teraz obliczymy wkład obu tych efektów do amplitudy rozpraszania elektronu przez pole zewnętrzne w pierwszym rzędzie po e2. Rozpoczniemy od efektu polaryzacji próżni :
Takiemu wyrażeniu odpowiada diagram :
Jednakże wkład do operatora polaryzacyjnego fotonu dają wszystkie cząstki, np. miony :
Diagram ten możemy obliczyć analogicznie do (4.65), jednakże dla protonów nie jest już jasnym jak obliczyć proces o postaci :
ponieważ protony uczestniczą jeszcze i w oddziaływaniach silnych. Jednakże pokażemy, że wkład takich diagramów jest rzędu ~ k2/m2 i dlatego przy niezbyt dużych energiach nawet miony dają mały wkład. Przy dalszym wzroście energii zaczynają mieć wpływ oddziaływania silne.
Staranne sprawdzenie poprawek radiacyjnych przy niezbyt dużych energiach gwarantuje, że nie ma nieujawnionych lekkich cząstek.
I tak, możemy przejść do obliczenia (4.65). W tym celu przedstawimy Πµν w postaci : Πµν = ( gµνk2 – kµkν ) Π(k2 )
i obliczymy :
Sp Πµν = Πµµ = 3k2Π(k2 ) (4.66)
Z drugiej strony :
Wykorzystując zależności : γν γν = 4 ; γνp^ γν = –2p^
otrzymamy :
Wykorzystaliśmy tutaj fakt, że ślad iloczynu nieparzystej liczby macierzy γ jest równy zero, a : Sp γµ γν = 4δµν
Całka (4.67) jest rozbieżna. Jednakże nas interesuje nie sama wielkość Π(k2 ), a różnica :
A ona okazuje się być zbieżna.
Obliczmy w wyrażeniu (4.67) całkę po dp0. Od pierwszego czynnika (4.67) mamy bieguny : p1,20 = ± sqrt( m2 + p2 – iε )
a od drugiego :
p3,40 = k0 ± sqrt[ m2 + ( p – k )2 – iε ]
Rozpatrzmy obszar przestrzennopodobny k tj. k2 < 0, wtedy można znaleźć układ odniesienia, gdzie k0 = 0.
Bieguny będą przy tym umiejscowione symetrycznie względem urojonej osi k0, wtedy kontur całkowania można rozciągnąć i skierować wzdłuż osi urojonej (ponieważ przy takiej operacji kontur nie przetnie osobliwości – rys 27) A w tym przypadku :
- jest wielkością rzeczywistą zatem cała całka (4.67) jest rzeczywista, ponieważ do wyrażenia podcałkowego wchodzą tylko kwadraty p02.
Rys. 27
I tak, jeśli rozpatrzymy zespolona płaszczyznę k2, to na osi rzeczywistej w obszarze ujemnych k2 całka jest rzeczywista (pogrubiona kreska na rysunku 28 ). I oprócz tego ponieważ mianownik (4.67) na zmodyfikowanym konturze nigdzie się nie zeruje to całka nie posiada osobliwości. (aby całka (4.67) nie była rozbieżna przy dużych p2, można ograniczyć całkowanie od góry przez pewien parametr obcięcia Λ, ale o tym powiemy później )
Rys. 28
Dalej wyjaśnimy, gdzie całka (4.67) może stać się zespolona.
Jeśli na płaszczyźnie k2 przejdziemy do obszaru czasopodobnego k, tj. k2 > 0, to bieguny p30 ,p40 zaczną przemieszczać się na płaszczyźnie p0 i przy p40 = p10 albo przy p30 = p20 bieguny zamkną kontur całkowania (rys. 29), tak że nie będzie go już można deformować, aby obejść biegun, nie przecinając przy tym drugiego bieguna.
