Metoda prostych

Omówione w poprzednich podrozdziałach metody rozwiązywania nieliniowych zagadnień cieplnych tarcia polegają na znalezieniu rozwiązania odpowiedniego zagadnienia liniowego w postaci analitycznej, gdy materiały pary ciernej mają stałe właściwości termofizyczne. Rozwiązania takie, przy stałym ciśnieniu kontak-towym i liniowo zmniejszającej się prędkości (hamowanie ze stałym opóźnie-niem), otrzymano w niniejszej monografii za pomocą aparatu matematycznego transformacji całkowej Laplace’a. Natomiast wykorzystanie tej metody przy mo-notonicznym zwiększeniu ciśnienia w procesie hamowania uniemożliwia skompli-kowana postać rozwiązania w przestrzeni transformat i wynikające z niej trudności przejścia do przestrzeni oryginałów [166]. W takich przypadkach bardziej efek-tywnym sposobem rozwiązywania nieliniowych zagadnień są metody numeryczne, a wśród nich: skończono-różnicowe schematy – jawne, niejawne, jawno-niejawne itp. [95, 110]. W tym podrozdziale, w celu rozwiązania tego typu problemu, zosta-nie opracowana metodyka polegająca na wstępnej częściowej linearyzacji zosta- nieli-niowego zagadnienia początkowo-brzegowego przewodzenia ciepła, a następnie skoczono-różnicowa aproksymacja pochodnych cząstkowych względem zmiennej przestrzennej i ostatecznie numeryczne rozwiązywanie otrzymanego układu nieli-niowych równań różniczkowych zwyczajnych. Ostatnie dwa etapy tego schematu są znane w literaturze naukowej jako metoda prostych [56, 146].

3.2.1. Sformułowanie zagadnienia

Schemat kontaktu dwóch półprzestrzeni wykonanych z materiałów o istotnej nieli-niowości termicznej został pokazany na rys. 3.1.1. W odróżnieniu od zagadnienia cieplnego tarcia, rozpatrzonego w podrozdziale 3.1 zakładamy, że ciśnienie doci-skające ciała zwiększa się monotonicznie wraz z czasem hamowania według na-stępującej zależności [167, 168]:

tm

t

e t p t p p t

p() ₀ ^( ), ^( )1 ^ , 0tt_s, (3.2.1) gdzie t_m0 jest to czas narastania ciśnienia od zera w chwili początkowej t0 do wartości nominalnej p w chwili zatrzymania ₀ t . Redukcję prędkości pod-t_s czas hamowania opisuje następujące zagadnienie początkowe dla równania ruchu [166]:

Aa

t p dt f

t dV V

W ( ) ( )

2

2 0 0

0  , 0tt_s, V(0) , V₀ (3.2.2) gdzie f jest współczynnikiem tarcia, ₀ W – początkowa energia kinetyczna ukła-₀ du, A – pole nominalnego obszaru kontaktu nakładki z tarczą (pole powierzchni _a ciernej nakładki), a czas hamowania t wyznaczamy z warunku zatrzymania _s

0 ) (t_s 

V . Rozwiązanie zagadnienia (3.2.2) ze zmiennym w czasie ciśnieniem (3.2.1) ma postać:

s s

m s

t t t t p t t t t V t V V t

V( ) ₀ ^( ), ^()1 ₀  ₀ ^( ),0  , (3.2.3) gdzie

0 0 0

0 2 0

V A p f t W

a

s  . (3.2.4)

Przechodząc we wzorach (3.2.1) i (3.2.3) do granicy t_m0, otrzymujemy:

1 ) ( 

 t

p , ( ) 1 ₀,0 ⁰_s

s

t t t

t t

V^     . (3.2.5)

Ze wzorów (3.2.5) wynika, że parametr t⁰_s (3.2.4) jest to czas trwania hamo-wania rozpatrywanego układu ciernego w przypadku natychmiastowego osiągnię-cia przez ciśnienie wartości nominalnej p oraz liniowego zmniejszania prędkości ₀ (tak zwane hamowanie z jednostajnym opóźnieniem). Analityczne i analityczno-numeryczne metody rozwiązywania nieliniowych zagadnień cieplnych tarcia pod-czas hamowania z jednostajnym opóźnieniem zostały omówione w rozdziale dru-gim i w podrozdziale 3.1 niniejszej monografii. W tym podrozdziale rozpatrzymy bardziej ogólny przypadek nagrzewania tarciowego dwóch półprzestrzeni ze zmiennym w czasie ciśnieniem p(t) (3.2.1), prędkością V(t) (3.2.3) oraz odpo-wiadającej im gęstością mocy sił tarcia:

) ( )

(t q₀q t

q  ^ , q₀  f₀p₀V₀, q^(t) p^(t)V^(t), 0tt_s. (3.2.6)

Przyjmując pozostałe założenia modelowe takie same, jak w podrozdziale 3.1, nieustalone pola temperatury T_l( tz, ), l1,2 w elementach układu ciernego znaj-dziemy z rozwiązania następującego zagadnienia początkowo-brzegowego prze-wodzenia ciepła:

,

3.2.2. Rozwiązanie zagadnienia

Stosując do nieliniowego zagadnienia początkowo-brzegowego przewodzenia cie-pła (3.2.7)–(3.2.12) podstawienie Kirchhoffa (3.1.15), otrzymujemy:





Rozwiązania nieliniowego zagadnienia początkowo-brzegowego (3.2.15)–

(3.2.21) względem funkcji Kirchhoffa _l(,), l1,2 szukamy metodą prostych [34]. W celu tym wprowadzimy centralne skończono-różnicowe aproksymacje pochodnych cząstkowych rzędu pierwszego i drugiego względem bezwymiarowej zmiennej przestrzennej  [137]:

l speł-niony został warunek brzegowy (3.2.19), tzn.:

) 0 Z uwzględnieniem wzorów aproksymacyjnych (3.2.22) i (3.2.23) zagadnienie po-czątkowo-brzegowe (3.2.15)–(3.2.21) zapiszemy w postaci:

, przyjmują postać:

)]

Podstawiając funkcje _l,1(), l1,2 (3.2.35)–(3.2.37) do prawych stron równań (3.2.34), znajdujemy:

)] i (3.2.39) zapiszemy w postaci macierzowej:

]

Rozwiązanie numeryczne nieliniowego zagadnienia początkowego (3.2.40)–

(3.2.43) otrzymano metodą Adamsa, realizowaną w procedurze DIFSUB napisaną w języku FORTRAN [48, 50, 137]. Procedura DIFSUB służy do wykonania jed-nego kroku obliczeń [49]. Numeryczne scałkowanie rozpatrywajed-nego zagadnienia początkowego w przedziale 0_s wymagało wielokrotnego wywołania proce-dury, aż do osiągnięcia końca przedziału, to jest bezwymiarowego czasu zatrzyma-nia  . W wyniku czego została ustalona zmiana w bezwymiarowym czasie _s Jak wykazano w podrozdziale 3.1, w przypadku postaci wielomianowej funkcji

) wielomianu:







     ^Nl   

n

n l n l

l T C

T

0 ,

0 [ ( , )]

) ,

( ,  , 0_s, l1,2, (3.2.44) gdzie C_l,n są to znane współczynniki aproksymacyjne. Jeżeli właściwości termicz-ne materiałów półprzestrzeni są stałe (K_l^(T_l^)=c_l^(T_l^)k_l^(T_l^)1), to zależność (3.2.44) staje się liniowa:

) , ( )

,

(   ₀^^  



l

l T

T ,  , 0_s, l1,2. (3.2.45) W węzłach siatki { } (3.2.25) zależności (3.2.44) i (3.2.45) przyjmą odpowied-_l,j nio postacie:







    ^Nl  

n

n j l n l j

l T C

T

0

, , 0

, ( ) [ ( )] , 0_s, j0,1,...,n_l, l1,2, (3.2.46) )

( )

( _{0 ,}

,   ^ 



j l j

l T

T ,  , 0_s, j0,1,...,n_l, l1,2. (3.2.47) Zatem znalezienie temperatury ciał z materiałów o istotnej nieliniowości ter-micznej, z wykorzystaniem metody prostych, sprowadza się do realizacji następu-jących kroków:

1) ustalenie wartości parametrów wejściowych:

Bi, q , ₀ T , ₀  , _m  , _s K_l,0, c_l,0,  , _l  , _l n , _l l1,2; 2) obliczenie wartości:



K0, k₀^, T , _a T₀^, k_l,0,  , _l l1,2;

3) podstawienie k_l^_,j1, j0,1,...,n_l oraz T_l^_,0 _l,0, l1,2 na pierwszym przedziale całkowania 0₁;

4) numeryczne rozwiązanie za pomocą procedury DIFSUB nieliniowego za-gadnienia początkowego (3.2.40)–(3.2.43) względem funkcji Kirchhoffa

