3. Zagadnienia cieplne tarcia materiałów z istotną nieliniowością
3.1. Metoda kolejnych przybliżeń
3.1.3. Funkcje Kirchhoffa na i-tym kroku iteracyjnym
Rozwiązania (li)(,)
, i1,2,..., l1,2 liniowego zagadnienia początkowo-brzegowego przewodzenia ciepła (3.1.23)–(3.1.28) z funkcją q()1 w warunku brzegowym (3.1.25) szukamy, korzystając z transformaty całkowej Laplace'a [138]: z uwzględnieniem związków (2.1.31) otrzymujemy:
0 Rozwiązania ogólne liniowych równań różniczkowych (3.1.39) i (3.1.40), spełniające warunek (3.1.43), mają postać:
skąd znajdujemy:
Podstawiając rozwiązania (3.1.344)–(3.1.46) przy 0 do warunków brze-gowych (3.1.41) i (3.1.42), otrzymujemy układ dwóch liniowych równań algebra-icznych względem funkcji Cl(i)(p), l1,2:
gdzie współczynnik aktywności cieplnej wyznaczamy ze wzoru (2.1.40). Roz-wiązanie układu równań (3.1.47) ma postać:
(3.1.34), znajdujemy transformaty funkcji Kirchhoffa w postaci:
Przejścia od transformat (3.1.51), (3.1.52) do oryginałów wykonujemy za pomocą związków (2.1.47) i (2.1.48). W wyniku tych przejść otrzymujemy:
Na powierzchni kontaktu 0 z rozwiązań (3.1.53) i (3.1.54) otrzymujemy:
)]
Różniczkując rozwiązania (3.1.53) i (3.1.54) względem niezależnej zmiennej
, otrzymujemy:
Podstawiając pochodne cząstkowe (3.1.58), (3.1.59) do wzoru Duhamela (3.1.32), otrzymujemy:
i (2.2.41). W wyniku z rozwiązań (3.1.60) i (3.1.61) znajdujemy:
,
Podstawiając 0 do wzorów (3.1.64) i (3.1.65), otrzymujemy: otrzymujemy:
)] otrzymu-jemy funkcję Kirchhoffa przy idealnym tarciowym kontakcie cieplnym:
)
Przy stałych właściwościach termofizycznych materiałów półprzestrzeni (k i()1) ze wzorów (3.1.71) otrzymujemy rozwiązanie Fazekasa (2.2.48) [44].
3.1.4. Analiza numeryczna
W pierwszej części analizy numerycznej wyznaczono temperaturę dla dwóch ukła-dów ciernych złożonych z materiałów o prostej nieliniowości w celu przetestowa-nia poprawności obliczeń wykonanych za pomocą metody kolejnych przybliżeń.
Obliczenia zostały przeprowadzone dla tych samych parametrów roboczych oraz par ciernych, jakie były analizowane w podrozdziale 2.2.4, tj.: stop aluminium A315 – stop tytanu VT-14 i żeliwo szare – stop tytanu VT-14.
Tab. 3.1.1. Wartości bezwymiarowej temperatury na powierzchni kontaktu pary A315 –VT-14 dla trzech wartości /s obliczone metodą parametrów linearyzujących i kolejnych przybliżeń.
01 , 0 /
s /s 0,5 /s 1
metoda parametrów linearyzujących
A 315 0,1946407 0,3753024 0,3188864
VT-14 0,2514999 0,4336842 0,3267647
metoda kolejnych przybliżeń
ilość iteracji i = 4 i = 5 i = 7
A 315 0,1946398 0,3752758 0,3188098
VT-14 0,2515040 0,4337916 0,3270753
Tab. 3.1.2. Wartości bezwymiarowej temperatury na powierzchni kontaktu żeliwo szare – VT-14 dla trzech wartości /s obliczone metodą parametrów linearyzujących i kolejnych przybliżeń.
01 , 0 /
s /s 0,5 /s 1
metoda parametrów linearyzujących
żeliwo szare 0,2070626 0,4398703 0,3646572
VT-14 0,2557429 0,4874368 0,3716684
metoda kolejnych przybliżeń
ilość iteracji i = 4 i = 13 i = 16
żeliwo szare 0,2070599 0,4397179 0,3641202
VT-14 0,2557517 0,4878709 0,3723225
Właściwości termofizyczne materiałów ciernych zamieszczono w tab. 2.2.1.
