Rozdział 5 Problemy elektrodynamiki kwantowej
5.1 Renormalizacje i rozbieżności
Rozdział 5 Problemy elektrodynamiki kwantowej.
5.1 Renormalizacje i rozbieżności.
W poprzednich rozdziałach rozpatrywaliśmy następujące wielkości : funkcje Greena elektronu G, funkcje Greena fotonu Dµν , część wierzchołkową Γµ. Przekonaliśmy się , ze poprzez takie wielkości wyrażają się wszystkie wielkości
obserwowalne. Pokazaliśmy również, że dokładne funkcje Greena mają postać :
Funkcja G, mówiąc ogólnie nie posiada bieguna przy p^ = m0 tj. ta „goła” masa nie posiada sensu fizycznego. Dalej jawnie wydzieliliśmy bieguny takich funkcji, przyporządkowując im fizyczne (lub zrenormalizowane ) masy i zapisaliśmy funkcje Greena w postaci :
gdzie :
Analogicznie, funkcja Greena fotonu :
gdzie :
Zrenormalizowana masa fotonu pozostaje równa zero. Dla części wierzchołkowej otrzymaliśmy : Γµ = Z1–1 Γµc , Γµc(m , m ) = γµ
Dalej pokazaliśmy, że wszystkie diagramy wyrażają się poprzez wielkości zrenormalizowane Γµc, Gc, Dc dokładnie tak jak i poprzez wielkości niezrenormalizowane Γµ, G, D, jeśli wprowadzić ładunek zrenormalizowany :
ec2 = Z3e2
i zamienić „gołe” masy na masy zrenormalizowane (pokazaliśmy iż Z1 = Z2 ).
Zatem, wszystkie wielkości fizyczne można wyrazić poprzez obserwable – ładunek i masę. Pojawia się teraz pytanie, czy można obliczyć ec i m poprzez wielkości „gołe” ?
Okazuje się, ze nie można, ponieważ odpowiednie całki są rozbieżne. Z drugiej strony, wprowadziliśmy renormalizacje Gc ,Dc, Γc i aby to miało sens, powinniśmy pokazać, ze do takich wielkości nie wchodzi ani „goła” masa, ani „goły”
ładunek. Aby to zrobić musimy znaleźć równania dla Γc ,Σc, Πc i tak je sformułować, aby weszły do nich tylko zrenormalizowany ładunek i masa, ale nie „goły” ładunek i masa. Wtedy to procedura cała procedura renormalizacji będzie miała sens.
Na początku wyjaśnimy, jakie bywają rozbieżności i od czego one pochodzą.
Występują następujące typy rozbieżności :
1) rozbieżność ultrafioletowa UV – pojawia się przy k → ∞ 2) rozbieżność w podczerwieni IR – pojawia się przy k → 0 3) możliwe bieguny amplitud rozpraszania
Omówiliśmy już sens fizyczny rozbieżności IR i pokazaliśmy, że dla rozsądnie postawionych zagadnień one nie występują. Co zaś tyczy ostatniego typu rozbieżności, to przy niektórych określonych wartościach pędów zewnętrznych amplitudy w istocie mogą pojawiać się osobliwości, np. jeśli w jakimś dowolnym propagatorze okaże się być
k2 – m2 = 0.
Jednakże, można dowieść, że jeśli wszystkie pędy zewnętrzne są przestrzennopodobne i spełniają nierówność trójkąta, to takie osobliwości nie wystąpią. Jest to jasne, dlatego, że w takim przypadku zawsze można wszystkie kontury całkowania w całkach Feynmana rozciągnąć tak, że wszystkie pędy staną się euklidesowe (rys. 34)
Rys. 34
Amplitudy fizyczne (które mają czasopodobne pędy zewnętrzne ) otrzymujemy z amplitud z pędami euklidesowymi z pomocą przedłużenia analitycznego. Osobliwości w takich amplitudach otrzymujemy właśnie w wyniku przedłużenia.
Osobliwości takie maja bezpośredni sens fizyczny, związany z warunkiem unitarności (zobacz rozdział 3) i nie będziemy ich tutaj omawiali.
Pozostają tylko tzw. rozbieżności UV, pojawiające się przy k → ∞.
Rozpatrzmy dowolny diagram szkieletowy :
Oczywiście, że na mocy zachowania prądu liczba zewnętrznych linii elektronowych powinna być parzysta.
