OPIS MODELU KRATOWNICY

Badania numeryczne i modelowe dotyczyły kratownicy przedstawionej w pracy [6].

Analizowana kratownica ma rozpiętość L=6,0 m i wysokość h = 0,44 m, rozstaw między stężeniami wynosi 1,5 m (rys.1). Obciążenie przykładane jest w postaci sił skupionych w węzłach pasa górnego. Pas górny i dolny zbudowany jest z dwóch kątowników L20  3.

Są to kształtowniki walcowane na gorąco. Wszystkie słupki i krzyżulce powstały z kształtowników zimnogiętych. Dwa skrajne krzyżulce są wykonane z rury kwadratowej o boku 15 mm i grubości ścianki 1,5 mm. Pozostałe elementy wykonano z ceownika o wysokości 15 mm, szerokości 10 mm i grubości ścianki 1,5 mm. Przekrój ten powstał z rury kwadratowej, opisanej wyżej, poprzez odcięcie jednego z boków i części ścianek przyległych do tego boku. Profile pasa górnego połączono przewiązkami o przekroju ceowym opisanym jak wyżej. Model kratownicy badany doświadczalnie przedstawiono na (rys.2a).

W badaniach stężono kratownicę jednym oraz trzema podporami sprężystymi. W analizach numerycznych obciążenie przykładano na konstrukcję w miejscach zamontowania stężeń.

Badania doświadczalne przeprowadzono dla kratownicy obciążonej w środku rozpiętości konstrukcji (rys. 2d). W analizie numerycznej i badaniach doświadczalnych przyjęto model kratownicy swobodnie podpartej. Modyfikacja modelu z pracy [6] polegała na wprowadzeniu podpór przegubowych i przegubowo przesuwnych (rys. 2b,c) oraz modyfikacji sposobu obciążenia kratownicy w taki sposób aby zapewnić możliwość wyboczenia z płaszczyzny (rys. 2d).

Rys. 1. Kratownica z sprężystymi podporami bocznymi

Model numeryczny kratownicy przedstawiono na (rys. 3). W modelu zastosowano 4-węzłowe elementy powłokowe QUAD4 (z 6 stopniami swobody w węźle). W modelu zastosowano około 58000 elementów. W pasach kratownicy przyjęto 4 elementy przy modelowaniu ramion kątowników. Środniki ceowników wymodelowano z 3 elementów, a pozostałe ścianki tego przekroju, z 2 elementów. Stosowano elementy o wymiarach 5×5mm². Połączenia pomiędzy prętami a pasami kratownicy modelowano elementami typu RIGID. Przyjęta w obliczeniach, granica plastyczności stali, wyznaczona doświadczalnie, wynosiła 350 MPa, natomiast moduł sprężystości 205 GPa. Obliczenia wykonano za pomocą programu Femap [10].

Dla konstrukcji podpartej jednym oraz trzema stężeniami bocznymi przeprowadzono liniowe analizy stateczności, których rezultaty pokazane są na (rys. 4). W przypadku analiz fizycznie i geometrycznie nieliniowych dla kratownicy z trzema stężeniami zadano imperfekcje pokazane na (rys. 5a i 5d) natomiast dla kratownicy z jednym stężeniem wprowadzone imperfekcje przedstawione są na (rys. 5c i 5d). Przyjęte imperfekcje globalne (rys. 5a i 5c) miały kształt postaci wyboczenia dla sztywności podpór sprężystych

Analiza stateczności i nośności granicznej kratownicy ze stężeniami 171 k = 10 kN/m w przypadku trzech stężeń i k = 40 kN/m w przypadku jednego stężenia, odpowiadający najmniejszym obciążeniom wyboczeniowym.

Maksymalne wartości imperfekcji wyznaczono dla L/500 = 12,0 mm wg normy [8].

