Equation Chapter 4 Section 1
4.1. Proste kryteria oceny jakości układów regulacji
Aby ocenić działanie dowolnych algorytmów i struktur sterowania układami niezbędnie jest wprowadzenie niezależnych, arbitralnych wskaźników oceny jakości sterowania. Podejście takie pozwala zarówno na obiektywne porównanie strategii sterowania, ale także umożliwia optymalizację według zadanych kryteriów. W klasycznej teorii sterowania podstawowym miernikiem oceniającym jakość układu regulacji automatycznej są dwa kryteria całkowe –ISE (Integrated Square Error) – całka z kwadratu błędu oraz IAE (Integrated Absolute Error) – całka z wartości bezwzględnej sygnału błędu. Błąd definiowany jest jako różnica sygnału zadanego i wyjścia obiektu. Wskaźniki te zostały w pracy oznaczone jako I1 oraz I2:
1 czasu procesu sterowania, a τ oznacza czas.
Trzecim proponowanym wskaźnikiem jakości jest indeks zbliżony w swojej idei do I2 – całki z kwadratu błędu. W proponowanym wskaźniku uwzględniono jednak ograniczenia fizyczne dla danego układu. Układ elektromechaniczny z połączeniem sprężystym lub elastycznym nie może być sterowany lepiej (z punktu widzenia właściwości dynamicznych) niż sterowany czasooptymalnie układ zastępczy z połączeniem sztywnym. Uwzględniając to ograniczenie zbudowano wskaźnik jakości I3:
gdzie fs oznacza wyjście układu sztywnego, a fd wyjście układu drgającego.
Czwarty wskaźnik całkowy jest miarą energii potrzebnej do wysterowania układu. Dla prezentowanych badań można założyć, że energia pobierana przez układ jest zależna od sygnału
sterującego działającego na obiekt. Dla niniejszej pracy przyjęto zależność kwadratową, zgodnie z propozycją zawartą w publikacji J. Dasa [33].
gdzie u oznacza sygnał sterujący działający na obiekt.
Oprócz klasycznych całkowych wskaźników jakości dla układów drgających równie ważna jest ocena parametrów dynamicznych układu sterowania. Metodą badania tych wskaźników może być analiza odpowiedzi skokowej układu. W pracy zdecydowano się na
gdzie t0 oznacza czas wystąpienia nieukształtowanego skoku sygnału zdanego, t90% oznacza czas osiągniecia przez układ 90% wartości zadanej, tu oznacza czas ustalenia odpowiedzi skokowej (ostatecznego wejścia sygnału fout w strefę ± 10% wartości ustalonej), fMAX1 jest wartością przeregulowania (obliczaną w stosunku do wartości ustalonej), a fref jest referencyjną wartością wyjścia przy odpowiedzi skokowej.
Przedstawione wskaźniki I5, I6 oraz I7 są powszechnie znane jako (odpowiednio) czas narastania i czas ustalania odpowiedzi oraz przeregulowanie. Ze względu na różnice literaturowe w określeniu poszczególnych parametrów odpowiedzi skokowej wskaźniki I5 – I6 zobrazowano na rysunku 4.1.
Rysunek 4.1. Wskaźniki jakości I5 – I6 – ilustracja graficzna.
4.2. Normalizacja wskaźników jakości
Aby na podstawie prostych kryteriów oceny jakości układu sterowania zbudować kryteria złożone konieczne jest sprowadzenie poszczególnych indeksów do pewnej bezwymiarowej bazy. Proces ten może być realizowany na wiele sposobów, z których najpopularniejszymi są normalizacja oraz standaryzacja zmiennych. Stosowane oraz analizowane metody są opisane szczegółowo w publikacji E. Kreysziga [78]. Wymieniona pozycja literaturowa stanowi kompendium wiedzy na temat praktycznego zastosowania matematyki w naukach inżynieryjnych i jest bazą dla licznych publikacji traktujących o normalizacji.
Proces normowania zmiennych polega na liniowym odwzorowaniu dowolnego przedziału na zakres <0:1>. Zmienną unormowaną wyróżnia się zazwyczaj poprzez jej podkreślenie.