To jest przy pewnym k0 wyrażenie podcałkowe na konturze całkowania staje się nieskończone, a to oznacza, że w tym punkcie całka (4.67) posiada osobliwość i może stać się zespolona. Wartość k0 możemy określić z warunku p40 = p10 :
tj. urojoność pojawia się przy dostatecznie dużym k0, kiedy realnie mogą być kreowane dwie cząstki o energiach : sqrt( m2 + p ) i sqrt[ m2 + ( p – k )2 ]
odpowiednio mamy diagram :
Istnieje i druga możliwość :
ale przypadek ten nie jest interesujący, ponieważ odpowiada ujemnej energii fotonu. Zapis (4.70) nie jest inwariantny relatywistycznie. Aby zapisać to wyrażenie w postaci inwariantnej, na początku przejdziemy do układu odniesienie, gdzie k = 0 (można to zrealizować na mocy tego, że k2 > 0 ), wtedy :
k02 = k2 = 4( m2 + p2 )
tj. osobliwości pojawiają się przy :
k2 > 4m2 (4.72)
Na płaszczyźnie k2 dokonamy rozcięcia od punktu 4m2 wzdłuż osi rzeczywistej (rys. 30 )
Rys. 30
Jest jasne, że więcej żadnych osobliwości na płaszczyźnie zespolonej dana całka nie posiada. Wykorzystując analityczność całki (4.67), możemy od razu zapisać całkę dyspersyjną dla Πc(k2 ) :
Jeśli jest ona rozbieżna, to możemy ją ulepszyć, odejmując Πc(0) = 0, wtedy :
A ponieważ urojoność pojawia się przy k2 > 4m2 to :
Teraz obliczymy część urojoną Im Πc. Jak widzieliśmy Im { 3k2Π(k2 )} pojawia się w wyniku przecięcia konturu całkowania C przy jego deformacji bieguna (rys. 31)
Rys. 31
Taki kontur można rozbić na dwie części C1 i C2 (rys. 32) :
Rys. 32
Przy czym całka po C jest rzeczywista. Część urojona pojawia się tylko od całkowania po C2, a taka całka sprowadza się do residuum w punkcie p40.
Zatem, wkład biegunowy do 3k2Π(k2 ) jest równy :
Jednakże :
tj. wkład do części urojonej daje tylko człon biegunowy (z δ –funkcją ).
Zatem :
lub, wykorzystując, zależność :
ostatecznie otrzymujemy :
Otrzymaliśmy część urojoną, która pokrywa się z tą częścią jaka wynika z warunku unitarności tj. danej przez diagram :
gdzie występują realne pośrednie cząstki. Innymi słowy, potwierdziliśmy ten fakt, że diagramy Feynmana automatycznie spełniają warunek unitarności.
Rozpisując przy pomocy (4.68) wyrażenie dla Sp ( . ), z (4.77) otrzymamy :
jednakże z δ- funkcji wynika, że :
Stąd :
Dla obliczenia takiej całki dogodnie będzie przejść do układu w którym k = 0, wtedy (p – k )2 – m2 = –2p0k0 + k2
i :
gdzie p0 = k2/2k0 = ½ k0
i przechodząc do sferycznego układu współrzędnych otrzymujemy
d3p = p2dp × 4π = 2πpdp2 tak, że równanie możemy przedłużyć następująco :
Zatem :
I ostatecznie :
Zauważmy, że na mocy Im Π(k2 ) = Im Πc(k2 ) z dokładnością do pewnego czynnika.
Zatem :
Dalej obliczymy (4.83) dla dwóch przypadków granicznych k2 → 0 i k2 → ∞.
W pierwszym przypadku (k2 → 0 ), dokonując zamiany x = 4m/κ2, otrzymamy :
tj. tak jak należało tego oczekiwać Πc(k2 ) ~ kc przy k2 → 0.
W drugim przypadku (k2 → ∞ ) przy κ2 << k2 całka rośnie logarytmicznie wraz z k2 tj. właśnie ten obszar daje podstawowy wkład i dlatego możemy zapisać :
( w wyrażeniu (4.85) zaniedbaliśmy ln 4 w porównaniu z ln k2/m2 )
Logarytm, wchodzący do (4.85), faktycznie jest głównym problemem elektrodynamiki kwantowej. Przykładowo, do amplitudy rozpraszania elektronu przez pole zewnętrzne wchodzi on w następujący sposób :
tj. amplituda może posiadać biegun, sens fizyczny którego nie jest jasny i jest to realna trudność dla naszej teorii.
