Układy wykorzystujące filtry pasmowozaporowe

6.3.1. Opis działania metody

Podejściem konkurencyjnym do zaprezentowanego w poprzednich częściach jest kształtowanie sygnału z wykorzystaniem filtrów pasmowozaporowych (ang. notch). Układy liniowe pobudzane są do oscylacji głównie poprzez zdolność do przenoszenia wybranych częstotliwości rezonansowych z wejścia na wyjście obiektu. Obserwacja ta prowadzi do wniosku, iż wyeliminowanie tych częstotliwości z sygnału wejściowego powinno doprowadzić do znaczącego zmniejszenia oscylacji sygnału wyjściowego.

Zgodnie z zasadą działania filtrów eliminacja wybranych częstotliwości może zostać zrealizowana za pomocą filtra pasmowozaporowego. Filtry tego typu nazywane są z ang. notch.

Charakterystykę idealnego filtru pasmowozaporowego prezentuje rysunek 6.16.

Rysunek 6.15. Charakterystyka idealnego filtru Notch, fz – częstotliwość zaporowa filtra, 2Δf – szerokość pasma zaporowego.

Należy jednocześnie zwrócić uwagę, iż zbudowanie idealnego filtru działającego zgodnie z charakterystyką zaprezentowaną na rysunku 6.16 nie jest realizowalne technicznie.

Rzeczywiste filtry pasmowozaporowe posiadają charakterystykę, którą można przedstawić zwykle w sposób zaprezentowany na rysunku 6.17. Zasady projektowania filtrów zaprezentowano w rozdziale 6.3.2.

Warto zauważyć, iż w celu odfiltrowania więcej niż jednej częstotliwości rezonansowej możliwe jest zastosowanie kilku filtrów typu notch połączonych szeregowo. Takie połączenie powoduje oczywiście korelacje pomiędzy poszczególnymi filtrami pojedynczymi, a dobór parametrów musi zostać przeprowadzony w sposób bardzo precyzyjny przy wykorzystaniu wiedzy eksperckiej o kształtowanym sygnale.

Rysunek 6.16. Charakterystyka rzeczywistego filtru Notch

Filtr pasmowozaporowy można opisać zasadniczo poprzez dwa parametry - częstotliwość zaporową (na rys. 6.17 fz) oraz dobroć filtru oznaczaną przez symbol Q. Wartość współczynnika Q ma bezpośredni wpływ na szybkość zmian współczynnika wzmocnienia filtru w charakterystyce częstotliwościowej.

Wykorzystując filtr pasmowozaporowy w kształtowaniu sygnału zadanego konieczne jest znalezienie optymalnych (z punktu widzenia zadania sterowania) nastaw parametrów fz oraz Q. Zasady doboru nastaw zaprezentowano w kolejnym rozdziale.

6.3.2. Dobór nastaw

Jak nadmieniono w rozdziale 6.3.2 do dostrojenia filtru pasmowozaporowego konieczne jest zdefiniowanie dwóch kluczowych parametrów dla każdej eliminowanej częstotliwości rezonansowej układu – fz oraz Q. Gdy znane są wartości liczbowe wymienionych parametrów możliwe jest zdefiniowanie transmitancji operatorowej ciągłej filtru pasmowozaporowego zgodnie ze wzorem (6.14) [65]. Przez ωz=2πfz rozumiana jest pulsacja, przy której filtr osiąga

Zasady obliczania częstotliwości rezonansowej są analogiczne jak w poszukiwaniu okresów oscylacji w metodzie IS - zgodnie ze wzorem (6.9) można uzyskać wartość okresu drgań własnych układu Tz = 1/fz.\

Dobór współczynnika dobroci filtru Q w kształtowaniu sygnału zadanego nie może być określony jednoznacznie, gdyż jest on ściśle zależny od charakteru zadania sterowania. Ogólnie należy stwierdzić, iż w układach stacjonarnych, w których częstotliwość rezonansowa jest określona precyzyjnie współczynnik Q powinien być dodatni oraz bliski zeru. Warto jednak stwierdzić, iż w praktyce inżynierskiej dla układów rzeczywistych zawsze należy zakładać, iż przyjęte parametry modelu układu zwykle niosą ze sobą pewne niedokładności. Warto również pamiętać, iż każdy układ rzeczywisty w ciągu eksploatacji zmienia swoje właściwości (w tym i częstotliwości rezonansowe) – stąd warto przyjąć wartość współczynnika Q na poziomie stosownie większym od obliczonego minimum.

