Wielowymiarowa analiza porównawcza

Wielowymiarowa analiza porównawcza określana jest jako zbiór różnorodnych tech-nik statystycznych, który służy do oceny i porównania wielowymiarowych jednostek. Pod pojęciem jednostki (obiektu) wielowymiarowego rozumie się obiekt statystyczny podlegający badaniu i opisany przez liczne zestawy swych charakterystyk (Panek, 2009, s. 13). W dotych-czas prowadzonych analizach porównawczych najszersze zastosowanie znalazły metody tak-sonomiczne oraz metody analizy czynnikowej. W pierwszej metodzie porównywanie jedno-stek obejmuje porządkowanie zbiorów obiektów oraz ich grupowanie w podzbiory jednojedno-stek podobnych do siebie pod względem charakteryzujących je właściwości, a także wybór repre-zentantów otrzymanych grup obiektów. Natomiast druga metoda sprowadza się do przedsta-wienia wejściowego zbioru charakterystyk obiektów dowolnej natury, a mianowicie zmien-nych opisujących obiekty przestrzenne, jako kombinacji liniowej nieobserwowalzmien-nych charak-terystyk zwanych czynnikami, poprzez ortogonalne przekształcenie macierzy danych wej-ściowych.

Wielowymiarowa analiza porównawcza zalicza się do metod wielowymiarowej anali-zy statystycznej, które tworzą zbiór metod i technik analianali-zy danych zawierających informacje o wielu obiektach opisanych za pomocą wielu zmiennych. Wzrost popularności stosowania tej grupy metod w ostatnich latach wynika z (Frątczak, Golata, Klimanek, Ptak-Chmielewska i Pęczkowski, 2009, s. 21):

 wzrostu dostępności do wielu baz danych;

 powszechnej dostępności do korzystania z metod i technik wielowymiarowej analizy statystycznej w wielu pakietach statystycznych, gdzie metody te zostały oprogramo-wane;

 ciągłego doskonalenia technik i procedur analitycznych z wielowymiarowej analizy statystycznej;

 konieczności analizy i wnioskowania na bazie dużej ilości zmiennych przyporządko-wanych do poszczególnych obiektów (względy analityczne i praktyczne).

Metody wielowymiarowej analizy porównawczej służą określonym celom analizy sta-tystycznej, głównie związanym z porównywaniem badanych jednostek statystycznych. Do głównych przesłanek porównywania jednostek statystycznych należy zaliczyć (Johnson i Wi-cher, 2007, s. 2; Panek, 2009, s. 14):

 redukcję dużej ilości posiadanych informacji o obiektach do kilku podstawowych ka-tegorii, które następnie mogą zostać poddane analizie;

 otrzymanie grup obiektów jednorodnych pod względem charakteryzujących je wła-ściwości, co ułatwi określenie ich podstawowych właściwości;

 zmniejszenie nakładów czasu i kosztów badania poprzez skoncentrowanie się na naj-bardziej typowych zjawiskach, procesach oraz kategoriach;

 wyjaśnienie struktury powiązań pomiędzy charakterystykami jednostek statystycz-nych;

 badanie zależności pomiędzy zmiennymi, jej skali, dającej odpowiedź na wiele pytań (np. które zmienne są współzależne);

 stawianie i testowanie hipotez na podstawie dokonywanych analiz;  predykcję na bazie ustalonych zależności.

Zbiór metod i technik stosowanych w wielowymiarowej analizie statystycznej jest bar-dzo pojemny, ciągle udoskonalany i rozwijany. Do podstawowych metod i technik analizy można zaliczyć (Frątczak i in., 2009, s. 22):

 wielowymiarowe modele regresji liniowej;  analizę czynnikową;

 metodę głównych składowych;  analizę korelacji kanonicznej;  analizę dyskryminacji i klasyfikacji;  analizę korespondencji;

 analizę skupień, techniki badania odległości i porządkowania;  pozostałe techniki.

