6. Wybrane metody kształtowania sygnału zadanego
6.4. Kształtowanie sygnału wielomianowymi funkcjami sklejanymi
6.4.1. Opis działania metody
Ostatnią prezentowaną metodą kształtowania sygnału zadanego jest zastosowanie funkcji sklejanych do modyfikacji tegoż sygnału. Angielska nazwa omawianej metody to spline – w języku polskim nie ma powszechnie uznanego terminu określającego omawiany zbiór krzywych, jednak postuluje się używanie spolszczonej nazwy angielskiej – splajn. Spotyka się także określenia krzywa sklejana, wielomian sklejany lub funkcja sklejana. W niniejszym rozdziale analizowane będą krzywe B-sklejane.
W ujęciu matematycznym B-splajn jest krzywą sklejaną określoną na podanym przedziale i wyznacza się ją poprzez ciąg punktów kontrolnych p0, p1, … , pm-n+1 (tzw. punktów wspierających). Krzywa taka jest reprezentowana przez m-2n krzywych wielomianowych stopnia n (wówczas mówi się, iż wielomian B-sklejany jest n-tego stopnia), które łączone są z ciągłością parametryczną Cm. Krzywa dzielona jest przez ciąg m+1 węzłów (ang. knot) na podprzedziały, na których zdefiniowane są poszczególne krzywe. Jeżeli podprzedziały są sobie równe krzywa jest określana jako jednorodna [34]. W ujęciu praktycznym B-splajn może zostać wyznaczony zgodnie z algorytmem de Boora [35]. Rozwinięcie oraz optymalizacja wymienionego została
Warto wspomnieć, iż do powstania opisu matematycznego splajnów przyczyniło się ich wcześniejsze kształtowanie w sposób fizyczny. Przy projektowaniu opływowych kształtów samolotów, samochodów i statków wykorzystywano elastyczną taśmę, którą kształtowano poprzez wieszanie na niej odpowiednich ciężarków. Tak uformowane krzywe cechowała ciągłość geometryczna będąca jednym z kluczowych parametrów obiektów o aerodynamicznych kształtach.
Przykładowa krzywa B-splajn rozciągnięta na 9 punktach została zaprezentowana na rysunku 6.24.
Rysunek 6.23. Przykładowa funkcja sklejana.
Przedstawione ujęcie matematyczne nie jest jednak wytłumaczeniem możliwości zastosowania B-splajnów w kształtowaniu sygnału zadanego. W większości pozycji literaturowych traktujących o funkcjach sklejanych w ujęciu sterowania pojawia się zastosowanie owych funkcji przy projektowaniu optymalnej funkcji zadanej (nie jest to jest to jednak jednoznaczne z kształtowaniem sygnału zadanego, a z przejściem układu ze stanu A do stanu B – wymagana jest znajomość wektora stanu). Podejście takie prezentują w swoich pracach m. in.
H. Fujoka i H. Kaono [44], L. Yan, J. Liang i G. Wu [140] czy W. Xiaoqin, H. Xuli I L. Shanmin [139]. Odmienne podejście, oparte o czyste kształtowanie sygnału zadanego można znaleźć w pracy L. Biagiotti’ego i C. Melchiorri’ego [11]. W wymienionej pracy korzystając z B-splajnów trzeciego stopnia dokonuje się splotu sygnału zadanego z krzywą aproksymowaną przez wielomian sklejany. Można zatem stwierdzić, iż omawiana metoda ma pewne cechy wspólne z omawianą w rozdziale 6.2 metodą typu IS – z tą jednak różnicą, iż aproksymacja pomiędzy punkami charakterystycznymi jest wielomianem trzeciego stopnia a nie stopnia 0.
Znając wymagany stopień wielomianu sklejanego konieczne jest określenie dwóch kluczowych parametrów – przedziału czasowego oraz ilości i położenia punktów wspierających B-splajn. Informacje o metodach doboru wymienionych parametrów zostały zawarte w kolejnym podrozdziale.
6.4.2. Dobór nastaw
Jak wspomniano w poprzednim rozdziale do nastrojenia układu kształtowania sygnału zadanego z wykorzystaniem funkcji sklejanych konieczne jest określenie czasu kształtowania oraz punktów wspierających wielomian charakterystyczny. Posiadając określone parametry należy także zastanowić się nad metodą implementacji w układzie sterowania.
Pierwszym kluczowym parametrem określanym przy projektowaniu wielomianów sklejanych trzeciego stopnia jest określenie przedziału czasowego, w którym bazowa funkcja jest kształtowana. Zgodnie z publikacją [11] można stwierdzić, iż maksymalny czas działania powinien być nie mniejszy od największego znaczącego okresu drgań rezonansowych układu.
Sposoby określenia okresu drgań własnych układu zostały zaprezentowane we wcześniejszych rozdziałach.
Kwestia doboru punktów wspierających dla krzywej B-splajn jest ściśle określona co do dziedziny dobieranych punktów (dla krzywych jednorodnych – tylko takie są analizowane w niniejszej pracy) – punkty rozmieszcza się równomiernie w całym czasie działania funkcji sklejanej. Literatura nie podaje jasnych zależności co do ilości punktów wspierających, jednak według badań autora im większa liczba punktów (z właściwie dobranymi wartościami) tym lepsze działanie układu. W praktyce wystarczające jest najczęściej dobranie liczby punktów równej lub nieznacznie większej od rzędu obiektu sterowania.
