Rozdział 4. Renormalizacje. Poprawki promieniste
4.1 Wyższe przybliżenia. Renormalizacja masy elektronu
*********************************************************************************
Rozdział 4. Renormalizacje. Poprawki promieniste.
W poprzednim rozdziale pokazaliśmy jak przy pomocy relacji dyspersyjnych możemy otrzymać amplitudę wyższych przybliżeń z przybliżenia bornowskiego. Istnieje jednakże prostsza metoda bezpośredniego budowania amplitud wyższych rzędów – metoda diagramów Feynmana.
4.1 Wyższe przybliżenia. Renormalizacja masy elektronu.
Rozpoczniemy do cząstki swobodnej. Co może się z nią dziać ? (Przyjmujemy, że istnieją cząstki tylko jednego rodzaju i fotony ) 1. Cząstka propaguje się swobodnie od x1 do x2 :
2. W pewnym punkcie x’1 cząstka może wyemitować foton :
jednakże ponieważ realnie proces ten jest wzbronionym to foton może istnieć tylko przez czas związany z zasada
3. Możliwe są procesy bardziej złożone :
lub
Dokładna funkcja Greena cząstki swobodnej stanowi sumę funkcji Greena wszystkich podobnych procesów przy czym, kiedy w diagramie występują pary elektron –pozytron to dla każdej z nich należy wprowadzić czynnik –1
(ponieważ v–(p) = –u–(–p)). Metoda Feynmana polega właśnie na zapisaniu wszystkich topologicznie różnych
diagramów procesów we wszystkich rzędach względem stałej oddziaływania i sumowaniu wszystkich odpowiadających im funkcji Greena. Należy podkreślić, że należy rysować tylko topologicznie różne diagramy.
I tak np. diagram o postaci :
można przedstawić tak :
i tak :
Jest to w istocie jeden i ten sam proces, dlatego należy go uwzględnić tylko jeden raz.
Suma :
opisuje propagacje cząstki swobodnej i wpływ na nią wszystkich możliwych wirtualnych procesów.
Widać, że proce np. taki :
jest po prostu powtórzeniem procesu :
tak, że niczego nowego do propagacji cząstki on nie wnosi. Dlatego też w dalszym ciągu dogodnie będzie wydzielić te procesy, które niw sprowadzają się do prostych powtórzeń.
Póki co jednakże sformułujemy zasady według których będziemy przyporządkowali diagramom Feynmana funkcje Greena. Dla diagramu o postaci :
zapiszemy :
Czynnik e2 występujący w wyrażeniu (4.1) pojawia się w wyniku obecności dwóch wierzchołków, całkę bierzemy po d4x’1 i d4x’2 na mocy tego faktu, że x’1 i x’2 są dowolne. W przestrzeni x (jak i w przestrzeni pędów ) wierzchołkowi przyporządkowujemy czynnik iγµ tj. :
W dalszym rzędzie rozpatrzymy np. diagram :
Dla takiego diagramu mamy :
Zasada jest tutaj taka : pod całką piszemy funkcje Greena, poczynając od końca diagramu, po wszystkich punktach wewnętrznych x’ prowadzimy całkowanie (należy śledzić indeksy µ, µ’, ... fotonowych funkcji Greena, tak aby odpowiadały one diagramowi ).
Przejdźmy teraz do reprezentacji pędów. W tym celu funkcje Greena zapiszemy w postaci :
Przy podstawieniu (4.3) do (4.1) lub (4.2) widzimy, że cała zależność funkcji podcałkowej od współrzędnych jest ograniczona przez mnożniki eksponencjalne. Dlatego całki po x’i mogą być łatwo obliczone.
Rozpatrzmy np. (4.1) :
tj. w każdym wierzchołku diagramu w przestrzeni pędów (rys. 25) pojawia się prawo zachowania 4 –pędu.
Rys. 25
Po scałkowaniu przy pomocy δ- funkcji po d4p2 i d4p3 pozostaje :
Po stanie pośrednim pozostało jedno całkowanie (d4k ).
Przepisując (4.5) jako :
widzimy, że funkcja Greena G2(p) w reprezentacji pędowej ma postać :
Zatem, obliczyliśmy poprawkę do swobodnej funkcji Greena :
W wyrażeniu (4.6) występuje całkowanie po pędzie fotonu pośredniczącego, dlatego że chociaż w każdym wierzchołku spełnione jest prawo zachowania 4 –pędu, sam wyemitowany kwant ,może posiadać dowolny pęd. Analogicznie można zbudować funkcje Greena, odpowiadają dowolnemu diagramowi, przykładowo w rzędzie e4 :
Wypiszmy funkcje Greena dla środkowego diagramu :
Rozpatrzmy teraz, co może mieć miejsce z swobodnym fotonem. Może się tylko rozpadać na elektron i pozyton, więcej już żadnego oddziaływania nie ma, tak że można mówić tylko o następujących procesach :
Co przyporządkujemy takim diagramom ?