Oznaczmy przez : Fe liczbę wewnętrznych linii elektronowych, Fγ – wewnętrznych linii fotonowych, Ne – zewnętrznych linii elektronowych ,Nγ – zewnętrznych linii fotonowych.
Wtedy amplituda, odpowiadająca takiemu diagramowi, będzie opisywana poprzez całkę :
gdzie ł – liczba niezależnych linii wewnętrznych, po których prowadzimy całkowanie.
Taka liczbę łatwo jest określić. Niech w diagramie będzie n wierzchołków, w każdym z nich schodzą się 3 linie, przy czym ki + kj = kł :
Ponieważ mamy n praw zachowania (δ –funkcji ) dla liczby wierzchołków, a jedna z takich δ –funkcji wyraża ogólne prawo zachowania i nie zawiera pędów wewnętrznych, to liczba niezależnych pędów jest równa :
ł = Fe + Fγ – n + 1
Jeśli w całce (5.1) sumaryczny stopień różniczek jest większy lub równy stopniowi mianownika, to jest ona zbieżna. To ma miejsce tylko przy :
Teraz pokażemy, ze w rzeczywistości, wyrażenie to nie zależy od procesów w wewnętrznej części diagramu tj. ani od Fe ani od Fγ. Zależy tylko od liczby linii zewnętrznych tj. od postaci samego procesu, opisywanego przez diagram.
W istocie, jeśli wewnątrz mamy zamknięta linie elektronową (zobacz rysunek 35), to liczba odcinków pośrednich jest równa liczbie wierzchołków, tj. : n = Fe
Rys. 35
Jeśli linie elektronową domknąć, to liczba linii wewnętrznych zmniejszy się o jeden, a liczba wewnętrznych zwiększy się o dwie, a liczba wierzchołków nie zmieni się tj. :
n = Fe+ ½ Ne
Na każda wewnętrzna linie fotonową przypadają dwa wierzchołki, ponieważ taki wierzchołek powinien się rozpoczynać na linii elektronowej a kończyć się na linii elektronowej, a na każdą linie zewnętrzną przypada jeden wierzchołek, tj. : n = 2Fγ+ Nγ
Zatem, jeśli zadana jest liczba linii zewnętrznych i liczba wierzchołków, to :
Wtedy warunek zbieżności całki będzie miał postać :
tj. jest on określony przez liczbę linii zewnętrznych. Widać również, że kiedy liczba linii zewnętrznych jest duża, tj.
proces jest dostatecznie złożony, to żadne rozbieżności nie wystąpią i wszystko jest w porządku.
Rozpatrzmy najprostsze diagramy : 1)
Jak już widzieliśmy, energia własna elektronu formalnie jest rozbieżna liniowo (realnie – logarytmicznie ) 2)
Operator polaryzacyjny fotonu jest rozbieżny kwadratowo, jednakże inwariantność cechowania zmniejsza jego rozbieżność do logarytmicznej.
3)
Część wierzchołkowa jest rozbieżna logarytmicznie.
4)
Taki diagram jest rozbieżny liniowo, jednakże pokażemy dalej, że z inwariantności względem sprzężenia ładunkowego rozbieżność zeruje się.
5)
Ten diagram jest zbieżny.
6)
Ten diagram jest zbieżny.
7)
Diagram jest rozbieżny logarytmicznie (dalej pokażemy, że realnie taka amplituda jest zbieżna dzięki inwariantności cechowania )
Na początku pokażemy, że :
Dokładnie tak samo jak powyższy diagram, zeruje się dowolny diagram bez zewnętrznych cząstek naładowanych i z nieparzystą liczbą fotonów zewnętrznych.
Jest to tzw. twierdzenie Farri’ego. W istocie, nasza teoria jest inwariantna względem sprzężenia ładunkowego. Jednakże przy sprzężeni ładunkowym znak funkcji falowej fotonu zmienia się : eµ → –eµ tj. amplituda dla nieparzystej liczby fotonów powinna zmieniać znak. Jednakże z drugiej strony, skąd amplituda „wie”, że wewnątrz nastąpiła zmiana cząstek na antycząstki ?
Od tego nic się nie zmienia, dlatego powinna ona być tożsamościowo równa zero.
Fakt ten wyjaśnimy na prostym diagramie :
Przy sprzężeni ładunkowym takie dwa diagramy zmieniają się miejscami i oprócz tego, zmieniają znak, zatem ich suma jest równa zero.