Zwiększanie współczynnika Q wpływa znacząco na pogorszenie właściwości dynamicznych pracy układu, jednak skutkuje zwiększeniem odporności sterowania na zmianę częstotliwości rezonansowej sygnału wyjściowego. Wymieniona właściwość może zostać świadomie wykorzystana w procesie projektowania układów sterowania dla obiektów o zmiennej częstotliwości rezonansowej (czego przykładem jest sterowanie układami suwnicy).

Warto dodatkowo zwrócić uwagę, iż układy wykorzystujące filtry cyfrowe do kształtowania sygnału zdanego charakteryzują się niską jakością sterowania dla niewielkich częstotliwości rezonansowych układu (co zostało potwierdzone nieprezentowanymi w tej pracy badaniami autora oraz publikacjami literaturowymi [30], [90], [100], [123]). Jedną z największych wad wymienionej metody jest całkowita niezdolność do śledzenia sygnału

zadanego sinusoidalnego o częstotliwości równej częstotliwości fz. Efekt ten nie występuje w pozostałych opisywanych metodach.

Osobnym tematem wartym wspomnienia przy kształtowaniu sygnału zadanego z wykorzystaniem filtracji jest problem digitalizacji filtru. Z jednej strony stwierdzić należy, iż we współczesnych systemach sterowania filtracja sygnałów elektrycznych w sposób inny niż cyfrowy nie jest stosowana. Aplikując omawianą metodę w rzeczywistym układzie sterowania konieczne jest więc dokonanie digitalizacji filtru. Z drugiej zaś strony należy zwrócić uwagę, iż filtry analogowe działają (w analizowanych aplikacjach) nie gorzej niż filtry cyfrowe.

W prezentowanych badaniach zdecydowano się na wprowadzenie do układu sterowania modelu filtru o transmitancji analogowej, obliczanego w symulacji z czasem próbkowania takim jak dla model napędu (digitalizacja nie jest jawna na etapie projektowania). Do realizacji praktycznej niezbędne jest jawne obliczenie parametrów i implementacja filtru cyfrowego.

6.3.3. Wyniki badan symulacyjnych

Stosując metody analogiczne jak w rozdziale 6.2.2 dokonano identyfikacji układu dwumasowego. Analogicznie jak w wymienionym rozdziale odnalezione zostały dwie pary biegunów zespolonych odpowiedzialnych za oscylacje obiektu sterowania. Stosując elementarne przekształcenia obliczono, iż pulsacja mas względem wału wynosi 179,5 [rad/s], natomiast pulsacja sygnału wyjściowego z obiektu 15,771 [rad/s].

Pierwsze próby przeprowadzono przy kompensacji głównych oscylacji funkcji wyjściowej. Zakładając określony margines błędu linearyzacji oraz wpływ nieliniowości zdecydowano się przyjąć dobroć filtru tłumiącego oscylacje sygnału wyjściowego na 23,2.

Wartość ta dobrana została dobrana poprzez optymalizację wielokryterialną traktującą jako optimum średnią ważoną znormalizowanych wskaźników jakości I1 – I7 (jako normę zastosowano wskaźniki przy sterowaniu PI bez kształtowania sygnału, wagi dla poszczególnych wskaźników wynosiły {1,1,1,1,2,5,7}). Zarejestrowano przebiegi sygnału zadanego przed i po filtracji, przebiegi analizowanych prędkości oraz wykreślono oscylogram porównujący sterowanie z wykorzystaniem filtracji wraz z prostym sterowaniem bez kształtowania sygnału.

Wyniki zaprezentowano odpowiednio na rysunkach 6.18, 6.19 oraz 6.20. Kolejnym krokiem było wykreślenie analogicznych przebiegów przy dodatkowej kompensacji oscylacji mas względem wału co zaprezentowano na rysunkach 6.21, 6.22 oraz 6.23.

Rysunek 6.17. Sygnał zadany przed i za blokiem kształtowania metodą filtracji przy kompensacji jednej częstotliwości drgań własnych.

