Funkcje Kirchhoffa

, 1 ,

|

| , 0 ) 0 ,

(    

_l l . (2.2.22)

Zagadnienie (2.2.17)–(2.2.22) zostało zlinearyzowane tylko częściowo, po-nieważ prawa strona warunku brzegowego (2.2.20) pozostała nieliniowa. W celu wykonania jej linearyzacji należy sprecyzować postać funkcji K_l^(T_l^), l1,2. Tak jak w podrozdziale 2.1.3 rozpatrzymy liniową zależność współczynnika przewo-dzenia ciepła od temperatury w postaci (2.1.24). W następstwie otrzymujemy ko-lejny związek pomiędzy bezwymiarową temperaturą T_l^ a funkcjami Kirchhoffa

) , ( 

_l , l1,2:





(,)¹[ 12(,)1]T₀

T_{l l l l} , 0_s, (2.2.23)

gdzie l1 przy 0 i l2 przy 0.

Zakładamy, że na powierzchni kontaktu spełniona jest równość:

) , 0 ( ) 1 ( 1 ) , 0 ( 2

1 _l_l    _l _l_l  , 0_s, l1,2, (2.2.24) gdzie  , _l l1,2 są to nieznane (na tę chwilę) parametry linearyzujące. Zaznacz-my, że dla _l 0, l1,2 prawa strona związku (2.1.25) jest równa pierwszym dwóm składnikom rozwinięcia funkcji 12_l_l(0,) w szereg potęgowy.

Uwzględniając równość (2.2.24) związek (2.2.23) przyjmie postać:



(0,)(1 ) (0,)T₀

T_{l l l} , 0_s, l1,2. (2.2.25) Podstawiając związek (2.2.15) do prawej strony warunku brzegowego (2.2.20), zapiszemy go w postaci liniowej:

)]

(0, )

(0,

[ _{1 1 2 2}

0 1 0 0

2      







 









 





 



Bi Bi

K , 0_s, (2.2.26)

gdzie Bi_l (1_l)Bi, l1,2.

2.2.3. Funkcje Kirchhoffa

Z uwzględnieniem definicji funkcji q^() (2.2.16) po prawej stronie warunku brzegowego (2.2.19), rozwiązania liniowego zagadnienia początkowo-brzegowego (2.2.17)–(2.2.19), (2.2.21), (2.2.22), (2.2.26) szukamy w postaci:

) ,

~ ( ) , ( ) ,

(      ¹  

_l _l ^_{s l}

, 0_s, l1,2, (2.2.27)

gdzie _l(,)

jest to rozwiązanie rozpatrywanego zagadnienia przy stałej gęstości mocy sił tarcia q^()1, a składową ~_l(,) wyznaczymy ze wzoru Duhamela

(2.1.70). Różniczkując rozwiązania (2.1.66) i (2.1.67), otrzymujemy:

, całki w prawej stronie wzoru (2.2.28), otrzymujemy:



W celu znalezienia całek (2.2.33) i (2.2.34), zapiszemy je w postaci [124]: wzory (2.2.35) przyjmują postać:

,

Podstawiając całki (2.2.40), (2.2.41) do prawych stron wzorów (2.2.31) i (2.2.32), otrzymujemy:

,

Na powierzchni kontaktu 0 ze wzorów (2.2.42) i (2.2.43) znajdujemy:

, W przypadku szczególnym przy 0 ze wzoru (2.2.27), z uwzględnieniem roz-wiązań (2.1.69) i (2.1.70) oraz (2.2.44) i (2.2.45), otrzymujemy:

,

gdzie:

) 3 (

1 2 )

(  

 







 





s

F ,

s s s

G 

 



 





























 ^ _



 1 ( )

) , 1 (

1 ) ,

( ₂ . (2.2.48)

Należy zaznaczyć, że funkcja F() (2.2.48) jest otrzymanym przez Fazekasa [44] rozwiązaniem liniowego zagadnienia początkowo-brzegowego dla jednorod-nej półprzestrzeni nagrzewajednorod-nej na powierzchni strumieniem ciepła o intensywności (2.2.16).