Niektóre z podanych powyżej metod komponują się w dział zwany taksonomią bądź taksonomią numeryczną. Jest to dyscyplina naukowa zajmująca się zasadami i procedurami porządkowania oraz klasyfikacji. Zadaniem metod taksonomicznych jest pogrupowanie zbio-ru elementów dowolnej natury Ω na o wiele bardziej jednorodne statystycznie podzbiory spełniające zarazem formalne warunki rozłączności, zupełności oraz niepustości (Kolenda, 2006, s. 17-18). Wielokryterialna analiza porównawcza wywodzi się z metod taksonomicz-nych, na co wpływ ma cel przeprowadzanych analiz (Pociecha, Podolec, Sokołowski i Zając, 1988, s. 16). Taksonomia sprowadza się do określenia struktury badanego obiektu lub zbioru poprzez pogrupowanie jego elementów na bardziej jednorodne statystycznie podzbiory pod względem dobranych cech. Istota wielokryterialnej analizy porównawczej sprowadza się, jak

wspomniano na początku tego podrozdziału, do określenia pewnej syntetycznej miary, która będzie pełnić rolę kryterium wartościującego porównywane obiekty. Wyróżnić można wiele metod taksonomicznych, przy czym najbardziej ogólny i najbardziej przydatny podział wy-różnia metody (Kolenda, 2006, s. 79): hierarchizacji, grupowania, obszarowe i optymaliza-cyjne.

Wśród metod hierarchizacji można wyodrębnić dwa rodzaje: metody hierarchiczne i metody niehierarchiczne. Metody hierarchiczne sprowadzają się do wyodrębnienia pełnej hierarchii. Tworzą one struktury skupień, które następnie można przedstawić za pomocą den-drogramu. Wśród metod hierarchicznych można wyodrębnić metody: porządkowania linio-wego, dendrytowe i hierarchizacji drzewkowej. Metody porządkowania liniowego określają liniową hierarchię obiektów na podstawie ich odległości od tzw. wzorca rozwoju. W momen-cie ujednolicenia cech, za współrzędne wzorca przyjmuje się maksymalne wartości zaobser-wowanych cech (dla wzorca) lub minimalne (dla antywzorca). W metodach tych stosuje się różne miary wykorzystywane do obliczenia odległości poszczególnych elementów zbioru od wzorca. Najczęściej wykorzystuje się odległość euklidesową lub odległość miejską (Ham-minga). Inną z metod porządkowania liniowego jest metoda sum standaryzowanych wartości, w której dla każdego obiektu sumuje się zestandaryzowane wcześniej wartości, a następnie konstruuje względny wskaźnik poziomu rozwoju. Metodę tą można stosować również wtedy, kiedy wartości maksymalne dla stymulant nie są wartościami optymalnymi. Ponadto wśród metod porządkowania liniowego można jeszcze wyróżnić następujące techniki: sumy rang, oceny punktowej, dystansów oraz porządkowania według pierwszej głównej składowej (Czermińska, 2002, s. 152; Kolenda, 2006, s. 79-80). Metody dendrytowe (tzw. taksonomia wrocławska) stosowane są w celu wybierania reprezentantów badanych grup, a w szczególno-ści w przypadku gdy mamy do czynienia z bardzo licznym zestawem badanych zmiennych. Natomiast metody hierarchizacji drzewkowej dotyczą problemów podziału zbioru elementów na jednorodne grupy. Wśród technik hierarchizacji drzewkowej można wyróżnić metody: najbliższego i najdalszego sąsiedztwa, środka ciężkości oraz J. H. Warda (Pociecha i in., 1988, s. 73 i n.). Natomiast w metodach niehierarchicznych nie jest możliwe przedstawienie na dendrogramie procesu tworzenia skupisk. Do najważniejszych metod niehierarchicznych należy zaliczyć metodę k-średnich oraz EM.

Wśród metod grupowania wyróżnić można metody aglomeracyjne i podziałowe. W metodach aglomeracyjnych obiekty traktowane są na początku jako osobne skupienia (grupy). Proces klasyfikacji polega na łączeniu się w pary, na podstawie macierzy odległości, najbliższych podgrup aż do otrzymania jednej grupy, w której znajdują się wszystkie

elemen-ty zbioru. Do metod aglomeracyjnych można zaliczyć m.in. metodę: najbliższego i najdalsze-go sąsiedztwa, mediany, średniej grupowej czy też J. H. Warda. Druga grupa metod grupo-wania to metody podziałowe, w których postępowanie jest odwrotne niż w metodach aglome-racyjnych, tzn. zbiór ulega podziałowi na jednoelementowe grupy. Do metod podziałowych zalicza się metodę: wrocławską, jednakowego natężenia i metody iteracyjne (np. metoda J. Czekanowskiego) (Grabiński, Wydymus i Zeliaś, 1982, s. 135-138 i 145-148).

