Problem zera ładunku w elektrodynamice kwantowej

Elektrodynamikę kwantową budowaliśmy następująco. Wprowadziliśmy funkcje Greena elektronu i fotonu :

i rozpatrzyliśmy najprostsze oddziaływanie :

W przypadku mezonu π rozpatrywaliśmy bardziej złożone oddziaływanie :

Nie ma sensu wprowadzania jeszcze bardziej złożonego oddziaływania, ponieważ otrzymywane w ten sposób teorie są nierenormalizowalne.

Tak zbudowana teoria okazała się być w bardzo dobrej zgodności z eksperymentem. Jednakże i ona na bardzo małych odległościach przestaje pracować, z takim faktem związany jest problem zera ładunku, który mamy obecnie zamiar omówić.

Wiemy, że diagramy :

są rozbieżne w obszarze dużych pędów wirtualnych i przy tym okazują się być praktycznie nie zależne od pędów zewnętrznych, np. :

nie zależy od p1i p2, ponieważ p1, p2 << k.

W obszarze dużych k tj. w obszarze małych odległości powyższa całka jest rozbieżna ponieważ rozważana teoria jest tutaj nie stosowalna z tego powodu wprowadziliśmy parametr obcięcia Λ, przy czym w obszarze całkowania wokół Λ przy p1, p2 << Λ całka nie zależy ani od p1, ani od p2.

Dalej wprowadziliśmy wielkość Γ(m, m, 0) i odjęliśmy ją od wielkości Γ( p1, p2, k) i wszystko okazało się być zbieżne, a ten fakt, że nie wiemy niczego przy dużych k, wszedł do stałej renormalizacji tj. faktycznie do ładunku

zrenormalizowanego : ec = e Z1–1Z2 Z3½

Jednakże wszystkie takie rozważania są słuszne przy nie zbyt dużych zewnętrznych pędach, a mianowicie przyjmowaliśmy p1, p2 << Λ.

A co stanie się, jeśli będziemy zwiększali pędy zewnętrzne tj. przy p2 /m2 >> 1 ?

(po raz pierwszy zagadnienie to zostało postawione przez Gell- Mana i Lu, a rozwiązane zostało przez Landaua, Abrikosowa i Chałatnikowa )

Rozpatrzmy operator polaryzacyjny fotonu :

Obliczyliśmy :

Zatem, pierwsze człony teorii zaburzeń będą następujące :

To jest przy dużych k2 szereg perturbacyjny może być rozbieżny i teoria zaburzeń przestaje pracować.

Jest jasne, że człon :

zawiera już ln2(k2/m2 ) i mówiąc ogólnie, bardziej złożone diagramy będą rosnąć jeszcze silnie wraz ze wzrostem k2.

W część wierzchołkowa (5.19) podstawowy wkład dają fotony z dużym k ~ Λ.

Jednakże przyjrzyjmy się dokładniej całce (5.19), zawiera ona :

Wraz ze wzrostem złożoności diagramów rośnie liczba mianowników, a wraz z nimi również i stopień p w mianowniku.

To jest wraz ze wzrostem p wyrażenia podcałkowe będą się zmniejszały. Ma to jednakże miejsce, tylko przy p ~ Λ, ponieważ podstawowy wkład do całki dają k ~ Λ.

Wprowadźmy wystarczająco duże Λ i rozpatrzmy obszar : p2 >> m2 ; Λ2/ p2 >> 1

Wtedy (5.19) przyjmuje prostą postać:

zatem, możemy się łatwo przekonać, że podstawowy wkład do całki (5.19) będzie dawał obszar p << k << Λ.

Wybierzmy Λ tak, aby :

Wtedy wierzchołek np. będzie posiadał następującą strukturę :

Jest jasne, że największy wkład dają człony ~ α0n lnn(Λ2 /p2 ) ~ 1, a człony ~ α0n+1 lnn(Λ2 /p2 ) ~ α0 będą jedynie mała poprawką tj. możemy zapisać :

Możemy ograniczyć się do pierwszego członu (główne przybliżenie logarytmiczne ), wtedy zagadnienie znacznie się upraszcza. Określmy teraz wielkości Γ, G, D w takim przybliżeniu.

Narysujmy diagramy szkieletowe o postaci :

Pierwsze uproszczenie jest związane z tożsamością Warda :

ec2

= Z1–1Z22 Z3 e02

Ponieważ Z1= Z2, to rozbieżności związane z częścią wierzchołkowa i funkcją Greena elektronu, w ładunku skracają się.

A zatem, można tak przeformułować teorie, aby rozbieżności nie pojawiały się. Można to wykonać odpowiednio wybierając cechowanie. W danym przypadku, postępując za Landauem wybieramy poprzeczną część fotonowej funkcji Greena w postaci :

i pokażemy, że przy tym rozbieżności w Γ istotnie znikają :

Pierwsza składowa zawiera kikj na mocy symetrii, przy i ≠ j całka od niej jest równa zero, ponieważ :

tj. główne wkłady do całki skracają się. Można pokazać, że w drugim rzędzie ~ α02 ln2(λ2 /p2 ) znika i pozostaje człon α02 ln(Λ2 /p2 ), który w naszym przybliżeniu zaniedbujemy.

Analogiczną pracę można wykonać również dla G, w jej wyniku w głównym przybliżeniu logarytmicznym otrzymamy :

Teraz obliczymy Πµν w takim przybliżeniu. Oczywiście :

ponieważ Γµ = γµ

O słuszności (5.25) można się przekonać poprzez bezpośrednie obliczenie diagramów wyższych rzędów :

W nich wkłady logarytmiczne skracają się. Zatem, w przybliżeniu logarytmicznym obliczenie operatora polaryzacyjnego Πµν sprowadza się do obliczenia prostego diagramu :

Rozłóżmy w szereg względem potęg k^ wyrażenie 1/(m – p^ – k^ ) :

Pierwszy człon (5.27) skraca się w wyrażeniu podcałkowym, drugi daje zero w wyniku symetrii przy obliczeniu całki.

Mamy bowiem :

Człon trzeci (5.27) daje właśnie rozbieżność logarytmiczną, zatem będziemy mieli :

Ponieważ :

to :

Πcµν = 3k2 Πc(k2 )

Z drugie strony, z wyrażenia (5.28) mamy :

ponieważ :

Dokonując odpowiednich przekształceń otrzymujemy :

Wprowadzając ip’0 = p0 tj. rozszerzając kontur całkowania, standardowo w sposób euklidesowy, otrzymamy :

A ponieważ :

to :

Zatem, w przybliżeniu logarytmicznym :

Jest to nie zrenormalizowana funkcja Greena. Jak ją zrenormalizować ? Oznaczmy :

Wyrażenie to możemy przepisać tak :

Oznaczmy :

wtedy :

Zatem, parametr obcięcia wszedł do stałej renormalizacji Z3 oraz do ładunku fizycznego ec i to, że udało się nam wyprowadzić Z3 poza nawias, jest właśnie cechą renormalizacji całej teorii.

Z drugiej strony, otrzymaliśmy :

Wydawać by się mogło, że wszystko jest dobrze αc < α0, tak jak być powinno w wyniku polaryzacji próżni.

Jednakże jeśli dążymy Λ → ∞, to :

tj. przy dowolnym gołym ładunku (a my przyjęliśmy α0 << 0 ) jest on w pełni ekranowany w przyjętej granicy, tak że ανc = 0. To może oznaczać, ze takie podejście nie jest słuszne na małych odległościach, jednakże jeśli jest taka odległość, na której elektrodynamika staje się niesłuszna, to z takiej odległości możemy obliczyć αc i odwrotnie – obliczyć Λ mając wartość αc = 1/137.

Z wyrażenia (5.37) wynika L Λ2 /m2 ~ exp(3π/αc ) skąd 1/Λ ≅ 10–50 [cm].

Sytuacja zmienia się nieco, jeśli uwzględnimy wkład polaryzacji próżni pochodzący od cząstek różnego rodzaju. Jeśli mamy np. ν różnych cząstek o spinie ½, to (5.36) zmienia się następująco :

Wtedy, jeśli przyjąć, że elektrodynamika kwantowa przestaje pracować na odległościach rzędu długości Plancka lP = √G ≅ 10–33 [cm] ( G – newtonowska stała grawitacji ), to otrzymamy, że możliwa jest następująca liczba rodzai cząstek :

ν ~ 12

Gorzej sprawa się ma z funkcją Greena, ponieważ wyrażenie :

przy przyjętym αc mamy biegun w obszarze k2 < 0 tj. pojawiają się cząstki o urojonej masie. W pewnym sensie jest to sztuczna trudność, ponieważ w naszej teorii Λ = ∞, tj. αc = 0.

I w tym przypadku biegun nie występuje, ale przy tym nie ma i oddziaływania.

Problem ten do tej pory nie został rozwiązany.

(Pozostał szkic pracy W. I. Gribowa „Elektrodynamika kwantowa na małych odległościach”, którą autor przygotował jako dodatkowy paragraf dla niniejszego rozdziału. Planował on omówić możliwe rozwiązanie problemu zera ładunku – bieguna Landaua w elektrodynamice kwantowej lub w szerszym sensie, w jednolitej teorii oddziaływania elektrosłabego.

Rozwiązanie takie pojawia się w charakterze „produktu ubocznego” wieloletniej analizy autora problemu uwięzienia kwarków w chromodynamice kwantowej – teorii „kolorowych” kwarków i gluonów, która opisuje, strukturę

mikroskopową hadronów i ich oddziaływań. Gribow pokazał, że kiedy stała sprzężenia przewyższa wartość krytyczną, równą : α/π > 1 – √2/3

to własności tej teorii zmieniają się zasadniczo.

W teorii pojawiają się stany związane fermionów o ujemnej energii i standardowa próżnia staje się niestabilna.

Ma miejsce zjawisko, przypominające przejście fazowe w fizyce ciała stałego, co tez prowadzi do zasadniczej zmiany własności wszystkich stanów.

W chromodynamice kwantowej stała sprzężenia pomiędzy kwarkami i gluonami, w przeciwieństwie do stałej elektrodynamicznej αe.m rośnie wraz z odległością i osiąga wartość krytyczna na odległościach rzędu 1 fermi (10–13 [cm] ). Gribow podał argumenty na korzyść punktu widzenia, mówiącego że nadkrytyczne związanie lekkich kwarków prowadzi do niestabilności stanów „kolorowych” i w ostateczności, do zjawiska niewypuszczania koloru.

W elektrodynamice kwantowej zjawiska nadkrytyczne następują na bardzo małych odległościach, rzędu skali Plancka.

Z jednej strony, mogą one być odpowiedzialne za pojawienie się bozonu Higgsa – cząstki skalarnej, która jest nieodzowna we współczesnej jednolitej teorii oddziaływań elektrosłabych – teorii Weindberga- Salama.

Gribow przewidział, że masa złożonego bozonu Higgsa powinna być nieco większa, niż masa najcięższego z kwarków tzw. kwarku top mtop ≈ 200 mproton

Z drugiej strony, zjawiska nadkrytyczne prowadza do rozwiązania problemu bieguna Landaua w QED – stała sprzężenia zwiększa się na małych odległościach, ale pozostaje przy tym skończona.

Praca Gribowa „Elektrodynamika kwantowa na małych odległościach” zostanie opublikowana w zbiorze prac zebranych autora. )

I jeśli w elektrodynamice kwantowej pojawia się taka trudność na niewiarygodnie małych odległościach w wyniku małości αc, tj. w realnych sytuacjach jest ona nieistotna, to w oddziaływaniach silnych, gdzie stała sprzężenia g ~ 1, od razu się z nią spotykamy, ponieważ musimy wprowadzić parametr obcięcia Λ ~ m.

Tak, ze tam omawiana trudność jest w pełni realna.

Zauważmy, ze przy dowodzeniu zera ładunku wykorzystywaliśmy przybliżenie logarytmiczne o postaci : e02 ln( Λ2/p2 ) ~ 1 , e02 << 1

tj. mówiąc formalnie, nie możemy dążyć z Λ do ∞.

Jednakże (jak zauważył Pomeranczuk ) wyrażenie (5.36) otrzymano dla ładunku nie zrenormalizowanego, który jak wiemy, wchodzi tylko do wyższych nieuwzględnianych poprawek. Ponieważ αc → 0 przy Λ → ∞, to i wszystkie poprawki dążą do zera przy Λ → ∞. Dlatego też nasze twierdzenie nie zależy od warunku e02 ln( Λ2/p2 ) ~ 1 Jedyna hipoteza, którą przyjęliśmy – to warunek :

e02 << 1

Jeśli odejdziemy od niego, to od samego początku nie będziemy mieli do dyspozycji teorii zaburzeń i cała nasza teoria w istocie nie będzie mogła być sformułowana.

*************************************************************************************************

Koniec