Jednakże póki co zostawimy takie zagadnienie i zobaczymy na wkład polaryzacji próżni do amplitudy (4.63) z nieco innego punktu widzenia, a mianowicie amplituda ma postać :
ale przy małych q2 :
i uwzględniając, że : Γcµ = γµ + Λcµ otrzymamy :
Wszystkie człony w nawiasie kwadratowym są proporcjonalne do γµ a odmienność czynnika stojącego przez γµ w wyrażeniu (4.86) związana jest z faktem polaryzacji próżni.
Niezerowy wkład części wierzchołkowej Λcµ wyraża jakby niepunktowość ładunku, w istocie dla cząstek niepunktowych formfaktor ma postać :
F(q) = 1 + 1/6 q2 r02
gdzie r0 – jest średnim promieniem rozkładu ładunku.
Teraz zajmiemy się obliczeniem Λµ w pierwszym rzędzie :
Z rozważań relatywistycznej inwariantności, jak już mówiliśmy można zapisać :
Zapisaliśmy również : Γµ =a~γµ + bσµνqν
gdzie a~ = a~(q2 ) , b = b(q2 ), wielkość a~(0) nazwaliśmy ładunkiem.
Dla wielkości a(q2) na mocy (4.89) mamy : a(0) ≠ 0
ale i b(0) może być różna od zera. Pokazaliśmy również, że w przypadku b = 0, elektron posiada moment magnetyczny, równy magnetonowi Bohra. Jeśli b ≠ 0, to oznacza to obecność dla elektronu dodatkowego momentu, nazywanego anomalnym momentem magnetycznym. Z postaci (4.87) jest jasne, że nie ma szczególnym podstaw przyjmować b(0) = 0, co tez potwierdza bezpośrednie obliczenie całki.
Zatem, chociaż na początku budowaliśmy teorie wychodząc z najprostszego oddziaływania a~(q2) = const. = e i b(q2) = 0, przy uwzględnieniu wyższych przybliżeń pojawia się również formfaktor – pewna zależność a~(q2) i anomalny moment magnetyczny. Łatwo to zrozumieć z rozważań fizycznych.
Rozpatrzmy mianowicie proces :
Oznacza on, że nawet jeśli elektron spoczywa w pewnej chwili czasu, to emitując foton nabiera on pędu i pole zewnętrzne oddziaływuje już z prądem :
Naturalnie z tego faktu pojawia się moment magnetyczny. Oprócz tego, pojawia się pewien formfaktor, ponieważ ładunek efektywnie rozpływa się po obszarze r0 ~ 1/m :
Pierwsze obliczenie momentu magnetycznego przeprowadził Schwinger w 1949 roku, otrzymując wyrażenie :
µ = µ0 (1 + α/2π ) (4.90)
Dalej podamy przykładową drogę obliczenia Λµ(1) z użyciem metody Feynmana. W pierwszym rzędzie po ec2 dla Λµ otrzymujemy :
Dla obliczenia takiej całki Feynman wykorzystał tożsamość :
W naszym przypadku :
W wyniku obecności δ –funkcji α3 = 1 – α1 – α2 wtedy :
Dokonamy zamiany :
k' =k – α1p1 – α2p2 przy tym :
Zatem dla Λµ otrzymamy :
Uwzględniono tutaj, że q2 = (p1 – p2 )2 = 2m2 – 2p1p2.
Mianownik wyrażenia podcałkowego (z uwzględnieniem tego, że człony liniowe po k’, nie dają wkładu do całki na mocy ich antysymetrii ) można przedstawić :
Teraz całkowanie po d4k’ sprowadza się do obliczenia dwóch całek :
W powyższych całkach zawsze można rozciągnąć kontur całkowania po dk’0 wzdłuż osi urojonej, ponieważ przy takiej operacji nie przecina on osobliwości :
Przy tym :
k’0 = ik’4 oraz k’2 = k’02 – k’2 = –k’42 – k’2 tj. otrzymujemy całki po przestrzeni Euklidesa.
Przechodząc do współrzędnych sferycznych i całkując po kątach, otrzymamy :
analogicznie :
Pierwsza całka jest równa :
druga :
tj. przy dużych k2 jest ona logarytmicznie rozbieżna. Taka rozbieżność może być skontrowana poprzez renormalizacje tj.
odejmujemy Λµ(m, m), ponieważ wielkość taka zawiera dokładnie taki logarytm ln( y/∆q =0 )).