Kolejnym rodzajem metod taksonomicznych są techniki obszarowe, które mogą być metodami hierarchicznymi lub niehierarchicznymi. W metodach tych dzieli się hiperprze-strzeń na rozłączne podprzestrzenie. Charakteryzują się one większą gęstością obiektów i są oddzielone obszarami o mniejszej gęstości obiektów. Do metod obszarowych należą: takso-nomia hiperkul, taksotakso-nomia stochastyczna, metoda Thorndike’a, metoda Hartigana i metoda katowicka (Kolenda, 2006, s. 95-100).

Ostatnim wskazanym rodzajem technik taksonomicznych są metody optymalizacyjne, które mają za zadanie poprawienie wstępnego podziału zbioru punktów danej klasyfikacji. Polegają one na przenoszeniu obiektów ze swoich zbiorów do innych zbiorów i sprawdzaniu, czy przesunięcie obiektu poprawiło jakość całego podziału. Do metod tych należą: metoda środków ciężkości, metoda Forgy-Janceya i metoda Wisharta (Czermińska, 2002, s. 153).

Oprócz metod taksonomicznych wielokryterialna analiza porównawcza wykorzystuje również tzw. technikę czynnikową, która polega na badaniu wewnętrznych zależności w zbio-rze zmiennych. Celem analizy czynnikowej jest znalezienie ukrytych czynników określają-cych związki pomiędzy zmiennymi wyjściowymi (obserwowalnymi), a także wykorzystanie ich do modelowania badanego zjawiska (Frątczak i in., 2009, s. 227).

Wybór odpowiednich technik wielowymiarowej analizy porównawczej zależy głów-nie od celu i zakresu dokonywanego porównania. Jednakże wpływ na ten wybór będą mieć również typy skali, w której dokonywany będzie pomiar własności obiektu. Pod pojęciem pomiaru rozumiemy przyporządkowanie charakterystykom obiektów liczb w taki sposób, aby odzwierciedlały relacje zachodzące pomiędzy obiektami (Gatnar i Walesiak, 2004, s. 19). W teorii pomiaru wyróżnić można cztery podstawowe skale pomiaru, które zostały wprowa-dzone w 1959 roku przez Stevensa. Uszeregować je można od najsłabszej do najsilniejszej w następującej kolejności (Panek, 2009, s. 15): nominalna, porządkowa (rangowa), przedzia-łowa (interwaprzedzia-łowa) i ilorazowa (stosunkowa).

Dwie pierwsze skale zaliczają się do skal słabych, inaczej zwanych niemetrycznymi, a pozostałe dwie do skal metrycznych, czyli tzw. mocnych. O mocy skali decyduje zakres przekształceń, ze względu na które skala zachowa swoje właściwości. Wzrost mocy skali

po-woduje wzrost dopuszczalnych na niej operacji arytmetycznych, a w związku z tym możliwa jest jedynie transformacja skal metrycznych w skale niemetryczne (Gatnar i Walesiak, 2004, s. 19-20). Typ skali pomiaru ze względu na dopuszczalne relacje i operacje decyduje o wybo-rze konkretnych metod wielokryterialnej analizy porównawczej. Wszystkie metody, które są możliwe do zastosowania na skali niemetrycznej mogą zostać zastosowane na skali metrycz-nej. Możliwość dopuszczalnych przekształceń powoduje, że dany typ skali determinuje sto-sowalność rozmaitych technik statystyczno-ekonometrycznych (Walesiak, 1996, s. 23-24).

Skala nominalna polega na przyporządkowaniu poszczególnym wariantom zmiennej wyłącznie nazwy. Pozwala ona więc jedynie stwierdzić identyczność bądź odmienność równywanych obiektów, a także zliczyć obiekty identyczne i różne. Skala porządkowa po-zwala nie tylko zróżnicować obiekty, ale również porównywać wartości zmiennych zaobser-wowanych w obiektach (porządkowanie liniowe obiektów). Skala ta nie pozwala określić odległości pomiędzy obiektami, ale umożliwia w efekcie zliczenie obiektów uporządkowa-nych (liczby relacji równości, nierówności, większości i mniejszości). Skala przedziałowa w stosunku do skali porządkowej pozwala dodatkowo obliczyć odległości występujące mię-dzy obiektami, dokonując przy tym pomiaru zmiennych za pomocą liczb rzeczywistych. Dla-tego też dla tej skali możliwe jest, obok operacji arytmetycznych dopuszczalnych dla skal o mniejszej mocy, także dodawanie i odejmowanie. Wartość zerowa na skali przedziałowej ma charakter umowny, co prowadzi do zachowania różnic pomiędzy wartościami cech przy zmianie jednostek miary. Ostatnia omawiana skala ilorazowa jest zbliżona do skali przedzia-łowej z tym, że występuje na niej wartość zera bezwzględnego, czyli zero ogranicza lewo-stronnie zakres tej skali. Powoduje to, że na tej skali obok operacji dopuszczalnych na słab-szych skalach można dokonywać również operacji mnożenia i dzielenia, czyli przedstawiać dowolną wartość cechy danego obiektu jako wielokrotność wartości cechy dla innego obiektu (Panek, 2009, s. 15-16).