Proces normalizacji można opisać wzorem (4.8):
mi n x oznacza normalizowaną wartość, a x oznacza wartość po normalizacji.
Głównym problemem normalizacji jest odpowiednie wyznaczenie przedziału pierwotnego zmiennej normalizowanej. W literaturze światowej można spotkać różne zasady dotyczące optymalnego wyboru przedziałów. Dla przypadku omawianego w niniejszej dysertacji istnieje baza porównawcza dla wyników badań układów z kształtowaniem sygnału zadanego – stanowią ją przykłady, w których kształtowanie sygnału nie jest załączone. W związku z powyższym w pracy założono, iż przedział pierwotny dla dowolnego indeksu jakości mieści się w zakresie <0, Inus>, gdzie Inus oznacza wartość n-tego wskaźnika jakości dla układu sterowania bez załączonego kształtowania sygnału. Wartości wykraczające poza pierwotny przedział znajdują się naturalnie poza przedziałem <0,1>.
Czynnikiem wspomagającym w normalizacji może być wprowadzenie dodatkowej, zwykle nieliniowej, funkcji kary. Celem takiego działania jest eliminacja stanów wysoce niekorzystnych oraz przyspieszenie obliczeń w optymalizacji układu. Charakter tego typu funkcji jest zazwyczaj dobierany przez badacza na podstawie znanych funkcji ograniczeń. Przykładem takiej funkcji może być znaczące zwiększenie lub zmniejszenie wskaźników wychodzących poza obszar normalizacji (w zależności od kryterium optymalizacji). Zabieg taki wprowadza oczywiście nieliniowości do funkcji normalizującej
4.3. Złożone kryteria oceny jakości układów regulacji – wskaźniki sumaryczne
Jak wspomniano we wcześniejszych rozdziałach sytuacja, w której ocenia się kryterium jakości sterowania ze względu na jeden wskaźnik jakości jest bardzo rzadko spotykana w praktyce. Przykładowo optymalizacja czasu regulacji powoduje zwykle zwiększenie kosztów energetycznych jak i eksploatacyjnych. Każda strategia sterowania jest zawsze pewnym kompromisem pomiędzy wieloma aspektami jakościowymi, niezawodnościowymi, wydajnościowymi czy ekonomicznymi. Przy optymalizacji układu sterowania badacz musi najpierw znaleźć odpowiedź na pytanie jakie kryterium optymalności wybrać. H. Benson [10]
zaprezentował jedno z możliwych rozwiązań budowy sumarycznego wskaźnika złożonego.
Kolejne modyfikacje zaprezentowanych rozwiązań doprowadziły do postaci zaprezentowanej przez B. Brosowskiego i A. da Silvę [24]. Omawiane podejście obliczania złożonego wskaźnika jakości polega na sumowaniu prostych wskaźników jakości. Zależność taką można wyrazić przy pomocy równania (4.9). W wymienionym równaniu Ic oznacza złożony współczynnik jakości sterowania, In oznacza n-ty znormalizowany współczynnik składowy, natomiast an oznacza współczynnik wagowy dla danego współczynnika. Metodę tą skrótowo oznacza się przez WSM (od ang. Weighted Sum Method).
c n n
n
I
a I (4.9)Dla zadania optymalizacji złożonego współczynnika jakości sterowania Ic przyjmuje się zwykle konwencję nakazującą minimalizowanie jego wartości. Większość wskaźników prostych (wszystkie zaprezentowane w rozdziale 4.1) są dodatnie, a ich minimum globalne jest w wartości 0.
Optymalizację jakości sterowania można zatem zaprezentować jako poszukiwanie minimum funkcjonału Ic zaprezentowanego w równaniu (4.9). Podejście takie nie uwzględnia jednak ograniczeń jakie nakładane są na układ sterowania. Zagadnienie to można jednak rozwiązać, zgodnie z propozycją J. Taylora i M. Bendsoe [130] wprowadzając dodatkowe funkcje kary (wprowadzane na przykład do nieliniowego wówczas współczynnika wagowego).
Zadanie optymalizacji przy ograniczeniach sprowadza się do szukania rozwiązania znalezienia najlepszego możliwego zestawu optymalizowanych parametrów znajdującego się wewnątrz dopuszczalnej przestrzeni rozwiązań. Dla złożonych układów sterowania z dużą liczbą zmiennych optymalizacyjnych zagadnienie optymalizacji jest skomplikowane obliczeniowo i wymaga zastosowania odpowiednich algorytmów. Opis metodologii rozwiązywania tego typu zadań można znaleźć w licznych pracach, np. D. Horla [68].
Dla układów niestacjonarnych, prezentowanych w rozdziale 7 dokonywana jest cała seria prób symulacyjnych przy różnych wartościach parametrów wewnętrznych układu. W celu łatwiejszego porównania poszczególnych metod sterowania opracowano formułę pozwalającą obliczyć wskaźnik sumaryczny I8.
Po dokonaniu pojedynczych prób symulacyjnych dla podanych wcześniej długości liny zostanie wyznaczony wskaźnik sumaryczny I8= ∑ 1
7𝐼𝑛
7𝑛=1 obliczany jako suma znormalizowanych i przeskalowanych wskaźników jakości dla danej próby symulacyjnej. Każdy wskaźnik prosty jest włączany do wskaźnika złożonego z taką samą wagą.
Pewnym jest, iż wskaźnik I8 dla każdej próby będzie dodatni, co wynika z definicji wskaźników (w szczególności jednoczesnego występowania wskaźników I1 oraz I3 – całki z kwadratu różnic sygnałów). Właściwość ta zostanie wykorzystana w wybranych badaniach w cellu przyspieszenia oraz ułatwienia optymalizacji.
4.4. Złożone kryteria oceny jakości układów regulacji – wskaźniki iloczynowe
Alternatywną metodą pomiarów jakościowych układu sterowania do zaprezentowanej w poprzednim podrozdziale może być metoda iloczynowa. Algorytm WPM (od ang. Weighted Product Method) obliczania wartości współczynnika złożonego jest oparty o zależność zapisaną wzorem (4.10). Podejście takie jest często wykorzystywane w optymalizacji przy ograniczeniach [7][146].
Pierwszą znaczącą różnicą odróżniającą WPM od WSM jest zalecenie maksymalizowania wskaźnika jakości. Wykorzystując elementarne operacje matematyczne możliwym jest odwzorowanie dowolnej funkcji malejącej przez funkcję rosnącą. Metoda iloczynowa pozwala jednak na wprowadzenie bardzo wygodnego w użyciu zapisu ograniczeń – wystarczającym jest przyjęcie, iż dla wartości spoza dopuszczalnego zbioru rozwiązań wartość znormalizowanego wskaźnika jakości wynosi zero – wówczas cały wskaźnik złożony jest zerowany.
Kolejną zaletą wykorzystania WPM jest opisana przez R. Marlera i J. Arorę synergia pozytywnego wpływu współczynników jakości [93]. Wielu badaczy zwraca uwagę, iż wskaźniki
jakości obliczane metodą sumaryczną są często niewystarczające w poszukiwaniu rozwiązań przy optymalizacji wielokryterialnej z ograniczeniami.
Pierwszym badaczem, który zaprezentował omawiane podejście był P. Bridgmann [16]
(1922). E. Gerasimov i V. Repko [46] określili metodę WPM jako „korzystny kompromis tworzący most pomiędzy wieloma optymalizowanymi kryteriami” .
Z doświadczenia autora rozprawy stosowanie WPM niesie ze sobą znaczące korzyści wynikające z możliwości jasnego kształtowania funkcji oraz skrócenia obliczeń poprzez szybką eliminację struktur wykraczających poza akceptowalne rozwiązania. Możliwość szybkiej modyfikacji funkcji kary pozwala usprawnić szczególnie obliczenia oparte na algorytmach bioinspirowanych.
Dla układów o parametrach niestacjonarnych jako wskaźnik I9 wspólny dla całej strategii sterowania wyznaczony zostanie metodą WPM wskaźnik iloczynowy obliczony jako iloczyn wskaźników I8 dla każdej długości liny :
9 8,n
n N
I I
, (4.11)gdzie n oznacza pojedynczą próbę symulacyjną spośród zbioru wszystkich prób oznaczonego przez N.