Nieliniowe zagadnienia cieplne tarcia oraz wybrane metody

ROZWIĄZYWANIA

Zagadnienia początkowo-brzegowe przewodzenia ciepła, w sformułowaniu któ-rych należy uwzględniać zależność od temperatury co najmniej jednego z takich parametrów, jak współczynnik przewodzenia ciepła, ciepło właściwe, współczyn-nik wymiany ciepła, gęstość mocy wewnętrznych i powierzchniowych źródeł cie-pła, jak również lokalizację granicy ciała lub fazy, należą do klasy zagadnień nieli-niowych [23]. Nieliniowe zagadnienia przewodzenia ciepła są podstawą w mode-lowaniu wielu procesów technologicznych związanych ze zmianami temperatury.

Do najbardziej rozpowszechnionych należy nagrzewanie tarciowe z którym, jako czynnikiem zwiększającym zużycie elementów maszyn w warunkach wysoko ob-ciążonego kontaktu, po raz pierwszy zetknięto się w technologii cięcia metali [143]. Później ustalono, że temperatura generowana na skutek tarcia jest jedną z głównych przyczyn zakłócających prawidłową pracę hamulców [72, 96]. Nieli-niowe modele stosuje się również do opisu procesów zgrzewania tarciowego mate-riałów [10] oraz szlifowania [90]. Jednym ze zjawisk niepożądanych, a spowodo-wanych silnym nagrzewaniem trących się powierzchni, jest zacieranie gorące, czy-li sczepianie II rodzaju [69]. Charakteryzuje się ono tworzeniem połączeń meta-licznych spowodowanych odkształceniami plastycznymi, które z kolei są niszczo-ne przez namazywanie na powierzchnię współpracującą lub zostają oddzieloniszczo-ne w postaci cząstek. Na trących się powierzchniach występują także nadtopienia i pęknięcia [98].

Uwzględnienie nieliniowości w matematycznym modelowaniu nagrzewania tarciowego staje się niezbędne z powodu coraz większych prędkości i ciśnień kon-taktowych, co oznacza również wyższą temperaturę powierzchni roboczych, przy których pracują współczesne układy cierne. W takich warunkach rozwiązania li-niowych zagadnień mogą być źródłem nie tylko znacznych niedokładności ilo-ściowych, ale i prowadzić badacza do formułowania jakościowo nieprawidłowych wyników [35, 85]. Z drugiej strony, podwyższone wymagania co do dokładności obliczeń, spowodowane ciągłym zbliżaniem się projektantów do wartości

współ-czynnika bezpieczeństwa równego jeden, wymuszają tak dużą precyzję przy wy-znaczaniu temperatury, że w większości przypadków staje się to niemożliwe bez opracowania odpowiednich modeli nieliniowych.

Prawidłowo sformułowany matematyczny model rozpatrywanego procesu fi-zycznego powinien w pierwszej kolejności, przy zadanych warunkach brzego-wych, jednoznacznie wyznaczać poszukiwane rozwiązanie [151]. Na podstawie tej tezy główne założenia zaprezentowanego w monografii matematycznego modelu nagrzewania tarciowego są następujące:

a) cała praca sił tarcia powierzchni roboczych zamienia się w ciepło, a elementy pary ciernej się nagrzewają. Część energii związana z zu-życiem powierzchni roboczych zostaje pominięta [84];

b) elementy pary ciernej wykonane są z termowrażliwych materiałów, to znaczy ich współczynniki przewodzenia ciepła i ciepło właściwe zmieniają się pod wpływem temperatury;

c) strumienie ciepła generowane w wyniku tarcia na powierzchni kontak-tu ślizgających się elementów pary ciernej, są skierowane wzdłuż normalnej do tej powierzchni, a suma ich intensywności równa jest gę-stości mocy sił tarcia [83];

d) tarciowy kontakt cieplny jest niedoskonały. Powierzchnie cierne śli-zgających się elementów posiadają profil chropowatości, co powoduje skok temperatury na powierzchni kontaktu proporcjonalny do różnicy intensywności strumieni ciepła. Jako parametr proporcjonalności wy-stępuje stały współczynnik przewodnictwa cieplnego kontaktu – para-metr odwrotny do oporu termicznego powierzchni kontaktu [14, 81, 115];