Przy badaniu pierwszego etapu programu antykryzysowego, którym jest projektowa-nie, wykorzystane zostaną metody porządkowania liniowego, w szczególności metoda wzorca oraz metoda oceny punktowej. Za wyborem tych metod przemawia to, że kryteria oceny for-malnej strony programu antykryzysowego mają charakter jakościowy i ilościowy oraz są bez-konfliktowe³². Ponadto wpływ na wybór tych metod ma występowanie niewielkiej liczby badanych obiektów (cztery programy z różnych wybranych państw). Zaproponowana pier-wotnie w 1968 roku przez Hellwinga metoda wzorca sprowadza się do skonstruowania

32

Oznacza to, że wybrane kryteria oceny wzajemnie się nie wykluczają oraz spełniają oczekiwania zarówno jakościowe jak i ilościowe.

tetycznego wzorca, względem którego określany będzie faktyczny stan badanego obiektu. Wykorzystywane są do tego odpowiednie miary ustalające odległość między wzorcem a ba-danym obiektem, a jednocześnie porządkujące większą grupę tych obiektów. Natomiast tech-nika oceny punktowej sprowadza się do oceny badanej jednostki statystycznej za pomocą ustalonego systemu punktacji. Najpierw przypisywane są dla cechy charakteryzującej obiekt określone liczby punktów, a następnie punkty te są sumowane. Większa liczba uzyskanych punktów świadczy z reguły o lepszej jakości badanego obiektu (A. Balicki, 2009, s. 331-332; Panek, 2009, s. 68-75).

Wielokryterialna ocena formalnej strony programu antykryzysowego jest kompilacją techniki wzorca i techniki sumy punktów. Na procedurę oceny jednego obiektu składają się następujące etapy (A. Balicki, 2009, s. 318-325; Stabryła, 2006, s. 172-180):

1) opracowanie wzorca oceny obiektu; 2) ustalenie wag kryteriów oceny;

3) obliczenie wartości ważonej wzorcowego modelu oceny obiektu; 4) przeprowadzenie oceny sprawdzającej i kwalifikacji badanego obiektu; 5) porównanie badanego obiektu ze wzorcem.

Wzorzec oceny obiektu to zestawienie kryteriów oceny, według którego określany jest rzeczywisty stan badanej jednostki statystycznej. Na tym etapie oceny wielokryterialnej ustala się rodzaj wzorca i dobiera się odpowiednie kryteria oceny, czyli zmienne diagnostyczne. Wzorce mogą być normatywne (nominanty) lub postulatywne. Nominanty tworzą jakościowe i ilościowe cechy obiektu, które traktowane są jako optymalne i obligatoryjne, a ich przekro-czenie bądź nieosiągnięcie jest mankamentem (Kolenda, 2006, s. 21).

Natomiast wzorce postulatywne można podzielić na stymulanty (pozytywne) i desty-mulanty (negatywne). Wzorce pozytywne to zmienne, których wysokie wartości są korzystne z punktu widzenia istoty analizowanego zjawiska, a wartości niskie są zwyczajnie niepożąda-ne. Obiekt posiadający wyższą wartość takiej zmiennej przeważa nad jednostką statystyczną, posiadającą niższą wartość i jest wtedy bliższy wzorcowi. Wzorce negatywne to zmienne, w których pożądane są wartości niskie, zaś wysokie są niepożądane. Bliższy wzorcowi będzie zatem obiekt, który ma najniższą wartość badanej zmiennej (Kolenda, 2006, s. 21-25).

