ISBN 978-83-65596-54-3 ISBN 978-83-65596-55-0 (eBook)

(1)

(2)

Recenzenci:

prof. dr hab. Wiesław Nagórko prof. dr hab. Mykhailo Savruk

Redaktor wydawnictwa:

Elwira Tomczyk

Projekt okładki:

Oleksandr Jewtuszenko, Michał Kuciej Redakcja techniczna, skład:

Michał Kuciej

ISBN 978-83-65596-54-3 ISBN 978-83-65596-55-0 (eBook)

Publikacja jest udostępniona na licencji

Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 4.0 (CC BY-NC-ND 4.0)

Pełna treść licencji dostępna na stronie

creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/legalcode.pl

Publikacja jest dostępna w Internecie na stronie Oficyny Wydawniczej PB

Druk:

Partner Poligrafia Andrzej Kardasz

Nakład: 85 egz.

Oficyna Wydawnicza Politechniki Białostockiej ul. Wiejska 45C, 15-351 Białystok

tel.: 85 746 91 37, fax: 85 746 90 12 e-mail: oficyna.wydawnicza@pb.edu.pl www.pb.edu.pl

(3)

SPIS TREŚCI

Spis treści ... 3

Wykaz ważniejszych oznaczeń ... 7

Wprowadzenie ... 11

1. Nieliniowe zagadnienia cieplne tarcia oraz wybrane metody ich rozwiązywania ... 15

2. Zagadnienia cieplne tarcia materiałów z prostą nieliniowością termiczną ... 35

2.1. Stała gęstość mocy sił tarcia ……... 35

2.1.1. Sformułowanie zagadnienia ... 35

2.1.2. Częściowa linearyzacja za pomocą podstawienia Kirchhoffa ... 38

2.1.3. Pełna linearyzacja zagadnienia wg Nowińskiego ... 39

2.1.4. Pełna linearyzacja za pomocą metody parametrów linearyzujących ... 43

2.1.5. Pełna linearyzacja za pomocą aproksymacji funkcjami sklejanymi rzędu zerowego ... 47

2.1.6. Pełna linearyzacja za pomocą aproksymacji funkcjami sklejanymi rzędu pierwszego... 52

2.1.7. Analiza numeryczna ... 57

2.1.8. Wnioski ... 67

2.2. Zagadnienie cieplne tarcia przy jednostajnym opóźnieniu ... 68

2.2.2. Linearyzacja zagadnienia ... 70

2.2.3. Funkcje Kirchhoffa ... 71

2.2.5. Wnioski ... 81

3. Zagadnienia cieplne tarcia materiałów z istotną nieliniowością termiczną ... 83

3.1. Metoda kolejnych przybliżeń ... 83

3.1.2. Rozwiązanie zagadnienia ... 86

3.1.3. Funkcje Kirchhoffa na i-tym kroku iteracyjnym ... 89

3.1.5. Wnioski ... 100

3.2. Metoda prostych ... 101

(4)

3.2.4. Wnioski ... 114

3.3. Wzajemny wpływ prędkości poślizgu i temperatury podczas hamowania ... 115

3.3.4. Wnioski ... 130

4. Temperatura i naprężenia cieplne tarczy hamulcowej z powłoką ochronną ... 131

4.1. Prosta nieliniowość termiczna ... 131

4.1.3. Rozkład temperatury ... 135

4.1.4. Naprężenia cieplne w warstwie ... 139

4.1.6. Wnioski ... 146

4.2. Istotna nieliniowość termiczna ... 147

4.2.3. Naprężenia cieplne w warstwie ... 155

4.2.5. Wnioski ... 161

5. Temperatura i naprężenia cieplne w układzie nakładka – tarcza hamulcowa ... 163

5.1. Prosta nieliniowość termiczna ... 163

5.1.3. Funkcja Kirchhoffa ... 167

5.1.5. Rozkład naprężeń cieplnych ... 171

5.1.7. Wnioski ... 179

5.2. Istotna nieliniowość termiczna ... 179

5.2.3. Rozkład naprężeń cieplnych ... 186

5.2.5. Wnioski ... 194

(5)

Podsumowanie ... 195

Streszczenie w języku polskim ... 199

Streszczenie w języku angielskim ... 200

Literatura ... 201

(6)

(7)

WYKAZ WAŻNIEJSZYCH OZNACZEŃ

A – amplituda oscylacji ciśnienia;

A a – nominalny obszar kontaktu; m²;

a – efektywna głębokość przenikania ciepła; m;

Bi – liczba Biota;

c – pojemność cieplna; J/(kg  K);

c 0 – pojemność cieplna dla T ; ₀ J/(kg  K);

c* – bezwymiarowa pojemność cieplna;

d – grubość warstwy; m;

) (

erf x – funkcja błędu Gaussa;

) ( erf 1 ) (

erfc x   x – komplementarna funkcja błędu;

) ( erfc /

) exp(

) (

ierfc x  x² x x – pochodna komplementarnej funkcji błędu;

E – moduł Young’a; MPa;

E 0 – moduł Young’a dla T ; ₀ MPa;

E – bezwymiarowy moduł Young’a;

f – współczynnik tarcia;

h – współczynnik przewodnictwa cieplnego kontaktu; W/(m² K);

()

H – funkcja jednostkowa (funkcja Heaviside’a);

K – współczynnik przewodzenia ciepła; W/(m  K);

K 0 – współczynnik przewodzenia ciepła dla T ; ₀ W/(m  K);

K* – bezwymiarowy współczynnik przewodzenia ciepła;

k – dyfuzyjność cieplna; m²/s;

k * – bezwymiarowa dyfuzyjność cieplna;

p – ciśnienie; Pa;

p 0 – ciśnienie nominalne; Pa;

q – intensywność strumienia ciepła; W/m²;

(8)

q 0 – początkowa intensywność strumienia ciepła; W/m²;

T – temperatura; C;

T 0 – temperatura początkowa; C;

Tmax – temperatura maksymalna; C;

T – bezwymiarowa temperatura;

T – temperatura średnia powierzchni kontaktu; C;

t – czas; s;

t c – czas zmiany znaku poprzecznych naprężeń  ; _y s;

t m – czas wzrostu ciśnienia od zera do wartości nominalnej; s;

tmax – czas osiągnięcia maksymalnej temperatury; s;

t s – czas hamowania; s;

0

t s – czas hamowania przy stałym ciśnieniu; s;

V – prędkość; m/s;

V 0 – prędkość początkowa; m/s;

W 0 – początkowa energia kinetyczna; J;

z y

x ,, – współrzędne układu kartezjańskiego;

 – współczynnik rozszerzalności cieplnej liniowej; K^–1;

 0 – współczynnik rozszerzalności cieplnej liniowej dla T ; ₀ K^–1;

  – bezwymiarowy wsp. rozszerzalności cieplnej liniowej;

