Rozpraszanie fotonu przez elektron

Tak jak poprzednio rozpatrzymy najprostsze grafiki, opisujące rozpraszanie fotonu na elektronie :

Rys. 13

Drugi grafik można przerysować następująco :

Amplituda rozpraszania ma postać :

gdzie :

oraz :

(p1 + k1)2 = s ; (p1 – k2 )2 = u Dalej pokażemy, że zachowanie prądu :

k1µ Mνµ = 0 , k2νMνµ = 0 (2.95)

jest u nas spełnione automatycznie. W istocie, mamy bowiem :

Ponieważ Mνµ wchodzi tylko w obłożeniu pomiędzy spinorami, które spełniają równanie Diraca, to możemy dodać do liczników składowe postaci p^2 – m i p^1 – m tj. :

Trudność przy obliczaniu amplitudy pojawia się w wyniku obecności dużej liczby zmiennych spinowych. Aby wyeliminować taki problem, od razu zapiszemy wyrażenie dla przekroju :

i obliczymy całkowity przekrój rozpraszania dla wszystkich polaryzacji elektronów i fotonów dla przypadku, kiedy wiązki padające nie są spolaryzowane (właśnie taka sytuacja często realizowana jest w eksperymencie ).

W tym celu należy dokonać sumowania po wszystkich końcowych polaryzacjach elektronu i fotonu i uśrednić tj.

obliczyć sumę o postaci :

Sumowanie przebiega tutaj po dwóch wartościach σ = 1, 2. Jednakże, jeśli spełnione są warunki (2.95), to sumę po dwóch polaryzacjach można zamienić na sumę po czterech (ponieważ pozostałe dwie polaryzacje na mocy (2.95) nie dają wkładu do (2.97)). Wtedy :

i (2.97) można przepisać następująco :

Wykorzystaliśmy tutaj tożsamość γ0γ0 = 1 i wprowadziliśmy zależność : M–µν = γ0M+

µν γ0 (2.99)

Z jawnej postaci (2.94) dla Mµν bezpośrednio wynika, że :

M–µν = Mνµ (2.100)

(aby sprawdzić tą zależność, należy wykorzystać relacje : {γ0 ,γi } = 0 ; γ0+ = γ0 ; γi+ = – γi )

Teraz przesumujemy po λ1λ2. W tym celu rozpiszemy (2.98) w postaci macierzowej tj. :

Wykorzystaliśmy tutaj zależność : Σλ = uαλ(p) u–βλ(p) = (p^ + m )αβ

W wyniku sumowanie po polaryzacjach sprowadza się do obliczenia śladu pewnej macierzy.

Dogodnie będzie zapisać objętości fazowe w postaci :

Wtedy wyrażenie dla przekroju, z wykorzystaniem (2.101) przyjmie postać :

Procedurę obliczania przekroju w postaci (2.102) można tak jak w przypadku cząstek skalarnych przedstawić graficznie.

Rozpatrzmy pierwszy diagram. Dla obliczenia przekroju amplitudę rozpraszania należy pomnożyć przez jej sprzężenie hermitowskie, odpowiada to temu, że k1 ,p1 i k2 ,p2 zamieniają się miejscami tj. :

My to przepiszemy następująco :

Taki obrazek jest wygodny z czysto technicznego punktu widzenia. Pozwala on bowiem obliczać przekrój zgodnie z takimi samymi zasadami jak amplitudę, różnica polega jedynie na tym, że liniom oznaczonym krzyżykiem, odpowiadają w miejsce mianowników postaci 1/k22

i 1/(m – p^2 ) = (m + p^2 )/(m2 – p22 ) δ - funkcje tj. cząstki na powierzchni masowej (my zaznaczyliśmy je krzyżykiem).

Czynnik (p^2 + m ) = Σ u(p2 )u– (p2 ) pojawia się w wyniku sumowania po polaryzacjach końcowego elektronu ( a czynnik postaci (p^1 + m ) = Σ u(p1 )u– (p1 ) pojawia w wyniku uśrednienia po polaryzacjach elektronu początkowego )

Inaczej mówiąc, diagramy dla przekroju otrzymujemy z diagramów dla amplitudy faktycznie przez zamianę 1/(m2 – p2 ) → (2π) δ+(p2 )

dla linii cząstek końcowych.

Analogicznie, bierzemy w kwadrat drugi diagram :

Oprócz tego, pojawiają się człony interferencyjne pochodzące od mieszanych iloczynów pierwszego diagramu przez drugi i drugi przez pierwszy tj. :

Wkłady takich diagramów można otrzymać bezpośrednio, rozpisując iloczyn Mµν Mνµ w wyrażeniu (2.102).