Ważnym zadaniem w badaniach porównawczych jest dobór odpowiednich zmiennych diagnostycznych. Wiele ich cech przedstawianych jest przez literaturę przedmiotu, a ich kata-log jest ciągle otwarty i dyskusyjny. Najważniejsze cechy przyjmują najczęściej postać kryte-riów merytorycznych, które posiadają obligatoryjny charakter. Według Grabińskiego (1992, s. 43) zmienne diagnostyczne powinny przede wszystkim:

 ujmować najbardziej istotne własności analizowanych zjawisk, a pomijać marginalne;  być proste, jednoznaczne oraz ściśle zdefiniowane;

 być logicznie ze sobą powiązane;

 umożliwiać wzajemną kontrolę za pomocą znajomości związków statystycznych i me-rytorycznych między poszczególnymi zmiennymi;

 charakteryzować się zgodnością proporcji pomiędzy liczbą zmiennych reprezentują-cych dany aspekt badanych zjawisk, a ich merytorycznym znaczeniem.

Zmienne diagnostyczne powinny również spełniać kryteria formalne, jak np.: powinny być mierzalne, kompletne oraz pochodzić z wiarygodnych źródeł. Jednocześnie w przypadku zmiennych ilościowych powinny być spełniane kryteria statystyczne, jak chociażby możli-wość dyskryminacji zmiennych czy też brak wzajemnego wysokiego skorelowania (E. No-wak, 1990, s. 23-24).

Dobór zmiennych diagnostycznych może być rozpatrywany w dwojaki sposób, jako zadanie merytoryczno-formalne (pozastatystyczne) lub statystyczne. W pierwszym przypadku ustala się zmienne merytoryczne za pomocą metod doboru takich jak: metoda ekspercka, „bu-rza mózgów”, metoda delficka. Metoda ekspercka sprowadza się do pozyskania opinii i oceny ekspertów, czyli osób związanych bezpośrednio z badanym zjawiskiem. Technika „burzy mózgów” polega na swobodnej wymianie poglądów w niewielkich zespołach ludzkich, które zostały dobrane ze względu na znajomość badanego zjawiska. W metodzie tej tworzy się naj-częściej dwa zespoły, z których pierwszy odpowiada za zaproponowanie jak największej ilo-ści zmiennych diagnostycznych i tworzony jest przez ekspertów różnych specjalnoilo-ści, nieko-niecznie związanych z badanym zjawiskiem. Druga grupa natomiast zajmuje się analizą i oceną zaproponowanych zmiennych diagnostycznych oraz przedstawia ostateczną listę tych zmiennych. W związku z tym zespół drugi składa się wyłącznie z ekspertów zajmujących się badanym zjawiskiem. Metoda delficka opiera się na ankietowaniu ekspertów danej dziedziny. Eksperci formułują swoje propozycje zmiennych diagnostycznych z zachowaniem anonimo-wości, a sam proces ankietowania powtarza się wielokrotnie, ustalając stopniowo listę tych zmiennych. W efekcie na podstawie ostatniego kwestionariusza ustala się wstępną listę zmiennych diagnostycznych, która będzie akceptowana przez wszystkich ekspertów, a jedno-cześnie zawierać będzie zmienne niosące najważniejsze treści merytoryczne o badanym zja-wisku (Panek, 2009, s. 17-18).

Lista zmiennych merytoryczno-formalnych powinna zostać poddana weryfikacji for-malnej z uwzględnieniem następujących własności zmiennych (Zieliaś, 1991, s. 30-31;

Zie-liaś, 2000, s. 37): ilościowego charakteru zmiennych (możliwości wyrażania poziomu zmien-nej za pomocą liczb), dostępności danych, kompletności danych dla wszystkich obiektów oraz ekonomiczności (kosztów zebrania danych).

W przypadku doboru zmiennych podejściem statystycznym wykonuje się przetwarza-nie i analizę informacji statystycznych za pomocą odpowiednich procedur formalnych, jak np.: analiza dyskryminacji (zmienność względem badanych obiektów) i korelacji (potencjał informacyjny zmiennych). Podejście statystyczne jest tak naprawdę weryfikacją zbioru poten-cjalnych zmiennych diagnostycznych ustalonego przy wykorzystaniu kryterium merytorycz-no-formalnego (Panek, 2009, s. 18-23).