e) rozpatrywany jest jednorazowy krótkotrwały proces intensywnego hamowania z pominięciem wpływu na temperaturę konwekcyjnej wymiany ciepła z otaczającym środowiskiem. Założenie to bazuje na tym, że współczynnik wymiany ciepła przy niewymuszonym konwek-cyjnym chłodzeniu powietrzem przyjmuje wartości od 20 do 60 W/(m² K). Dla takich warunków zmiany liczby Biota przy oblicze-niach praktycznie nie wykazują żadnego wpływu na temperaturę nawet do wartości liczb Fouriera równych dziesięć [28];

f) efektywna głębokość przenikania ciepła, to znaczy odległość od po-wierzchni ciernej do wewnątrz każdego z elementów, na której tempe-ratura wynosi 5% wartości maksymalnej na powierzchni, jest o wiele mniejsza od grubości tych elementów [32].

Ciała są rozpatrywane jako ośrodki ciągłe, a do opisu pola temperatury oraz zależności od temperatury właściwości termofizycznych stosujemy funkcje ciągłe współrzędnej przestrzennej i czasu. Przyjęty został schemat kontaktu tarciowego

dwóch półnieskończonych ciał (półprzestrzeni) uwzględniający dwa rodzaje czuło-ści termicznej materiałów [87, 100]:

a) z prostą nieliniowością termiczną, to jest z zależnymi od temperatury:

współczynnikiem przewodzenia ciepła oraz ciepłem właściwym, ale przy stałej dyfuzyjności cieplnej;

b) z istotną nieliniowością termiczną, gdy dyfuzyjność cieplna zależy także od temperatury.

Rozkłady temperatury powstałej w wyniku nagrzewania tarciowego otrzymu-jemy z rozwiązania jednowymiarowych nieliniowych równań różniczkowych cząstkowych drugiego rzędu typu parabolicznego, z odpowiednimi nieliniowymi warunkami początkowo-brzegowymi. Na podstawie sformułowań zagadnień li-niowych [18, 54], jednowymiarowe zagadnienie cieplne tarcia na przykład dla dwóch półnieskończonych ciał (półprzestrzeni) z0 i z0, wykonanych z ter-micznie czułych materiałów, zapiszemy w postaci:

t gdzie gęstość mocy sił tarcia jest równa:

) temperatura średnia powierzchni kontaktu, t – czas, K – współczynnik przewo-dzenia ciepła, c – ciepło właściwe,  – gęstość materiału, f – zależny od tempe-ratury powierzchni ciernej współczynnik tarcia, h – współczynnik przewodnictwa

cieplnego kontaktu [57], p i V – są to zmienne w czasie ciśnienie kontaktowe i prędkość poślizgu.

Zagadnienia, w których nieliniowości występują w operatorze różniczkowym nazywane są zagadnieniami z nieliniowością wewnętrzną, a zagadnienia z nieli-niowymi warunkami brzegowymi znane są pod nazwą zagadnień z nieliniowością zewnętrzną [27]. Należy zauważyć, że w zagadnieniach przewodzenia ciepła z wewnętrzną nieliniowością, nawet przy liniowych warunkach brzegowych, pole temperatury nie może być wyznaczone na podstawie superpozycji rozwiązań pew-nych zagadnień liniowych. Jest to główne utrudnienie w opracowaniu metod roz-wiązywania zagadnień nieliniowych. W sformułowanym wyżej zagadnieniu nym tarcia nieliniowości są zawarte zarówno w równaniach przewodnictwa ciepl-nego (1.1) i (1.2), jak również w warunkach brzegowych (1.3) i (1.4). Jest to za-gadnienie posiadające zarówno nieliniowości wewnętrzne jak i zewnętrzne.

Nieco inna klasyfikacja nieliniowych zagadnień przewodzenia ciepła została zaproponowana w monografii [70]. Autor proponuje odnieść takie zagadnienia początkowo-brzegowe do jednej z trzech klas nieliniowości:

a) pierwszego rodzaju, jeżeli współczynnik przewodzenia ciepła K(T) i ciepło właściwe c_V(T)(T)c(T) zależą od temperatury;

b) drugiego rodzaju, jeżeli intensywności strumieni ciepła na powierzch-niach ciała są funkcjami temperatury;

c) trzeciego rodzaju, jeżeli gęstości mocy wewnętrznych źródeł ciepła są nieliniowymi funkcjami temperatury.

Zgodnie z powyższą klasyfikacją zagadnienie cieplne tarcia (1.1)–(1.7) zawie-ra nieliniowości pierwszego, jak również i drugiego rodzaju.