Rysunek 6.18. Przebieg prędkości układu dwumasowego przy regulacji PI i kształtowaniu sygnału zadanego przez filtrację przy kompensacji jednej częstotliwości drgań własnych.

Rysunek 6.19. Przebieg prędkości układu dwumasowego przy regulacji PI z oraz bez kształtowania sygnału zadanego metodą filtracji oraz przy kształtowaniu sygnału przy kompensacji jednej częstotliwości

drgań własnych.

Analizując zaprezentowane przebiegi prędkości zadanej można stwierdzić, że filtrowanie sygnału zadanego powoduje znaczące ograniczenie szybkości zmian sygnału zadanego oraz jego odkształcenie. Sygnał wyjściowy z obiektu charakteryzuje się znacząco gorszymi właściwościami dynamicznymi. Jednocześnie zauważyć należy, iż główny cel – redukcja oscylacji został uzyskany. Przy filtracji jednej częstotliwości rezonansowej zgodnie z przewidywaniami występują oscylacje mas względem wału. Opis liczbowy jakości regulacji został zaprezentowany w tabeli 6.3.

Kolejnym krokiem filtracji sygnału zadanego było dodanie drugiego filtru pasmowozaporowego zapobiegającego oscylacjom mas względem wału. Przy doborze współczynnika Q dla drugiego filtra posłużono się kryterium identycznym jak w poprzednim przypadku. Wyniki badań symulacyjnych przy zastosowaniu filtracji dwóch częstotliwości rezonansowych prezentują oscylogramy zamieszczone na rysunkach 6.21-6.23.

Rysunek 6.20. Sygnał zadany przed i za blokiem kształtowania metodą filtracji przy kompensacji dwóch częstotliwości drgań własnych.

Rysunek 6.21. Przebieg prędkości układu dwumasowego przy regulacji PI i kształtowaniu sygnału zadanego przez filtrację przy kompensacji dwóch częstotliwości drgań własnych.

Rysunek 6.22. Przebieg prędkości układu dwumasowego przy regulacji PI z oraz bez kształtowania sygnału zadanego metodą filtracji oraz przy kształtowaniu sygnału przy kompensacji dwóch częstotliwości

drgań własnych.

Analizując zaprezentowane oscylogramy możliwym jest zaobserwowanie, zgodnie z oczekiwaniami, znacznego wygładzenia drgań sygnału prędkości względem wału. Wnioski ogólne są analogiczne jak w przypadku filtracji jednej częstotliwości rezonansowej. Warto jednak zwrócić uwagę na fakt znaczącego pogorszenia właściwości dynamicznych obiektu.

Tabela 6.3 zawiera wartości wskaźników jakości regulacji przy wykorzystaniu filtracji sygnału zadanego. Analizując wartości wskaźników I1 – I7 można jednoznacznie stwierdzić, iż główny analizowany cel został częściowo zrealizowany – oscylacje zostały zmniejszone o blisko 70%. Poprawa tej własności wpłynęła także pozytywnie na ilość energii potrzebnej do wysterowania układu. Wskaźnik obrazujący czas regulacji jest na poziomie zbliżonym do układu bez kształtowania sygnału, jednak szybkość narastania została obniżona ponad trzykrotnie.

Wartości wskaźników całkowych bazujących na różnicy sygnału zadanego, prędkości układu sztywnego oraz prędkości mas pogorszyły się znacząco.

Podsumowując, filtracja sygnału zadanego do regulatora jest metodą wpływającą pozytywnie na redukcje oscylacji i może być z powodzeniem stosowana w układach sterowania układami drgającymi. Dzięki zastosowaniu omawianej metody możliwym jest poprawienie energooszczędności układu. Należy jednak pamiętać, iż filtracja sygnału zadanego zmniejsza szybkość ruchu układu oraz w efekcie wpływa negatywnie na całkowe wskaźniki jakości regulacji w sytuacjach dynamicznych.

Wskaźnik jakości

Tabela 6.3. Wskaźniki jakości sterowania dla regulacji PI oraz regulacji PI z kształtowaniem sygnału poprzez wykorzystanie filtrów pasmowozaporowych.

Należy także zwrócić uwagę na fakt, iż filtrowana pulsacja oscylacji była stosunkowo mała co znacząco ograniczyło skuteczność metody. Wspomniane negatywne efekty są znacząco mniej wyraźne przy filtracji wyższych częstotliwości.