 – współczynnik rozdzielenia strumienia ciepła;

 – współczynnik aktywności cieplnej;

*y

 – bezwymiarowe odkształcenie poprzeczne;

 – bezwymiarowa współrzędna przestrzenna;

 – współczynnik Poisson’a;

 0 – współczynnik Poisson’a dla T ; ₀

  – bezwymiarowy współczynnik Poisson’a;

 – funkcja Kirchhoffa;

 – parametr linearyzujący;

 – gęstość materiału; kg/m³;

 0 – gęstość materiału dla T ; ₀

 – naprężenia normalne; Pa;

 0 – współczynnik o wymiarze naprężeń; Pa;

  – bezwymiarowe naprężenia normalne; Pa;

(9)

 – bezwymiarowy czas (liczba Fouriera);

 c – bezwymiarowy czas zmiany znaku powierzchniowych poprzecznych naprężeń;

 m – bezwymiarowy czas wzrostu ciśnienia;

max – bezw. czas osiągnięcia maksymalnej temperatury;

 s – bezwymiarowy czas hamowania;

0

 s – bezwymiarowy czas hamowania przy stałym ciśnieniu;

 – częstotliwość oscylacji ciśnienia; Hz.

(10)

(11)

WPROWADZENIE

Zwiększenie trwałości i niezawodności eksploatacyjnej elementów współczesnych maszyn i urządzeń pracujących w warunkach wysokotemperaturowego nagrzewania tarciowego jest aktualnym i ważnym, z punktu widzenia zastosowań, problemem naukowym. Na drodze rozwiązywania tego problemu istotne znaczenie mają kwestie ustalenia pól temperatury oraz inicjowanych przez nie naprężeń cieplnych.

Obliczenia pól temperatury, stanowiące podstawę do znalezienia naprężeń, często nie spełniają wymagań praktyki inżynierskiej. Jednym ze sposobów zwiększenia adekwatności otrzymanych rezultatów teoretycznych z danymi doświadczalnymi jest opracowanie modeli matematycznych pozwalających na precyzyjne uwzględ- nienie rzeczywistych właściwości materiałów w formułowaniu nowych zagadnień początkowo-brzegowych przewodnictwa cieplnego – tak zwanych zagadnień cieplnych tarcia. Stąd wynika zapotrzebowanie na udoskonalenie istniejących oraz tworzenie nowych metod rozwiązywania takich zagadnień.

W niestacjonarnych procesach tarcia, do których zalicza się hamowanie, zmiany prędkości i temperatury są wzajemnie powiązane i zależą od tarciowych, mechanicznych oraz termofizycznych właściwości materiałów pary ciernej, kon- strukcji hamulca i warunków jego eksploatacji. Integralnym parametrem łączącym oddziaływanie wielu czynników jest temperatura generowana na skutek tarcia ele- mentów roboczych układu hamulcowego. To właśnie temperatura ma decydujący wpływ na wielkość i charakter zmian współczynnika tarcia w procesie hamowania oraz intensyfikację termomechanicznych procesów zachodzących na powierzchni kontaktu. Prowadzi także do zmian właściwości termofizycznych materiałów i może skutkować niestabilnością współczynnika tarcia podczas hamowania. Wy- znaczenie termofizycznych właściwości materiałów jest bardzo ważne w oblicze- niach temperatury wysoko obciążonych węzłów tarcia, których zarówno temperatura powierzchniowa jak też objętościowa może podczas eksploatacji osiągać zna- czące wartości, np. w hamulcach tarczowych. Przy tak wysokiej temperaturze wła- ściwości termofizyczne materiałów znacznie różnią się od początkowych.

Uwzględniając temperaturową zależność współczynnika tarcia oraz czułość ter- miczną (wrażliwość termiczna, termowrażliwość) materiałów w sformułowaniach zagadnień cieplnych tarcia, czyni je nieliniowymi.

(12)

Analityczne oraz analityczno-numeryczne rozwiązania takich zagadnień w postaci jawnych wzorów zawierających elementarne lub specjalne funkcje są bardzo cenne. Takie wzory odzwierciadlają wpływ kluczowych parametrów procesu nagrzewania tarciowego na rozkłady przestrzenno-czasowe temperatury oraz pozwalają oszacować jej wartość maksymalną, co umożliwia przeprowadzenie szybkiej, jakościowej analizy temperaturowej danego węzła tarcia. Z drugiej strony rozwiązania takie pełnią rolę kryteriów wiarygodności wyników otrzymanych za pomocą metod numerycznych. Przeprowadzona w monografii analiza literatury naukowej wykazała, że dokładne analityczne rozwiązania nieliniowych zagadnień cieplnych tarcia otrzymano dla ciał o prostych kształtach i wykonanych z materia- łów o prostej nieliniowości (z zależnymi od temperatury współczynnikiem przewodzenia ciepła i ciepłem właściwym oraz ze stałym ich stosunkiem – dyfuzyjno- ścią cieplną) termicznej przy zadaniu na ich powierzchniach warunków brzegowych pierwszego (temperatura) lub drugiego (strumień ciepła) rodzaju. Natomiast nie znaleziono odpowiednich rozwiązań zagadnień nieliniowych, uwzględniają- cych warunki cieplne tarcia (idealne lub nieidealne) na powierzchni kontaktu termicznie wrażliwych materiałów. Dało to podstawy do stwierdzenia, że tematyka monografii związanej z opracowaniem analityczno-numerycznych metod rozwią- zywania zagadnień cieplnych tarcia termowrażliwych materiałów z uwzględnie- niem oporu termicznego powierzchni ciernych i zależności temperaturowej współ- czynnika tarcia jest aktualnym problemem naukowym.

Monografia składa się z wprowadzenia, pięciu rozdziałów, podsumowania oraz listy cytowanej literatury naukowej.

Treść monografii przedstawia się następująco:

Rozdział pierwszy zawiera informacje dotyczące przeglądu prac innych bada- czy. Zaprezentowano w nim założenia modelowe oraz omówiono zawartość pozo- stałych rozdziałów monografii.

W rozdziale drugim zaprezentowano metodykę analizy nieustalonych pól temperatury powstałych w wyniku tarciowego nagrzewania ciał wykonanych z materiałów charakteryzujących się prostą nieliniowością termiczną. Sformuło- wane odpowiednie nieliniowe zagadnienia cieplne tarcia dla układu dwóch ślizga- jących się półprzestrzeni dotyczą dwóch przypadków zadania gęstości mocy sił tarcia, tj. stałej lub liniowo zmniejszającej się w czasie (hamowanie ze stałym opóźnieniem). Rozwiązania zagadnień przy stałej gęstości mocy sił tarcia otrzymano w kilku etapach. Najpierw przeprowadzono ich częściową linearyzację za pomocą podstawienia Kirchhoffa, a następnie pełną linearyzację zagadnienia za pomocą metody Nowińskiego, parametrów linearyzujących, aproksymacji funkcjami sklejanymi rzędu zerowego i pierwszego. Rozwiązania otrzymanych liniowych zagadnień początkowo-brzegowych względem funkcji Kirchhoffa uzyskano metodą transformacji całkowej Laplace’a. Znając funkcję Kirchhoffa, rozkłady temperatury w elementach ciernych wyznaczono za pomocą związku pomiędzy

(13)

tymi wielkościami, który w przypadku liniowej zależności współczynnika przewodzenia ciepła od temperatury ma dokładną postać.