Przeglądy analitycznych, analityczno-numerycznych i numerycznych metod rozwiązywania liniowych i niektórych nieliniowych zagadnień cieplnych tarcia zawarte są w pracach [60, 63, 75, 92]. Zapoznanie się z nimi pozwoliło wywnio-skować, że metody rozwiązywania liniowych zagadnień cieplnych tarcia są opra-cowane o wiele lepiej niż zagadnień nieliniowych. Stąd przy rozpoczęciu badań nad powyższą tematyką wybrany został jeden z najbardziej rozpowszechnionych sposobów stosowanych przy rozwiązywaniu nieliniowych zagadnień, a mianowicie sprowadzenie nieliniowego zagadnienia do liniowego, czyli tak zwana linearyza-cja. Linearyzacja nie jest metodą, to raczej sposób stosowany podczas rozwiązy-wania, którego udane wykonanie pozwala ewentualnie na skorzystanie ze znanych metod rozwiązywania zagadnień liniowych. Do najbardziej znanych analitycznych metod rozwiązywania zagadnień liniowych należą metody rozdzielenia zmiennych, transformacji całkowych (skończonych lub nie), teorii potencjału, rozwiązań pod-stawowych (funkcji Greena), odwzorowań konforemnych oraz wykorzystania zna-nych rozwiązań (twierdzenie Duhamela), itd. [112, 113, 141].

Wśród metod rozwiązywania nieliniowych zagadnień przewodzenia ciepła na-leży wymienić metody podstawień, wariacyjne, całkowe, sprowadzenia do równań całkowych, perturbacji, różnic lub elementów skończonych, metody teorii prawdo-podobieństwa i inne [64]. Należy zaznaczyć, że metody pozwalające rozwiązywać zagadnienia nieliniowe możemy z powodzeniem stosować do rozwiązywania za-gadnień liniowych. Natomiast wspomniane wyżej metody rozwiązywania zagad-nień liniowych mogą być stosowane do rozwiązywania zagadzagad-nień nieliniowych tylko po przeprowadzeniu procedury linearyzacji [70].

Metoda podstawień polega na wykorzystaniu takich całkowych lub algebra-icznych przekształceń (transformacji), które po zastosowaniu do wejściowego nie-liniowego równania linearyzują go (linearyzacja pełna) lub sprowadzają do nieli-niowych równań w postaci pozwalającej stosować znane metody rozwiązywania (linearyzacja częściowa). Na ogół podstawienia „działają” przez właściwości ter-mofizyczne, współrzędne przestrzenne i czas. Do najczęściej stosowanych prze-kształceń typu całkowego należą podstawienia Kirchhoffa [67]:



^ ^





T T d K

T K

0 ( )

) (

, (1.8)

lub Goodmana [53]:



_^ ^ ^ ^





T T d c T

T c T

0 ( ) ( )

) ( ) (

0 0

, (1.9)

a przykładem podstawienia „działającego” przez współrzędną z  i czas t0, jest podstawienie Boltzmanna [20]:

t z

2

 . (1.10)

W monografii między innymi przeprowadzono częściową linearyzację sfor-mułowanych zagadnień cieplnych tarcia termowrażliwych materiałów za pomocą podstawienia Kirchhoffa (1.8). Pozwoliło to na opracowanie jednolitego podejścia do rozwiązywania jednowymiarowych zagadnień początkowo-brzegowych prze-wodzenia ciepła, dla elementów pary ciernej wykonanych z materiałów z prostą lub istotną nieliniowością termiczną. Zastosowanie podstawienia Kirchhoffa:



^ ^





T l

l l dT

T K

T t K

0 ( )

) ) (

, (

, (1.11)

gdzie l1 jeżeli z0 i l2, jeżeli z0, do zagadnienia (1.1)–(1.6)

są to dyfuzyjności cieplne materiałów, a gęstość mocy sił tarcia q znajdujemy ze wzoru (1.7), zastępując w nim temperaturę średnią powierzchni kontaktu T(t) funkcją

Pozytywnym skutkiem wprowadzenia funkcji Kirchhoffa jest częściowa linea-ryzacja wejściowego nieliniowego zagadnienia przewodzenia ciepła (1.1)–(1.6) oraz przegrupowanie nieliniowości do postaci wygodnej w zastosowaniu metod iteracyjnych do rozwiązania otrzymanego zagadnienia początkowo-brzegowego (1.12)–(1.17). Zagadnienie to wciąż pozostaje nieliniowym, posiadając nieliniowo-ści wewnętrzne i zewnętrzne zarówno pierwszego, jak i drugiego rodzaju.

