Semantyka rachunku czasów gramatycznych zbudowana na podstawie

Przejdę teraz do formalnej defi nicji struktury rozgałęzionych historii. Następnie szczegółowo opiszę, wraz z jego semantyką, język rachunku logiki czynu poda-nego przez Belnapa i Horty’ego, który w dalszej części pracy będę określał po prostu mianem teorii stit (od ang. zwrotu sees to it theory), co stanowi przyjęty w piśmiennictwie skrót.

Podstawowym składnikiem struktury branching time jest niepusty zbiór W, interpretowany jako zbiór momentów (gdzie moment to zawartość przestrzeni fi zycznej w określonej chwili czasowej) oraz relacja ≤ będąca podzbiorem kwa-dratu kartezjańskiego W × W, odpowiadająca następstwu czasowemu. W zamie-rzeniu struktura BT reprezentuje kauzalne aspekty rzeczywistości.

(df.) Struktura branching time: uporządkowana para < W, ≤ >, gdzie W jest niepustym zbiorem elementów m, zaś ≤ zwrotną, przechodnią i antysymetryczną relacją częściowego porządku w zbiorze W.

Dla ≤ przyjmuje się, że spełnia ona dwa następujące postulaty:

1) Brak wstecznych rozgałęzień (no backward branching):

∀m ∀m’ ∀m’’ ((m’ ≤ m ≤ m’’ ≤ m) ≤ (m’ ≤ m’’ ≤ m’’ ≤ m’)); dowolne dwa momenty wcześniejsze od m są uporządkowane liniowo.

2) Wspólny pień (historical connection):

∀m ∀m’ ∃m’’ (m’’ ≤ m ≤ m’’ ≤ m’); dla dowolnych dwóch momentów znaleźć można moment od nich wcześniejszy.

Możliwą historią h nazywać będę każdy maksymalny ze względu na relację

⊆ (inkluzja) i uporządkowany liniowo podzbiór W. Każda historia jest formal-nym reprezentantem możliwego scenariusza rozwoju wypadków od początku do

końca świata⁹⁰. Brak wstecznych rozgałęzień ujmuje zdroworozsądkowe prze-konanie, że przeszłość w dowolnej chwili czasowej jest już ustalona i zdetermi-nowana. „Idąc więc wstecz”, nie można natrafi ć na żadne rozgałęzienia historii.

Postulat wspólnego pnia z kolei pozwala wszystkie historie traktować jako część jednego wielkiego drzewa możliwych scenariuszy przebiegu zdarzeń (dowolne dwie historie mają wspólny element w przeszłości), a przez to uniknąć mówienia o wielu możliwych światach.

Dla dowolnego momentu m i dowolnej historii h wyrażenie m∈h rozumieć należy jako: „moment m ma miejsce (zawiera się) w historii h”. Ponieważ każdy moment może równocześnie wchodzić w skład wielu historii, przez H(m) oznacz-my zbiór wszystkich historii zawierających m. Zauważoznacz-my też, że dla wszystkich m’ ≤ m, jeśli m’ jest elementem jakiejś historii z H(m), jest elementem każdej z nich, gdyż momenty mają ustaloną przeszłość na mocy postulatu braku wstecz-nych rozgałęzień. Tak więc wszystkie historie wchodzące w skład H(m) mają wspólny odcinek, który stanowi liniowo uporządkowany przez relację ≤ zbiór, dla którego m stanowi górne ograniczenie. H(m) nazywam pękiem historii nad m.

(df.) Pęk historii nad m: H(m) = {h: m∈h}

W ten sposób zdefi niowana struktura rozgałęzionych historii oddaje intuicyjne przekonanie o istnieniu otwartej przyszłości i ustalonej przeszłości – dla dowolnie wybranego momentu (a zatem również dla dowolnie wybranej chwili czasowej) istnieje ustalony, liniowo uporządkowany zbiór momentów „wcześniejszych”

oraz potencjalnie wiele liniowo uporządkowanych zbiorów momentów „później-szych”. Inaczej rzecz ujmując, podane defi nicje gwarantują, że wybrane momenty należeć mogą do wielu historii, które pokrywają się „poniżej” tych momentów, ale już niekoniecznie „nad” nimi. W takim ujęciu przyszłością dla wybranego momentu m nie jest żaden wybrany odcinek wybranej historii z pęku H(m), lecz ta część pęku, która znajduje się „nad” m. Wobec tego przyszłością dla m jest zbiór złożony z odcinków położonych „nad” m każdej historii z pęku. Cały zaś zbiór H(m) będziemy traktować jako formalny odpowiednik rzeczywistości wi-dzianej z punktu m w jej kauzalnym aspekcie, na którą składa się przeszłość, teraźniejszość i przyszłość⁹¹.