Swobodnemu fotonowi, jak już wiemy odpowiada fotonowa funkcja Greena gνµD(x2 – x1) tj. :
Dla diagramu :
możemy zapisać wyrażenie :
Jednakże elektron i pozyton mogą być kreowane z różnymi spinami, dlatego należy przesumować (4.9) po wszystkich stanach spinowych tj. wziąć ślad od wyrażenia (4.9)
Zagadnienie to rozpatrzymy teraz dokładniej.
Przypominam, że wprowadziliśmy następującą konstrukcje :
Jeśliby w diagramie :
cząstki pośrednie byłyby realne, to dla amplitudy zapisalibyśmy :
Znak – pojawia się ponieważ v-(p) = –u-(–p). Do śladu wyrażenie (4.10) sprowadzamy z użyciem równości :
Zatem, aby (4.9) dla cząstek realnych przechodziło w (4.10), powinniśmy ślad wziąć ze znakiem –. Analogicznie, dla dowolnego diagramu na każda parę elektron –pozyton powinien wchodzić czynnik –1.
W reprezentacji pędowej :
Jedyną trudnością w porównaniu z zasadami Feynmana dla pętli, wykonanych z cząstek skalarnych jest znak – zapisywany dla każdej pary elektron –pozyton oraz Sp ze znakami spinorowymi.
Realnie foton nie może rozpadać się na dwie cząstki tj. proces :
jest wirtualny. Odzwierciedla się to w tym fakcie, że funkcja Greena (4.11) zawiera k2 ≠ 0, p0 ≠ sqrt( p2 + m-2 ) W języku nierelatywistycznej MQ można powiedzieć tak – na krótki czas (określany przez zasadę nieoznaczoności ) foton rozpada się na elektron i pozyton z naruszeniem prawa zachowania energii.
Poprawki wyższego rzędu do diagramów Feynmana zawierają w sobie bardziej złożone procesy wirtualne. Cząstki w takich procesach nie znajdują się na powierzchni masowej. Fakt ten należy porównać ze standardową kwantowo- mechaniczną teorią zaburzeń, w której to w stanach pośrednich naruszone jest prawo zachowania energii.
Metoda Feynmana, zasadniczo jest równoważna teorii zaburzeń w MQ, jednakże jest ona wygodniejsza, ponieważ zachowuje jawnie inwariantność relatywistyczną w procesie obliczeń.
Zanim przejdziemy do omówienia procesów realnych, rozpatrzymy dokładniej funkcje Greena cząstek swobodnych (dalej masę cząstek będziemy oznaczali m0 w miejsce m )
Zatem, funkcje Greena swobodnej cząstki naładowanej o masie m0 można zapisać w postaci sumy członów, odpowiadającym wszelkim możliwym procesom z emisją i anihilacją wszelkiej możliwej liczby fotonów tj. :
Pośród takich diagramów istnieją pewne wyjątki, a mianowicie takie które odpowiadają periodycznemu powtórzeniu fluktuacji mających związek z cząstką, tj. diagramy o postaci :
Takie fluktuacje nie są powiązane ponieważ mogą być one rozdzielone dużymi odcinkami czasu i faktycznie nie dają nowych informacji o ruchu cząstki. Fluktuacje o postaci :
są powiązane i rozdzielone bardzo małym odcinkiem czasu. Dlatego, aby wydzielić fluktuacje, które są powiązane i następują w przeciągu bardzo krótkiego czasu, wprowadza się pojęcie energii własnej cząstki, jest to suma wszystkich diagramów nie zawierających powtórzeń tj. tych które nie mogą być rozdzielone na dwie części połączone jedną linią.
W wyrażeniu dla Σ(p) zawierają się wszystkie fluktuacje mające miejsce w przeciągu krótkiego odcinka czasu.
Wszystkie pozostałe fluktuacje otrzymujemy jako powtórzenie t. Pełna funkcje Greena można zapisać tak :
Wydzielając Σ(p) w blok możemy teraz łatwo przesumować cały zbiór diagramów. Mamy zatem :
A zatem, suma sprowadza się do szeregu geometrycznego. Sumując go, otrzymamy :
W przybliżeniu zerowym :
Wielkość m0 ma tutaj sens masy cząstki, ponieważ G0(p) w punkcie p2 = m02 posiada biegun.
Wynika to z następujących rozważań – funkcja propagacji cząstki z punktu x1 do x2 ma postać :
gdzie x12 = x1 – x2
Biorąc całkę po residuach, otrzymamy :
gdzie p0 = sqrt(m02 + p2 )
To oznacza, że propaguje się cząstka o masie m0, oprócz tego przy t2 → ∞ wkład do całki daje tylko człon biegunowy i jeśli nie było by takiego bieguna, to w wyniku oscylacji eksponenty zerowała się ona tj. nie obserwowalibyśmy żadnej cząstki. To właśnie obecność bieguna sprawia, że całka jest różna od zera i zapewnia prawidłową relacje pomiędzy energią i pędem cząstki.