Obliczenia temperatury przeprowadzono dla trzech punktów czasowych (/s 0,01;0,5;1) za pomocą metody kolejnych przybliżeń, a następnie skon-frontowano z wartościami z podrozdziału 2.2.1, gdzie obliczenia wykonano za
pomocą metody parametrów linearyzujących. Porównanie temperatury dla trzech wartości bezwymiarowego czasu zamieszczono w tab. 3.1.1 dla pary A315 – VT-14 oraz w tab. 3.1.2 dla pary żeliwo szare – VT-VT-14. W powyższych tabelach za-mieszczono wartości temperatury oraz liczbę iteracji ( i ) potrzebnych do ich obli-czenia za pomocą metody kolejnych przybliżeń. Dla obu analizowanych par cier-nych wraz ze wzrostem wartości punktu czasowego ( / ) liczba iteracji niezbęd-s na do osiągnięcia wymaganego poziomu zbieżności również wzrasta. Wartości temperatury obliczone za pomocą metody parametrów linearyzujących oraz meto-dy kolejnych przybliżeń właściwie są takie same do trzeciego miejsca po przecinku (tab. 3.1.1 i 3.1.2).
W drugiej części analizy przeprowadzono obliczenia bezwymiarowej tempe-ratury, za pomocą metody kolejnych przybliżeń, dla dwóch par ciernych złożonych z materiałów charakteryzujących się dowolną nieliniowością. Do analizy wybrano dwa materiały dla tarczy hamulcowej stop aluminium AL MMC i stal FC250. Na materiał nakładki wybrano metaloceramikę MCV-50. Właściwości termofizyczne materiałów dla temperatury 20 C zamieszczono w tab. 3.1.3. Zależności współ-czynnika przewodzenia ciepła i ciepła właściwego od temperatury dla materiałów AL MMC i FC250 zostały zaczerpnięte z pracy [65], a dla MCV-50 z artykułu [7].
Aproksymacje tych zależności przedstawione w postaci wielomianów (3.1.13) i (3.1.14) zostały pokazane na rys. 3.1.2, a wartości współczynników tych wielo-mianów Al,n, Bl,n i Cl,n zamieszczono w tab. 3.1.4.
Tab. 3.1.3. Właściwości termofizyczne materiałów dla temperatury początkowej T020C.
Materiał K ,0 Wm 1 C1 k106, m2s1 c0,J/(kgK)
AL MMC 155,75 65 ,3 874
FC250 42,38 11 ,7 503
MCV-50 27,927 11,35 464,18
Obliczenia zostały przeprowadzone dla następujących parametrów wejścio-wych: q0 1 MW/m2, a0,005 m, Bi5.
Ewolucje bezwymiarowej temperatury na powierzchni kontaktu nakładki i tarczy hamulcowej zaprezentowano na rys. 3.1.3 dla stałej prędkości poślizgu, a dla hamowania z jednostajnym opóźnieniem na rys. 3.1.4. Obliczenia temperatu-ry zostały przeprowadzone dla stałych (linie przetemperatu-rywane) i zależnych od tempera-tury (linie ciągłe) właściwości termofizycznych materiałów pary ciernej.
W przypadku poślizgu ze stałą prędkością różnica ewolucji temperatury, obli-czonej przy stałych właściwościach materiałów i z uwzględnieniem ich termowraż-liwości, wzrasta wraz z upływem czasu nagrzewania tarciowego (rys. 3.1.3 a, b).
Zjawisko to najbardziej widoczne jest w przypadku materiału nakładki oraz
znacz-nie mznacz-niej dla materiałów tarczy hamulcowej. Uwzględznacz-nieznacz-nie termowrażliwości materiału nakładki powoduje podwyższenie temperatury na jej powierzchni robo-czej, ponieważ współczynnik przewodzenia ciepła materiału MCV-50 monoto-nicznie zmniejsza się wraz ze wzrostem temperatury (rys. 3.1.2). W tym samym czasie współczynnik przewodzenia ciepła i ciepło właściwe materiałów tarczy (AL. MMC i FC250) rosną wraz z temperaturą, co powoduje obniżenie temperatu-ry na ich powierzchniach ciernych.
Rys. 3.1.2. Zależności bezwymiarowych współczynnika przewodzenia ciepła K* (linie ciągłe) i ciepła właściwego c* (linie przerywane) od bezwymiarowej temperatury T* dla: 1 - AL MMC; 2 - FC 250;
3 - MCV-50.
Tab. 3.1.4. Wartości współczynników wielomianów (3.1.4) i (3.1.36) dla analizowanych materiałów.
n 0 1 2 3
FC250
An – 1,396E–4 1,391E–6 –4,925E–9
Bn – 3,44E–4 2,305E–6 –3,514E–9
Cn 0,1113 1,0092 –0,0417 0,0123
AL MMC
An – 1,749E–3 –1,013E–5 1,663E–8
Bn – 1,027E–3 –3,549E–6 7,326E–9
Cn 0,1109 0,9707 –0,0251 0,0105
MCV-50
An – –1,166E–3 1,11E–6 –1,89E–10
Bn – 6,69E–4 1,691E–6 –1,542E–9
Cn 0,1131 0,9975 0,1085 0,1085
a)
b)
Rys. 3.1.3. Ewolucje bezwymiarowej temperatury T* na powierzchni ciernej materiałów z istotną nieliniowością podczas poślizgu ze stałą prędkością: a) MCV-50 (1) - AL MMC (2); b) MCV-50 (1) - FC250 (2). Obliczenia wykonane przy stałych (linie przerywane) i zależnych od temperatury (linie ciągłe) właściwościach termofizycznych materiałów pary ciernej.