W przypadku badań kratownicy z imperfekcją lokalną (rys. 5d) przyjęto maksymalną wartość wygięcia krzyżulca w płaszczyźnie kratownicy równą 6,0 mm, na podstawie normy [9].

a)

b) c) d)

Rys. 2. Model kratownicy badany eksperymentalnie: a) widok konstrukcji – ciężar własny 0,54 kN, b) szczegół podparcia – podpora przegubowo-przesuwna, c) szczegół podparcia – podpora przegubowa, d) sposób przykładania obciążenia

a) b)

Rys. 3. Model powłokowy kratownicy: a) widok fragmentu konstrukcji, b) szczegół połączenia słupka i krzyżulców z pasem dolnym kratownicy

3. ANALIZA WYNIKÓW

Wyznaczono siły krytyczne oraz odpowiadające im postacie wyboczenia dla różnej liczby i różnych sztywności stężeń dla modelu 1D i 3D (rys. 4). Siły krytyczne dla modelu prętowego są o około 10-20% większe niż dla modelu powłokowego kratownicy, w przypadku zastosowania stężeń o sztywności rzędu 10³ kN/m. Z przeprowadzonej analizy wynika, że wraz ze zwiększaniem sztywności i liczby podpór bocznych zwiększa się siła krytyczna. Przyczyną różnic pomiędzy modelem 1D i 3D może być wpływ deformacji poszczególnych gałęzi pasa, uwzględniany w modelu powłokowym i pomijany w modelu prętowym. W tym kontekście istotne znaczenie pełnią przewiązki łączące gałęzie pasa ściskanego kratownicy.

W przypadku kratownicy z 3 stężeniami o dużej sztywności (rzędu 10³ kN/m) postać wyboczenia ma formę 4 półfal (rys. 5b) natomiast dla kratownicy z jednym stężeniem występują 2 półfale wyboczenia (rys. 5c).

Sztywność stężeń, dla których występuje maksymalna wartość siły krytycznej wynosi dla kratownicy z jednym stężeniem około 30 kN/m dla modelu prętowego i około 20kN/m dla modelu powłokowego. W przypadku kratownicy z trzema stężeniami sztywność stężeń zapewniających maksymalną wartość obciążeń krytycznych wynosi 150 kN/m dla modelu prętowego i 90 kN/m dla modelu powłokowego kratownicy.

P. Iwicki, M. Krajewski 172

Na podstawie wyznaczonych obciążeń krytycznych obliczono współczynniki długości wyboczeniowych pasa ściskanego (tab. 1). Z uwagi na to, że siła normalna jest zmienna na długości pasa do obliczeń długości wyboczeniowych przyjęto siłę normalną w odległości 0,2 m od środka rozpiętości kratownicy.

k - sztywność stężenia [kN/m]

0 100 200 300 400 500 600

Obciążenie krytyczne [kN]

1 2 3 4 5 6 7 8 9

model powlokowy - 1 stężenie model prętowy - 1 stężenie model powłokowy - 3 stężenia model prętowy -3 stężenia

Rys. 4. Wykres zależności obciążenia krytycznego od sztywności podpór bocznych w przypadku usztywnienia kratownicy jednym oraz trzema stężeniami



a) b)

c) d)

Rys. 5. Postać wyboczeniowa (widoki z góry a,b,c) a) dla trzech stężeń k = 10 kN/m, b) dla trzech stężeń k =1000 kN/m, c) dla jednego stężenia k = 40 kN/m, d) dla siedmiu stężeń k = 1000 kN/m

Tablica 1. Wartości współczynnika długości wyboczeniowej = Lw/L0 , dla k = 10³ kN/m,

L0=1,5m – dla kratownicy z trzema stężeniami oraz L0 = 3,0 m – dla kratownicy z jednym stężeniem

Ilość stężeń Model prętowy Model powłokowy

1 0,811 0,806

3 0,901 0,975

W przeprowadzonych analizach nieliniowych badano zmianę przemieszczenia pionowego węzła kratownicy pod wpływem przyrostu obciążenia. Węzeł ten usytuowany jest na pasie górnym w odległości 0,75 m od środka rozpiętości konstrukcji. Rezultaty tych analiz, dla konstrukcji z trzema stężeniami, przedstawione są na (rys. 6). Wynika z nich, że dla kratownicy z imperfekcją globalną wg (rys. 5a) deformacja po przekroczeniu obciążeń granicznych ma postać przedstawioną na (rys. 7a) niezależnie od sztywności stężeń. Nośność graniczna jest mniejsza od obciążeń wyboczeniowych wyznaczonych w liniowej analizie stateczności. W przypadku wprowadzenia do konstrukcji imperfekcji lokalnej pokazanej na (rys. 5d) z przeprowadzonych analiz nieliniowych wynika, że kształt deformacji po przekroczeniu nośności granicznej może przybrać różne postacie w zależności od sztywności

Analiza stateczności i nośności granicznej kratownicy ze stężeniami 173 stężeń. Dla stężeń o sztywności powyżej 40 kN/m deformacja ma kształt przedstawiony na (rys.