Przechodząc we wzorach (2.2.46)–(2.2.48) do granicy _s , otrzymujemy funkcje Kirchhoffa (2.1.69) i (2.1.70) na powierzchniach ciernych półprzestrzeni podczas poślizgu ze stałą prędkością. Natomiast w przypadku szczególnym _l 0,

2 ,

1

l (^ 1) wzory (2.2.46)–(2.2.48) opisują ewolucję temperatury na po-wierzchniach półprzestrzeni przy stałych właściwościach termofizycznych materia-łów [165].

Algorytm wyznaczenia parametrów linearyzujących  , _l l1,2 w rozwiąza-niach (2.2.46)–(2.2.48) jest podobny do zawartego w podrozdziale 2.1.4 przy stałej gęstości mocy sił tarcia. Postępując w analogiczny sposób, najpierw z równania (2.2.24) ustalamy związek pomiędzy funkcjami Kirchhoffa _l(0,)a parametrami linearyzującymi  , _l l1,2:

l l

l  l 

 





 ₂

) 1 ( ) 2 , 0

( , 0_s, l1,2, (2.2.49) gdzie 1_l 0 przy _l 0 oraz 0_l 1 przy _l 0, l1,2. Przechodząc do nowych parametrów x , _l l1,2 za pomocą wzorów (2.1.78) i podstawiając funkcje Kirchhoffa (2.2.46)–(2.2.48) do lewej strony równości (2.2.49) otrzymu-jemy:

0 ) , (x₁ x₂ 

F_l , 0_s, l1,2, (2.2.50) gdzie:

) ( )

1 ( 2 ) 1 ( 2 )

( _{1 2 2 1 1 1 2 2 1 2}

1 x,x   x x   x x  F 

F , (2.2.51)

)]

, ( , [ ) , ( 2

2 )

( _{1 2 2 1 1 2 1 2} ¹ _{1 2 1 2}

2 x,x x x Bi g x x G x x

F      ^   , (2.2.52)

a funkcje g(x₁,x₂) i (x₁,x₂) mają odpowiednio postaci (2.1.77) i (2.1.79).

Aby do rozwiązywania nieliniowego układu równań funkcyjnych (2.2.50) można było zastosować metodę Newtona-Raphsona [123], ze wzorów (2.2.51) i (2.2.52) znajdujemy elementy macierzy Jacobi'ego F_l,mF_l/x_m, l,m1,2:

)

Wszystkie kroki algorytmu obliczeniowego w metodzie Newtona-Raphsona, stosowanej do rozwiązywania układu równań nieliniowych funkcyjnych (2.2.50), są takie same jak w podrozdziale 2.1.4. Wyjątek stanowi krok czwarty, w którym oprócz wyznaczenia funkcji () i [,(x₁,x₂)] (2.1.57) należy poszukiwać wartości funkcji F() i G[,(x₁,x₂)] (2.2.48).

Znając zmianę parametrów linearyzujących  , _l l1,2 w czasie hamowania, temperaturę każdej półprzestrzeni wyznaczamy ze związków (2.2.23) i (2.2.25), gdzie funkcje Kirchhoffa mają postaci (2.2.27), (2.1.66)–(2.1.70), (2.2.42) i (2.2.43).

2.2.4. Analiza numeryczna

Analiza numeryczna rozkładów temperatury w przypadku liniowo zmniejszającej się z czasem gęstości mocy sił tarcia (hamowanie z jednostajnym opóźnieniem) została wykonana dla trzech par ciernych: stal EI-696 – stop tytanu VT-14, stop aluminium A315 – stop tytanu VT-14 oraz żeliwo szare – stop tytanu VT-14. Wła-ściwości termofizyczne materiałów ciernych przy temperaturze 20C oraz wartości

 opisującego charakter ich zmian pod wpływem temperatury zostały

zamieszczone w tab. 2.2.1. Dodatkowymi parametrami w analizie są: gęstość mocy sił tarcia q₀ 1 MW/m², liczba Biota Bi5 oraz bezwymiarowy czas hamowania

5

_s . Dla wszystkich par ciernych przyjęto, że materiałem dolnym (oznaczonym indeksem 2) jest stop tytanu VT-14, a wyznaczone na podstawie jego właściwości termofizycznych (w temperaturze 20C) parametry są równe a0,001m i T_a 127,6C.