Fizycznie obserwowana masa jest określona z warunku :
G(p) |p2 = m2 = ∞ (4.14)
Spoglądając na (4.13), widzimy że dokładna funkcja Greena nie koniecznie posiada biegun przy p2 = m02 tj. m0 nie ma bezpośredniego związku z masą. A realna masa cząstki jest określona jeszcze przez energię własną. I jeśli chcemy, aby swobodna cząstka o pewnej masie m istniałaby tj. moglibyśmy ją obserwować, to powinniśmy na Σ(p) nałożyć pewne dodatkowe warunki.
Ponieważ Σ(p^) zależy tylko od macierzy γ poprzez p^, to komutuje ona z p^. Niech um(p) – będzie bispinorem, opisującym cząstkę swobodną o masie m ( p^ um(p) = mum(p) )
Równanie 4.14 określające masę fizyczną jest równoważne następującemu wyrażeniu :
które jest dalej równoważne zależności :
m0 – m + Σ(m) = 0 (4.15)
Równanie to powinno posiadać rozwiązania rzeczywiste, które mają właśnie sens realnie obserwowanej masy cząstki.
A ponieważ m0 jest nieobserwowalna, to dobrze byłoby ją wykluczyć ze wszystkich wyrażeń, zamieniając ją na pewna kombinacje m.
Można to wykonać stosunkowo prosto – przepiszemy (4.13) w postaci : G–1(p) = m0 – p^ + Σ(p)
Wyrażając m z (4.15), otrzymamy :
G–1(p) = m – p^ + Σ(p^) – Σ(m) (4.16)
Wzór ten wyraża funkcje Greena elektronu tylko poprzez wielkości obserwowalne.
Rozpatrzmy teraz, jak zbudowane są poprawki do funkcji falowej cząstki naładowanej. Pokażemy przy tym, iż są one związane z poprawkami do funkcji Greena.
Przypomnijmy jak obliczaliśmy amplitudy procesów realnych :
Zamykaliśmy kontur całkowania na biegun i całkowaliśmy po dp0. Wykorzystując równość :
otrzymaliśmy :
gdzie p0 = sqrt( p2 + m02 )
Dalej wydzieliliśmy funkcje falowa cząstek swobodnych :
a pozostały czynnik nazwaliśmy amplitudą rozpraszania.
Teraz nasza funkcja Greena ma biegun w m. Zobaczmy do stanie się z residuum, które jak wyjaśniliśmy już, wchodzi do amplitudy rozpraszania. W tym celu rozłożymy Σ(p) w szereg w pobliżu m :
Ostatni człon w tym wyrażeniu zawiera potęgi p^ – m wyższe od pierwszej. Przepiszemy go do postaci :
wprowadzając nową wielkość Σc(p). Wyraża się ona poprzez energię własną następująco :
Funkcja Greena może być teraz przedstawiona poprzez wielkość Σc(p) w następujący sposób :
nazywa się zrenormalizowaną funkcją Greena.
Ponieważ w pobliżu bieguna Σc(p^) istnieją tylko człony wysokiego rzędu, to widać, że zrenormalizowana funkcja Greena zbudowana jest w pobliżu bieguna tak samo jak funkcja Greena cząstki swobodnej o masie m.
Powróćmy teraz do obliczenia amplitudy. Wielkość Σ~
c(p) nie daje wkładu do bieguna i dlatego przy obliczeniach amplitudy tj. przy x1 → ∞ można ją zaniedbać W wyniku tego faktu otrzymamy :
Wcześniej stosowaliśmy normalizacje u–u = 2m, obecnie pojawiają się spinory :
Innymi słowy pojawiła się renormalizacja funkcji falowych elektronu. Fizycznie stanowi to odzwierciedlenie tego faktu, że w obecnie rozpatrywanym przypadku układ składa się nie z jednego elektronu, a zawiera jeszcze fotony, jak również pary tj. obraz jest taki :
Funkcja falowa całego układu ma postać :
Tak więc, jeśli ogólna normalizacja funkcji była wybrana jako jednostkowa, to norma Ψe już nie jest równa jedności, a reprezentuje sobą „część” stanu jednoelektronowego w pojawiającym się stanie wielocząstkowym. Jednakże na wielkości obserwowalne taka normalizacja funkcji falowych nie powinna wpływać. W naszym przypadku taką wielkością jest przekrój, a do niego wchodzi strumień cząstek początkowych i objętość fazowa cząstek końcowych.
W takich wielkościach jesteśmy zmuszeni zawrzeć pojawiający się czynnik normujący.
W dalszej kolejności postąpimy tak – jeden pierwiastek √Z2 odniesiemy do strumienia lub objętości fazowej i będziemy je obliczali w sposób standardowy, drugi pierwiastek √Z2 odniesiemy do amplitudy, a funkcje falowe znormalizujemy tak jak wcześniej tj. na każde wejście (lub wyjście ) swobodnej linii elektronowej przypiszemy czynnik √Z2 :
Zatem, w wyniku sumowania diagramów pojawiła się renormalizacja masy elektronu i amplitudy.