7b), natomiast dla stężeń o sztywności poniżej 20 kN/m kratownica deformuje się tak jak pokazano na (rys. 7c). Dla konstrukcji z imperfekcją lokalną, wartość obciążenia granicznego również jest dużo mniejsza niż wartość obciążenia krytycznego, obliczonego za pomocą liniowej analizy stateczności i nawet mniejsza od odpowiednich wartości uzyskanych z analiz nieliniowych dla konstrukcji z imperfekcją globalną.

Przemieszczenie pionowe [mm] stężeniami oraz imperf. wg rys. 5a), b) dla kratownicy z trzema stężeniami oraz imperf. wg rys. 5d)

a)

b)

c)

Rys. 7. Postać deformacji (widoki z góry a,c) po przekroczeniu wartości obciążenia granicznego dla kratownicy:

a) z trzema stężeniami oraz z imperf. globalna wg rys. 5a) , b) z 3 stężeniami k ≥ 40 kN/m oraz

k= 10 kN/m oraz k=1000kN/m

Przemieszczenie pionowe [mm]

0 20 40 60 80 100

P. Iwicki, M. Krajewski 174

a) b)

Rys. 9. Postać deformacji (widoki z góry) po przekroczeniu wartości obciążenia granicznego dla kratownicy:

a) z jednym stężeniem oraz z imperfekcją globalną dla k ≥ 10 kN/m, a także z imperfekcją lokalną dla k ≥ 40kN/m, b) z jednym stężeniem oraz imperfekcją globalną dla k ≤ 6 kN/m, a także z imperfekcją lokalną dla k ≤ 10 kN/m

Rezultaty analiz nieliniowych dla kratownicy z jednym stężeniem pokazane są na (rys. 8). Wynika z nich, że kratownica z wprowadzoną wstępną globalną imperfekcją w kształcie dwóch półfal (rys. 5c) po przekroczeniu obciążenia granicznego deformuje się tak jak pokazano na (rys. 9a), w przypadku zastosowania stężenia o sztywności większej lub równej 10 kN/m. Dla stężenia o sztywności mniejszej lub równej 6 kN/m, postać deformacji po przekroczeniu wartości obciążenia granicznego wygląda tak jak przedstawiono na (rys. 9b).

W stanie granicznym następuje skręcenie kratownicy wzdłuż osi przechodzącej przez podpory.

Należy zwrócić uwagę na fakt, że wartość obciążenia granicznego dla sztywności równej lub większej 10 kN/m przekracza wartość obciążenia krytycznego z liniowej analizy stateczności.

Z analiz nieliniowych dla kratownicy z jednym stężeniem, przy wprowadzeniu imperfekcji lokalnej pokazanej na (rys. 5d) wynika, że deformacja kratownicy po przekroczeniu nośności granicznej może przybierać różne formy w zależności od sztywności stężeń. Dla sztywności większej lub równej 40 kN/m występuje deformacja przedstawiona na (rys. 9a). Natomiast dla sztywności mniejszej lub równej 10 kN/m uzyskano deformację przedstawiona na (rys. 9b).

W przypadku zastosowania imperfekcji lokalnej (rys. 5d) dla kratownicy z jednym stężeniem uzyskano większe wartości obciążeń granicznych od wartości obciążeń krytycznych otrzymanych z liniowej analizy stateczności. Wartości te były również większe od uzyskanych w przypadku badań konstrukcji z imperfekcją globalną (rys. 5c).