Pełna linearyzacja zagadnienia cieplnego tarcia dla hamowania z jednostajnym opóźnieniem została przeprowadzona metodą parametrów linearyzujących, a rozwiązanie odpowiedniego liniowego zagadnienia otrzymano, wykorzystując wzór Duhamela.

Rozdział trzeci poświęcony jest otrzymaniu analityczno-numerycznych roz- wiązań zagadnień cieplnych tarcia dla układu dwóch półprzestrzeni służących do modelowania nagrzewania tarciowego w układach hamulcowych elementów ciernych wykonanych z materiałów o istotnej nieliniowości termicznej. Opracowano metodykę wyznaczenia temperatury takich elementów przy stałym ciśnieniu kon- taktowym i liniowo zmniejszającej się z czasem hamowania prędkości. Częściową linearyzację odpowiedniego zagadnienia początkowo-brzegowego przewodzenia ciepła przeprowadzono za pomocą podstawienia Kirchhoffa. Rozwiązanie otrzymanego nieliniowego zagadnienia początkowo-brzegowego typu parabolicznego względem funkcji Kirchhoffa zbudowano metodą kolejnych przybliżeń. Tempera- turę elementów pary ciernej wyznaczano za pomocą związku pomiędzy temperatu- rą a funkcjami Kirchhoffa.

W dalszej części rozdziału, dla przypadków dużych trudności z otrzymaniem dokładnego rozwiązania liniowego zagadnienia początkowo-brzegowego wzglę- dem funkcji Kirchhoffa, zaproponowano metodykę bezpośredniego (bez pełnej linearyzacji) rozwiązywania odpowiedniego częściowo zlinearyzowanego zagadnienia początkowo-brzegowego. W tym celu zastosowano metodę prostych, pole- gającą na skończono-różnicowej aproksymacji pochodnych cząstkowych wzglę- dem zmiennej przestrzennej i otrzymaniu zagadnienia początkowego dla układu równań różniczkowych zwyczajnych rzędu pierwszego względem funkcji Kir- chhoffa. Ostateczne rozwiązanie numeryczne otrzymano za pomocą metody Ad- amsa zaimplementowanej w pakiecie DIFSUB.

W rozdziale czwartym sformułowano i rozwiązano nieliniowe zagadnienia przewodnictwa cieplnego dla układu tribologicznego złożonego z warstwy nałożo- nej na powierzchnię półprzestrzeni. Powyższe zagadnienie odwzorowuje nagrzewanie tarciowe tarczy hamulcowej z powłoką ochronną podczas pojedynczego hamowania z jednostajnym opóźnieniem. W pierwszym rozpatrywanym przypadku przyjęto, że materiały tarczy hamulcowej charakteryzują się prostą nieliniowością termiczną. Linearyzacja odpowiedniego początkowo-brzegowego zagadnienia przewodzenia ciepła została zrealizowana za pomocą transformacji Kirchhoffa i metody współczynników linearyzowalnych. Numeryczno-analityczne rozwiąza- nie rozważanego zagadnienia znaleziono za pomocą transformacji Laplace’a.

W drugim przypadku przyjęto, że materiały tarczy charakteryzują się istotną nieliniowością termiczną. Rozwiązanie takiego zagadnienia zostało otrzymane za pomocą całkowo-interpolacyjnego wariantu metody prostych oraz pakietu

(14)

DIFSUB do numerycznego rozwiązywania układu równań różniczkowych zwyczajnych.

Dla obu przypadków nieliniowości, znając pola temperatury w warstwie, w ramach teorii termicznego zginania płyty, wyznaczono rozkłady quasi- statycznych normalnych naprężeń cieplnych, uwzględniając zmieniające się wraz z temperaturą właściwości mechaniczne materiałów.

W rozdziale piątym zaproponowano analityczno-numeryczny nieliniowy mo- del do analizy pól temperatury w nakładce i tarczy przy jednokrotnym hamowaniu z jednostajnym opóźnieniem. W tym celu sformułowano brzegowe zagadnienie przodownictwa cieplnego dla układu warstwa-półprzestrzeń (nakładka-tarcza), które uwzględnia zależność od temperatury właściwości materiałów charakteryzu- jących się prostą nieliniowością termiczną. Rozwiązanie tego zagadnienia uzyskano poprzez częściową linearyzację za pomocą postawienia Kirchhoffa, a następnie stosując metodę parametrów linearyzujących.

Dla tego samego układu nakładka-tarcza zaproponowano model do analizy rozkładu temperatury uwzględniający istotną nieliniowość termiczną materiałów pary ciernej. Rozwiązanie otrzymano za pomocą metody prostych z całkowo- interpolacyjnym schematem dyskretyzacji zmiennej przestrzennej.

Dla uzyskanych rozkładów temperatury w elementach pary ciernej dla obu przypadków nieliniowości, w ramach teorii termicznego zginania płyty wyznaczono stany naprężeń cieplnych. W tych przypadkach uwzględniono zależność tempe- raturową modułów Younga i współczynników Poissona oraz współczynników rozszerzalności cieplnej materiałów nakładki i tarczy.

W części podsumowanie zawarto najważniejsze rezultaty oraz sformułowane na ich podstawie wnioski końcowe.

Wydanie niniejszej monografii zostało sfinansowane w ramach projektu nr 2015/19/N/ST8/03923, otrzymanego z Narodowego Centrum Nauki, realizowa- nego w Katedrze Mechaniki i Informatyki Stosowanej Politechniki Białostockiej.

(15)

1. NIELINIOWE ZAGADNIENIA CIEPLNE TARCIA ORAZ WYBRANE METODY ICH ROZWIĄZYWANIA

Zagadnienia początkowo-brzegowe przewodzenia ciepła, w sformułowaniu któ- rych należy uwzględniać zależność od temperatury co najmniej jednego z takich parametrów, jak współczynnik przewodzenia ciepła, ciepło właściwe, współczyn- nik wymiany ciepła, gęstość mocy wewnętrznych i powierzchniowych źródeł cie- pła, jak również lokalizację granicy ciała lub fazy, należą do klasy zagadnień nieliniowych [23]. Nieliniowe zagadnienia przewodzenia ciepła są podstawą w modelowaniu wielu procesów technologicznych związanych ze zmianami temperatury.

