4. Temperatura i naprężenia cieplne tarczy hamulcowej z powłoką
4.2. Istotna nieliniowość termiczna
4.2.1. Sformułowanie zagadnienia
W tym podrozdziale rozpatrywany jest układ dwóch ciał złożony z warstwy 0zd1 (powłoki) naniesionej na powierzchnię jednorodnej półprzestrzeni
0
z (tarczy) (rys. 4.2.1). Powierzchnia z warstwy jest ogrzewana strumie-d1 niem ciepła o intensywności q(t)q0q(t), 0tts, gdzie q0 q(0), q(t) jest bezwymiarową funkcją czasu t , opisującą zmianę gęstości mocy tarcia podczas hamowania, a ts jest to czas zatrzymania. Założono, że kontakt cieplny między warstwą a półprzestrzenią jest doskonały, a w początkowej chwili czasu t0 tem-peratura układu jest stała i równa T0. Parametry i wielkości odnoszące się do war-stwy będziemy oznaczać dolnym wskaźnikiem l = 1, a do półprzestrzeni – l = 2.
Rys. 4.2.1 Schemat nagrzewania tarczy.
Materiały obu ciał charakteryzują się istotną nieliniowości termiczną, tzn.
właściwości cieplno-fizyczne oraz mechaniczne mogą zmieniać się pod wpływem temperatury w sposób dowolny:
) ( ),
( )
(T K,0K*T K,0 K T0
Kl l l l l l l , cl(Tl)cl,0c*l(Tl),cl,0cl(T0), (4.2.1) )
( ),
( )
(Tl l,0 *l Tl l,0 l T0
l
,El(Tl)El,0El*(Tl),El,0 El(T0), (4.2.2) )
( ),
( )
(Tl l,0 *l Tl l,0 l T0
l
, l(Tl)l,0l(Tl), l,0 l(T0) , (4.2.3) gdzie Kl(Tl),cl(Tl),l(Tl),El(Tl),l(Tl),l(Tl), l1,2 – są to bezwymiarowe funkcje temperatury.
Jednowymiarowe nieustalone pole temperatury T(z,t) znajdziemy z rozwiąza-nia następującego nieliniowego zagadnierozwiąza-nia początkowo-brzegowego przewodnic-twa cieplnego:
ts
odległość od powierzchni z = 0, na której wartość temperatury wynosi 5% wartości maksymalnej na tej powierzchni. W elementach ciernych tarczowych układów hamulcowych do oszacowania tego parametru stosuje się wzór d2 3k2,0ts [29].
Oznaczając:
2
zagadnienie (4.2.1)–(4.2.7) zapiszemy w postaci bezwymiarowej:
,
)
Początkowo-brzegowe zagadnienie przewodnictwa cieplnego (4.2.12)–
(4.2.18) odnosi się do klasy zagadnień posiadających wewnętrzną (operator róż-niczkowy), jak również zewnętrzną (warunki brzegowe) istotą nieliniowość ter-miczną [27].
4.2.2. Rozkład temperatury
Nieliniowe początkowo-brzegowe zagadnienie przewodnictwa cieplnego (4.2.12)–
(4.2.18) rozwiążemy metodą prostych z wykorzystaniem schematu całkowo-interpolacyjnego [95, 132]. W tym celu wprowadzimy siatkę:
2
i oznaczymy:
)] Całkując równania różniczkowe przewodnictwa cieplnego (4.2.12) względem zmiennej przestrzennej w przedziałach 1,j0,51,j0,5, j1,2,...,n11,
Z uwzględnieniem oznaczeń (4.2.20)–(4.2.22), na podstawie twierdzenia o średniej wartości z równania (4.2.23) otrzymujemy:
Z równań (4.2.29) i (4.2.30) znajdujemy:
1
Podstawiając funkcję w1,j0,5() (4.2.31)–(4.2.34) do lewej strony równania (4.2.25), znajdujemy:
.
Stosując analogiczny schemat całkowania do równania różniczkowego (4.2.13), otrzymujemy:
, otrzymujemy:
Przy j0 ze wzoru (4.2.32) znajdujemy:
co pozwala zapisać równanie (4.2.43) w postaci:
rów-nania (4.2.13), otrzymujemy:
z uwzględnieniem równości temperatur (4.2.40), znajdujemy:
, Dyskretny analog warunku brzegowego (4.2.14) ma postać:
)
Całkując równanie (4.2.12) względem w przedziale
Uwzględniając wzory (4.2.53) i (4.2.55) w warunku brzegowym (4.2.51), otrzymu-jemy:
Warunek brzegowy (4.2.17) zapiszemy w postaci:
,1
Z uwzględnieniem związku:
2
oraz równości (4.2.58), z warunku brzegowego (4.2.57) otrzymujemy:
W rezultacie przeprowadzonej wyżej procedury przestrzennej dyskretyzacji nieliniowe początkowo-brzegowe zagadnienie przewodnictwa cieplnego (4.2.12)–
(4.2.18) sprowadzono do następującego zagadnienia początkowego dla układu
2 1
Rozwiązanie numeryczne nieliniowego zagadnienia Cauchy’ego (4.2.62)–
(4.2.67) otrzymano metodą Adamsa z rządem aproksymacji 1NQ7, realizo-waną w procedurze DIFSUB [48–50]. Należy zaznaczyć, że procedura ta wykonu-je obliczenia na wykonu-jednym kroku czasowym. Dlatego przeprowadzenie numeryczne-go całkowania zagadnienia (4.2.12)–(4.2.18) w przedziale czasowym 0s
wymagało wielokrotnego jej wywołania. Pierwszy krok czasowy całkowania, o zadanej wielkości H, wykonywano zawsze przy NQ = 1, a następnie rząd aprok-symacji dobierany był przez program automatycznie. Procedura posiada również możliwość automatycznego dopasowania H do wartości uznanej przez nią za op-tymalną. Na wyjściu po wykonaniu każdego kroku obliczeń parametr H przyjmo-wał wartość, przy której proponowane jest wykonanie następnego kroku. Wartość ta nie zawsze była akceptowana, wówczas ustawiano ją "ręcznie". W rezultacie pod-stawę do znalezienia naprężeń cieplnych.
4.2.3. Naprężenia cieplne w warstwie
Nieustalone pole temperatury T1(z,t),0zd,0tts powoduje powstanie w warstwie dwóch niezerowych składowych tensora naprężeń
)
j w warstwie wyznaczamy ze wzorów [117]:
)]
Należy zaznaczyć, że funkcje podcałkowe we wzorach (4.2.70) i (4.2.71) są zadane w węzłach siatki ,1,j j0,1,...,n1. Do obliczenia całek w tych wzorach wykorzy-stano program całkowania numerycznego AVINT [33].
4.2.4. Analiza numeryczna
Na podstawie otrzymanych rozwiązań przeprowadzono analizę numeryczną roz-kładów temperatury i naprężeń cieplnych dla stalowej tarczy hamulcowej (AISI 1040) z warstwą YSZ. Właściwości obu materiałów przy T0 20C oraz ich zmiany wraz ze wzrostem temperatury opisują funkcje [128, 131, 139]:
YSZ: wy-konano z uwzględnieniem (linie ciągłe) i bez uwzględnienia (linie przerywane) wrażliwości termicznej materiałów (rys. 4.2.2–4.2.5).
Ewolucje bezwymiarowej temperatury T(4.2.11) w YSZ warstwie oraz w stalowej tarczy dla kilku bezwymiarowych odległości pokazano na rys. 4.2.2.
W ustalonym momencie czasu największe wartości temperatura osiąga na nagrze-wanej powierzchni 1 warstwy (rys. 4.2.2a). Wraz z oddaleniem się od tej po-wierzchni temperatura zmniejsza się – jej maksymalna wartość na interfejsie ζ = 0 jest trzy razy niższa niż na powierzchni ζ = 1. Natomiast w chwili zatrzymania, na ogrzewanej powierzchni i interfejsie, temperatury różnią się nieznacznie. Wyraźnie zauważalny w warstwie jest również tak zwany "efekt opóźnienia" polegający na przesunięciu wraz ze zwiększeniem odległości od nagrzewanej powierzchni war-stwy, chwili osiągania maksimum temperaturowego w kierunku czasu zatrzyma-nia. Temperatura tarczy jest znacznie niższa niż warstwy (rys. 4.2.2b). Lokalne maksimum temperaturowe jest zauważalne na interfejsie ζ = 0 łączącym warstwę z tarczą. Wewnątrz tarczy wraz z rozpoczęciem hamowania temperatura zwiększa się monotonicznie do wartości maksymalnej w chwili zatrzymania. Temperatura znaleziona z uwzględnieniem termowrażliwości materiałów (linie ciągłe) jest niż-sza niż otrzymana przy stałych ich właściwościach (linie przerywane). Najwiękniż-sza różnica temperatur termicznie wrażliwych i niewrażliwych materiałów TBC wy-stępuje na ogrzewanej powierzchni warstwy ζ = 1 (rys. 4.2.2a). W całym przekroju warstwy na poszczególnych głębokościach różnice temperatur, obliczonych z i bez uwzględnienia wrażliwości termicznej materiałów, są zauważalne tylko w początkowym okresie hamowania, kiedy temperatury te rosną wraz z upływem czasu do wartości maksymalnych. Wpływ wrażliwości termicznej materiałów na temperaturę w tarczy jest większy niż w warstwie (rys. 4.2.2b). Różnica pomiędzy temperaturami, obliczonymi z i bez uwzględnienia wrażliwości termicznej materia-łów zauważalna jest już od początku procesu hamowania i utrzymuje się aż do chwili zatrzymania.