W równaniach różniczkowych (1.12) i (1.13) nieliniowymi są dyfuzyjności cieplne )]}

Wynika stąd, że równania (1.12) i (1.13) będą liniowe wtedy, kiedy elementy pary ciernej są wykonane z materiałów o prostej nieliniowości termicznej (k_l[T(_l(z,t)]=k_l(T₀)const., l1,2). Nieliniowość w warunku brzegowym (1.1.14) zanika, jeżeli przyjmiemy stały współczynnik tarcia f  f(T₀). Wtedy ze wzoru (1.1.7) wynika, że gęstość mocy sił tarcia jest równa:

)

i nie zależy od temperatury. Niestety, przeprowadzenie linearyzacji warunku brze-gowego (1.15) wymaga zastosowania specjalnych metod.

W przypadku materiałów z prostą nieliniowością termiczną i stałym współ-czynniku tarcia, nieliniowość zagadnienia początkowo-brzegowego (1.12)–(1.18) wynika z nieliniowych funkcji T[_l(0,t)], l1,2 po prawej stronie warunku brzegowego (1.15). Zgodnie z podaną wyżej klasyfikacją zagadnienie to należy do klasy zagadnień z zewnętrzną nieliniowością drugiego rodzaju.

Zgodnie z metodą parametrów linearyzujących nieliniowe funkcje T[_l(0,t)]

po prawej stronie warunku brzegowego (1.15) zastępujemy [76]:

) 0 zagadnienie początkowo-brzegowe (1.12)–(1.17) przyjmie postać:

t gdzie gęstość mocy sił tarcia wyznaczamy ze wzoru (1.20).

Otrzymane liniowe zagadnienie początkowo-brzegowe względem funkcji Kir-chhoffa _l( tz, ), l1,2 rozwiązujemy jedną z doskonale znanych metod (trans-formacji całkowej, rozdzielenia zmiennych, itp.). W monografii zastosowano w tym celu metodę transformacji całkowej Laplace’a. Zawarte w otrzymanym rozwiązaniu parametry  , _l l1,2 znajdujemy z numerycznego rozwiązania ukła-du dwóch nieliniowych równań funkcyjnych, otrzymanych z uwzględnieniem po-staci zależności współczynnika przewodzenia ciepła K_l(T) od temperatury. Na ostatnim etapie rozwiązania ustalamy relację pomiędzy temperaturą T( tz, ), a zna-lezionymi funkcjami Kirchhoffa _l( tz, ), l1,2.

Zaletą metody parametrów linearyzujących jest to, że przy znanym rozwiąza-niu zagadnienia ze stałymi właściwościami termofizycznymi pozwala w prosty sposób otrzymać rozwiązanie liniowego zagadnienia początkowo-brzegowego względem funkcji Kirchhoffa, otrzymanego w wyniku linearyzacji, odpowiedniego zagadnienia dla układu ciernego wykonanego z materiałów termowrażliwych.

W przypadku szczególnym _l 0, l1,2 związek pomiędzy temperaturą a funkcjami Kichhoffa na powierzchniach ciernych zapisujemy jako:

0 1(0, ) )

, 0

( t t T

T ^   , T(0^,t)₂(0,t)T₀, t0, (1.28) a postać zagadnienia (1.22)–(1.27) staje się identyczna z postacią zagadnienia po-czątkowo-brzegowego przewodzenia ciepła dla dwóch półprzestrzeni materiałów o stałych właściwościach termofizycznych (K_l_,₀K_l(T₀), k_l_,₀ k_l(T₀), l1,2).

Wynika stąd, że przyjęcie związków (1.28) oznacza równość wartości temperatury powierzchni ciernych termicznie wrażliwych ciał, z wartościami temperatury tych powierzchni przy stałych właściwościach materiałów. Należy podkreślić, że rów-ność (1.28) ma miejsce tylko na ślizgających się powierzchniach ciał. Wewnątrz tych ciał wartości temperatury różnią się.