a)
b)
Rys. 3.1.4. Ewolucje bezwymiarowej temperatury T* na powierzchni ciernej materiałów z istotną nieliniowością podczas hamowania ze stałym opóźnieniem, dla τs = 2: a) MCV-50 (1) - AL MMC (2); b) MCV-50 (1) - FC250 (2). Obliczenia wykonano przy stałych (linie przerywane) i zależnych od temperatury (linie ciągłe) właściwościach termofizycznych materiałów pary ciernej.
a)
b)
Rys. 3.1.5. Zmiana liczby iteracji w bezwymiarowym czasie : a) poślizg ze stałą prędkością:
AL MMC - MCV-50 (1), FC 250 - MCV-50 (2); b) hamowanie z jednostajnym opóźnieniem.
Wpływ czułości termicznej materiałów na ewolucję temperatury podczas ha-mowania z jednostajnym opóźnieniem jest najbardziej widoczny po około połowie drogi hamowania, gdy temperatura osiąga maksymalną wartość (rys. 3.1.4 a, b).
Temperatura na powierzchni kontaktu nakładki jest zawsze wyższa niż temperatura na powierzchni ciernej tarczy hamulcowej. Wynika to z faktu, że wartość współ-czynnika przewodzenia ciepła materiału nakładki (MCV-50) jest znacznie mniej-sza niż materiałów tarczy hamulcowej (AL MMC, FC250).
Zmianę liczby iteracji na każdym kroku czasowym niezbędnych do osiągnię-cia zakładanej zbieżności zgodnie z normą euklidesową (3.1.37) przedstawiono na rys. 3.1.5. Dla obu rodzajów poślizgu liczba iteracji dla pary MCV-50 – AL MMC zwiększa się wraz ze wzrostem bezwymiarowego czasu. Podczas poślizgu ze stałą prędkością maksymalna liczba iteracji jest równa 10 i zostaje osiągnięta w 0,8 (rys. 3.1.5 a). Natomiast w przypadku hamowania ze stałym opóźnieniem liczba iteracji wzrasta aż do czasu zatrzymania, osiągając maksymalną wartość 13 (rys.
3.1.5 b). Liczba iteracji w przypadku pary ciernej MCV-50 – FC250 dla obu rozpa-trywanych prędkości poślizgu rośnie wraz z początkiem procesu, osiągając mak-symalną wartość równą 9, a następnie spada i ustala się na wartości 8 aż do końca procesu poślizgu.
3.1.5. Wnioski
Opracowano jednowymiarowy matematyczny model generacji ciepła na skutek działania sił tarcia w układzie tribologicznym nakładka-tarcza dla przypadku ha-mowania z jednostajnym opóźnieniem. W tym modelu uwzględniono nieidealny tarciowy kontakt cieplny nakładki z tarczą oraz istotną wrażliwość termiczną mate-riałów. Schemat rozwiązania odpowiedniego nieliniowego zagadnienia początko-wo-brzegowego przewodzenia ciepła można podzielić na dwa etapy. Najpierw przeprowadzono częściową linearyzację zagadnienia przy użyciu podstawienia Kirchhoffa, a następnie do znalezienia rozwiązania otrzymanego nieliniowego zagadnienia początkowo-brzegowego względem funkcji Kirchhoffa zbudowano algorytm iteracyjny. Za zerowe przybliżenie przyjęto analityczne rozwiązanie od-powiedniego liniowego zagadnienia początkowo-brzegowego. Parametrami itera-cyjnymi w kolejnych przybliżeniach jest liczba Biota związana ze współczynni-kiem przewodnictwa cieplnego kontaktu oraz względna dyfuzyjność cieplna mate-riałów nakładki i tarczy.
Weryfikacja zaproponowanego algorytmu iteracyjnego została przeprowadzo-na poprzez porówprzeprowadzo-nanie otrzymanych za jego pomocą rezultatów, w przypadku materiałów posiadających prostą nieliniowość termiczną, z odpowiednimi rezulta-tami otrzymanymi w podrozdziale 2.2.4. za pomocą metody współczynników li-nearyzujących.
Następnie przeprowadzona została analiza numeryczna otrzymanego rozwią-zania nieliniowego zagadnienia początkowo-brzegowego przewodzenia ciepła z uwzględnieniem nagrzewania tarciowego podczas hamowania ze stałym opóź-nieniem tarczy i nakładki wykonanych z materiałów o istotnej nieliniowości micznej (MCV-50 – AL MMC, MCV-50 – FC250). Zbadano wpływ czułości ter-micznej materiałów na ewolucję temperatury powierzchni roboczych nakładki i tarczy w odniesieniu do temperatury znalezionej przy stałych właściwościach tych materiałów.