Opierając sie na strukturze rozgałęzionych historii, przedstawię teraz teorię wartościowania formuł rachunku logiki czasów gramatycznych. Rachunek ten otrzymamy poprzez uzupełnienie listy operatorów zdaniotwórczych klasycznego rachunku zadań (np. negacja, implikacja, koniunkcja, alternatywa etc.) o opera-tory „P” i „F”, wyrażające czas przeszły dokonany i przyszły niedokonany, a

tak-90 Nie ma potrzeby zakładać czegokolwiek na temat istnienia lub nieistnienia momentu począt-kowego czy końcowego dla globalnej historii świata.

91 Problem rozumienia pojęcia przyszłości na gruncie struktury „rozgałęzionego czasu” omawia szeroko Belnap (2001: 133–176). Kwestię reprezentacji dla pojęcia rzeczywistości w strukturze BT omawiałem w swojej wcześniejszej pracy: Klinowski 2005.

że operator możliwości „◊”. Oprócz wymienionych operatorów w skład języka formalnego wejdą również zmienne zdaniowe „p”, „q”, „r” etc. reprezentujące zdania atomowe na temat faktów.

Modelem M (semantyką) rachunku logiki czasów gramatycznych nazywać będziemy uporządkowaną parę <BT, v>, gdzie BT jest zdefi niowaną powyżej strukturą „rozgałęzionego czasu”, a v jest funkcją, zwaną wartościowaniem, od-wzorowującą zbiór zdań atomowych w zbiór {<m, h>: m∈h}. Elementami tego zbioru są więc pary momentów i historii, dla których prawdziwe jest, że m∈h.

Pary takie oznaczać będę symbolem m/h i nazywać punktami.

Symbol „╞” (double turnstile) w pracach z dziedziny logiki tradycyjnie sym-bolizuje poprawność (validity). Wyrażenie (A₁,… A_n )╞ C rozumieć należy jako równoważne stwierdzeniu, iż C logicznie wynika ze zbioru przesłanek A₁,… A_n. Zatem wyrażenie to reprezentuje logicznie poprawne wnioskowanie. Z kolei wy-nikanie logiczne defi niowane jest w ten sposób, że nie ma ono miejsca, jeżeli prawdziwym przesłankom towarzyszy fałszywy wniosek. Zatem wyrażenie „╞C”

rozumieć należy jako stwierdzenie, że C nie może być fałszywe. Logicy mówią, że C jest spełnione w określonym rachunku. Wykorzystując tę konwencję termi-nologiczną, wyrażenie „M, m/h ╞ ϕ”, gdzie „ϕ” reprezentuje zdanie atomowe ra-chunku logicznego, znaczyć będzie, że w modelu M w punkcie m/h spełniona jest formuła „ϕ”. Inaczej, że „ϕ” uzupełniona o informacje zawarte (zinterpretowana przy użyciu informacji zakodowanych) w M uzyskuje wartość logiczną prawdy⁹². Przyjmijmy też, że:

M, m/h ╞ ϕ wtw. m/h ∈v(ϕ).

Wyrażenie to odczytać należy jako stwierdzenie, że „ϕ” nie może być fałszy-we w określonym punkcie, jeżeli punkt ten jest wartością funkcji v dla argumentu ϕ, czyli wtedy, gdy funkcja wartościowania v wskazuje ten punkt jako moment, w którym zdanie atomowe „ϕ” przyjmuje wartość logiczną prawdy. Funkcja v ko-duje więc informację na temat punktów, w których spełnione są zdania atomowe rachunku, przy czym możliwe są rozmaite warianty tej funkcji, oddające różne układy wartości poszczególnych zdań atomowych w poszczególnych punktach.

Dodam też, że funkcja v ma tę właściwość, że uzależnia, jak widać, prawdziwość każdego zdania atomowego od dwóch parametrów – momentu i historii. W kon-sekwencji w opisywanym rachunku nie można mówić o prawdziwości formuły (zdania atomowego), nie powołując się na określony moment i historię, czyli nie precyzując punktu, o jaki nam chodzi. Wartość logiczna formuł jest więc zrela-tywizowana do punktu. To właśnie pozwala na odrzucenie tezy fatalistycznej.