Zatem, przekrój możemy przedstawić w postaci sumy diagramów :

Teraz przejdziemy do obliczenia śladu. Dla pierwszego diagramu zapiszemy :

Podstawiliśmy tutaj do (2.101) składową Mµν odpowiadającą pierwszemu diagramowi i ponieważ pod znakiem śladu Sp można zmieniać miejscami czynniki, przenieśliśmy γµ z początku na koniec.

Dalej podamy kilka użytecznych zależności, które pomogą nam przy dalszych obliczeniach :

Ślad iloczynu nieparzystej liczby macierzy γ jest równy zero. Teraz pokażemy dla przykładu jako otrzymaliśmy (2.104).

Z jednej strony :

¼ Sp(γµγν ) = ¼ Sp(γνγµ ) a z drugiej :

Odejmując od drugiej równości pierwszą, otrzymamy (2.104). Analogicznie, wykorzystując zależności komutacyjne dla macierzy γ, można otrzymać również pozostałe zależności.

Wykorzystując zależności komutacyjne dla macierzy γ, można otrzymać również następujące zależności (A, B, C – dowolne macierze ) :

tj. :

γµ C^γµ = –2C^ (2.106)

Analogicznie łatwo zauważyć, że :

γµ A^B^C^γµ = –2C^B^A^ (2.107)

Wykorzystując (2.106), otrzymamy :

W wyrażeniu (2.108) różne od zera będą człony, nie zawierające macierzy γ I zawierające iloczyny parzystej liczby macierzy γ.

Wykorzystując (2.104), (2.105) otrzymamy :

Zauważmy, że :

Wtedy :

Dalej wyrazimy 2p1p2 poprzez zmienne inwariantne : t = (p1– p2 )2 = 2m2 – 2p1p2

skąd :

2p1p2 = 2m2 – t

ale s + t + u = 2m2 zatem : 2p1p2 = s + u

Ostatecznie otrzymujemy :

Człon, odpowiadający drugiemu diagramowi, otrzymamy z (2.109) poprzez zamianę s na u. W istocie – drugi diagram otrzymamy z pierwszego poprzez zamianę k1 → –k2, µ zamienia się na ν, co przy uśrednieniu nie ma znaczenia, a s → (p1 – k2 )2 = u tj. wkład od drugiego diagramu jest to po prostu f(u, s ).

Analogicznie obliczamy ślad od członów interferencyjnych, oznaczymy je odpowiednio jako g(s, u) i g(u, s ), przy czym :

Zatem znajdujemy, że :

Przekrój (2.102) z uwzględnieniem (2.111) zapiszemy tak :

Inwariantny strumień tak jak i wcześniej jest równy :

ℑ = 4p01k01j (2.113)

Dla j słuszny jest również wzór (1.165), chociaż obliczany nieco inaczej :

tj. ze strumieniem jest wszystko w porządku.

Dalej pozostało nam obliczyć objętość fazową. Na początku scałkujemy (2.112) po d4p2 przy pomocy δ -funkcji.

Otrzymamy wtedy :

gdzie p = p1 + k1 ; ( p – k2 )2 = p2 – 2pk2 + k22 = s – 2pk2 Przechodząc do układu środka mas, otrzymamy :

Dla strumienia inwariantnego, mamy odpowiednio :

Dalej wprowadzimy wielkość dΓ :

Z uwzględnieniem (2.115), (2.116) możemy zapisać :

Całkując z użyciem δ -funkcji po k0 otrzymamy :

W wyrażeniu (2.118) przejdziemy do współrzędnych sferycznych tj. :

Teraz można scałkować po dk22 :

Podstawiliśmy z δ -funkcji :

k2 = s – m2 /2√s (2.120)

ale w u.s.m k1= k2 = 0, dlatego :

dΓ = (1/16s) dΩ/(2π)2 (2.121)

Teraz wyrazimy dΩ poprzez zmienne inwariantne : t = –2k2 ( 1 – cos(θ)) ; dt = 2k2 d(cos(θ))

Z drugiej strony, dΩ = d(cos(θ))dϕ = 2πd(cos(θ)) tj. : dΩ = (2π/2k2 ) dt

oraz :

lub, ostatecznie, podstawiając k2 z wyrażenia (2.120) :

Taki jest standardowy schemat obliczania objętości fazowych.

Teraz możemy już zapisać wyrażenie dla przekroju, jednakże dla wygody na początku przepiszemy wielkość w nawiasie kwadratowym wyrażenia (2.109) w nieco innej postaci – rozpiszemy wszystkie wyrażenia jawnie :

tj.