Dobór wartości dla poszczególnych punktów wspierających należących do dziedziny jest zależny przede wszystkim od kryterium optymalizacji i ilości punktów wspierających. Zgodnie ze wspomnianymi wcześniej pozycjami literaturowymi (np. [11] oraz [86]) w celu redukcji oscylacji krzywa B-splajn powinna spełniać wymania brzegowe - jej początek powinien co do wartości być równy aktualnemu stanowi wartości zadanej, a koniec powinien znajdować się w punkcie docelowego stanu pracy. Punkty pośrednie można dobrać zgodnie z zależnościami zaprezentowanymi w pozycji [71]. Uzyskanie niezbędnych punktów zgodnie ze wspomnianym podejściem metodycznym wymaga wykorzystania stosunkowo dużych mocy obliczeniowych, stąd w sytuacji praktycznej warto zastosować podejście algorytmiczne wynikające z opisu zaprezentowanego w publikacji [11]. Algorytm zgodny z omawianym podejściem zaprezentowano na rysunku 6.25. Podejście to można porównać do metod inżynieryjnych strojenia regulatorów (jak metoda Zieglera-Nicholsa) – uzyskiwane są dobre rezultaty przy bardzo małych nakładach obliczeniowych.
Rysunek 6.24. Algorytm określania punktów wspierających funkcję sklejaną niwelującą oscylacje.
Wyznaczanie krzywych B-splajn można przeprowadzić zgodnie ze wspomnianym algorytmem de Boora [35].
Samo wyznaczenie krzywej mówi o kształcie optymalnego generowanego sygnału zadanego – idea kształtowania sygnału zadanego polega jednak na dokonaniu operacji matematycznych na dowolnym sygnale w trybie on-line. W ramach badań nad niniejszą rozprawą zauważono, iż bardzo dobre efekty uzyskać można wykreślając krzywą B-splajn w przedziale czasowym 0 – 2Tr oraz następnie zamieniając ją na formę przyrostowa (z krokiem równym krokowi próbkowania) wykorzystać jako dane wejściowe czasów i amplitud do bloku kształtowania sygnału analogicznego jak w metodzie IS. Gdy okres próbkowania jest niewielki możliwa jest znacząca optymalizacja procesu obliczeniowego poprzez wybranie co n-tej próbki jako wejścia do metody IS. Zabieg ten (przy odpowiednim dobraniu wartości n) ma pomijalny wpływ na jakość regulacji pozwalając jednocześnie na wielokrotne zmniejszenie rozmiaru mnożonych macierzy (w badaniach symulacyjnych prezentowanych w kolejnym podrozdziale wybrano co setną próbkę co skróciło czas symulacji około 300 razy przy braku widocznego wpływu na zachowanie obiektu).
6.4.3. Wyniki badan symulacyjnych
Korzystając z algorytmów omawianych w poprzednich podrozdziałach przeprowadzone zostały badania symulacyjne. Analogicznie jak w poprzednich częściach pracy wykreślone zostały oscylogramy sygnału zadanego i ukształtowanego sygnału zadanego (rys. 6.26), oscylogramy prędkości mas, prędkości zadanej i prędkości układu sztywnego (rys. 6.27) oraz porównanie prędkości masy pierwszej przy regulacji PI z oraz bez kształtowania sygnału zadanego (rys. 6.28). Warunki badań symulacyjnych były analogiczne do zaprezentowanych w poprzednich częściach pracy.
Analizując zaprezentowane oscylogramy można jednoznacznie zaobserwować, iż podstawowe zadanie stawiane przez kształtowaniem sygnału dla obiektu oscylacyjnego zostało spełnione – oscylacje są znacząco zredukowane. Układ charakteryzuje się pogorszeniem właściwości dynamicznych, przez co czas narastania został znacząco zwiększony. Wśród korzystnych efektów zaobserwować można eliminację oscylacji mas względem wału łączącego.
Efekt ten jest zgodny z rozważaniami teoretycznymi, zakładającymi dobre tłumienie oscylacji o wysokich częstotliwościach.
W badaniach nieprezentowanych w niniejszej pracy zaobserwowano, iż oscylacje udaje się całkowicie wyeliminować przy zwiększeniu liczby punktów wspierających wielomian sklejany. Takie podejście powoduje jednak dalsze obniżanie właściwości dynamicznych obiektu oraz zwiększanie czasu obliczeń i symulacji.
Jednoznaczną analizę jakości sterowania można przeprowadzić jedynie na podstawie wartości wskaźników jakości sterowania układu. Wspomniane wartości zostały zebrane i przedstawione w tabeli 6.4.
Rysunek 6.25. Sygnał zadany przed i za blokiem kształtowania metodą funkcji sklejanych.
Rysunek 6.26. Przebieg prędkości układu dwumasowego przy regulacji PI i kształtowaniu sygnału zadanego metodą funkcji sklejanych.
Rysunek 6.27. Przebieg prędkości układu dwumasowego przy regulacji PI z oraz bez kształtowania
Tabela 6.4. Wskaźniki jakości sterowania dla regulacji PI oraz regulacji PI z kształtowaniem sygnału poprzez wykorzystanie wielomianów B-sklejanych.
Analizując wartości wskaźników zaprezentowane w tabeli można dostrzec potwierdzenie słownego opisu analizowanych oscylogramów. Szybkość rozpędzania obiektu została obniżona, jednak czas regulacji jest ponad trzykrotnie mniejszy. Oscylacje na poziomie 1,3% są spowodowane zbyt mała liczbą punktów wspierających (do całkowitej eliminacji), jednak drgania ograniczono ponad trzydziestokrotnie. Najbardziej zastanawiającym z prezentowanych wyników jest wskaźnik I1, którego wartość wzrosła niemal dwukrotnie. Efekt ten jest spowodowany głównie ograniczoną szybkością ruchu. Obliczając wskaźnik ITSE zamiast ISE (uwzględniając czas) korzystniejsze rezultaty uzyskuje się dzięki sterowaniu z kształtowaniem sygnału. Zbiorcze porównanie omawianej metody z pozostałymi algorytmami omawianymi