Rozpraszanie elektronów. Związek spinu ze statystyką

Przy rozpraszaniu elektronu na elektronie możliwe są następujące najprostsze procesy :

A jak powinniśmy dodawać takie amplitudy ze znakiem „+” czy też „–„ ?

Z punktu widzenia zasady Pauliego, znak „+” nie może występować ponieważ przy zamianie p3 ↔ p4 wszystko przejdzie w siebie, a amplituda dla cząstek o spinie ½ powinna być antysymetryczna, tj. amplitudy należy odejmować.

Czy jednakże zagadnienia dotyczącego znaku nie należałoby wyjaśniać kierując się bardziej ogólniejszymi rozważaniami ?

Innymi słowy, czy nie dojdziemy do sprzeczności, jeśli przyjmiemy znak „+” ?

Okazuje się, że wystarczające są dwa poniżej sformułowane wymogi nakładane na teorię, aby jednoznacznie rozwiązać w/w zagadnienie.

1) warunek unitarności : SS† = 1

(wymóg ten polega na tym, aby suma wszystkich prawdopodobieństw była równa 1 ) 2) zasada przyczynowości :

Rozpatrzmy przypadek nierelatywistyczny :

Wyrażając Ψ+(r’ ) poprzez funkcje Greena otrzymamy :

gdzie fB – amplituda w przybliżeniu Borna.

Ponieważ :

gdzie :

Istotnym jest tutaj to, że w sumie (2.84) przy k = k’ stoi wielkość dodatnio określona f*nk fnk’

Jak pokażemy dalej fakt ten jest bezpośrednim następstwem warunku unitarności. Amplituda, jako funkcja energii posiada biegun przy energii równej energii stanu związanego tj. przy E = En. Residuum w takim biegunie jest zawsze wielkością ujemną (w mianowniku stoi wielkość En – E )

Teraz pokażemy, że warunek unitarności ustala jednoznacznie znak amplitud, odpowiadających różnym diagramom.

Na początku rozpatrzymy przypadek cząstek skalarnych. W tym przypadku otrzymujemy :

W kanale s nie ma osobliwości po s tj. osobliwości faktycznie po energii, a my mamy warunek właśnie na residuum w biegunie po energii.

Przejdźmy zatem do kanału t (w tym celu należy na pierwszy proces popatrzeć od góry). Będzie to proces o postaci : e+ + e– → γ + e+ + e–

i jest to proces drugiego rzędu, który przebiega poprzez stan pośredni (kwant promieniowania gamma ). Odpowiada on sumie w wyrażeniu (2.84), przy czym istnieje biegun po energii (t w tym kanale odpowiada energii ) w t = 0, to właśnie odpowiada energii stanu pośredniego mγ = 0. Residuum w takim biegunie powinno mieć znak określony z warunku unitarności. Tym właśnie faktem określony jest znak stojący przed pierwsza amplitudą (druga amplituda w kanale t nie posiada osobliwości ). Ponieważ w wierzchołkach stoi wyrażenie o postaci :

(liczone w układzie środka ma ponieważ E1 = E3 , E2 = E4 ), to residuum w biegunie jest ujemne, zatem przez taka amplitudą powinien stać znak plus.

O znaku drugiej amplitudy póki co nie wiemy nic, w celu jej określenia należy przejść do kanału u.

W kanale u taka amplituda posiada biegun po zmiennej energetycznej (u odgrywa role kwadratu energii w u.s.m ) i dosłownie powtarzając poprzednie analizy otrzymamy iż przez druga amplituda powinien stać znak plus.

Innymi słowy dla bozonów (cząstek o spinie zero ) w naszym przypadku powinniśmy dodawać amplitudy.

Teraz rozpatrzymy fermiony (w naszym przypadku są to cząstki o spinie ½ ) :

Tak jak w poprzednim przypadku, w celu wyjaśnienia znaku stojącego przez pierwsza amplitudą przejdziemy do kanału t, a w tym celu dokonamy zamiany :

( przy tym pamiętając, że ponieważ u– (–p ) = –v–(p), to Tprzedłuz = –T(t) ), zatem :

Jeśli pokażemy, że nawias w pierwszej składowej jest sprzężony zespolenie, to przed taka składową powinien stać znak +, tak aby T(t) miała ujemny znak residuum ponieważ j0 = 0 z prawa zachowania prądu.

Zatem rozpatrzymy wyrażenie :

ponieważ γ0 jest wielkością hermitowską i komutuje ze sobą, a γi – jest antyhermitowska i antykomutuje z γ0.

Zatem, rzeczywiście przy p1≅ p4 mamy ujemny znak residuum T(t), a zatem przed pierwsza amplituda (2.86) powinien występować znak +. Drugi diagram z punktu widzenia kanału t ma postać :

Jego znak możemy wybrać, wychodząc z analogii nierelatywistycznej. Amplituda rozpraszania cząstki na antycząstce powinna być przeciwna co do znaku amplitudzie rozpraszania cząstki na cząstce (ponieważ znak potencjału jest przeciwny ). Innymi słowy amplituda kanału t powinna posiadać znak, przeciwny do amplitudy kanału s, choćby przy małych s. Z drugiej strony, otrzymaliśmy iż amplitudy emisji fotonu przez cząstkę i antycząstkę są jednakowe.