Teraz rozpatrzymy rozpraszanie światła na świetle :
Na mocy zachowania prądu powinno być :
dla pędu dowolnego z zewnętrznych fotonów kµ Rozpatrzmy taki diagram :
Ponieważ całka jest rozbieżna przy dużych p, to ki w mianownikach można zaniedbać i w amplitudzie nie ma żadnych zależności od pędów zewnętrznych. Zatem, rozbieżna część amplitudy (5.4) nie spełnia warunku zachowania prądu (5.5), ponieważ wielkość, nie zależna od kµ nie może dać zera przy pomnożeniu przez k. W istocie, należy dodać wszystkie diagramy postaci :
wtedy okaże się, że (5.5) jest spełnione automatycznie, a suma całek jest skończona. Przy czym wszystkie wielkości, spełniające (5.5) są zachowane przy dowolnym sposobie regularyzacji, nie naruszającej prawa zachowania prądu.
Zatem, rozbieżne okazują się być tylko trzy wielkości : energia własna elektronu, operator polaryzacyjny fotonu i część wierzchołkowa :
Zobaczmy teraz jak renormalizacje eliminują takie rozbieżności.
Na początku przyjmiemy, że : G = G0 , D = D0
spróbujemy zbudować równanie dla części wierzchołkowej. Z definicji :
Jest to faktycznie równanie dla Γµ.
W istocie zależność (5.6) można przerysować tak :
Całkując (5.7), otrzymamy (5.60. Przy czym istotne jest to, że do wyrażenia (5.7) nie wchodzi diagram typu :
ponieważ taki diagram jest już zawarty w diagramie o postaci :
Diagramy :
są rozbieżne w różny sposób.
Wyjaśnijmy jak mianowicie.
1)
ponieważ rozbieżność pojawia się przy k1 >> p1 , p2 ,m
2)
a) Przy k2 ustalonym nie ma rozbieżności i przy k1 >> k2 otrzymujemy :
Całkowanie po d4k2 daje :
b) Jeśli k2 >> k1 (k1 ustalone ), to otrzymamy :
Przy całkowaniu po d4k1 otrzymamy :
to jest rozbieżność wzmocniła się w porównaniu z
I to jest naturalne, ponieważ w diagramie :
jest zawarty wcześniejszy wierzchołek ~ ln Λ2/p2 i faktycznie jeszcze jeden diagram :
jest również proporcjonalny do ln Λ2/p2.
3) Drugi diagram :
Odpowiednia całka jest zbieżna, jeśli całkować po d4k2 przy ustalonym k1( k2 >> k1 ) lub, na odwrót, całkować po d4k1 przy ustalonym k2 ( k1 >> k2 ). Jedyna sytuacja, kiedy całkę można rozwiązać – to k1 ~ k2 i przy tym otrzymamy :
∫
d4k /k4 ~ ln Λ2/p2.Taką analizę można przeprowadzić również dla bardziej złożonych diagramów i otrzymać ważne stwierdzenie – ile byξmy tylko członów z dokładnymi częściami wierzchołkowymi nie wzięli w rozkładzie (5.7) (diagramy szkieletowe ), to wszystkie one będą rozbieżne tylko logarytmicznie. Dlatego też jak zobaczymy, procedura odejmowania
(renormalizacji ) prowadzi do skończonego wyniku i można zapisać równanie dla części wierzchołkowej, które w ogólności nie będzie zawierało rozbieżności.
Zróbmy to, otrzymując skończone równanie dla części wierzchołkowej. Pełna cześć wierzchołkowa może być zapisana w postaci :
Na powierzchni masy otrzymujemy :
Dalej, przedstawimy równanie (5.8) w postaci :
Z użyciem pojęcia rozkładu po diagramach szkieletowych równanie (5.10) ma postać :
Równanie (5.11) zawiera Γµ zarówno w prawej jak i lewej części tj. jest to równanie całkowe dla części wierzchołkowej.
