Sterowanie układami wielomasowymi

Pierwszym analizowanym i badanym układem sterowania był układ dwumasowy.

Struktura układu jest zgodna z opisem zaprezentowanym w rozdziale 2.2.2. Aby umożliwić porównanie zaprezentowanych wyników badań z rezultatami prezentowanymi w literaturze konieczna jest prezentacja parametrów układu symulacyjnego.

5.1.1. Parametry badanego obiektu

Dla badań wstępnych zdecydowano się na wykorzystanie układu złożonego z dwóch jednakowych mas o momentach bezwładności równych JL = JM = 50 [kg∙cm²]. Masy połączone są ze sobą stalowym wałkiem o długości 500 mm i średnicy 20 mm (wałek został dobrany celowo w taki sposób aby efekt oscylacji był wyraźnie widoczny).. Współczynnik sprężystości wału wynosi c = 800 [Nm/rad]. Współczynnik tłumienia drgań b jest równy 0,004 [Nm∙s/rad].

Współczynniki tarcia przyjęto odpowiednio jako CFv = 0,02 [Nm∙s/rad]., CFc = 0,005 [Nm], CFs = 100 [s/ Nm∙rad]. Moment bezwładności wału został uwzględniony w bezwładnościach mas układu (analogicznie jak w publikacji [61]).

Układ napędzany jest silnikiem o maksymalnym prądzie równym 3 [A]. W zastępczym układzie regulacji prądu przyjęto inercję oraz opóźnienie na poziomie 300 μs każdy. Szybkość narastania prądu ograniczono do 10 [kA/s]. Przyjęto, iż obciążenie wymuszane jest w sposób idealny i ma bezpośrednio charakter momentu siły.

Wykorzystując tak sparametryzowany obiekt dobrano parametry wybranych układów regulacji oraz kształtowania sygnału zadanego. Badania symulacyjne zaprezentowane w rozdziałach 5.1.2 - 5.1.4 oraz 6.1 - 6.4 wykonano w oparciu o taki układ (chyba, że wskazano

inaczej). Taka standaryzacja parametrów ma na celu umożliwienie porównania ze sobą zaprezentowanych struktur sterowania.

W celu prezentacji działania układów sterowania za przykład symulacyjny przyjęto wymuszenie skoku jednostkowego sygnału zadanego dla regulatora. Opis regulatorów, ich odporność za zakłócenia i inne dodatkowe parametry nie stanowią istoty niniejszej rozprawy, gdyż nie są zależne od sygnału zadanego. Należy zauważyć, że prezentowane wyniki mają na celu jedynie prezentację możliwości zastosowania różnych strategii sterowania w analizowanych układach i nie stanowią dyskusji o optymalności nastaw, struktur i zasadności wykorzystania prezentowanych układów w konkretnych aplikacjach. Sygnałem zadanym do regulatora była żądana prędkość pierwszej masy. Jako wyjście obiektu (i wartość regulowaną) przyjęto również prędkość pierwszej masy układu (problem sterowania układami wielomasowymi może dotyczyć dowolnej masy układu; najczęściej spotyka się sterowanie ostatnią masą – np. [126], lub pierwszą masą – np. [111]).

5.1.2. Sterowanie z wykorzystaniem regulatora PI

Podstawową strategią sterowania używaną w większości układów przemysłowych jest regulacja z wykorzystaniem regulatorów PI, PID PID+ oraz PID o dwóch stopniach swobody.

Wymieniona rodzina regulatorów zawdzięcza swoją popularność przede wszystkim łatwej implementacji, jasnym regułom strojenia oraz stosunkowo dobrej jakości sterowania przy niewielkich nakładach pracy na etapie projektowania. Wymienione regulatory zapewniają często wystarczającą (z punktu widzenia zadania) jakość sterowania nawet bez szczegółowego dostrajania parametrów (przez co w praktyce wiele regulatorów nie działa w sposób bliski optimum).

Z punktu widzenia niniejszej rozprawy regulator PI należy traktować jako przykład sterowania z wykorzystaniem sprzężenia od wyjścia układu (wykorzystującego informację o uchybie). Prezentowany w niniejszych badaniach regulator PI ma strukturę równoległą jak zaprezentowano na rysunku (5.1).