Podejście do linearyzacji nieliniowych zagadnień przewodzenia ciepła na podstawie założenia (1.28) zostało zaaprobowane w pracach [99, 100]. Natomiast w monografii [77] zaprezentowano przykłady zagadnień, w wyniku rozwiązania których ustalono, że taka linearyzacja nie dla wszystkich wartości czasu daje dobre przybliżenie poszukiwanego rozwiązania. Jednym ze sposobów uniknięcia takich niepożądanych sytuacji jest wprowadzenie do procedury linearyzacji zagadnień współczynników linearyzujących różnych od zera.

Kolejna metoda linearyzacji nieliniowych funkcji T[_l(0,t)], l1,2 po pra-wej stronie warunku brzegowego (1.15) polega na aproksymacji funkcjami skleja-nymi [9]:



^ jest to funkcja Heaviside’a.

Zastępując funkcje T[_l(0,t)], l1,2 w warunku brzegowym (1.15) ich przybliżeniami (1.29), warunek ten zapiszemy w postaci liniowej:

) Rozwiązanie liniowego zagadnienia początkowo-brzegowego względem funkcji Kirchhoffa (1.12)–(1.14), (1.16), (1.17), (1.30), przy gęstości mocy sił tar-cia w postaci (1.20), znajdujemy jedną z wymienionych wyżej klasycznych metod.

Znalezione w ten sposób funkcje Kirchhoffa są funkcjami zmiennych niezależnych z i t oraz n3 parametrów – punktów tj podziału interwału czasowego oraz

Zaletą metody związanej z wykorzystaniem właściwości aproksymacyjnych funkcji sklejanych jest to, że postać rozwiązań (1.32) i (1.33) ma charakter uniwer-salny – nie jest związana z konkretną zależnością współczynnika przewodzenia ciepła K_l(T), l1,2 materiałów pary ciernej od temperatury. Na kolejnym etapie znajdowania temperatury w układzie ciernym należy sprecyzować, na podstawie rezultatów badań doświadczalnych, zależności K_l(T), l1,2. Podstawiając te zależności do wzorów transformacyjnych (1.11), znajdujemy związek pomiędzy funkcjami Kirchhoffa _l( tz, ), l1,2 a temperaturą T( tz, ). Ostatnim etapem w rozwiązaniu rozpatrywanego nieliniowego zagadnienia początkowo-brzegowego przewodzenia ciepła jest ustalenie relacji odwrotnej – pomiędzy temperaturą

) , ( tz

T a funkcjami Kirchhoffa _l( tz, ), l1,2. Biorąc pod uwagę postać rozwią-zań (1.32) i (1.33), ustalamy wzory końcowe do obliczenia temperatury w wybra-nym punkcie układu ciernego i w dowolnej chwili t :



Nieznanych wartości temperatury na powierzchniach ciernych ciał, a miano-wicie współczynników T_l_,_j, j1,2,...,n, l1,2 we wzorach aproksymacyjnych

Układ n2 nieliniowych równań funkcyjnych względem takiej liczby parametrów

Tl_, , j1,2,...,n, l1,2 rozwiązujemy numerycznie, na przykład za pomocą me-tody iteracji prostej [73].

Ostateczne rozwiązanie wejściowego nieliniowego zagadnienia cieplnego tar-cia otrzymujemy, podstawiając znalezione wartości współczynników T_l_,_j,

j1,2,..., , l1,2 do rozwiązania (1.34). W celu zwiększenia dokładności obli-czeń temperatury możemy zastosować aproksymację za pomocą funkcji sklejanych wyższego rzędu niż zerowy, zastosowany we wzorach (1.29), (1.30) [124].

Metody parametrów linearyzujących oraz aproksymacji funkcjami sklejanymi były stosowane wcześniej podczas rozwiązywania stacjonarnych i niestacjonar-nych zagadnień przewodzenia ciepła dla ciał termicznie wrażliwych z nieliniowym warunkiem brzegowym III-go rodzaju – konwekcyjnej wymiany ciepła ze środo-wiskiem otaczającym [116, 117, 119–122]. W niniejszej monografii powyższe metody zostały zaadoptowane do rozwiązywania jednowymiarowych zagadnień cieplnych tarcia.