Podstawiając (2.123) i (2.110) do (2.114), otrzymamy ostateczne wyrażenie dla przekroju rozpraszania fotonu na elektronie :

Jest to wzór Kleina-Nishijimy dla comptonowskiego przekroju rozpraszania.

Rozpatrzmy teraz obszar małych energii. Dogodnie jest wykorzystać w tym przypadku laboratoryjny układ współrzędnych (tj. układ w którym elektron początkowy spoczywa ). W takim układzie mamy :

Oznaczmy k10 = ω , k20 = ω’ wtedy :

s = m2 + 2mω (2.125)

Analogicznie :

u = ( p1 – k2 )2 = m2 – 2mω’ (2.126)

dla t otrzymamy :

Z drugiej strony :

tj. :

2ωω’( 1 – cos(θ)) = 2m(ω – ω’ ) skąd wynika :

m[ (1/ω’) – (1/ω)] = 1 – cos(θ) (2.127)

Zatem otrzymaliśmy wzór dla comptonowskiego przesunięcia częstości.

Teraz zobaczmy, jak będą wyglądały oddzielne człony wyrażenia (2.124) w laboratoryjnym układzie odniesienia :

ich suma to :

Analogicznie :

u – m2 / s – m2 = – ω’/ω i

skąd :

dt = 2ω’2 d(cos(θ))

Podstawiając takie wyrażenia do (2.124) otrzymamy :

lub, wprowadzając dΩω’ = 2πd(cos(θ)), zapiszemy ostatecznie :

gdzie Ωω’ = 2πd(cos(θ))

Przy małych energiach ω << m padającego fotonu (granica Thomsona ) ω’ → ω i przekrój dąży do wielkości stałej (wzór Rayleighay’a -Thomsona ) :

Zauważmy, że e2/4πm = re , re = 2,8 • 10–13 [cm] – klasyczny promień elektronu, tj. przy małych energiach przekrój : dσ ~ πre2

Teraz wyjaśnimy, co dzieje się przy wysokich energiach s >> m2. W tym celu dogodnie jest wzorem (2.124) :

1. Rozpatrzmy obszar | t | << s , – u ~ s ( s >> m2 ). W tym przypadku :

tj. przekrój o małym przekazie pędu wraz z wzrostem s bardzo szybko spada.

2. W obszarze małych u tj. dużych przekazów pędów t, przekrój w jednostkowym kącie bryłowym ma postać :

dσ ≅ (e4 /8π) (dt/s )(1/m2 – u ) ~ dΩ/m2 (2.131)

i nie zależy od s. To oznacza, że ponieważ : u = ( p1 – k2 )2 = –2p12( 1 ± cos(θ))

tj. u ~ o odpowiada kątowi θ ~ π, to przy dużych energiach fotony rozpraszają się głownie w tył. W wyniku punktowości oddziaływania jego prawdopodobieństwo powinno spadać wraz ze wzrostem kąta i oprócz tego ze wzrostem energii ponieważ σ ~ λ2 , a λ ~ 1/k tj. :

σ ~ 1/k2 ~ 1/s

Właśnie tak jest zbudowany wkład pierwszego diagramu.

Zobaczmy teraz na drugi diagram który jest odpowiedzialny za w/w zachowanie przekroju. Jak wyjaśnić to, że fotony są rozpraszane głownie na kąt 180°. Proces, który jest opisywany przez ten diagram zachodzi w rzeczywistości przy małym przekazie pędu | u | ~ m2 tylko w wyniku tego procesu elektron przekształca się w foton. Jednakże w teorii

relatywistycznej indywidualność cząstki nie jest tak ważna, dla wielkości przekroju ważniejsze jest to, że dany proces może przebiegać z mniejszym przekazem pędu :

Jest również jasne dlaczego wielkość przekroju w takim przypadku na spada wraz ze wzrostem energii, jest tak ponieważ wielkość obszaru gdzie może być pochłonięty foton, jest określany już nie przez długość fali fotonu λ, a tym jak daleko zdążą się rozejść elektron wirtualny z elektronem wejściowym.

Odległość tą można ocenić z relacji nieokreśloności. Elektron wirtualny może istnieć przez czas ∆t ~ 1/∆E ~ 1/m i w tym czasie może ulecieć na odległość ∆r ~ 1/m. Stad wynika, że przy dużych energiach istotnym jest tylko proces wymiany i jego przekrój σ ~ 1/m2 zgodny z (2.131). Jednakże całkowity przekrój rozpraszania tego procesu pozostaje nieduży, ponieważ pik rozpraszania w tył, gdzie przekrój nie jest mały i wynosi :

dσ/dΩ ~ e4 /m2

jest bardzo wąski | dΩ | ~ m2/s.

W dokumencie Elektrodynamika kwantowa (Stron 92-102)