Rysunek 5.1. Równoległa struktura regulatora PI.

Literatura podaje wiele metod doboru parametrów dla regulatorów PI w zależności od oczekiwanych rezultatów. Istnieją algorytmy optymalizujące szybkość narastania, czas regulacji, ograniczające przeregulowania, wykazujące się dużą odpornością na zmianę parametrów układu etc. W opinii autora na szczególną uwagę (w sterowaniu układami drgającymi) zasługują algorytmy zaprezentowane przez G. Zhanga [144], J. Deskura i R. Muszyńskiego [38][39] oraz R. Dhaouadi [40].

W niniejszej pracy zdecydowano się na dobór nastaw regulatora dla układu sztywnego (o zastępczym momencie bezwładności równym sumie JL oraz JM ) bez tarcia w sposób umożliwiający możliwie szybkie sterowanie bez przeregulowań (minimalizacja wskaźnika jakości I6 przy wskaźniku I7 równym 0). Sterowanie takie stanowi wyznacznik najlepszego możliwego (w sensie właściwości dynamicznych układu) układu sterowania i może stanowić bazę porównawczą dla innych metod sterowania.

Po dostrojeniu regulatora PI zgodnie z podaną powyżej zasadą zarejestrowano oscylogramy prędkości obrotowej układu (rysunek 5.2)

Rysunek 5.2. Oscylogramy prędkości obrotowej układu dwumasowego przy wykorzystaniu regulacji PI.

Wszystkie oznaczenia na rysunku 5.2 są zgodne z wprowadzonymi wcześniej (ωs oznacza prędkość układu sztywnego). Jak zaprezentowano na rysunku 5.2 prędkość obrotowa poszczególnych mas układu dwumasowego regulowana z wykorzystaniem regulatora PI osiąga wartość zadaną. Przy zadanej dynamice ruchu widoczne są wyraźne przeregulowania. W sposób

W celu oceny jakości układu sterowania koniecznym jest oczywiście zaprezentowanie

Tabela 5.1. Wskaźniki jakości sterowania dla regulacji PI.

Wartości zaprezentowane w tabeli 5.1 zostaną w dalszej części pracy porównane z wynikami osiągniętymi z wykorzystaniem regulatorów innego rodzaju.

5.1.3. Sterowanie z wykorzystaniem regulatora LQI

Jednymi z najczęściej spotykanych regulatorów wykorzystujących sprzężenie od wektora stanu są regulatory z rodziny LQ (liniowo-kwaratowe – ang. linear-quadratic). Do przedstawicieli tej rodziny układów sterowania zaliczyć można zarówno podstawowe regulatory LQR i LQG jak i bardziej złożone takie jak LQI (ang. Linear Quadratic Integral) czy LQP (ang.

Linear Quadratic Pole Location). Wszystkie wymienione strategie wypełniają zadanie optymalizacji (minimalizacji) kosztu podanego w postaci funkcjonału kwadratowego. Funkcja kosztu sterowania budowana jest zazwyczaj jako suma (pomnożonych z odpowiednimi wagami) odchyłek wartości wektora stanu od zaprogramowanego optimum. Dostrojenie regulatora polega na odpowiednim dobraniu współczynników wagowych (prezentowanych w formie macierzy Q oraz R) odpowiadających korelacjom odchyłek danej zmiennej wektora stanu od wartości zadanych.

Szczegółowo zasada działania regulatorów liniowo-kwadratowych została zaprezentowana przez H. Kwakernaaka oraz R. Silvana [81]. Metodyka obliczania optymalnego regulatora przy znanym układzie równań stanu obiektu oraz macierzach kar (Q oraz R) nie jest skomplikowana. Dobór parametrów macierzy Q i R nie jest jednak trywialny. Większość pozycji literaturowych podaje co najwyżej informacje, iż najlepsze rezultaty uzyskuje się gdy omawiane macierze są diagonalne [135].