Do najczęściej stosowanych metod rozwiązywania nieliniowych zagadnień przewodzenia ciepła dla materiałów o istotnej nieliniowości termicznej należą me-tody iteracyjne oraz numeryczne [21, 137]. Dosyć perspektywicznym wydaje się opracowanie algorytmów iteracyjnych. Przy czym stosowanie istniejących ogól-nych schematów nie zawsze jest uzasadnione ze względu na to, że większość mo-deli matematycznych ma własną specyfikę, która nie zawsze pozwala ustalić i sprawdzić warunki zbieżności. A więc sensownym jest opracowanie, na podsta-wie ogólnych schematów, takiego algorytmu iteracyjnego rozwiązywania konkret-nego nieliniowego zagadnienia, który byłby w jak najlepszy sposób zaadoptowany do istniejącej informacji wejściowej. Efektywność iteracyjnych schematów zależy od prędkości ich zbieżności, o czym decyduje głównie wybór początkowego przy-bliżenia [58]. W monografii zaprezentowano iteracyjny schemat rozwiązania nieli-niowych zagadnień typu (1.12)–(1.17) ze stałym współczynnikiem tarcia. Przy ustalonych wartościach zmiennych niezależnych z i t za i -te przybliżenie

poszu-kiwanych funkcji Kirchhoffa _l( tz, ), l1,2 wybieramy rozwiązanie liniowego zagadnienia początkowo-brzegowego w postaci:

t przy-bliżenie wybieramy rozwiązanie zagadnienia (1.36)–(1.41) z właściwościami ter-mofizycznymi w temperaturze początkowej T . W tym rozwiązaniu związek po-₀ między funkcjami Kirchhoffa a temperaturą jest trywialny:

) 0 Na kolejnych krokach iteracji związek ten wyznaczamy na podstawie wzoru (1.11), przy wybranych zależnościach współczynnika przewodzenia ciepła od tem-peratury i znanym rozwiązaniu liniowego zagadnienia (1.36)–(1.41). Obliczenia wykonujemy do osiągnięcia założonej dokładności. Efektywność zaproponowane-go w monografii iteracyjnezaproponowane-go schematu wyznaczenia temperatury elementów

cier-nych wykonacier-nych z materiałów o istotnej wrażliwości termicznej zwiększa się, jeżeli rozwiązanie liniowego zagadnienia (1.36)–(1.41) ma postać zamkniętą.

Zbieżność algorytmów iteracyjnych rozwiązywania nieliniowych zagadnień początkowo-brzegowych przewodzenia ciepła typu parabolicznego udowodniono w monografii [77] i potwierdzono poprzez porównanie znalezionych za ich pomo-cą rezultatów z danymi otrzymanymi metodami numerycznymi [78, 118, 123].

Podstawę metod numerycznych modelowania procesów przewodzenia i wy-miany ciepła stanowi idea polegająca na zastąpieniu nieskończenie małych zmian wartości zmiennych w rozpatrywanym modelu matematycznym ich skończonymi analogami [8]. W metodzie elementów skończonych (MES) ciągły obszar dzieli się na elementy dla których rozwiązanie można znaleźć stosunkowo łatwo [82, 95].

Metoda ta jest dobrze przystosowana do rozwiązywania nieliniowych zagadnień w obszarach o złożonym kształcie i uwzględniania różnego rodzaju nieciągłości oraz innych osobliwości [135]. Jednak skuteczność zastosowania MES jest bezpo-średnio związana z obecnością rozwiniętego oprogramowania do automatycznego dzielenia na elementy skończone, co wymaga użycia wielkich zasobów pamięci i mocy obliczeniowych. Metoda elementów brzegowych (MEB) korzysta z podstawowych rozwiązań (tzw. Greena) zagadnień początkowo-brzegowych mechaniki [22]. MEB wymaga dyskretyzacji i numerycznego wyznaczenia tempe-ratury tylko w strefie przygranicznej rozpatrywanego obszaru podzielonego na elementy brzegowe. Procesy przepływu ciepła wewnątrz tego obszaru opisane są rozwiązaniami równań całkowych lub ich układów [154]. Przed zastosowaniem MEB zalecana jest pełna (w przypadku warunków brzegowych pierwszego lub drugiego rodzaju) lub częściowa (warunki brzegowe trzeciego rodzaju) linearyza-cja zagadnień za pomocą podstawienia Kirchhoffa [17].

Metoda prostych przewiduje przeprowadzenie skończono-różnicowej aprok-symacji pochodnych cząstkowych względem zmiennych przestrzennych, w wyniku której równanie przewodnictwa cieplnego wyrażone w pochodnych cząstkowych zostaje przekształcone w układ równań różniczkowych zwyczajnych rozwiązywa-nych zwykle metodami numerycznymi [111]. Otrzymany układ równań różnicz-kowych jest znany jako pół-dyskretny model nieliniowego zagadnienia [86].