Do najbardziej rozpowszechnionych należy nagrzewanie tarciowe z którym, jako czynnikiem zwiększającym zużycie elementów maszyn w warunkach wysoko ob- ciążonego kontaktu, po raz pierwszy zetknięto się w technologii cięcia metali [143]. Później ustalono, że temperatura generowana na skutek tarcia jest jedną z głównych przyczyn zakłócających prawidłową pracę hamulców [72, 96]. Nieli- niowe modele stosuje się również do opisu procesów zgrzewania tarciowego mate- riałów [10] oraz szlifowania [90]. Jednym ze zjawisk niepożądanych, a spowodowanych silnym nagrzewaniem trących się powierzchni, jest zacieranie gorące, czyli sczepianie II rodzaju [69]. Charakteryzuje się ono tworzeniem połączeń meta- licznych spowodowanych odkształceniami plastycznymi, które z kolei są niszczo- ne przez namazywanie na powierzchnię współpracującą lub zostają oddzielone w postaci cząstek. Na trących się powierzchniach występują także nadtopienia i pęknięcia [98].

Uwzględnienie nieliniowości w matematycznym modelowaniu nagrzewania tarciowego staje się niezbędne z powodu coraz większych prędkości i ciśnień kon- taktowych, co oznacza również wyższą temperaturę powierzchni roboczych, przy których pracują współczesne układy cierne. W takich warunkach rozwiązania liniowych zagadnień mogą być źródłem nie tylko znacznych niedokładności ilo- ściowych, ale i prowadzić badacza do formułowania jakościowo nieprawidłowych wyników [35, 85]. Z drugiej strony, podwyższone wymagania co do dokładności obliczeń, spowodowane ciągłym zbliżaniem się projektantów do wartości współ-

(16)

czynnika bezpieczeństwa równego jeden, wymuszają tak dużą precyzję przy wy- znaczaniu temperatury, że w większości przypadków staje się to niemożliwe bez opracowania odpowiednich modeli nieliniowych.

Prawidłowo sformułowany matematyczny model rozpatrywanego procesu fi- zycznego powinien w pierwszej kolejności, przy zadanych warunkach brzegowych, jednoznacznie wyznaczać poszukiwane rozwiązanie [151]. Na podstawie tej tezy główne założenia zaprezentowanego w monografii matematycznego modelu nagrzewania tarciowego są następujące:

a) cała praca sił tarcia powierzchni roboczych zamienia się w ciepło, a elementy pary ciernej się nagrzewają. Część energii związana z zu- życiem powierzchni roboczych zostaje pominięta [84];

b) elementy pary ciernej wykonane są z termowrażliwych materiałów, to znaczy ich współczynniki przewodzenia ciepła i ciepło właściwe zmieniają się pod wpływem temperatury;

c) strumienie ciepła generowane w wyniku tarcia na powierzchni kontaktu ślizgających się elementów pary ciernej, są skierowane wzdłuż normalnej do tej powierzchni, a suma ich intensywności równa jest gę- stości mocy sił tarcia [83];

d) tarciowy kontakt cieplny jest niedoskonały. Powierzchnie cierne śli- zgających się elementów posiadają profil chropowatości, co powoduje skok temperatury na powierzchni kontaktu proporcjonalny do różnicy intensywności strumieni ciepła. Jako parametr proporcjonalności wy- stępuje stały współczynnik przewodnictwa cieplnego kontaktu – parametr odwrotny do oporu termicznego powierzchni kontaktu [14, 81, 115];

e) rozpatrywany jest jednorazowy krótkotrwały proces intensywnego hamowania z pominięciem wpływu na temperaturę konwekcyjnej wymiany ciepła z otaczającym środowiskiem. Założenie to bazuje na tym, że współczynnik wymiany ciepła przy niewymuszonym konwek- cyjnym chłodzeniu powietrzem przyjmuje wartości od 20 do 60 W/(m² K). Dla takich warunków zmiany liczby Biota przy oblicze- niach praktycznie nie wykazują żadnego wpływu na temperaturę nawet do wartości liczb Fouriera równych dziesięć [28];

f) efektywna głębokość przenikania ciepła, to znaczy odległość od powierzchni ciernej do wewnątrz każdego z elementów, na której temperatura wynosi 5% wartości maksymalnej na powierzchni, jest o wiele mniejsza od grubości tych elementów [32].

Ciała są rozpatrywane jako ośrodki ciągłe, a do opisu pola temperatury oraz zależności od temperatury właściwości termofizycznych stosujemy funkcje ciągłe współrzędnej przestrzennej i czasu. Przyjęty został schemat kontaktu tarciowego

(17)

dwóch półnieskończonych ciał (półprzestrzeni) uwzględniający dwa rodzaje czuło- ści termicznej materiałów [87, 100]:

a) z prostą nieliniowością termiczną, to jest z zależnymi od temperatury:

współczynnikiem przewodzenia ciepła oraz ciepłem właściwym, ale przy stałej dyfuzyjności cieplnej;

b) z istotną nieliniowością termiczną, gdy dyfuzyjność cieplna zależy także od temperatury.

Rozkłady temperatury powstałej w wyniku nagrzewania tarciowego otrzymujemy z rozwiązania jednowymiarowych nieliniowych równań różniczkowych cząstkowych drugiego rzędu typu parabolicznego, z odpowiednimi nieliniowymi warunkami początkowo-brzegowymi. Na podstawie sformułowań zagadnień liniowych [18, 54], jednowymiarowe zagadnienie cieplne tarcia na przykład dla dwóch półnieskończonych ciał (półprzestrzeni) z0 i z0, wykonanych z termicznie czułych materiałów, zapiszemy w postaci:

t t z T T c z T

t z T T

z K 

 



 





 ( , )

) ( ) ) (

, ) (

( ₁ ₁

1 , z0, t0, (1.1)

t t z T T c z T

t z T T

z K 

 



 





 ( , )

) ( ) ) (

, ) (

( ₂ ₂

2 , z0, t0, (1.2)

)]

( ) [

, ) ( ) (

, ) ( (

0 1

0

2 qT t

z t z T T z K

t z T T K

z z

 

 





 



, t0, (1.3)

)]

, 0 ( ) , 0 ( ) [

, ) ( ) (

, ) ( (

0 1

0

2 hT t T t

z t z T T z K

t z T T K

z z









 

 







, t0, (1.4)

) 0

, (z t T

T_l  , z , t0_,_l_₁_,₂_, _(1.5) ) 0

0 ,

(z T

T_l  , z , l1,2, (1.6) gdzie gęstość mocy sił tarcia jest równa:

) ( ) ( )]

( [ )]

(

[T t f T t p tV t

q  , t0, (1.7)

T – temperatura, T – temperatura początkowa, ₀ T(t)[T(0^,t)T(0^,t)]/2 – temperatura średnia powierzchni kontaktu, t – czas, K – współczynnik przewo- dzenia ciepła, c – ciepło właściwe,  – gęstość materiału, f – zależny od tempe- ratury powierzchni ciernej współczynnik tarcia, h – współczynnik przewodnictwa

(18)

cieplnego kontaktu [57], p i V – są to zmienne w czasie ciśnienie kontaktowe i prędkość poślizgu.

Zagadnienia, w których nieliniowości występują w operatorze różniczkowym nazywane są zagadnieniami z nieliniowością wewnętrzną, a zagadnienia z nieliniowymi warunkami brzegowymi znane są pod nazwą zagadnień z nieliniowością zewnętrzną [27]. Należy zauważyć, że w zagadnieniach przewodzenia ciepła z wewnętrzną nieliniowością, nawet przy liniowych warunkach brzegowych, pole temperatury nie może być wyznaczone na podstawie superpozycji rozwiązań pew- nych zagadnień liniowych. Jest to główne utrudnienie w opracowaniu metod roz- wiązywania zagadnień nieliniowych. W sformułowanym wyżej zagadnieniu ciepl- nym tarcia nieliniowości są zawarte zarówno w równaniach przewodnictwa cieplnego (1.1) i (1.2), jak również w warunkach brzegowych (1.3) i (1.4). Jest to zagadnienie posiadające zarówno nieliniowości wewnętrzne jak i zewnętrzne.

Nieco inna klasyfikacja nieliniowych zagadnień przewodzenia ciepła została zaproponowana w monografii [70]. Autor proponuje odnieść takie zagadnienia początkowo-brzegowe do jednej z trzech klas nieliniowości:

a) pierwszego rodzaju, jeżeli współczynnik przewodzenia ciepła K(T) i ciepło właściwe c_V(T)(T)c(T) zależą od temperatury;

b) drugiego rodzaju, jeżeli intensywności strumieni ciepła na powierzchniach ciała są funkcjami temperatury;

c) trzeciego rodzaju, jeżeli gęstości mocy wewnętrznych źródeł ciepła są nieliniowymi funkcjami temperatury.

Zgodnie z powyższą klasyfikacją zagadnienie cieplne tarcia (1.1)–(1.7) zawiera nieliniowości pierwszego, jak również i drugiego rodzaju.

Przeglądy analitycznych, analityczno-numerycznych i numerycznych metod rozwiązywania liniowych i niektórych nieliniowych zagadnień cieplnych tarcia zawarte są w pracach [60, 63, 75, 92]. Zapoznanie się z nimi pozwoliło wywnio- skować, że metody rozwiązywania liniowych zagadnień cieplnych tarcia są opra- cowane o wiele lepiej niż zagadnień nieliniowych. Stąd przy rozpoczęciu badań nad powyższą tematyką wybrany został jeden z najbardziej rozpowszechnionych sposobów stosowanych przy rozwiązywaniu nieliniowych zagadnień, a mianowicie sprowadzenie nieliniowego zagadnienia do liniowego, czyli tak zwana linearyzacja. Linearyzacja nie jest metodą, to raczej sposób stosowany podczas rozwiązy- wania, którego udane wykonanie pozwala ewentualnie na skorzystanie ze znanych metod rozwiązywania zagadnień liniowych. Do najbardziej znanych analitycznych metod rozwiązywania zagadnień liniowych należą metody rozdzielenia zmiennych, transformacji całkowych (skończonych lub nie), teorii potencjału, rozwiązań podstawowych (funkcji Greena), odwzorowań konforemnych oraz wykorzystania znanych rozwiązań (twierdzenie Duhamela), itd. [112, 113, 141].

(19)

Wśród metod rozwiązywania nieliniowych zagadnień przewodzenia ciepła na- leży wymienić metody podstawień, wariacyjne, całkowe, sprowadzenia do równań całkowych, perturbacji, różnic lub elementów skończonych, metody teorii prawdo- podobieństwa i inne [64]. Należy zaznaczyć, że metody pozwalające rozwiązywać zagadnienia nieliniowe możemy z powodzeniem stosować do rozwiązywania za- gadnień liniowych. Natomiast wspomniane wyżej metody rozwiązywania zagad- nień liniowych mogą być stosowane do rozwiązywania zagadnień nieliniowych tylko po przeprowadzeniu procedury linearyzacji [70].

Metoda podstawień polega na wykorzystaniu takich całkowych lub algebra- icznych przekształceń (transformacji), które po zastosowaniu do wejściowego nieliniowego równania linearyzują go (linearyzacja pełna) lub sprowadzają do nieliniowych równań w postaci pozwalającej stosować znane metody rozwiązywania (linearyzacja częściowa). Na ogół podstawienia „działają” przez właściwości termofizyczne, współrzędne przestrzenne i czas. Do najczęściej stosowanych prze- kształceń typu całkowego należą podstawienia Kirchhoffa [67]:



^ ^





T

T T d K

T K

0 ( )

) (

0

, (1.8)

lub Goodmana [53]:



_^ ^ ^ ^





T

T T d c T

T c T

0 ( ) ( )

) ( ) (

0 0

, (1.9)

a przykładem podstawienia „działającego” przez współrzędną z  i czas t0, jest podstawienie Boltzmanna [20]:

t z

2

 . (1.10)

W monografii między innymi przeprowadzono częściową linearyzację sfor- mułowanych zagadnień cieplnych tarcia termowrażliwych materiałów za pomocą podstawienia Kirchhoffa (1.8). Pozwoliło to na opracowanie jednolitego podejścia do rozwiązywania jednowymiarowych zagadnień początkowo-brzegowych przewodzenia ciepła, dla elementów pary ciernej wykonanych z materiałów z prostą lub istotną nieliniowością termiczną. Zastosowanie podstawienia Kirchhoffa:



^ ^





T

T l

l l dT

T K

T t K

z

0 ( )

) ) (

, (

0

, (1.11)

(20)

gdzie l1 jeżeli z0 i l2, jeżeli z0, do zagadnienia (1.1)–(1.6) przekształ- ca je do postaci:

t t z t

z T k z

t z







 





 ( , )

)]}

, ( [ {

1 )

,

( ₁

1 2 1

1 2

, z0, t0, (1.12)

t t z t

z T k z

t z







 





 ( , )

)]}

, ( [ {

1 )

,

( ₂

2 2 2

2 2

, z0, t0, (1.13)

)]}

( [ ) {

, ) ( ) (

, ) ( (

0 0 1

1 0 0 2

2 q T t

z t T z

z K t T z

K

z z



 



 









, t0, (1.14)

, 0 )]}, , 0 ( [ )]

, 0 ( [ {

) , ) ( ) (

, ) ( (

2 1

0 0 1

1 0 0 2

2











 



 









t t T

t T h

z t T z

z K t T z

K

z

z (1.15)