92 Ściśle rzecz biorąc, spełnianie i prawdziwość nie są synonimiczne. Konstruując model war-tościowania rachunku logicznego, na ogół przyjmuje się, że ten ostatni termin defi niowany jest w ka-tegoriach pierwszego. Przykładowo, na gruncie omawianej semantyki prawdziwość formuły „ϕ” ro-zumieć można jako spełnianie „ϕ” w historii, która zostaje urzeczywistniona. Jednak dla ułatwienia w toku dalszych rozważań obu tych terminów będę używał wymiennie.

Przykładowo, zdanie „Jutro będzie bitwa morska” w modelu branching time nie będzie po prostu prawdziwe ani po prostu fałszywe. Co najwyżej może być ono prawdziwe w jakiejś konkretnej historii, zaś fałszywe w innej.

Spełnianie formuł złożonych ze zdań atomowych i funktorów klasycznego rachunku zdań wygląda następująco:

M, m/h ╞ ¬A wtw. nieprawda, że M, m/h ╞ A, M, m/h ╞ A∧B wtw. M, m/h ╞ A i M, m/h ╞ B⁹³.

Z kolei spełnianie formuł z operatorami charakterystycznymi dla rachunku logiki czasów gramatycznych przybiera kształt:

M, m/h ╞ PA wtw ∃m’[m’∈h, m’< m i M, m’/h ╞ A], M, m/h ╞ FA wtw ∃m’[m’∈h, m< m’ i M, m’/h ╞ A].

„P” czytamy jako „w przeszłości było tak, że...”, zaś „F” jako „w przyszłości będzie tak, że...”. Z podanych defi nicji i postulatu wspólnego pnia wynika, że o ile logiczna wartość formuły „PA” jest identyczna dla każdej możliwej historii zawierającej moment m, o tyle wartość logiczna „FA” może się zmieniać i dla danej chwili czasowej nie zawsze jest ustalona. Sytuacja taka odpowiada przeko-naniu o istnieniu ustalonej przeszłości (w każdej historii te same zdania na temat przeszłości są prawdziwe lub fałszywe), jak i otwartej przyszłości (co jest praw-dziwe w danym momencie w jednej historii, niekoniecznie prawpraw-dziwe jest w tym samym momencie innej).

Rachunek czasów gramatycznych może zostać również uzupełniony o opera-tory odpowiadające pojęciu możliwości i konieczności. Pierwszemu odpowiada operator oznaczany za pomocą symbolu „◊”, który czytamy jako „możliwe, że…”.

Spełnianie formuł zbudowanych z jego wykorzystaniem zdefi niowane jest tak:

M, m/h ╞ ◊A wtw. ∃h’[m∈h’ i M, m/h’ ╞ A].

Z podanej defi nicji wynika, że prawdziwość formuły „◊A” uzależniona jest od istnienia w pęku H(m) przynajmniej jednej historii, w której prawdziwe jest „A”.

Z tego też powodu pojęcie możliwości, któremu odpowiada operator „◊”, przyjęło się określać mianem możliwości historycznej (ang. historical possibility)⁹⁴. Poję-cie możliwości historycznej odbiega od innych pojęć możliwości. Dopuszczalna jest sytuacja, w której pewne zdarzenia czy stany rzeczy będą możliwe logicznie oraz fi zycznie (stwierdzenie, że miały miejsce, nie jest logicznie sprzeczne ani nie narusza praw fi zycznych), a równocześnie mogą nie być możliwe historycznie

93 Funktory alternatywy, implikacji oraz równoważności defi niujemy w standardowy sposób, wykorzystując funktor negacji i koniunkcji.

94 Por. Thomason 1984: 136.

(stan rzeczy nie ma miejsca w żadnej z historii należących do przyszłości danego momentu m)⁹⁵.

Podobnie defi niowane jest pojęcie konieczności historycznej, któremu odpo-wiada operator oznaczany symbolem „□”. „□A” jest spełnione w m/h, o ile „A”

jest spełnione w m/h’, dla każdej h’∈H(m). Korzystając z powszechnie znanych związków pomiędzy oboma pojęciami, defi nicję „□” możemy ująć w formie na-stępującej równoważności:

□A≡ ¬◊¬A.

Związek ten jest zachowywany przy przyjęciu dotychczasowych defi nicji.