Układy typu IS

kształtowania sygnału zadanego. Nazwa „IS” jest skrótem angielskiego określenia input shaping.

W dosłownym tłumaczeniu rzeczone określenie mogłoby być jednak mylące (angielska nazwa sugeruje całą rodzinę algorytmów kształtujących sygnał zadany – a więc także układy z ograniczeniem zrywu, wykorzystujące filtry etc.).

Źródłem, które zapoczątkowało pracę nad algorytmami typu IS były prace O. Smitha nad metodą POSICAST [124]. W przytoczonej pracy zauważono, iż układy liniowe spełniają zasadę addytywności – odpowiedź układu na kilka pobudzeń jest równa sumie odpowiedzi na każde wymuszenie z osobna (funkcja wiążąca wejścia z wyjściami jest addytywna – często spotyka się także określenie spełniania zasady superpozycji). Zależność tą opisuje wzór (6.5). Dzięki opisanej zależności zauważono, iż matematycznie możliwym jest takie przygotowywanie sygnału zadanego, które pozwoli na wyeliminowanie niepożądanych właściwości sygnału wyjściowego.

Oczywistym przykładem zastosowania takiego sterowania jest eliminacja drgań z sygnału wyjściowego poprzez taką modyfikacje wejścia, aby powstające oscylacje były w przeciwfazie.

Aby uzyskać opisywany cel wystarczającym jest dokonanie operacji splotu na sygnale zadanym do układu regulacji oraz dwóch impulsów (zaaplikowanych z odpowiednimi wzmocnieniami i amplitudami w przypadku jednej częstotliwości rezonansowej).

( ) ( ) ( )

f a b  f a  f b _(6.5)

Nad rozwinięciem opisywanej metody pracował zespół naukowców z Georgia Institute of Technology kierowany przez W. Seeringa, W Singhose’a oraz N. Singera [121]. Efektem badań, prezentowanych w licznych publikacjach, był wniosek, iż dokonywanie splotu z więcej niż dwoma impulsami (zaaplikowanymi w ściśle określonych momentach) znacząco zwiększa odporność układu na zmianę częstotliwości oscylacji. Dodatkowo zauważono, iż możliwa jest generacja impulsów o ujemnych amplitudach w celu polepszenia (dostosowania) właściwości dynamicznych układu sterowania. Ponadto stwierdzono także, iż kształtowaniu może podlegać nie tylko sygnał zadany, ale także sygnał sterujący obiektem. Kolejne badania pozwoliły także na wprowadzenie algorytmów sterowania znanych z innych strategii sterowania takich jak

wprowadzenie dwóch oddzielnych pętli regulacji dla bezoscylacyjnego rozpędzania obiektu oraz dla precyzyjnego, odpornego sterowania (J. Huey [70], S. Brock i M. Gniadek [49]).

Metody bardziej zaawansowane, w których kształtowany jest sygnał zadany opisano w rozdziałach 7 i 8. W rozdziale 6.2.2 opisano dobór nastaw dla najprostszego algorytmu IS zbieżnego z metodą POSICAST.

6.2.2. Dobór nastaw

Dostrojenie układu kształtowania sygnału zadanego metodą IS przy jednej częstotliwości drgań własnych układu oraz znanej transmitancji jest wyrażone zależnościami analitycznymi.

Wzór określający parametry układu kształtowania sygnału zadanego zależy jedynie od okresu drgań rezonansowych układu oraz od współczynnika tłumienia tych drgań i jest podany wzorem (6.6):

gdzie Td oznacza okres drgań rezonansowych obiektu, a K wyraża się wzorem (6.7):

1 2

gdzie ς oznacza współczynnik tłumienia danej częstotliwości drgań własnych. Pierwszy wiersz macierzy we wzorze (6.6) oznacza chwile wystąpienia impulsów ti, a drugi ich amplitudy Ai.

Podane zależności są łatwe do wyliczenia gdy znana jest transmitancja obiektu (ściślej wystarczająca jest znajomość biegunów transmitancji). Zakładając, że bieguny zespolone transmitancji pi można zaprezentować w formie (6.8), możliwym jest obliczenie Td jako (6.9)

Oczywistym jest jednak, iż wiedza o transmitancji obiektu nie jest zwykle dostępna lub jest obarczona pewnym błędem. W wymienionej sytuacji możliwa jest identyfikacja niezbędnych parametrów poprzez pomiary okresu i tłumienia drgań (np. na oscylogramie). Możliwość ta jest rozważana w kolejnych rozdziałach.