Jednakże bezpośrednio z postaci wyrażenia (4.91) wynika rozbieżność logarytmiczna całki również przy małych k2, jeśli p12 = m2 i p22 = m2
tj. dla elektronów rzeczywistych.
W tym bowiem przypadku, mianownik (4.91) ma postać :
i przy małych k2 ponownie pojawia się
∫
d4k/ k4.Z taką sytuacją już się spotkaliśmy przy analizie promieniowania hamowania.
W istocie – taka rozbieżność związana jest z niepoprawnym postawieniem zagadnienia – przy dostatecznie małych ω parametr rozkładu nie jest mały i teoria zaburzeń nie może być stosowana. Z drugiej strony, w dowolnym eksperymencie jak tylko kreowana jest cząstka, kreowane są i fotony. Realnie wykreować cząstkę bez fotonów się nie da, ponieważ wystarczy małe oddziaływanie na cząstkę i wyemituje ona miękki foton i im mniejsza częstotliwość fotonu tym jest ich więcej. Tak więc jest to trudność związana również z niefizycznością postawienia zagadnienia.
Jak można sobie z nią poradzić ?
Można Założyć, że stan początkowy – to elektron i duża liczba fotonów tj. :
Jednakże tutaj również istnieje pewna niejednoznaczność, związana z fizyka rozpatrywanego procesu.
Ponieważ w przyrodzie nie ma naładowanej materii (wszystkie atomy są neutralne ), to liczba fotonów będzie zależna od sposobu „obdzierania” atomu tj. od konkretnego sposobu w jaki otrzymaliśmy cząstki naładowane.
Zatem, jedyne fizycznie uzasadnione podejście to wyjście od materii neutralnej i uwzględnienie sposobu otrzymywania cząstek naładowanych np. :
Z rozważań fizycznych jest jasne, że prawdopodobieństwo kreacji elektronu bez fotonów jest równe zero. Jednakże, jeśli obliczymy zgodnie z teorią zaburzeń przekrój, np. takiego procesu :
to otrzymamy nieskończoność. Należy tutaj bowiem uwzględniać kreacje wielu fotonów.
Niech przykładowo, dwie cząstki nierelatywistyczne o przeciwnych ładunkach e i –e i energiach ~ ε będą kreowane z prędkością v. Wtedy przekrój procesu z emisją n fotonów będzie posiadał następującą strukturę :
Stąd od razu widać, ze przy ω → 0 prawdopodobieństwo emisji dowolnie zadanej liczby fotonów będzie równa zero.
Jednakże : Σ σn = const.
n
Rozpatrywana teoria jest stosowalna tylko przy fantastycznie małych częstotliwościach, ponieważ parametr α/π ~ 1/500.
Obszar częstotliwości, dla których iloczyn logarytmu przez taki parametr nie jest mały, jest eksperymentalnie nieosiągalny. Dlatego tez postępuje się inaczej.
Niech dany będzie jakiś proces rozpraszania, przypisujemy fotonowi pewną małą masę λ i funkcja Greena fotonu niech będzie miała postać :
Dla Λµ otrzymamy wtedy : Λµ ~ γµ ln(m/λ)
A ponieważ realnie mierzymy zawsze przekrój, to możemy zapisać : dσ = dσs + dσγ
gdzie dσs – przekrój rozpraszania elastycznego, dσγ – przekrój procesów nieelastycznych z kreacją fotonów np. :
Ponieważ zawsze istnieją fotony niezarejestrowane z ω < ωmin , gdzie ωmin jest określone przez warunki danego eksperymentu, czułość przyrządów itp., to :
i wynik okazuje się niezależny od λ. Całka dla Λµ, jeśli wprowadzić λ okazuje się być w pełni określona również przy q2 /m2 << 1 I jest równa :
Pierwszy człon (4.98) został obliczony przez Feynmana, a drugi przez Schwingera.
Człon drugi odpowiada właśnie anomalnemu momentowi magnetycznemu elektronu α/2π.