Izotermy otrzymane z i bez uwzględnienia wrażliwości termicznej materiałów warstwy i tarczy zaprezentowano na rys. 4.2.3. Widzimy, że na interfejsie ζ = 0 temperatury warstwy i tarczy w każdej chwili czasu są sobie równe, co świadczy o spełnieniu warunku brzegowego (4.2.7). Wpływ wrażliwości termicznej YSZ na temperaturę warstwy jest zauważalny na nagrzewanej powierzchni ζ = 1 i w jej pobliżu. Przestrzenno-czasowe rozkłady izoterm w tarczy potwierdzają zauważone wcześniej na rys. 4.2.2 znaczne różnice temperatur otrzymanych z i bez uwzględ-nienia wrażliwości termicznej stali AISI 1040.
a)
b)
Rys. 4.2.2. Ewolucje bezwymiarowej temperatury T* w warstwie TBC (a) i tarczy (b) dla wybranych odległości |ζ| od nagrzewanej powierzchni. Linie ciągłe –z uwzględnieniem termicznej wrażliwości materiałów, linie przerywane – przy stałych właściwościach materiałów.
Rys. 4.2.3. Rozkład bezwymiarowej temperatury T* w warstwie i tarczy podczas hamowania z stałym opóźnieniem. Linie ciągłe – z uwzględnieniem termicznej wrażliwości materiałów, linie przerywane – przy stałych właściwościach materiałów.
Na podstawie znalezionego pola temperatury w warstwie zbadano ewolucję normalnego bezwymiarowego naprężenia cieplnego 1 (4.2.68)–(4.2.73) w proce-sie hamowania dla kilku wartości zmiennej przestrzennej (rys. 4.2.4). W począt-kowym okresie hamowania 0/s0,2 naprężenia na interfejsie 0 i nagrzewanej powierzchni 1 są ściskające, przy czym na tej ostatniej wartość bezwzględna naprężenia jest największa. W ustalonym momencie czasu wraz z oddaleniem od obu powierzchni pojawiają się naprężenia rozciągające. Z upły-wem czasu wartości bezwzględne tych naprężeń redukują się. W chwili czasu
s
0,32 naprężenia zmieniają znaki na przeciwne. Największe wartości rozcią-gających naprężeń występują na ogrzewanej powierzchni 1 w chwili zatrzy-mania przy uwzględnieniu wrażliwości termicznej YSZ.
Izolinie bezwymiarowych naprężeń 1(,) pokazano na rys. 4.2.5. Najwięk-sze spiętrzenie izolinii występuje w początkowej fazie hamowania. W tym prze-dziale czasowym wraz z początkiem hamowania bezpośrednio pod nagrzewaną powierzchnią generowane są ściskające naprężenia o maksymalnej wartości bez-względnej 140, . Obszar ściskających naprężeń, w tym samym okresie czasowym, występuje również w paśmie 00,2 w pobliżu interfejsu łączącego warstwę z tarczą. Maksymalna bezwzględna wartość powstających w tym obszarze naprę-żeń równa się 0,07.Pomiędzy dwoma obszarami naprężeń ściskających w rozpatrywanym przedziale czasowym zawarty jest obszar naprężeń
rozciągają-cych o wartości maksymalnej 040, . Ochłodzenie powierzchni warstwy 1, na-stępujące po osiągnięciu na niej temperatury maksymalnej (Fig. 4.2.2a) i powoduje zmniejszenie wartości bezwzględnej naprężeń ściskających. Widocznym efektem tej redukcji jest zejście z tej powierzchni w chwili 0,32s zerowej izolinii oraz następnie pojawienie się naprężeń rozciągających. Zauważalne wartości tych na-prężeń 0,01powstają tylko przy uwzględnieniu wrażliwości termicznej YSZ.