Kolejnym aspektem wartym poruszenia jest uodpornienie układu na występowanie więcej niż jednej częstotliwości rezonansowej. W wymienionej sytuacji możliwe jest zbudowanie złożonego układu kształtowania sygnału zadanego powstałego w wyniku szeregowego działania prostych układów kształtujących sygnał (jak w równaniu (6.6)).

Połączenie takie można zastąpić jednym złożonym układem kształtowania sygnału zadanego uzyskanym poprzez dokonanie operacji splotu na prostych układach kształtowania sygnału, jak zaprezentowano na przykładzie (6.11) [120]:

gdzie {t1,A1} definiują pierwszy prosty układ kształtowania sygnału zadanego, {t2,A2} definiuje drugi prosty układ kształtowania sygnału zadanego, a {t12,A12} stanowi ich splot.

Znając zależności podane w powyższym rozdziale możliwe jest nastrojenie układu kształtowania sygnału zadanego i przeprowadzenie badań symulacyjnych, co zaprezentowano w rozdziale 6.2.3.

6.2.3. Wyniki badan symulacyjnych

Kierując się zależnościami podanymi w poprzednim rozdziale przeprowadzono proces doboru nastaw układu kształtowania sygnału zadanego metodą IS. Pierwszym krokiem tego procesu było określenie częstotliwości rezonansowych (oraz ich tłumienia) w sytuacji, w której zamknięta pętla regulacji traktowana jest jako obiekt sterowania w układzie otwartym (zgodnie z ideą zaprezentowaną w rozdziale 1.2.2 na rysunku 1.4).

Pierwszym krokiem pomocniczym przy identyfikacji potrzebnych parametrów było przeprowadzenie identyfikacji parametrycznej obiektu. Metody identyfikacji oraz szczegóły związane z teorią identyfikacji nie stanowią przedmiotu niniejszej rozprawy, więc założono, iż jej pełny opis nie jest konieczny (identyfikacja układu sterowania może być przeprowadzona z wykorzystaniem wbudowanych funkcji systemu Matlab). Po przeprowadzeniu linearyzacji uzyskano model liniowy, w którym zależności pomiędzy zadaną prędkością a prędkością pierwszej z mas opisać można transmitancją (6.12).

4 4 6 3 9 2 10

Kolejnym krokiem było obliczenie biegunów transmitancji (6.13).

Układ zawiera dwie pary pierwiastków zespolonych powodujących oscylację. Z dalszej identyfikacji wynika, iż para p2, p3 odpowiada za oscylacje mas względem wału, natomiast para p4, p5 odpowiada za oscylacje związane z procesem regulacji. Bazując na wyliczonych biegunach transmitancji nastrojono układ kształtowania sygnału zadanego metodą IS.

14

Pierwsze prezentowane próby symulacyjne przeprowadzone zostały przy kształtowaniu dostrojonym na zmniejszenie wpływu oscylacji układu regulacji (z wykorzystaniem prostego kształtowania sygnału z jedną parą biegunów). Strojenie układu przeprowadzono zgodnie z zależnościami zaprezentowanymi w rozdziale 6.2.2.

Na rysunku 6.9 zaprezentowano przebieg sygnału zadanego przed i za blokiem kształtowania sygnału zadanego. Analizując wspomniany rysunek można z łatwością dostrzec dwa wyraźne skoki kształtowanej wartości zadanej prędkości. Pobudzając układ sygnałem zaprezentowanym na rysunku 6.9 zarejestrowano oscylogramy prędkości mas układu (co zaprezentowano na rysunku 6.10). Na rysunku 6.11 zaprezentowano porównanie sterowania PI z oraz bez kształtowania sygnału zadanego.

Rysunek 6.9. Sygnał zadany przed i za blokiem kształtowania metodą IS przy kompensacji jednej częstotliwości drgań własnych.

Rysunek 6.10. Przebieg prędkości układu dwumasowego przy regulacji PI i kształtowaniu sygnału przy kompensacji jednej częstotliwości drgań własnych.

Rysunek 6.11. Przebieg prędkości układu dwumasowego przy regulacji PI z oraz bez kształtowania sygnału zadanego oraz przy kształtowaniu sygnału przy kompensacji jednej częstotliwości drgań własnych.

Analizując zaprezentowane oscylogramy można stwierdzić, iż kształtowanie sygnału z wykorzystaniem metody IS wpływa pozytywnie na proces regulacji. Właściwości dynamiczne układu są porównywalne z ruchem układu sztywnego, przeregulowanie jest niewielkie.