Do numerycznego rozwiązywania nieliniowych zagadnień cieplnych tarcia wybrana została metoda prostych jako technicznie najlepiej przystosowana do pra-cy w jednowymiarowych półnieskończonych obszarach. Poniżej zaprezentowano główne idee tej metody na przykładzie nieliniowego zagadnienia początkowo-brzegowego (1.12)–(1.17).

Niech rozwiązanie rozpatrywanego zagadnienia istnieje i jest jedyne, a poszu-kiwane funkcje Kirchhoffa _l( tz, ), l1,2 są ciągle wraz z pochodnymi cząstko-wymi do rzędu czwartego włącznie, względem zmiennej przestrzennej z . Na od-cinkach 0zd₁ oraz d₂ z0 wprowadzimy równomierne siatki:

l zapisany w postaci:

. Wia-domo, że każdy różniczkowy operator zadany w klasie funkcji ciągłego argumentu, można w przybliżeniu zastąpić operatorem różnicowym zadanym na funkcjach siatkowych [137]. Idea metod aproksymacyjnych polega na zamianie pochodnych wyrażeniem różnicowym zawierającym wartości funkcji siatkowej w kilku wę-złach siatki. Na równomiernych siatkach typu (1.45) jedną z najprostszych zamian jest aproksymacja różnicowa centralna [43]:

Zastępując pochodne cząstkowe względem zmiennej niezależnej z w zagad-nieniu początkowo-brzegowym (1.36)–(1.39), (1.41), (1.46) na ich wyrazy różni-cowe (1.47), otrzymamy:



0 równań (1.49) przy j0. W podobny sposób, uwzględniając relację (1.5), wyłą-czamy z tego układu funkcję _, ₁(t)

l 

 , l1,2. W wyniku tych operacji otrzymu-jemy zagadnienie początkowe dla układu równań różniczkowych zwyczajnych w postaci: równań różniczkowych zwyczajnych względem takiej samej liczby funkcji siatko-wych _l_,_j(t), j0,1,...,n_l; l1,2 znajdujemy za pomocą metod numerycznych.

W tym celu wykorzystano napisaną w języku FORTAN procedurę DIFSUB [48–

50]. W procedurze tej zaimplementowano schemat predyktor-korektor dla metod Adamsa i wstecznego różniczkowania. Szczegółowy opis procedury DIFSUB oraz ważne rekomendacje co do jej zastosowania wraz ze wskazaniem nieścisłości w tekście źródłowym [48] zawarte są w monografii [74]. W tej monografii w roz-dziale 8.3. zatytułowanym „Przykłady” podano trzy przykładowe zagadnienia

po-czątkowe posiadające rozwiązania analityczne. Umożliwiło to autorom monografii przeprowadzenie badań testowych tej procedury przed przystąpieniem do rozwią-zywania numerycznego nieliniowych zagadnień rozpatrywanych w niniejszej mo-nografii.

Należy zaznaczyć, że procedura DIFSUB wykonuje obliczenia na jednym kroku czasowym. A więc przeprowadzenie całkowania numerycznego zagadnień początkowo-brzegowych typu (1.53)–(1.57) na zadanym przedziale czasowym wymagało wielokrotnego jej wywołania, aż do osiągnięcia punktu końcowego.

Obliczenia wykonano za pomocą metody Adamsa z rzędem aproksymacji NQ z zakresu 1NQ7. Pierwszy krok całkowania wykonywano zawsze z NQ , 1 a podczas obliczeń rząd dobierany był automatycznie przez program bez ingerencji użytkownika. Użytkownik natomiast miał wpływ na wielkość kolejnego kroku całkowania, definiując go lub pozwalając wykonać to procedurze. Wartość H pierwszego kroku obliczeń zadano przed uruchomieniem procedury. Procedura ma możliwość automatycznego zmniejszenia H do wielkości uznanej przez nią za optymalną. Po wykonaniu każdego z kroków obliczeń wartość parametru H na wyjściu jest równa wielkości kroku całkowania, przy którym proponowane jest wykonanie następnego kroku. Wartość ta może być nie zaakceptowana, a następnie

W dokumencie ISBN 978-83-65596-54-3 ISBN 978-83-65596-55-0 (eBook) (Stron 15-35)