Drugim etapem wielokryterialnej analizy porównawczej jest nadanie wag ustalonym zmiennym diagnostycznym. O nadanych wskazanym kryteriom wagach powinny decydować treści merytoryczne i cel badania. Względem wag zmiennych diagnostycznych (jakościowych jak i ilościowych) wysuwa się postulaty, że powinny one (E. Nowak, 1990, s. 34) być unor-mowane i zastosowane do wszystkich cech diagnostycznych oraz przyjmować tym większe wartości w im większym stopniu dana cecha spełnia określone kryterium.

W etapie trzecim wielowymiarowej oceny ustala się wartość ważoną wzorcowego modelu oceny. Wartość tą ustala się poprzez zsumowanie wartości zważonych zmiennych diagnostycznych: gdzie: – wartość ważona wzorcowego modelu oceny ze względu na j-te kryterium oceny;

– waga j-tego kryterium oceny;

– maksymalna wartość oceny ze względu na j-te kryterium oceny; – obiekt wzorcowy;

– kryteria oceny – maksymalna wartość oceny może być wyrażona w postaci punktowej (w ustalonej skali przedziałowej) lub wskaźnikowej (ilorazu). Ocena sprawdzająca, to pomiar stopnia spełnienia określonych kryteriów przez badany obiekt. Natomiast kwalifikacja obiektu stanowi jego wartość ważoną. Można to przedstawić za pomocą następującego wzoru:

gdzie:

– wartość ważona i-tego obiektu względem j-tego kryterium oceny; – waga j-tego kryterium oceny;

– ocena sprawdzająca i-tego obiektu ze względu na j-te kryterium oceny; – obiekt oceny;

– kryteria oceny.

Ocena sprawdzająca, tak jak i maksymalna wartość sprawdzająca, może być wyrażona w postaci punktowej (ustalona skala przedziałowa) bądź wskaźnikowej (ilorazowo). Osta-teczna zagregowana wartość ważona badanego obiektu ustalana jest przez zsumowanie ważo-nych wartości:

Podobieństwo pomiędzy obiektem rzeczywistym a wzorcem można ustalić za pomocą wielu rodzajów miar, stosując przy tym odmienne dla zmiennych ilościowych i jakościowych. Dla zmiennych ilościowych zastosowanie mają tzw. miary odległości, jak np.: euklidesowa, miejska, „Canberra”. Natomiast dla zmiennych jakościowych stosuje się tzw. wskaźniki po-dobieństw obiektów, jak np.: Jaccarda, Dice’a (A. Balicki, 2009, s. 230-231; Pociecha i in., 1988, s. 71). Problem przy doborze miar badawczych pojawia się w przypadku, gdy badany obiekt jest opisany zarówno cechami jakościowymi jak i ilościowymi. Jednak można go roz-wiązać na wieloraki sposób (E. Nowak, 1990, s. 44-49):

 korzystając w badaniach tylko z jednego typu zmiennych, pomijając fakt, że cechy mają różny charakter i stosując procedury właściwe dla cech jednego typu;

 przekształcając wyniki obserwacji cech różnego typu w jeden rodzaj;  stosując specjalne miary podobieństw na skalach różnego typu.

W niniejszej rozprawie doktorskiej do obliczenia podobieństwa obiektów ze wzorcem zastosowano miarę odległości euklidesowej, z jednoczesnym sprowadzeniem wszystkich zmiennych jakościowych do postaci ilościowej i ich ocenie według jednolitej skali punktowej. Wzór miary euklidesowej dla wzorca pozytywnego jest następujący:

gdzie:

– odległość euklidesowa między wzorcem a i-tym obiektem;

– wartość ważona rzeczywistego obiektu ze względu na j-te kryterium; – wartość ważona wzorcowego obiektu ze względu na j-te kryterium.

Im wartość odległości euklidesowej jest mniejsza, tym badany obiekt jest bliższy wzorcowi. Następnie dla każdego obiektu oblicza się tzw. miarę taksonomiczną pokazującą stan jego rozwoju, według następującego wzoru:

gdzie:

– odległość euklidesowa pomiędzy wzorcem a antywzorcem (wzorcem negatywnym) ze względu na j-te kryterium;

– wartość ważona antywzorca ze względu na j-te kryterium.

Wartość miary taksonomicznej mieści się w przedziale [0, 1], przy czym dla anty-wzorca przyjmuje wartość 0, a dla anty-wzorca pozytywnego 1. Im wyższy jest poziom miary tak-sonomicznej, tym obiekt jest bliższy wzorcowi. Biorąc pod uwagę fakt, że w analizie tworzo-ny jest tylko wzorzec pozytywtworzo-ny to odległość , a zatem: