Równanie Diraca w polu zewnętrznym

Obliczyliśmy poprawki pierwszego rzędu do rozpraszania elektronów przez pole zewnętrzne :

Niekiedy musimy obliczać wiele poprawek wysokiego rzędu, np. w przypadku rozpraszania na jądrze o dużej liczbie atomowej z, ponieważ w tym przypadku parametrem rozkładu jest Zα. Na szczęście, sytuacja upraszcza się w wyniku tego, że wszystkie cząstki, posiadające duży ładunek Z, posiadają dużą masę M >> me. Wykorzystując taką okoliczność, zajmiemy się teraz analiza oddziaływania ciężkich cząstek naładowanych z elektronem i spróbujemy znaleźć wszystkie poprawki po Zα.

I tak, proces oddziaływania opisywany jest przez wszystkie diagramy o postaci :

W pierwszej kolejności rozpatrzymy pierwsze trzy diagramy :

Dla funkcji Greena ciężkiej cząstki otrzymujemy ( zakładając, że posiada ona spin ½ ) :

Zapiszmy p0 w postaci ( wykorzystując to, że p2 << M2 ) : p = M + ε

gdzie ε – energia kinetyczna, wtedy :

Otrzymaliśmy naturalny rezultat – masywna cząstka spoczywa w jednym punkcie i propaguje się tylko wprzód w czasie (wszędzie zaniedbywaliśmy człony p2 w porównaniu z masą spoczynkową )

Dolnej linii diagramu :

odpowiada zatem wyrażenie :

gdzie :

Przy wyprowadzaniu (4.101) wykorzystaliśmy to, że :

tj. :

Obliczymy teraz całkę (4.102) przy τ1 → –∞ , τ2 → + ∞. Otrzymujemy :

wtedy :

tj. otrzymaliśmy wyrażenie, pokrywające się ze standardowym potencjałem coulombowskim dla ładunku Ze :

u = Ze/ 4π | x – y | (4.104)

Zależność od współrzędnej elektronu w wyrażeniu (4.101) weszła tylko do u, tak więc diagram możemy przerysować następująco :

Dolnej linii odpowiada swobodna funkcja Greena masywnej cząstki (4.100), a górnej, przy τ1 → –∞ , τ2 → + ∞ - amplituda rozpraszania elektronu przez pole zewnętrzne (coulombowskie), generowanym przez pole Ze, a mianowicie:

Rozpatrzmy diagram :

Niższej jego części odpowiada wyrażenie :

przy czym τ1< τ’ < τ2 .

Jeśli nie ta nierówność, to całka rozbijałaby się na iloczyny. Jednakże diagramowi :

odpowiada takie, że wyrażenie ale z innymi ograniczeniami nakładanymi na zmienne całkowania : τ1 < τ’’ < τ’ < τ2

Tak, że złożenie takich diagramów oznacza po prostu przejście do całkowania po wszystkich τ’, τ’’ i w wyniku dla sumy otrzymamy :

tj. wynik ponownie rozbija się na dwie części – ruch swobodny masywnej cząstki i rozpraszanie elektronu na polu coulombowskim tej cząstki, odpowiada to temu, że cząstka masywna nie czuje ani odrzutu, ani zmiany czasu. Sumie takich diagramów możemy przyporządkować, tak jak wcześniej diagram :

Analogiczna sytuacja pojawia się również w kolejnych rzędach przybliżeń tj. pełną amplitudę rozpraszania na cząstce masywnej można przedstawić w postaci :

gdzie Ge – funkcja Greena elektronu w polu zewnętrznym.

Taką amplitudę będziemy przedstawiali jako linie pogrubioną tj. :

Jest to nic innego jak równanie całkowe dla funkcji Greena elektronu w postaci graficznej, analitycznie można ją wyrazić następująco :

Ge(x2 ,x1; y1) = G(x2 – x1) +

∫

Od równania całkowego łatwo jest przejść do równania różniczkowego, jeśli przypomnimy sobie, że :

Działając na (4.107) operatorem iγµ ∂/xµ – m otrzymamy :

tj. :

Jak zwykle funkcje Greena możemy przedstawić w postaci :

gdzie Ψn – funkcje falowe elektronu, spełniające równanie :

Jest to nic innego jak równanie Diraca elektronu w polu coulombowskim.

Do tej pory rozpatrzyliśmy wszystkie poprawki po Zα, związane z wymianą fotonów i otrzymaliśmy :

itd.

Jednakże istnieją również poprawki np. o takiej postaci :

itd.

Jest jasne, że sumowanie takich diagramów jednakowego rzędu, tak jak wcześniej jest równoważne przejściu do całkowania po wszystkich czasach pośrednich, a zatem całki rozbijają się na oddzielne czynniki.