Postać deformacji na (rys. 9b) jest zbliżona kształtem do postaci wyboczenia dla konstrukcji z jedną podporą sprężystą o sztywności k = 10 kN/m, natomiast postać deformacji pokazana na (rys. 9a) jest zbliżona do postaci wyboczenia dla kratownicy z jednym stężeniem o sztywności k = 40 kN/m.

Wyniki przeprowadzonych badań doświadczalnych przedstawiono na (rys. 10). Badano kratownicę z jednym stężeniem o sztywnościach k = 10 kN/m, 40 kN/m, 80 kN/m oraz z trzema stężeniami o k = 10 kN/m. Zarówno w przypadku podparcia konstrukcji jednym stężeniem jak i trzema uzyskano deformację przedstawioną na (rys. 11). Z rezultatów badań doświadczalnych kratownicy z jednym stężeniem wynika, że ścieżki równowagi są bardzo do siebie zbliżone (rys. 10a). Rezultaty analiz numerycznych z imperfekcją globalną (rys. 5c) również pokazują, że przy zastosowaniu stężenia o sztywności k ≥ 10 kN/m ścieżki równowagi opisane są tą samą krzywą (rys. 8a). Wartości obciążeń granicznych, uzyskane z tych analiz, są jednak większe o około 25% od wartości uzyskanych doświadczalnie. Powodem tej rozbieżności może być sposób wykonstruowania połączenia podpór bocznych z kratownicą. Podczas badań doświadczalnych stwierdzono, że w miarę przyrostu obciążenia, stężenia zaczynają być zginane, czyli stanowią podpory działające na kierunku skręcenia pasa kratownicy. Efekt ten nie był uwzględniony w analizach numerycznych, w których badano tylko stężenia posiadające sztywność na przesuw, pomijając sztywność rotacyjną. Zjawisko to może być również przyczyną uzyskania w doświadczeniu, znacznie mniejszych wartości przemieszczeń pionowych przy maksymalnym obciążeniu niż wynika to z analiz numerycznych. Obciążenie graniczne wyznaczone z badań doświadczalnych kratownicy z trzema stężeniami, różni się od -30% do +12%, od rezultatów z analiz nieliniowych w zależności od przyjętych wstępnych imperfekcji. Ścieżka równowagi będąca rezultatem przeprowadzonej analizy nieliniowej dla

Analiza stateczności i nośności granicznej kratownicy ze stężeniami 175 konstrukcji z impetrfekcją wg pierwszej postaci wyboczenia (rys. 5a) odbiega od wykresu z wyników doświadczalnych. Jest to spowodowane różnymi deformacjami konstrukcji uzyskanymi z badań doświadczalnych, gdzie wystąpiły dwie półfale wyboczenia (rys.11) i z analizy numerycznej, gdzie postać deformacji miała kształt jednej półfali. Ze względu na kształt deformacji uzyskany w badaniach doświadczalnych, przeprowadzono analizę nieliniową dla kratownicy usztywnionej trzema stężeniami zakładając postać wstępnego wygięcia pokazaną na (rys. 5c). W rezultacie otrzymano większą wartość obciążenia granicznego niż wynika to z badań doświadczalnych oraz bardzo duże różnice w zakresie przemieszczeń pionowych (rys. 10b). Nasuwa się zatem wniosek, że powinno się przeprowadzić analizę numeryczną uwzględniającą rzeczywiste imperfekcje kratownicy. Należy również dodać, że opisany wyżej efekt zginania stężeń wystąpił także w tym przypadku.

P rz e m ie s z c z e n ie p io n o w e [m m ] NL imperf. wg rys.5c),Pgr=7,32 kN NL imperf. wg rys. 5a),Pgr=5,05 kN

a) b)

Rys. 10. Wykres zależności obciążeń od przemieszczeń pionowych kratownicy wyznaczony na podstawie badań eksperymentalnych kratownicy: a) z jednym stężeniem, b) z trzema stężeniami k = 10 kN/m

Rys. 11. Postać zdeformowana kratownicy - kształt odpowiada deformacji z rys. 9a)

4. WNIOSKI

W analizach numerycznych otrzymano rozbieżności pomiędzy modelem prętowym i powłokowym kratownicy. W analizach stateczności różnice te rosną wraz ze wzrostem sztywności stężeń. Badania numeryczne kratownicy z trzema podporami bocznymi dowodzą, że nośność graniczna jest mniejsza przy założeniu imperfekcji lokalnej niż w przypadku wprowadzenia do konstrukcji imperfekcji globalnej, zgodnej z pierwszą postacią wyboczenia, uzyskaną dla stężeń o k = 10 kN/m. Fakt ten potwierdzają również badania autorów przeprowadzone w szerszym zakresie tj. dla kratownicy podpartej pięcioma i siedmioma sprężystymi podporami bocznymi.

Na postać deformacji konstrukcji, po przekroczeniu maksymalnej wartości obciążenia, może mieć wpływ nie tylko sztywność podpór bocznych ale również zadana wstępnie imperfekcja.

Na uwagę zasługuje również fakt, że w dostępnych obecnie programach komputerowych

P. Iwicki, M. Krajewski 176

służących do analiz zarówno konstrukcji prętowych jak i powłokowych istnieją opcje pozwalające zadawać dowolne imperfekcje w danej konstrukcji, przy stosunkowo niewielkim nakładzie pracy projektanta.

Wartości obciążeń granicznych i przemieszczeń konstrukcji, będące rezultatem badań doświadczalnych rzeczywistego modelu kratownicy odbiegają od odpowiednich wartości uzyskiwanych w analizach numerycznych. Planowane są dalsze badania kratownicy mające na celu wyznaczenie charakterystyk opisujących sztywność rotacyjną zastosowanych stężeń co pozwoli na precyzyjne opisanie tych podpór w modelu numerycznym. Konieczne jest również przeprowadzenie analiz numerycznych dla rzeczywistych imperfekcji geometrycznych.

Piśmiennictwo

[1] Biegus A., Wojczyszyn D.: Ocena nośności pasów przy wyboczeniu z płaszczyzny kratownic. Awarie Budowlane. Zapobieganie, diagnostyka, naprawy, rekonstrukcje. XXII konferencja naukowo-techniczna, Szczecin 2005, s. 661-668.

[2] Biegus A., Wojczyszyn D.: Współczynniki długości wyboczeniowej pasów z płaszczyzny ustroju „krótkich” kratownic. III Sympozjum Kompozyty, Konstrukcje Warstwowe, Wrocław 2006, s. 19-26.

[3] Iwicki P., Stability of trusses with linear elastic side-supports. Thin-Walled Structures 2007, Vol. 45, No. 10-11, s. 849-854.

[4] Iwicki P.: Sensitivity analysis of critical forces of trusses with side bracing, Journal of Constructional Steel Research, 66, 2010, 923-930.

[5] Kołodziej J., Jankowska-Sandberg J.: Badania doświadczalne zwichrzenia sprężystego kratownicy stalowej z uwzględnieniem podatności stężeń bocznych. LII Konferencja Naukowa Komitetu Inżynierii Lądowej i Wodnej PAN i Komitetu Nauki PZITB, Krynica 2006, Zeszyty Naukowe Politechniki Gdańskiej, nr 601, Budownictwo Lądowe, 58, 2006, 123-129.

[6] Iwicki P., Krajewski M.: Analiza numeryczna i badania doświadczalne kratownicy ze stężeniami, LVII Konferencja Naukowa Komitetu Inżynierii Lądowej i Wodnej PAN i Komitetu Nauki PZITB, Krynica 2011. Zeszyty Naukowe Politechniki Rzeszowskiej, Budownictwo i Inżynieria Środowiska. 58, 2011, s. 233-240, 57.

[7] PN-90/B-03200 Konstrukcje stalowe - Obliczenia statyczne i projektowanie.

[8] PN-EN 1993-1-1 2006 Eurocode 3: Projektowanie konstrukcji stalowych. Część 1-1:

Reguły ogólne i reguły dla budynków.

[9] PN-B-06200: Konstrukcje stalowe budowlane - Warunki wykonania i odbioru, wymagania podstawowe. Warszawa: PKN 1997.2002

[10] Femap with NX Nastran. Version 10.1.1. Siemens Product Lifecyde Management Software Inc. 2009.

STABILITY AND ULTIMATE STRENGTH ANALYSES OF TRUSS WITH BRACES