Do (5.11) podstawimy Γµ w postaci :
gdzie Z1–1= 1 + Λ(m, m, 0) Wtedy otrzymamy :
Z1–1w górnych wierzchołkach skróciło się, a pozostałych dały ładunek zrenormalizowany ec = Z1–1e (póki co nie wprowadzamy renormalizacji funkcji Greena ). Rozbieżność znikła, ponieważ w każdym rzędzie pod całkę wchodzą różnicę :
które dążą do zera przy k →∞ na mocy własności :
Γ(a, b, c ) → Γ(b) przy b >> a, c
tj. Γ zależy od największego pędu. Własność tę łatwo jest zrozumieć bezpośrednio z diagramów teorii zaburzeń.
Teraz przejdziemy do realnego zagadnienia, kiedy to funkcje Greena elektronu i fotonu są dokładne. Część wierzchołkowa będzie miała postać :
Tak jak wcześniej wprowadzimy :
Γµ = Z1–1Γµc
Dodając Λµ(m, m, 0 ) = γµ Λ(m, m, 0 ) i odejmując po członie, otrzymamy diagram analogiczny do poprzedniego :
Tak jak wcześniej Z1–1w górnych wierzchołkach skróciło się, a w pozostałych pojawił się czynnik Z1–1; oprócz tego, ponieważ G = Z2Gc , D = Z3Dc, w każdym wierzchołku pojawia się czynnik Z2 Z3½
Razem dają one ładunek zrenormalizowany : ec = e Z1–1Z2 Z3½
a ponieważ : Z1 = Z2 to :
ec2 = Z3 e2
Zatem, rzeczywiście, otrzymaliśmy równanie całkowe dla zrenormalizowanego wierzchołka Γµc do którego wchodzą tylko, zrenormalizowany ładunek ec i zrenormalizowane funkcje Greena elektronu i fotonu G c i Dc
Będzie ono skończone, jeśli uda nam się zbudować skończone równania dla funkcji Greena.
Rozpoczniemy od :
Dla energii własnej otrzymujemy :
Zwróćmy uwagę, że na początku stoi tutaj γµ a nie dokładna część wierzchołkowa, wynika to z tego, że wszystkie procesy rozpoczynają się od punktu :
a dalej może następować wszystko co jest dozwolone. Zatem :
Jest to równanie Schwingera –Daysona. Analogiczne równanie możemy otrzymać również i dla polaryzacyjnego operatora fotonu :
tj. :
Pożytku jednakże z takich równań jest mało, ponieważ całki dla Σ(p) i Πµν(k2), są rozbieżne. Nas jednakże interesują nie same Σ(p) i Π(k2), a różnice o postaci :
ponieważ właśnie on wchodzą do funkcji Greena. Taka podwójna różnica eliminuje właśnie rozbieżność.
Zobaczmy jak to działa. W tym celu rozpatrzymy pochodną ∂Σ(p)/∂pµ. Dowolny człon rozkładu energii własnej elektronu ma postać :
Zatem, mamy jedną linię elektronową i pęd zewnętrzny p wchodzi w postaci różnic p – k1, p – k1 – k2 itd.
Pochodna od każdego propagatora elektronowego będzie miała postać :
Zatem, pochodna zawiera już dwa propagatory i γµ tj. reprezentuje sobą nic innego jak część wierzchołkową z zerowym pędem fotonu. Graficznie, różniczkując Σ(p), otrzymujemy :
tj. :
Zatem, otrzymaliśmy równanie liniowe ze względu na ∂Σ/∂pµ.
W szczególności z (5.18) wynika tożsamość Warda :
W równaniu (5.18) można przeprowadzić procedurę odejmowania tak samo jak i dla części wierzchołkowej.
Mamy bowiem :
Wprowadzając zrenormalizowana funkcje Greena, zgodnie z zależnością G–1 = Z2–1 Gc–1, gdzie
Z2–1 = 1 – Σ’(p), dodając i odejmując członowo Σ’(m) (co jest równoważne dodawaniu i odejmowaniu Λ(m, m )), otrzymamy następujące wyrażenie :
do którego wchodzi tylko zrenormalizowany ładunek ec i które nie zawiera rozbieżności.
Analogicznie można zbudować podobne co do struktury liniowe równanie dla ∂Π(k2)/∂kµ i można się przekonać, że jego również można zrenormalizować.
Zatem, wszystkie wielkości można wyrazić poprzez wielkości zrenormalizowane – ładunek i masę i nigdzie przy tym nie pojawią się rozbieżności. Powyższe wnioski otrzymaliśmy wychodząc z teorii zaburzeń i w istocie nie mamy pewności, że pozostaną one słuszne przy wyjściu poza jej ramy.