0 ) ,

( 

_l z t , z , t0, l1,2, (1.16) 0

) 0 ,

( 

 z_l , z , l1,2, (1.17) gdzie

) ( ) (

) ) (

( T c T

T T K

k

l l

l  l , l1,2, (1.18)

są to dyfuzyjności cieplne materiałów, a gęstość mocy sił tarcia q znajdujemy ze wzoru (1.7), zastępując w nim temperaturę średnią powierzchni kontaktu T(t) funkcją

2 / )]}

, 0 ( [ )]

, 0 ( [ { )]

(

[ t T₁ ₁ t T₂ ₂ t

T      , t0. (1.19)

Pozytywnym skutkiem wprowadzenia funkcji Kirchhoffa jest częściowa linearyzacja wejściowego nieliniowego zagadnienia przewodzenia ciepła (1.1)–(1.6) oraz przegrupowanie nieliniowości do postaci wygodnej w zastosowaniu metod iteracyjnych do rozwiązania otrzymanego zagadnienia początkowo-brzegowego (1.12)–(1.17). Zagadnienie to wciąż pozostaje nieliniowym, posiadając nieliniowo- ści wewnętrzne i zewnętrzne zarówno pierwszego, jak i drugiego rodzaju.

W równaniach różniczkowych (1.12) i (1.13) nieliniowymi są dyfuzyjności cieplne )]}

, ( [ {T z t

k_l _l , l1,2, a warunki brzegowe (1.14) i (1.15) są nieliniowe z powodu obecności w prawych stronach odpowiednio funkcji q{T[(t)]} oraz T[ (0,t)].

(21)

Wynika stąd, że równania (1.12) i (1.13) będą liniowe wtedy, kiedy elementy pary ciernej są wykonane z materiałów o prostej nieliniowości termicznej (k_l[T(_l(z,t)]=k_l(T₀)const., l1,2). Nieliniowość w warunku brzegowym (1.1.14) zanika, jeżeli przyjmiemy stały współczynnik tarcia f  f(T₀). Wtedy ze wzoru (1.1.7) wynika, że gęstość mocy sił tarcia jest równa:

) ( ) ( ) ( )

(t f T₀ p tV t

q  , t0 (1.20)

i nie zależy od temperatury. Niestety, przeprowadzenie linearyzacji warunku brzegowego (1.15) wymaga zastosowania specjalnych metod.

W przypadku materiałów z prostą nieliniowością termiczną i stałym współ- czynniku tarcia, nieliniowość zagadnienia początkowo-brzegowego (1.12)–(1.18) wynika z nieliniowych funkcji T[_l(0,t)], l1,2 po prawej stronie warunku brzegowego (1.15). Zgodnie z podaną wyżej klasyfikacją zagadnienie to należy do klasy zagadnień z zewnętrzną nieliniowością drugiego rodzaju.

Zgodnie z metodą parametrów linearyzujących nieliniowe funkcje T[_l(0,t)]

po prawej stronie warunku brzegowego (1.15) zastępujemy [76]:

) 0

, 0 ( ) 1 ( )]

, 0 (

[ t t T

T _l  _l _l  , (1.21)

gdzie  , _l l1,2 są to nieznane (na tę chwilę) parametry linearyzujące. Wtedy zagadnienie początkowo-brzegowe (1.12)–(1.17) przyjmie postać:

t t z T

k z

t z





 





 ( , )

) (

1 ) ,

( ₁

0 2 1

2 1

, z0, t0, (1.22)

t t z T

k z

t z





 





 ( , )

) ( 1 ) ,

( ₂

0 2 2

2 2

, z0, t0, (1.23)

) ) (

, ) ( ) (

, ) ( (

0 0 1

1 0 0 2

2 q t

z t T z

z K t T z

K

z z

 



 









, t0, (1.24)

, 0 )], , 0 ( ) 1 ( ) , 0 ( ) 1 [(

) , ) ( ) (

, ) ( (

2 2 1

1

0 0 1

1 0 0 2

2



















 



 









t t t

h

z t T z

z K t T z

K

z

z (1.25)

0 ) ,

( 

_l z t , z , t0, l1,2, (1.26) 0

) 0 ,

( 

 z_l , z , l1,2, (1.27) gdzie gęstość mocy sił tarcia wyznaczamy ze wzoru (1.20).

(22)

Otrzymane liniowe zagadnienie początkowo-brzegowe względem funkcji Kir- chhoffa _l( tz, ), l1,2 rozwiązujemy jedną z doskonale znanych metod (transformacji całkowej, rozdzielenia zmiennych, itp.). W monografii zastosowano w tym celu metodę transformacji całkowej Laplace’a. Zawarte w otrzymanym rozwiązaniu parametry  , _l l1,2 znajdujemy z numerycznego rozwiązania ukła- du dwóch nieliniowych równań funkcyjnych, otrzymanych z uwzględnieniem postaci zależności współczynnika przewodzenia ciepła K_l(T) od temperatury. Na ostatnim etapie rozwiązania ustalamy relację pomiędzy temperaturą T( tz, ), a zna- lezionymi funkcjami Kirchhoffa _l( tz, ), l1,2.

Zaletą metody parametrów linearyzujących jest to, że przy znanym rozwiąza- niu zagadnienia ze stałymi właściwościami termofizycznymi pozwala w prosty sposób otrzymać rozwiązanie liniowego zagadnienia początkowo-brzegowego względem funkcji Kirchhoffa, otrzymanego w wyniku linearyzacji, odpowiedniego zagadnienia dla układu ciernego wykonanego z materiałów termowrażliwych.

W przypadku szczególnym _l 0, l1,2 związek pomiędzy temperaturą a funkcjami Kichhoffa na powierzchniach ciernych zapisujemy jako:

0 1(0, ) )

, 0

( t t T

T ^   , T(0^,t)₂(0,t)T₀, t0, (1.28) a postać zagadnienia (1.22)–(1.27) staje się identyczna z postacią zagadnienia po- czątkowo-brzegowego przewodzenia ciepła dla dwóch półprzestrzeni materiałów o stałych właściwościach termofizycznych (K_l_,₀K_l(T₀), k_l_,₀ k_l(T₀), l1,2).

Wynika stąd, że przyjęcie związków (1.28) oznacza równość wartości temperatury powierzchni ciernych termicznie wrażliwych ciał, z wartościami temperatury tych powierzchni przy stałych właściwościach materiałów. Należy podkreślić, że rów- ność (1.28) ma miejsce tylko na ślizgających się powierzchniach ciał. Wewnątrz tych ciał wartości temperatury różnią się.

Podejście do linearyzacji nieliniowych zagadnień przewodzenia ciepła na podstawie założenia (1.28) zostało zaaprobowane w pracach [99, 100]. Natomiast w monografii [77] zaprezentowano przykłady zagadnień, w wyniku rozwiązania których ustalono, że taka linearyzacja nie dla wszystkich wartości czasu daje dobre przybliżenie poszukiwanego rozwiązania. Jednym ze sposobów uniknięcia takich niepożądanych sytuacji jest wprowadzenie do procedury linearyzacji zagadnień współczynników linearyzujących różnych od zera.