)

, (

_{l j} , 0₁, j0,1,...,n_l, l1,2;

5) określenie za pomocą związków (3.2.46) ewolucji bezwymiarowej tempe-ratury T_l,^_j(), 0_s, j0,1,...,n_l;

6) przeliczenie wartości k_l^_,j, j0,1,...,n_l, l1,2, za pomocą wzorów (3.2.21) i (3.2.33);

7) przejście do kolejnego przedziału czasowego ₁₂, a następnie do punktu 4) tego schematu algorytmu. Powtarzanie obliczeń aż do osiągnię-cia przez bezwymiarową zmienną  wartości końcowej  . _s

3.2.3. Analiza numeryczna

Obliczenia ewolucji i pól temperatury, z wykorzystaniem zaprezentowanej powy-żej metody prostych, zostały przeprowadzone dla takich samych parametrów wej-ściowych (q₀ 1 MW/m², a0,005 m, Bi5) i materiałów pary ciernej stop aluminium AL MMC (tarcza hamulcowa) – metaloceramika MCV-50 (nakładka), jak w podrozdziale 3.1.4. Właściwości termofizyczne materiałów w temperaturze 20 C zostały zamieszczone w tab. 3.1.3. Zależności właściwości cieplnych (współczynnika przewodzenia ciepła i ciepła właściwego) od temperatury zapre-zentowano na rys. 3.1.2, a wartości współczynników A , _l B , _l C wielomianów _l (3.1.13) i (3.1.14) określających charakter tych zmian oraz zależność funkcji Kir-chhoffa od temperatury (3.2.46) zamieszczono w tab. 3.1.4. Dobrano następujące parametry siatki (2.2.25): ₁₂ 4, n₁n₂. układ nn₁n₂2 równań róż-niczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu (3.2.40)–(3.2.43) został rozwiązany za pomocą metody Adamsa zaimplementowanej w procedurze DIFSUB [49].

Weryfikacją wyników otrzymanych za pomocą metody prostych będzie ich porównanie z rezultatami otrzymanymi za pomocą metody kolejnych przybliżeń, dla tej samej pary ciernej i parametrów wejściowych, zamieszczonych w podroz-dziale 3.1.4. Zbieżność wyników obliczeń uzyskanych za pomocą tych dwóch me-tod dla przypadku stałego poślizgu oraz hamowania z jednostajnym opóźnieniem zaprezentowano odpowiednio na rys. 3.2.1 i 3.2.2. Ewolucje temperatury na po-wierzchni kontaktu nakładki z tarczą hamulcową w przypadku stałego poślizgu (rys. 3.2.1) oraz liniowej prędkości hamowania (rys. 3.2.2), obliczone za pomocą metody prostych dla różnej wartości parametru n oznaczono linią ciągłą. Dla obu przypadków poślizgu w celu osiągnięcia żądanej dokładności obliczeń (wartość parametru EPS=10^–6 w procedurze DIFSUB) należy przyjąć wartość n30. Linią przerywaną na powyższych wykresach oznaczono ewolucję temperatury obliczoną przy użyciu metody kolejnych przybliżeń (rozdział 3.1.4). Wyniki obliczeń prze-prowadzonych obiema metodami są zbieżne. Porównanie wartości temperatury na powierzchni kontaktu dla przypadku hamowania z jednostajnym opóźnieniem ob-liczonych w trzech punktach czasowych (0,1, 1 i _s 2) metodą kolej-nych przybliżeń (podrozdział 3.1) oraz metodą prostych, dla różkolej-nych wartości pa-rametru n , przedstawiono w tab. 3.2.1.

Szczegółowy opis procedury DIFSUB oraz jej zastosowanie został opisany w monografii [74]. W tym rozdziale zostaną wymienione tylko najważniejsze szczegóły związane z wyborem kroku całkowania.

a)

b)

Rys. 3.2.1. Ewolucje bezwymiarowej temperatury T^* na powierzchni kontaktu podczas poślizgu ze stałą prędkością: a) AL MMC; b) MCV-50. Linie ciągłe - rezultaty obliczone za pomocą metody prostych dla różnych wartości n; linie przerywane - za pomocą metody kolejnych przybliżeń z podrozdziału 3.1.

a)

b)

Rys. 3.2.2. Ewolucje bezwymiarowej temperatury T^* na powierzchni kontaktu podczas hamowania z jednostajnym opóźnieniem dla s⁰s2: a) AL MMC; b) MCV-50. Linie ciągłe - rezultaty obliczone za pomocą metody prostych dla różnych wartości n; linie przerywane - za pomocą metody kolejnych przybliżeń z podrozdziału 3.1.