W istocie – jak wiemy :

u– (–p3+ )γµ u(–p2+ ) = – v–(p3+ ) γµ v(p2+ )

ale minus jest kompensowany tym, że T(t) = –Tprzedłuż. Dlatego przed drugą amplitudą powinniśmy postawić znak –.

Znak drugiego diagramu można ustanowić nie odwołując się do granicy nierelatywistycznej. W tym celu przedłużymy amplitudę do kanału u. Takie przedłużenie wykonamy z kanału t tj. zamienimy :

p4 = –p4++ ; p3+ = –p3++

Faktycznie zmieniliśmy dwa razy znak dla p3 spinor przy tym otrzymuje znak –, ponieważ przy każdej zamianie p → –p jest on mnożony przez i. Innymi słowy, aby otrzymać ujemne residuum dla drugiej amplitudy w kanale t powinniśmy ją wziąć ze znakiem –. Można to wypowiedzieć nieco inaczej.

Jeśli w kanale t diagram anihilacyjny zapisany jest ze znakiem +, a diagram rozpraszania ze znakiem –, to przy przejściu do kanału u diagramy przechodzą w siebie i zmieniają znaki tj. amplituda pozostaje taka sama, dlatego że w kanały t i u są tożsame. Jeśliby oba diagramy w kanale t zapisane były ze znakiem +, to w kanale u otrzymalibyśmy amplitudę o znakach przeciwnym tj. nie spełniającą warunku unitarności.

Dochodzimy zatem do tego, że diagram anihilacyjny diagram rozpraszania powinny wchodzić z różnymi, a zatem amplituda rozpraszania w kanale s powinna być antysymetryczna ze względu na przestawienie pędów cząstek początkowych lub końcowych tj. elektrony powinny podlegać statystyce Fermiego-Diraca.

Ogólny znak amplitud w kanale s nie jest przy tym określony, ponieważ jeśli przejdziemy do kanału s, przechodząc przez kanały t i u, to otrzymamy amplitudy o znaku przeciwnym. Jednakże w odróżnieniu od kanałów t i u, gdzie oddziaływują różne cząstki, w kanale s jest to nieistotne. Przyczyna tego faktu leży w tym, że warunek unitarności określa tylko znak amplitudy rozpraszania w przód, ale dla cząstek tożsamych rozpraszania w przód i w tył jest tożsame i w ogólności ma sens rozpraszanie tylko w jedna półsferę. Dlatego tez dla amplitudy o jednym znaku rozpraszaniu w przód odpowiada linia t = 0, a dla innego znaku –linia u = 0. Innymi słowy określenie zapisu amplitudy zawiera w sobie określenie pojęcia

„w przód”. Sytuacja ta ma miejsce już w teorii nierelatywistycznej. Niech :

W wyrażeniu (2.89) pod całką będzie stała wielkość o określonym znaku przy określonym znaku, tylko jeśli Ψa = Ψ tj.

p1 = p3 , p2 = p4.

Dalej omówimy, co będzie miało miejsce, jeśli otrzymawszy amplitudę o przeciwnym znaku, jeszcze raz przedłużymy ją do t- a następnie do u – kanału. Oczywiście, że otrzymamy w kanałach t i u amplitudę również o przeciwnym znaku tj. w tym przypadku T = Tprzedłuż w odróżnieniu od tego, co zapisaliśmy wcześniej. Zatem, zależność pomiędzy amplitudą przedłużoną e– e– → e– e– i amplitudą e+ e– → e+ e– zależy od sposobu przedłużenia i jest to związane z

nieokreślonością znaku amplitudy e– e– → e– e–.

Zatem, otrzymaliśmy związek spinu ze statystyką. Przy tym wykorzystaliśmy warunek unitarności oraz to, że dowolna amplitudę można otrzymać poprzez przedłużenie analityczne tj. faktycznie analityczność amplitudy, a to jest związane jak wkrótce pokażemy z przyczynowością.

Tak więc dwa warunki – unitarność i przyczynowość są wystarczające aby ustanowić znaki amplitud.

W ten sposób w naszej teorii, zasada Pauliego, która jest zgodna z eksperymentem, jest spełniona automatycznie.

W obszarze małych kątów rozpraszania nasza amplituda przejdzie w standardowa amplitudę rozpraszania Coulomba.

Wychodząc z tego faktu, pokażemy, że stała oddziaływania e jest ładunkiem. Małe kąty rozpraszania odpowiadają : p3 ≅ p1 , p2 ≅ p4

tj. t ≅ 0 przy tym drugą (wymiennej) amplitudę można zaniedbać ponieważ przy t = 0 nie posiada ona osobliwości, a pierwsza ~ 1/t, tj. przy t → 0 dąży do ∞.

w granicy nierelatywistycznej. Jest to standardowa amplituda rozpraszania Coulomba, pokrywająca się z wyrażeniem (1.174) dla cząstek bezspinowych. Zatem, przy małych pędach przekazywanych obecność spinu dla elektronu w żaden sposób nie wpływa na rozpraszanie. Wynika to z tego, że cząstki wierzchołkowa przekształcają się w :

p1µ + p3µ = 2p1µ ; p2µ + p4µ = 2p2µ (zobacz wyrażenia (2.90) i (2.91)) tj. w wierzchołki dla cząstek bezspinowych.

Z postaci wyrażenia (2.92) wynika, że e jest w istocie ładunkiem elektrycznym elektronu.