Dla rzędu drugiego otrzymujemy :

czynnik 1/2! Pojawia się w wyniku tego faktu, że liczba niezależnych diagramów jest 2! Razy mniejsza od liczby permutacji. Analogicznie dla rzędu n-tego otrzymamy :

Jeśli wszystko to dodamy, to otrzymamy :

Przechodząc do nowych zmiennych w interwale τ = τ’’ – τ’ , x = τ’’ + τ’ otrzymamy :

Przy τ2 → ∞, τ1 →–∞ łatwo otrzymamy, że całka w wykładniku eksponenty jest czysto urojona :

Całka po dτ jest równa :

skąd :

Zatem, funkcja Greena cząstki masywnej jest równa :

tj. pojawiła się renormalizacja masy. Widać również, że w naszym przybliżeniu całka (4.115) dla δm jest rozbieżna liniowo.

Istnieją również i takie poprawki do ruchu cząstki masywnej :

jak również :

Uwzględnienie takich poprawek oznacza, że swobodną funkcje Greena fotonu :

należy zamienić na funkcje zrenormalizowaną :

Jednakże na elektron to nie wpłynęło.

Zatem, całe rozpatrywane zagadnienie rozbija się na dwie części – ruch elektronu w polu zewnętrznym i renormalizacje masy cząstki masywnej.

Z równania Diraca (4.109) możemy określić spektrum energetyczne elektronu w polu zewnętrznym. W tym celu dokonamy podstawienia Ψn = exp( –E nt )Ψn(r ) w równaniu (4.109).

Oprócz tego, pomnożymy (4.109) przez γ0 i oznaczając γ0γ ≡ α, otrzymamy stacjonarne równanie Diraca dla cząstki w polu :

Przy E > m, E < –m mamy spektrum ciągłe, przy | E | < m- spektrum dyskretne, odpowiadające stanom związanym :

Dla energii E podstawowego stanu związanego w polu jądra o ładunku Z otrzymujemy :

E/m = sqrt[ 1 – (αZ)2 ] (4.118)

Jeśli E = m + ε, gdzie ε – energia wiązania, to :

ε/m = sqrt[ 1 – (αZ)2 ] – 1

Zależność energii stanu podstawowego od Z ma postać :

tj. przy Z =137 energia staje się równa zero. Jednakże przy Z ≥ 137 równanie Diraca nie posiada rozwiązania (energia staje się urojona). Jest to szczególna własność potencjału czysto coulombowskiego. Jest ona związana z tym, ze jeśli równanie Diraca przepiszemy w postaci równania Schrödingera z pewnym potencjałem efektywnym, to taki potencjał okazuje się być ~ 1/r2 tj. prowadzi do spadku ku centrum (przy Z ≥ 137).

Z drugiej strony, realne jądro posiada skończony rozmiar i jeśli to uwzględnimy, to można zwiększać Z dalej.

Poziom energetyczny przy obniża się poniżej zera :

Odpowiada to temu, że atom staje się lżejszy od jądra. W istocie, masa atomu : MA = MZ + me + ε < MZ

Jednakże przy E > –m jądro jeszcze nie może się rozpadać na atom i pozyton, ponieważ : MZ – ( MZ + me ) = –2me – ε < 0

Będziemy dalej zwiększali Z, przy pewnym Zkr energia wiązania staje się równa 2me (E = –m ) i jądro może się rozpadać na atom i pozyton (rys. 33) tj. może zajść proces :

Z → (Ze– ) + e+

Przy Z > Zkr jądro jest układem niestabilnym, ale sam atom jest stabilny.

W języku funkcji Greena wygląda to następująco. Dla cząstki masywnej mamy :

Przy tym dla swobodnej funkcji Greena fotonu otrzymaliśmy czysto urojoną całkę w wykładniku eksponenty.

Jednakże jeśli w miejsce D00(τ) podstawimy :

i obliczymy całkę przy Z > Zkr , to okaże się ona być równa i(δM + iγ ) tj. pojawia się dodatkowa urojoność, odpowiadająca realnej kreacji pary w polu jądra, a w funkcji Greena pojawia się tłumienie :

GZ ~exp[ –γ(τ2 – τ1 )]

które odpowiada rozpadowi jądra na atom i pozyton.

Rys. 33

Atom dalej istnieje stabilnie, jednakże jego opis staje się w istocie, wielocząstkowym. W rzeczywistości, rozwiązanie równania Diraca przy E < –m należy do spektrum ciągłego, a zatem nie zanika w nieskończoności. Atom jednakże dalej istnieje. Zagadnienie polega na tym, że chociaż stan oddzielnego elektronu nie jest zlokalizowany, to przy Z > Zkr możliwe są procesy, oprócz takich :

również takie :

kiedy na końcu pojawia się elektron w wyniku wymiany tj. elektron w sposób ciągły zmienia się, chociaż globalnie ładunek pozostaje zlokalizowany.

Jest jasne, że takie zagadnienie nie jest jednoznaczne.

Obliczenia relatywistyczne (uwzględniające rozmiary jąder realnych ) dla Zkr dają następującą wartość : Zkr ≅ 170

Realizacja eksperymentalna takiego ładunku jest w zasadzie możliwa, zderzając dwa masywne atomy, tak aby oba jądra znalazły się wewnątrz obłoku elektronowego.