Tab. 3.2.1. Wpływ gęstości siatki na bezwymiarową temperaturę T^* na powierzchni ciernej obliczonej dla hamowania z jednostajnym opóźnieniem (_s⁰_s2) w trzech punktach czasowych.

n

1 ,

0

 1 _s 2

ALMMC MCV-50 ALMMC MCV-50 ALMMC MCV-50

8 0,135 0,138 0,266 0,302 0,265 0,302

14 0,156 0,164 0,306 0,365 0,272 0,301

20 0,168 0,184 0,314 0,374 0,267 0,289

30 0,178 0,210 0,316 0,374 0,264 0,282

T

[3.1] 0,198 0,244 0,318 0,374 0,263 0,282

Rys. 3.2.3. Długość kroku całkowania H, liczba zmian kroków NV oraz liczba powtórzeń na każdym z kroków NR dla obliczeń w przypadku hamowania z jednostajnym opóźnieniem (s⁰s2).

a)

b)

Rys. 3.2.4. Ewolucje bezwymiarowej temperatury na powierzchni ciernej AL MMC (a) i MCV-50 (b) dla trzech wartości bezwymiarowego czasu  przy _m ⁰s2. Linie ciągłe – obliczenia z uwzględnieniem termowrażliwości materiałów; linie przerywane – ze stałymi właściwościami termofizycznymi.

Należy zauważyć, że procedura DIFSUB pracuje tylko na jednym kroku obli-czeniowym. Więc scałkowanie początkowego zagadnienia (3.2.40)–(3.2.43) w przedziale 0_s wymaga wielokrotnego wywołania tej procedury. Oblicze-nia były implementowane z różną długością kroku całkowaOblicze-nia H i rzędem przybli-żenia 1NQ7. Pierwszy krok obliczeń został przeprowadzony dla NQ = 1, a następnie podczas obliczeń wartość ta była dobierana przez procedurę bez moż-liwości ingerencji użytkownika w jej zmianę. Natomiast długość kolejnego kroku całkowania może zostać zdefiniowana przez użytkownika lub dobrana przez pro-gram. W prezentowanych obliczeniach wybrano automatyczne dobieranie wartości H, kiedy procedura po każdym kroku obliczeń dobiera kolejny krok całkowania.

Mechanizm doboru rzędu aproksymacji i długości kroku całkowania został zapro-jektowany w ten sposób, aby był optymalny (możliwie jak największy). Pozwala to efektywnie scałkować zagadnienie początkowe z możliwie małą ilością kroków i w rezultacie skrócić czas obliczeń, to znaczy w przypadku, kiedy w trakcie roz-wiązywania zagadnienia nie jest wymagana redukcja długości kroku całkowania, procedura może go zwiększyć. Jednakże zwiększenie kroku ma swoje ogranicze-nia, np. jeżeli podczas zmiany wartości H rząd metody aproksymacji jest równy NQ, to następny NQ+1 zostanie przeprowadzony z tą samą długością i rzędem aproksymacji.

Opisana metodyka zmiany rzędu aproksymacji i długości kroku całkowania jest najbardziej efektywną i odporną na nadmierną akumulację błędów obliczenio-wych. Długość kroków całkowania H, liczba zmian NV oraz liczba powtórzeń każdego z kroków NR podczas obliczania temperatury dla przypadku hamowania z jednostajnym opóźnieniem zostały zaprezentowane na rys. 3.2.3. W początkowej fazie procesu hamowania (00,565) długość kroku całkowania jest mała (ok. 10^6) przy relatywnie małej liczbie powtórzeń (150NR900). W kolej-nym przedziale czasowym (0,5652) długość kroków całkowania jest znacz-nie większa (H  10-4), a liczba obliczeń z tym samym krokiem szybko wzrasta od NR = 1142 przy NV = 37 do NR = 2501 przy NV = 40.

Mając potwierdzenie prawidłowości otrzymanych wyników dla przypadku hamowania z jednostajnym opóźnieniem, w dalszej części analizy rozpatrzono przypadek bardziej ogólny (3.2.1), (3.2.3), to znaczy zmiany ciśnienia w czasie oraz nieliniowego charakteru prędkości poślizgu podczas hamowania. Ewolucje bezwymiarowej temperatury na powierzchni kontaktu dla trzech wartości bezwy-miarowego czasu  narastania ciśnienia od zera do wartości nominalnej zostały _m zaprezentowane na rys. 3.2.4. Linie ciągłe na wykresach odnoszą się do rezultatów obliczonych z uwzględnieniem zmiany pod wpływem temperatury właściwości termofizycznych materiałów ciernych, a linie przerywane do obliczeń ze stałymi wartościami tych parametrów. Największe wartości temperatury powierzchni kon-taktu występują w przypadku hamowania z jednostajnym opóźnieniem (_m0).