Tab. 2.2.1. Właściwości termofizyczne materiałów dla temperatury początkowej T₀ = 20C oraz wartości parametru .

Materiał K ,⁰

1

1 C

Wm^{  }

106

 k ,

1 2s m ^

103



 , C-1



A315 [108] 128,65 59,5 0,914108 Żeliwo szare [55] 45,45 13,68 0,253026

VT-14 [29] 7,831 3,68 1,1787

EI-696 [29] 16,3 4,92 0,8589

Ewolucje parametrów linearyzujących i bezwymiarowej temperatury na po-wierzchniach kontaktu rozpatrywanych par ciernych, obliczone z uwzględnieniem i bez uwzględnienia zmian właściwości termofizycznych pod wpływem temperatu-ry, zaprezentowano na rys. 2.2.2–2.2.4. Dla wszystkich analizowanych układów tribologicznych zależność rozkładu temperatury na powierzchniach roboczych elementów ciernych od czasu jest podobna i charakterystyczna dla procesu hamo-wania z jednostajnym opóźnieniem. Wraz z początkiem hamohamo-wania temperatura szybko wzrasta do osiągnięcia maksymalnej wartości w około połowie czasu ha-mowania, a następnie do końca hamowania jej wartość maleje.

Dodatkowym wspólnym elementem dla wszystkich par tribologicznych jest skok temperatury na powierzchniach roboczych elementów ciernych. Wynika on z przyjętego modelu kontaktu cieplnego. Temperatura na powierzchni kontaktu elementu wykonanego ze stopu tytanu VT-14 jest zawsze wyższa niezależnie od rodzaju materiału drugiego z elementów ciernych. Przyczyną tego jest znacznie niższy współczynnik przewodzenia ciepła i ciepło właściwe niż innych materiałów (tab. 2.2.1). Zmianę temperatury na powierzchni kontaktu w zależności od wartości liczby Biota zbadano dla przypadku stałej prędkości poślizgu w podrozdziale 2.1.7 (patrz rys. 2.1.8) i z tej przyczyny autorka zdecydowała się nie załączać wyników analizy tego parametru z powodu zbliżonych wyników i sformułowanych na ich podstawie wniosków.

a)

b)

Rys. 2.2.2. Ewolucje bezwymiarowej temperatury T* (a) na powierzchniach roboczych stali EI-696 (1) i stopu tytanu VT-14 (2) podczas hamowania z jednostajnym opóźnieniem oraz odpowiadająca ewolucjom zmiana w czasie parametrów linearyzujących κ (b).

a)

b)

Rys. 2.2.3. Ewolucje bezwymiarowej temperatury T* (a) na powierzchniach roboczych stopu aluminium A315 (1) i stopu tytanu VT-14 (2) podczas hamowania z jednostajnym opóźnieniem oraz odpowiadająca ewolucjom zmiana w czasie parametrów linearyzujących κ (b).

Ewolucja bezwymiarowej temperatury na powierzchni kontaktu podczas ha-mowania z jednostajnym opóźnieniem dla pary ciernej stal EI-696 – stop tytanu VT-14, została zbadana wcześniej za pomocą metody elementów skończonych w pracy [7]. Porównanie rezultatów tych badań z danymi zaprezentowanymi na rys. 2.2.2 a wykazało ich dobrą jakościową zgodność. Uwzględnienie w oblicze-niach zależności właściwości termofizycznych materiałów pary ciernej od tempe-ratury powoduje obniżenie wartości tempetempe-ratury na powierzchniach roboczych w porównaniu z wartościami uzyskanymi z obliczeń przy stałych właściwościach.

Efekt ten jest spowodowany wzrostem współczynnika przewodzenia ciepła stali EI-696 oraz stopu tytanu VT-14 (dodatnie wartości parametru  – tab. 2.2.1) w procesie nagrzewania tarciowego. Podobne zmiany temperatury można zaob-serwować dla pary ciernej stop aluminium A315 – stop tytanu VT-14 (rys. 2.2.3 a), ponieważ współczynnik przewodzenia ciepła materiału A315 wraz z podwyższe-niem temperatury również wzrasta.