Kolejna metoda linearyzacji nieliniowych funkcji T[_l(0,t)], l1,2 po prawej stronie warunku brzegowego (1.15) polega na aproksymacji funkcjami sklejanymi [9]:

(23)



^



    







 ¹

1

, 1 , 1

,

, ( ) ( ) ( ), 0, 1,2

)]

, 0 (

[ ⁿ

j

j j

l j l l

n l

l t Q t T T T H t t t l

T , (1.29)

gdzie T_l_,_jT[_l(0,t_j)], j1,2,...,n, 0t₁t₂...t_n_1t_nt, n , N H() jest to funkcja Heaviside’a.

Zastępując funkcje T[_l(0,t)], l1,2 w warunku brzegowym (1.15) ich przybliżeniami (1.29), warunek ten zapiszemy w postaci liniowej:

) ) (

, ) ( ) (

, ) ( (

0 0 1

1 0 0 2

2 hQ t

z t T z

z K t T z

K _n

z z

 



 









, t0, (1.30) gdzie



^



  



 ¹

1 1

1 ( ) ( )

)

( ⁿ

j

j j

j

n t T T T H t t

Q , T_j T₁_,_j T₂_,_j, j1,2,...,n, l1,2. (1.31) Rozwiązanie liniowego zagadnienia początkowo-brzegowego względem funkcji Kirchhoffa (1.12)–(1.14), (1.16), (1.17), (1.30), przy gęstości mocy sił tarcia w postaci (1.20), znajdujemy jedną z wymienionych wyżej klasycznych metod.

Znalezione w ten sposób funkcje Kirchhoffa są funkcjami zmiennych niezależnych z i t oraz n3 parametrów – punktów tj podziału interwału czasowego oraz współ- czynników T_l_,_j, j1,2,...,n, l1,2 ze wzoru aproksymacyjnego (1.29):

) ,..., , , ,..., , , ,..., , , , ( ) ,

( ₁ ₁ ₂ ₁_,₁ ₁_,₂ ₁_, ₂_,₁ ₂_,₂ ₂_,

1 z t F z t t t tn T T T n T T T n

 , z0, t0, (1.32)

) ,..., , , ,..., , , ,..., , , , ( ) ,

( ₂ ₁ ₂ ₁_,₁ ₁_,₂ ₁_, ₂_,₁ ₂_,₂ ₂_,

2 z t F z t t t tn T T T n T T T n

 , z0, t0. (1.33)

Zaletą metody związanej z wykorzystaniem właściwości aproksymacyjnych funkcji sklejanych jest to, że postać rozwiązań (1.32) i (1.33) ma charakter uniwer- salny – nie jest związana z konkretną zależnością współczynnika przewodzenia ciepła K_l(T), l1,2 materiałów pary ciernej od temperatury. Na kolejnym etapie znajdowania temperatury w układzie ciernym należy sprecyzować, na podstawie rezultatów badań doświadczalnych, zależności K_l(T), l1,2. Podstawiając te zależności do wzorów transformacyjnych (1.11), znajdujemy związek pomiędzy funkcjami Kirchhoffa _l( tz, ), l1,2 a temperaturą T( tz, ). Ostatnim etapem w rozwiązaniu rozpatrywanego nieliniowego zagadnienia początkowo-brzegowego przewodzenia ciepła jest ustalenie relacji odwrotnej – pomiędzy temperaturą

) , ( tz

T a funkcjami Kirchhoffa _l( tz, ), l1,2. Biorąc pod uwagę postać rozwią- zań (1.32) i (1.33), ustalamy wzory końcowe do obliczenia temperatury w wybra- nym punkcie układu ciernego i w dowolnej chwili t :

(24)















 

. 0 , 0 ), ,..., , , ,..., , , ,..., , , , (

, 0 , 0 ), ,..., , , ,..., , , ,..., , , , ) (

, (

, 2 2 , 2 1 , 2 , 1 2 , 1 1 , 1 2

1 2

, 2 2 , 2 1 , 2 , 1 2 , 1 1 , 1 2

1 1

t z T T T T T T t t t t z

t z T T T T T T t t t t t z

z T

n n

n

n n

n (1.34)

Nieznanych wartości temperatury na powierzchniach ciernych ciał, a mianowicie współczynników T_l_,_j, j1,2,...,n, l1,2 we wzorach aproksymacyjnych (1.29), (1.30), szukamy metodą kolokacji. Podstawiając do rozwiązania (1.34)

0

z oraz t , otrzymujemy: t_j

) ,.., , , ,.., , , ,.., ,.., , , 0

( ₁ ₂ ₁_,₁ ₁_,₂ ₁_, ₂_,₁ ₂_,₂ ₂_,

,j l j n n n

l t t t t T T T T T T

T  , j1,2,..,n, l1,2. (1.35)

Układ n2 nieliniowych równań funkcyjnych względem takiej liczby parametrów

j

Tl_, , j1,2,...,n, l1,2 rozwiązujemy numerycznie, na przykład za pomocą metody iteracji prostej [73].

Ostateczne rozwiązanie wejściowego nieliniowego zagadnienia cieplnego tarcia otrzymujemy, podstawiając znalezione wartości współczynników T_l_,_j,

n

j1,2,..., , l1,2 do rozwiązania (1.34). W celu zwiększenia dokładności obli- czeń temperatury możemy zastosować aproksymację za pomocą funkcji sklejanych wyższego rzędu niż zerowy, zastosowany we wzorach (1.29), (1.30) [124].

Metody parametrów linearyzujących oraz aproksymacji funkcjami sklejanymi były stosowane wcześniej podczas rozwiązywania stacjonarnych i niestacjonarnych zagadnień przewodzenia ciepła dla ciał termicznie wrażliwych z nieliniowym warunkiem brzegowym III-go rodzaju – konwekcyjnej wymiany ciepła ze środo- wiskiem otaczającym [116, 117, 119–122]. W niniejszej monografii powyższe metody zostały zaadoptowane do rozwiązywania jednowymiarowych zagadnień cieplnych tarcia.