Wzrost czasu osiągnięcia przez ciśnienie wartości nominalnej (wzrost wartości

parametru  ) prowadzi do obniżenia wartości maksymalnej temperatury na po-_m wierzchni ciernej oraz wydłużenia czasu jej osiągnięcia. Efekt ten jest bardziej zauważalny dla obliczeń ze stałymi wartościami termofizycznymi materiałów.

Rozkład temperatury wewnątrz termowrażliwych elementów ciernych pod-czas hamowania został zaprezentowany na rys. 3.2.5. Głębokość nagrzania jest znacznie większa w przypadku elementu wykonanego ze stopu aluminium AL. MMC w porównaniu do elementu z metaloceramiki MCV-50.

Rys. 3.2.5. Izotermy bezwymiarowej temperatury w termowrażliwych elementach ciernych przy hamowaniu z jednostajnym opóźnieniem (⁰s2, _m0).

3.2.4. Wnioski

Opracowano jednowymiarowy nieliniowy model matematyczny nagrzewania tar-ciowego układu hamulcowego nakładka-tarcza przy monotonicznie zwiększającym się w czasie ciśnieniu kontaktowym i istotnej wrażliwości termicznej materiałów.

Przed sformułowaniem odpowiedniego nieliniowego zagadnienia przewodzenia ciepła scałkowano równanie ruchu układu i znaleziono w postaci analitycznej zmianę prędkości z czasem hamowania. Pozwoliło to na otrzymanie wzoru do wyznaczenia ewolucji gęstości mocy sił tarcia w jednym z warunków brzegowych wymienionego wyżej zagadnienia. Po dokonaniu częściowej linearyzacji zagad-nienia przewodzenia ciepła za pomocą podstawienia Kirchhoffa otrzymano nieli-niowe zagadnienie początkowo-brzegowe względem dwóch funkcji Kirchhoffa (po jednej w każdej półprzestrzeni). Wynikiem takiego przejścia od temperatury do funkcji Kirchhoffa było zgrupowanie nieliniowości w otrzymanych równaniach różniczkowych w pochodnych cząstkowych tylko przy pochodnej cząstkowej

względem bezwymiarowej zmiennej czasowej. A więc w sposób naturalny do rozwiązania numerycznego takiego nieliniowego zagadnienia początkowo-brzegowego została wybrana metoda prostych, polegająca na skończono-różnicowej aproksymacji pochodnych cząstkowych rzędu drugiego (w równa-niach) i pierwszego (w warunkach brzegowych) i sprowadzeniu wyżej wymienio-nego zagadnienia początkowo-brzegowego do zagadnienia początkowego dla układu nieliniowych równań różniczkowych zwyczajnych rzędu pierwszego z cza-sem jako zmienną niezależną. Całkowanie numeryczne takiego układu względem funkcji siatkowych Kirchhoffa wykonano metodą Adamsa. Związek pomiędzy temperaturą a znalezionymi w ten sposób funkcjami Kirchhoffa ustalono dla mate-riałów z wielomianową zależnością właściwości termofizycznych od temperatury.

W przypadku szczególnym stałego ciśnienia kontaktowego przy liniowo zmniejszającej się z czasem prędkości przeprowadzono porównanie wartości tem-peratury znalezionych z zastosowaniem metody prostych i metody kolejnych przy-bliżeń z podrozdziału 3.1. Uzyskano dobrą zgodność rezultatów otrzymanych przy pomocy obu metod. Następnie z wykorzystaniem metody prostych zbadano wpływ czasu narastania ciśnienia na ewolucję temperatury powierzchni ciernych metalo-ceramicznej nakładki MCV-50 oraz tarczy wykonanej ze stopu aluminium AL. MMC. Obliczenia wykonano z i bez uwzględnienia czułości termicznej rozpa-trywanej pary ciernej.

3.3. Wzajemny wpływ prędkości poślizgu

W dokumencie ISBN 978-83-65596-54-3 ISBN 978-83-65596-55-0 (eBook) (Stron 101-115)