Rys. 4.2.4. Ewolucje bezwymiarowych normalnych naprężeń cieplnych * w warstwie TBC na wybranych głębokościach ζ od nagrzewanej powierzchni. Linie ciągłe – z uwzględnieniem termicznej wrażliwości materiałów, linie przerywane – przy stałych właściwościach materiałów.
Rys. 4.2.5. Izolinie bezwymiarowych normalnych naprężeń cieplnych * w warstwie podczas hamowania z jednostajnym opóźnieniem. Linie ciągłe – z uwzględnieniem termicznej wrażliwości materiałów, linie przerywane – przy stałych właściwościach materiałów.
4.2.5. Wnioski
W powyższym podrozdziale zaproponowano schemat obliczeniowy do znalezienia temperatury i naprężeń cieplnych generowanych na skutek nagrzewania tarciowe-go tarczy z warstwą TBC podczas jednorazowetarciowe-go hamowania. W tym celu sformu-łowano jednowymiarowe początkowo-brzegowe zagadnienie przewodnictwa cieplnego dla układu warstwa-podłoże z uwzględnieniem wrażliwości termicznej materiałów o istotnej nieliniowości. Rozwiązanie numeryczne takiego zagadnienia otrzymano w dwóch etapach. W pierwszym przeprowadzono przestrzenną dyskre-tyzację wejściowego, nieliniowego początkowo-brzegowego zagadnienia prze-wodnictwa cieplnego za pomocą całkowo-interpolacyjnej metody. Otrzymany nieliniowy układ ODE na etapie drugim rozwiązano metodą Adamsa, zaimplemen-towaną w pakiecie DIFSUB. Należy zaznaczyć, że taki schemat obliczeniowy po-mija etap częściowej linearyzacji wejściowego nieliniowego zagadnienia za pomo-cą podstawień typu Kirchhoffa prezentowanego w poprzednim rozdziale. A więc staje się zbędnym skomplikowany etap powrotu od zmiennej Kirchhoffa do tempe-ratury na samym końcu procedury obliczeniowej. Inną zaletą zaproponowanego schematu obliczeniowego jest łatwość w spełnieniu warunku równości temperatury warstwy i podłoża na interfejsie. Stosowanie podstawienia Kirchhoffa do zagad-nień nieustalonego przewodnictwa cieplnego z takim warunkiem brzegowym jest nieefektywne.
Dodatkowo na podstawie znalezionego pola temperatury ustalono przestrzen-no-czasowe rozkłady quasi-statycznych naprężeń cieplnych w warstwie TBC z zależnymi od temperatury właściwościami mechanicznymi.
Obliczenia wykonano dla warstwy wykonanej z YSZ i stalowej (AISI 1040) tarczy. Dla takiego zestawienia materiałów ustalono, że:
nieuwzględnienie wrażliwości termicznej materiałów przy wykonaniu ob-liczeń zawyża wartości temperatury. Zauważalna różnica wartości tempe-ratury, znalezionych z i bez uwzględnienia zmian temperaturowych wła-ściwości cieplno-fizycznych materiałów ma miejsce na nagrzewanej po-wierzchni warstwy YSZ w chwili osiągnięcia przez temperaturę wartości maksymalnej. Natomiast w stalowej tarczy różnica ta jest wyraźna na całej efektywnej głębokości przenikania ciepła od początku hamowania aż do zatrzymania;
w przedziale czasu 00,2s w warstwie, w pobliżu nagrzewanej po-wierzchni 1 oraz interfejsu 0, występują obszary ściskających na-prężeń cieplnych, rozdzielone obszarem nana-prężeń rozciągających. Na eta-pie obniżenia temperatury na ogrzewanej powierzchni po osiągnięciu war-tości maksymalnej pojawiają się na niej normalne naprężenia rozciągające.
Czas zmiany znaku normalnych naprężeń ze ściskających na rozciągające
jest dłuższy, a wartości naprężeń rozciągających są większe przy uwzględ-nieniu w obliczeniach wrażliwości termicznej materiałów.
Zmiana znaku normalnych naprężeń odgrywa decydującą rolę w inicjalizacji pęknięć termicznych na powierzchni ciernej [89]. Jeżeli wartość naprężeń rozcią-gających przekroczy granice wytrzymałości na rozciąganie YSZ może dojść do powstania przypowierzchniowych mikropęknięć. Zaproponowany model oblicze-niowy pozwala tak dobrać parametry wejściowe procesu hamowania dla zadanej tarczy z warstwą TBC, aby uniknąć tego niepożądanego zjawiska.
Część badań zaprezentowanych w tym rozdziale została opublikowana w pracach [154, 156, 162].