Rozwinięciem regulatorów LQ są regulatory LQI oraz LQP. Pierwszy z wymienionych algorytmów rozszerza wektor stanu o całkę uchybu sterowania, drugi natomiast stanowi połączenie metody lokowania biegunów i regulacji LQR. W literaturze można odnaleźć liczne przykłady wykorzystania regulatorów LQ w sterowaniu układami wielomasowymi [26] [101]

[138].

Przy pracy z regulatorami LQ kluczowym jest rozwiązanie dwóch podstawowych problemów – odnalezienia odpowiednich parametrów macierzy Q oraz R, a także uzyskanie informacji o pełnym wektorze stanu. Pierwszą z wymienionych trudności można rozwiązać podążając za regułami podanymi w publikacji [26]. Problem braku informacji o składowych wektora stanu można rozwiązać budując odpowiedni obserwator. Niestety rozwiązanie to wprowadza do układu sterowania dodatkowe niepewności oraz opóźnienia.

W celu prezentacji możliwości zastosowania regulatora LQI zdecydowano się na przeprowadzenie testu analogicznego jak w rozdziale 5.1.2. W celu uniknięcia dodatkowych błędów założono, że wszystkie zmienne wektora stanu są dostępne pomiarowo. Przyjęto, iż

Parametry macierzy sterowania zostały obliczone zgodnie z wbudowanymi algorytmami pakietu Matlab (przy wykorzystaniu funkcji lqi). Jako wartości zadane przyjęto, iż prędkości obu mas powinny być równe prędkości zadanej, różnica położeń mas oraz moment maszyny napędzającej powinny być minimalne. Po zastosowaniu powyższych wytycznych przeprowadzono badania symulacyjne, których wynik jest zaprezentowany na rysunku 5.3.

Porównując zaprezentowane oscylogramy z przykładowymi oscylogramami dla sterowania PI zauważyć należy, iż ruch układu jest szybszy, jednak masy układu znacząco bardziej oscylują względem wału sprężystego. Główny cel regulacji został jednak osiągnięty i układ osiąga wartość zadaną prędkości obrotowej.

Słowne oraz graficzne opisy jakości sterowania mogą wprowadzać znaczące błędy związane z subiektywizmem oceny. Aby jednoznacznie określić jakość sterowania należy przedstawić wartości wskaźników jakości sterowania. Zebrane wyniki prezentuje tabela 5.2.

Wskaźnik jakości

Tabela 5.2. Wskaźniki jakości sterowania dla regulacji LQI.

Rysunek 5.3. Oscylogramy prędkości obrotowej układu dwumasowego przy wykorzystaniu regulacji LQI.

5.1.4. Sterowanie z wykorzystaniem regulatora H∞

Metody H∞ są wykorzystywane w teorii sterowania do syntezy regulatorów odpornych, umożliwiających stabilną pracę układu nawet przy zmiennych parametrach obiektu sterowania.

Projektowanie regulatorów zgodnie z regułami metody H∞ wymaga wiedzy o obiekcie sterowania oraz zdefiniowania określonej funkcji optymalizacyjnej. Konieczność dobrej znajomości modelu układu oraz wymagana wiedza ekspercka stanowią trudność, która zaważyła na niewielkiej popularyzacji tej metody. Należy zauważyć, że wyjściowy regulator jest optymalny tylko w ramach zdefiniowanej funkcji optymalizacyjnej (co nie zawsze pokrywa się z klasycznymi wskaźnikami oceny jakości sterowania). Wymieniona metoda nie jest również skuteczna w sterowaniu obiektami z występującymi znaczącymi nieliniowościami (nasycenia, strefa martwa itp.). Powstanie algorytmu regulacji H∞ datuje się na przełom lat 70 i 80 XX wieku. Twórcami omawianej metody są G. Zames [142], J.W.Helton [64] oraz A. Tannenbaum [129].

Struktury regulatorów H∞ prezentowanych w literaturze niejednokrotnie różnią się od siebie. W niniejszej pracy przyjęto, iż wejście do regulatora stanowią sygnały prędkości ωL, wartość uchybu, wartość sygnału sterującego z kroku poprzedniego oraz prędkość ωM. Trzy

ostatnie sygnały są zgodnie z wytycznymi zawartymi w pracy [5] mnożone przez odpowiednie funkcje wagowe i mogą być traktowane jako rozszerzenie wektora stanu. Transmitancje funkcji wagowych dobrano zgodnie z wytycznymi zawartymi w rozdziale 11 książki A.Damena i S. Weilanda [32]. Ostateczna struktura regulatora została zaprezentowana na rysunku 5.4.

Rysunek 5.4. Struktura zastosowanego regulatora H∞.

Transmitancje funkcji wagowych zostały dobrane jak określono we wzorach (5.2) -(5.4).

Układ sterowania jest dyskretyzowany z krokiem obliczania symulacji przez system Simulink.

1 10

Parametry wektora opisanego na rysunku 5.4 jako K_Hinf zostały wyliczone przy użyciu wbudowanej funkcji systemu Matlab – hinfsyn.

Po dokonaniu syntezy zaprezentowanego regulatora przeprowadzono symulację analogiczną do zaprezentowanych w rozdziałach 5.1.2 oraz 5.1.3. Wynikowy oscylogram prędkości został zaprezentowany na rysunku 5.5.

Rysunek 5.5. Oscylogramy prędkości obrotowej układu dwumasowego przy wykorzystaniu regulacji H∞.

Analizując zaprezentowany oscylogram można stwierdzić, iż wyniki uzyskane dzięki wykorzystaniu regulatora H∞ są dobre. Układ sterowania odpowiada w sposób dynamiczny, bez znacznych przeregulowań. Sterowane masy nie oscylują w sposób znaczący.

W celu jednoznacznego określenia jakości sterowania konieczna jest oczywiście prezentacja wartości wskaźników jakości dla omawianego przypadku. Zebrane wyniki zaprezentowano w tabeli 5.3.

Tabela 5.3. Wskaźniki jakości sterowania dla regulacji H∞.

5.1.5. Podsumowanie wyników

W rozdziale 5.1 zaprezentowano możliwość zastosowania trzech różnych struktur sterowania w regulacji prędkości obrotowej układu dwumasowego. Każda z zaprezentowanych strategii prezentuje całkowicie odmienne podejście do idei sterowania. Wybrane rodzaje regulatorów stanowią oczywiście jedynie przykładowe możliwe rozwiązania. Prezentacja przedstawionych wyników nie miała na celu dyskusji nad optymalnością, odpornością, zaletami

strony pokazanie wielorakich możliwości sterowania układami drgającymi, z drugiej zaś uzyskane wyniki badań symulacyjnych utworzą bazę porównawczą do układów wykorzystujących kształtowanie sygnału (oraz umożliwią dyskusję nad zasadnością stosowania takich układów).

Tabela 5.4 zawiera wartości wskaźników jakości dla badanych układów. Na jej podstawie można jednoznacznie stwierdzić, iż najlepsze rezultaty w niemal każdym aspekcie osiągnięto z wykorzystaniem regulatora H∞. Wartym podkreślenia jest, iż wyniki uzyskane dzięki regulacji PI oraz LQI nie są znacząco gorsze i w przypadku układów, które nie wymagają znacznej precyzji sterowania regulatory te mogły by być z powodzeniem zastosowane. Wybór strategii sterowania powinien być oczywiście wypadkową pomiędzy oczekiwanymi rezultatami, wymaganiami aplikacji oraz nakładem pracy przy syntezie i dostrajaniu regulatora.

Wskaźnik jakości

Tabela 5.4. Wskaźniki jakości sterowania dla układów dwumasowych przy wybranych strategiach sterowania regulacji – porównanie.

Wyniki zaprezentowane w tabeli 5.4 mogą zostać potwierdzone graficznie poprzez wykreślenie na jednym wykresie wszystkich omawianych przebiegów. Prezentacja ta została dokonana na rysunku 5.6.

Rysunek 5.6. Oscylogramy prędkości obrotowej silnika ωM układu dwumasowego przy wykorzystaniu omawianych strategii sterowania.