Porównując uzyskane rezultaty z oscylogramem prezentującym przebieg prędkości bez kształtowania sygnału zadanego można zauważyć bardzo wyraźną poprawę. Należy także zwrócić uwagę, iż oscylacje mas względem siebie (skręcanie wału) nie zostały znacząco zredukowane, a przeregulowanie nie jest zniwelowane do zera. Rozwiązanie pierwszego z problemów zaprezentowano w kolejnej części rozdziału. Drugi z wymienionych problemów nie jest możliwy do wyeliminowania prezentowanymi metodami i jest związany ściśle z nieliniowościami występującymi w układzie – ograniczeniem prędkości narastania prądu, tarciem statycznym i kulombowskim oraz luzami przekładni. Analiza wskaźników jakości sterowania dla zaprezentowanych przebiegów znajduje się w tabeli 6.2 na końcu niniejszego rozdziału.

Jak zauważono wcześniej układ posiada dwie pary biegunów zespolonych. Zgodnie z zasadą zobrazowaną przy pomocy zależności (6.11) możliwe jest połączenie dwóch układów kształtowania sygnału w celu eliminacji wszystkich oscylacji układu. Zgodnie z opisywanymi zależnościami dostrojono dwa proste układy kształtowania sygnału zadanego. Na wynikowych macierzach dokonano operacji splotu i w rezultacie uzyskano układ złożony, który poddano testowi porównawczemu. Zarejestrowane oscylogramy prędkości zadanej oraz prędkości układu

zostały przedstawione na rysunkach 6.13 – 6.14 (analogicznie jak dla poprzednio prezentowanych badań).

Rysunek 6.12. Sygnał zadany przed i za blokiem kształtowania metodą IS przy kompensacji dwóch częstotliwości drgań własnych.

Rysunek 6.13. Przebieg prędkości układu dwumasowego przy regulacji PI i kształtowaniu sygnału przy kompensacji dwóch częstotliwości drgań własnych.

Rysunek 6.14. Przebieg prędkości układu dwumasowego przy regulacji PI z oraz bez kształtowania sygnału zadanego oraz przy kształtowaniu sygnału przy kompensacji dwóch częstotliwości drgań własnych.

Dokonując analizy porównawczej wyników badań symulacyjnych uzyskanych poprzez kształtowanie sygnału zadanego przy kompensacji jednej i dwóch częstotliwości drgań własnych można stwierdzić, iż zgodnie z oczekiwaniami drgania mas względem siebie i względem wału zostały wyeliminowane. Osiągnięcie takiego rezultatu dla układu fizycznego prawdopodobnie spowodowałoby wydłużenie czasu życia wszystkich elementów łączeniowych między masami – łożysk, przekładni, wału i sprzęgieł.

Jednocześnie analizując zaprezentowane przebiegi warto zauważyć, iż ogólne wnioski dotyczące jakości regulacji, właściwości dynamicznych ruchu czy przeregulowań nie uległy znaczącej zmianie po wyeliminowaniu drgań mas względem wału.

Aby jednoznacznie udowodnić wnioski wyciągnięte na podstawie obserwacji niezbędna jest prezentacja wartości wskaźników jakości regulacji. Zbiorcza tabela została zaprezentowana poniżej (jako tabela 6.2).

Analiza wartości zaprezentowanych w tabeli 6.2 wskazuje jednoznacznie, iż zastosowanie kształtowania sygnału zadanego metodą IS ma korzystny wpływ na prawie wszystkie wskaźniki jakości sterowania układu. Wskaźnik I5 stanowiący jeden z mierników właściwości dynamicznych układu uległ pogorszeniu. Zwykle w układach regulacji ważniejszym parametrem niż szybkość narastania sygnału jest czas regulacji opisywany przez wskaźnik I6. Ten kluczowy parametr został poprawiony o niemal 75%. Dodatkowo warto zwrócić uwagę jak

układu kształtowania sygnału zadanego na kryteria całkowe (zarówno zależne od uchybu jak i od

Tabela 6.2. Wskaźniki jakości sterowania dla regulacji PI oraz regulacji PI z kształtowaniem sygnału metodą IS.

Przeprowadzone oraz zaprezentowane badania dowodzą, iż stosowanie układów kształtowania sygnału zadanego metodą IS ma bardzo pozytywny wpływ na jakość regulacji układu oscylacyjnego. Zachowanie układu było w pełni zgodne z rozważaniami teoretycznymi.