Istotną różnicą pomiędzy rezultatami uzyskanymi dla tych dwóch par ciernych (rys. 2.2.2 i 2.2.3) jest znacznie większy skok temperatury na powierzchni kontaktu w układzie A315 – VT-14 od różnicy temperatury na tej powierzchni dla pary EI-696 – VT-14. Można wytłumaczyć to tym, że stosunek współczynników przewo-dzenia ciepła stopu aluminium A315 i stopu tytanu VT-14, przy temperaturze po-czątkowej 20C, wynosi 16,43, a dla materiałów stali EI-696 i stopu tytanu VT-14 stosunek ten jest równy zaledwie 2,08 (tab. 2.2.1).

Uwzględnienie w obliczeniach termowrażliwości materiałów w trzeciej z analizowanych par ciernych, tj. żeliwo szare – stop tytanu VT-14, niemal nie ma wpływu na ewolucję temperatury na powierzchni kontaktu w porównaniu z wy-znaczoną przy stałych właściwościach termofizycznych tych materiałów (rys. 2.2.4). Jest to spowodowane tym, że w przeciwieństwie do poprzednio opisa-nych materiałów, współczynnik przewodzenia ciepła żeliwa obniża się wraz ze wzrostem temperatury.

Zmiany w czasie wartości parametrów linearyzujących  dla rozpatrywanych par ciernych, odpowiadające omówionym powyżej ewolucjom temperatury, zosta-ły zaprezentowane na rys.: 2.2.2 b, 2.2.3 b i 2.2.4 b. Podobnie jak w przypadku stałej prędkości poślizgu, parametr  przyjmuje wartości ujemne dla materiałów, których współczynnik przewodzenia ciepła wraz z temperaturą rośnie (EI-696, VT-14, A315 – dodatnia wartość  ) (rys. 2.2.2 b i 2.2.3 b). Natomiast kiedy współ-czynnik przewodzenia ciepła materiału ciernego (żeliwo szare) wraz ze wzrostem temperatury maleje, to parametr  przyjmuje wartości dodatnie (rys. 2.2.4 b).

2.2.5. Wnioski

Opracowano jednowymiarowy nieliniowy model matematyczny nagrzewania tar-ciowego w układzie hamulcowym typu nakładka-tarcza przy stałym ciśnieniu kon-taktowym i liniowo zmniejszającą się w czasie prędkością. Założono, że tarciowy kontakt cieplny nakładki z tarczą jest nieidealny, a ich materiały charakteryzują się prostą nieliniowością termiczną. Rozwiązanie odpowiedniego nieliniowego zagad-nienia początkowo-brzegowego przewodzenia ciepła otrzymano zgodnie ze sche-matem opracowanym w podrozdziale 2.1, dotyczącym liniowej zależności współ-czynnika przewodzenia ciepła od temperatury. Do rozwiązania zagadnienia po-czątkowo-brzegowego względem funkcji Kirchhoffa z nieliniowym warunkiem brzegowym stosowano metodę parametrów linearyzujących.

Analizę numeryczną ewolucji temperatury na powierzchniach roboczych na-kładki i tarczy przeprowadzono dla wybranych trzech par ciernych (EI-696 – VT-14, A315 – VT-VT-14, żeliwo szare – VT-14) wykonanych z materiałów stosowanych na tarczę hamulcową i nakładki. Zbadano wpływ czułości termicznej materiałów na wielkość i charakter zmiany temperatury w czasie hamowania.

Ostatecznie można stwierdzić, że linearyzacja nieliniowych zagadnień po-czątkowo-brzegowych za pomocą parametrów linearyzujących jest efektywną i względnie prostą metodą wyznaczenia pól temperatury elementów ciernych ukła-dów hamulcowych, których elementy wykonane są z materiałów o prostej nieli-niowości termicznej.

Rezultaty zaprezentowane w niniejszym rozdziale zostały opublikowane w pracach [37, 38, 60, 61, 101, 104, 105, 153, 155, 159].

3. ZAGADNIENIA CIEPLNE TARCIA

W dokumencie ISBN 978-83-65596-54-3 ISBN 978-83-65596-55-0 (eBook) (Stron 71-83)