Do najczęściej stosowanych metod rozwiązywania nieliniowych zagadnień przewodzenia ciepła dla materiałów o istotnej nieliniowości termicznej należą metody iteracyjne oraz numeryczne [21, 137]. Dosyć perspektywicznym wydaje się opracowanie algorytmów iteracyjnych. Przy czym stosowanie istniejących ogól- nych schematów nie zawsze jest uzasadnione ze względu na to, że większość modeli matematycznych ma własną specyfikę, która nie zawsze pozwala ustalić i sprawdzić warunki zbieżności. A więc sensownym jest opracowanie, na podstawie ogólnych schematów, takiego algorytmu iteracyjnego rozwiązywania konkret- nego nieliniowego zagadnienia, który byłby w jak najlepszy sposób zaadoptowany do istniejącej informacji wejściowej. Efektywność iteracyjnych schematów zależy od prędkości ich zbieżności, o czym decyduje głównie wybór początkowego przy- bliżenia [58]. W monografii zaprezentowano iteracyjny schemat rozwiązania nieliniowych zagadnień typu (1.12)–(1.17) ze stałym współczynnikiem tarcia. Przy ustalonych wartościach zmiennych niezależnych z i t za i -te przybliżenie poszu-

(25)

kiwanych funkcji Kirchhoffa _l( tz, ), l1,2 wybieramy rozwiązanie liniowego zagadnienia początkowo-brzegowego w postaci:

t t z k

z t

z ⁱ

i i





 





 ( , ) 1 ₁⁽⁾( , )

) ( 1 2

, z0, t0, (1.36)

t t z k

z t

z ⁱ

i i





 





 ( , ) 1 ⁽₂⁾( , )

) ( 2 2

, z0, t0, (1.37)

) ) (

, ) (

) ( , ) (

(

0 )

1( 0 1 0 )

(2 0

2 q t

z t T z

z K t T z

K

z i

z

i 





 









, t0, (1.38)

, 0 )], , 0 ( ) , 0 ( [

) , ) (

) ( , ) (

(

) (2 )

1( ) (

0 )

( 0 1 1 0 )

( 0 2 2











 



 









t t t

h z

t T z

z K t T z

K

i i

i z i

z i

(1.39)

0 ) ,

)(

( 

_lⁱ z t , z , t0, l1,2, (1.40) 0

) 0 ,

)(

( 

 z_lⁱ , z , l1,2, (1.41) gdzie:

2 , 1 ,...;

2 , 1 )]}, , ( [ { ),

( ₀ ⁽⁾ ⁽ ¹⁾

) 0

( k T k k T  ^ z t i l

k_l _l _lⁱ _l _lⁱ , (1.42)

,...

2 , 1 )] ,

, 0 ( )

, 0 ( [

)]}

, 0 ( [ )]

, 0 ( [

, { ₍ ₁₎

) 2 1 (1

) 1 (2 )

1 1( )

( ) 0

( 









 

 ^_ _ ^ i

t t

t T

t h T

h h

h ⁱ ⁱ_i _i ⁱ , (1.43)

a dyfuzyjności cieplne k_l(T), l1,2 obliczamy ze wzoru (1.18). Za zerowe przy- bliżenie wybieramy rozwiązanie zagadnienia (1.36)–(1.41) z właściwościami termofizycznymi w temperaturze początkowej T . W tym rozwiązaniu związek po-₀ między funkcjami Kirchhoffa a temperaturą jest trywialny:

) 0 0 1( ( , ) )

,

(z t z t T

T   , z0, T(z,t)⁽₂⁰⁾(z,t)T₀, z0, t0. (1.44) Na kolejnych krokach iteracji związek ten wyznaczamy na podstawie wzoru (1.11), przy wybranych zależnościach współczynnika przewodzenia ciepła od temperatury i znanym rozwiązaniu liniowego zagadnienia (1.36)–(1.41). Obliczenia wykonujemy do osiągnięcia założonej dokładności. Efektywność zaproponowane- go w monografii iteracyjnego schematu wyznaczenia temperatury elementów cier-

(26)

nych wykonanych z materiałów o istotnej wrażliwości termicznej zwiększa się, jeżeli rozwiązanie liniowego zagadnienia (1.36)–(1.41) ma postać zamkniętą.

Zbieżność algorytmów iteracyjnych rozwiązywania nieliniowych zagadnień początkowo-brzegowych przewodzenia ciepła typu parabolicznego udowodniono w monografii [77] i potwierdzono poprzez porównanie znalezionych za ich pomo- cą rezultatów z danymi otrzymanymi metodami numerycznymi [78, 118, 123].

Podstawę metod numerycznych modelowania procesów przewodzenia i wymiany ciepła stanowi idea polegająca na zastąpieniu nieskończenie małych zmian wartości zmiennych w rozpatrywanym modelu matematycznym ich skończonymi analogami [8]. W metodzie elementów skończonych (MES) ciągły obszar dzieli się na elementy dla których rozwiązanie można znaleźć stosunkowo łatwo [82, 95].

Metoda ta jest dobrze przystosowana do rozwiązywania nieliniowych zagadnień w obszarach o złożonym kształcie i uwzględniania różnego rodzaju nieciągłości oraz innych osobliwości [135]. Jednak skuteczność zastosowania MES jest bezpo- średnio związana z obecnością rozwiniętego oprogramowania do automatycznego dzielenia na elementy skończone, co wymaga użycia wielkich zasobów pamięci i mocy obliczeniowych. Metoda elementów brzegowych (MEB) korzysta z podstawowych rozwiązań (tzw. Greena) zagadnień początkowo-brzegowych mechaniki [22]. MEB wymaga dyskretyzacji i numerycznego wyznaczenia temperatury tylko w strefie przygranicznej rozpatrywanego obszaru podzielonego na elementy brzegowe. Procesy przepływu ciepła wewnątrz tego obszaru opisane są rozwiązaniami równań całkowych lub ich układów [154]. Przed zastosowaniem MEB zalecana jest pełna (w przypadku warunków brzegowych pierwszego lub drugiego rodzaju) lub częściowa (warunki brzegowe trzeciego rodzaju) linearyzacja zagadnień za pomocą podstawienia Kirchhoffa [17].

Metoda prostych przewiduje przeprowadzenie skończono-różnicowej aproksymacji pochodnych cząstkowych względem zmiennych przestrzennych, w wyniku której równanie przewodnictwa cieplnego wyrażone w pochodnych cząstkowych zostaje przekształcone w układ równań różniczkowych zwyczajnych rozwiązywa- nych zwykle metodami numerycznymi [111]. Otrzymany układ równań różnicz- kowych jest znany jako pół-dyskretny model nieliniowego zagadnienia [86].

Do numerycznego rozwiązywania nieliniowych zagadnień cieplnych tarcia wybrana została metoda prostych jako technicznie najlepiej przystosowana do pra- cy w jednowymiarowych półnieskończonych obszarach. Poniżej zaprezentowano główne idee tej metody na przykładzie nieliniowego zagadnienia początkowo- brzegowego (1.12)–(1.17).

Niech rozwiązanie rozpatrywanego zagadnienia istnieje i jest jedyne, a poszukiwane funkcje Kirchhoffa _l( tz, ), l1,2 są ciągle wraz z pochodnymi cząstko- wymi do rzędu czwartego włącznie, względem zmiennej przestrzennej z . Na od- cinkach 0zd₁ oraz d₂ z0 wprowadzimy równomierne siatki: