Analiza zbieżności rozmytych szeregów czasowych

Pełen tekst

(1)Zeszyty Naukowe nr 764. 2007. Uniwersytetu Ekonomicznego w Krakowie. Wit Urban Katedra Informatyki. Analiza zbie˝noÊci rozmytych szeregów czasowych Streszczenie: Artykuł przedstawia rozważania dotyczące analizy zbieżności rozmytych szeregów czasowych generowanych w oparciu o równania różnicowe. W tym celu został wypracowany odpowiedni aparat pojęciowy obejmujący określenie zbieżności takich szeregów. Skonstruowany został także skalarny wskaźnik do pomiaru jej stopnia. Opracowanie zawiera opis jego zastosowania w odniesieniu do konkretnego modelu dynamiki opartego właśnie na równaniach różnicowych w liniowej postaci. Słowa kluczowe: teoria zbiorów rozmytych, rozmyte szeregi czasowe.. 1. Wst´p Badanie dynamiki systemów społeczno-ekonomicznych rozpatrywane z punktu widzenia wykorzystania metod teorii zbiorów rozmytych stanowi poszerzenie tej problematyki o aspekty podejścia wielowymiarowego. Wielowymiarowość dotyczy jednak nie tylko uzyskiwanego obrazu analizowanych procesów, ale także samego przetwarzania danych w oparciu o określone równania dynamiki. Zastosowanie w praktyce tak zdefiniowanej koncepcji badawczej wiąże się z szeregiem problemów metodologicznych i numerycznych. Ich rozwiązanie powinno pozwolić na lepsze poznanie natury procesów różnych układów dynamicznych, nie tylko w przestrzeniach wielowymiarowych, ale także skalarnych. Tego typu wnioskowanie staje się możliwe przy przyjęciu założenia, że każda przestrzeń skalarna może być efektem wykonania określonego zabiegu wyostrzania w stosunku do pewnej przestrzeni wielowymiarowej. Tym samym każdy proces skalarny jest swego rodzaju odbiciem odpowiednika wielowymiarowego. Ponieważ jednak zjawiska świata realnego, w tym także dotyczące życia społeczno-gospodarczego, charakteryzują przede wszystkim drugie ze wskazanych procesów, zdefiniowanie przestrzeni badawczej jest w takim układzie wyborem pomiędzy opisem zjawiska a jego obrazu. W takim też kontekście należy analizować wyniki podjętych badań,.

(2) Wit Urban. 26. z których sprawozdanie stanowi niniejsze opracowanie. Ich celem było wypracowanie aparatu pojęciowego i metodologicznego odnoszącego się do problemu zbieżności procesów, modelowanych przy pomocy układu równań różnicowych w przestrzeni rzeczywistych liczb rozmytych. W zbudowanej na bazie eksperymentów symulacyjnych koncepcji analizy tak postawionego zagadnienia badawczego zdefiniowano pojęcie zbieżności rozmytych szeregów czasowych, jak też został skonstruowany skalarny miernik stopnia tej zbieżności. Te krótko scharakteryzowane zagadnienia zostały przedstawione w dalszych częściach opracowania z uwzględnieniem ogólnych uwarunkowań analizy rozważanej tematyki. 2. Uwarunkowania analizy zbie˝noÊci rozmytych szeregów czasowych Podstawowy problem związany z analizą wzajemnej zbieżności procesów w systemach społeczno-ekonomicznych, modelowanych z wykorzystaniem metod teorii zbiorów rozmytych, jest związany z wielowymiarowością zastosowanego podejścia. W przestrzeniach skalarnych tego typu zależności są rozwiązywalne względnie prosto. Wyznaczenie punktów wspólnych dla szeregów czasowych, wygenerowanych przy pomocy równań różnicowych modelu badanego systemu polega w większości przypadków na zastosowaniu określonych algorytmów numerycznych dla układu wybranych równań. W przypadku zastąpienia wielkości w takich równaniach przez rzeczywiste liczby rozmyte, oraz wykorzystaniu definicji działań arytmetyki rozmytej [Kaufmann, Gupta 1985], a także odpowiadających im algorytmów numerycznych (np. [Urban 1999]) wyłania się problem natury fundamentalnej. Jest on związany z określeniem, czym są punkty wspólne w otrzymanych w drodze eksperymentów symulacyjnych rozmytych szeregach czasowych. Rozwiązanie tego problemu wiąże się więc przede wszystkim z koniecznością wypracowania aparatu pojęciowego określającego, na czym polega wzajemna zbieżność procesów modelowanych w przestrzeni rzeczywistych liczb rozmytych. Pomocą w tym zakresie mogą służyć definicje podstawowych relacji pomiędzy rzeczywistymi wielkościami rozmytymi zaproponowane w pracy [Kaufmann, Gupta 1985]. Zwłaszcza istotne jest określenie na czym polega równość takich wartości. Definicja 1. Liczby rozmyte A i B ∈ N(R) są sobie równe wtedy i tylko wtedy gdy: ∀ A (x) = B (x) (1) x∈R. Zastosowanie powyższej definicji w odniesieniu do przedstawianej problematyki sprowadza się w praktyce do wyszukiwania elementów rozmytych szeregów.

(3) Analiza zbieżności rozmytych szeregów czasowych. 27. czasowych, wygenerowanych przy pomocy równań opisujących dynamikę różnych elementów badanego układu dynamicznego, dla których zachodzi relacja równości. Zgodnie też z takim podejściem określone wielkości można uznać za wspólne dla dwóch lub więcej szeregów, gdy znajduje zastosowanie w stosunku do nich definicja (1). Korzystając z tego założenia, można zaproponować interpretację takich wspólnych elementów dla rozmytych szeregów czasowych uznającą je za umowne wspólne punkty rozmyte. Tym samym są to także punkty zbieżności opisywanych za pomocą metod teorii zbiorów rozmytych procesów, związanych z określonym układem dynamicznym. W ten sposób postawiony problem znajduje względnie proste rozwiązanie. Ma ono jednak charakter częściowy. Wynika to m.in. z definicji relacji nierówności rzeczywistych liczb rozmytych. Jej założenia zostały oparte na wykorzystaniu przedziałów przy przyjętych poziomach dopuszczalności. Ich określenie wynika z następującej definicji. Definicja 2. [Kaufmann, Gupta 1985] Jeżeli A ∈ N(R) to poziom dopuszczalności wartości funkcji przynależności A, nazywany krótko poziomem dopuszczalności, α ∈ [0; 1] pozwala wyznaczyć przedział: Aα = [ a1(α ) ; a2(α ) ] = { x A ∈ R |. A (x) ≥. α. (2). Uwzględniając własność wypukłości liczby rozmytej A, można stwierdzić, że przedział A α jest malejącą funkcją poziomu dopuszczalności α. Wynika z tego definicja (3). Definicja 3. [Kaufmann, Gupta 1985] Jeżeli A ∈ N(R) oraz A spełnia warunek wypukłości, to dla każdych α, α’ ∈ [0; 1] takich, że α’> α jeżeli: Aα = [ a1(α ) ; a2(α ) ] = { x A ∈ R |. A (x) ≥. α}. (3). Aα ' = [ a1(α ') ; a2(α ') ] = { x A ∈ R |. A (x) ≥. α '}. (4). wówczas lub inaczej. Aα' ⊂ Aα [ a1(α ') ; a2(α ') ]. [ a1(α ) ; a2(α ) ]. (5) (6). Pozwala ona, jak też wcześniejsze stwierdzenie, przyjąć określenie rozumienia zapowiedzianego już pojęcia nierówności rzeczywistych liczb rozmytych. Definicja 4. [Kaufmann, Gupta 1985] Jeżeli liczby rozmyte A i B ∈ N(R) oraz Aα i Bα oznaczają przedziały przy poziomie dopuszczalności α dla tych liczb wyznaczone wzorami:.

(4) Wit Urban. 28. Aα = [ a1(α ) ; a2(α ) ] = { x A ∈ R |. A (x) ≥. α}. (7). Bα = [b1(α ) ; b2(α ) ] = { x B ∈ R |. B (x) ≥. α}. (8). to A ≤ B jeśli ∀ α ∈ [0; 1] a1(α ) ʺ b1(α ) i a2(α ) ʺ b2(α ). (9). Natomiast jeżeli istnieje takie α, że pomiędzy granicami przedziałów Aα i Bα nie zachodzi ten sam typ relacji lub dla różnych α zachodzą różnice w kierunku takich relacji, wówczas liczby A i B są nie porównywalne. Jak wynika z przedstawionej definicji, niezachodzenie relacji nierówności pomiędzy wartościami rozmytymi nie oznacza automatycznie, że są one równe. Można więc wskazać tym samym na istnienie całej klasy par rzeczywistych liczb rozmytych, w stosunku do których nie można stwierdzić zachodzenia żadnej z relacji porównania. Pary takie mogą również występować w szeregach czasowych wygenerowanych w eksperymentach symulacyjnych z modelami dynamiki badanych systemów społeczno-ekonomicznych. Elementy takie charakteryzuje spełnienie zaproponowanego warunku zbieżności tylko w pewnym zakresie poprzez wspólną wartość funkcji przynależności dla określonego zbioru wielkości w przestrzeni liczb rzeczywistych. Sama relacja nierówności nie wyklucza zresztą występowania tego typu sytuacji pomiędzy porównywanymi wartościami rozmytymi. Tym samym nie mogą one stanowić punktów zbieżności dla badanych w taki sposób procesów, występujących w ramach określonego układu dynamicznego. Nie można jednak o takich wartościach rozmytych mówić, że związane z nimi procesy są całkowicie dla nich rozbieżne. Fakt bowiem, że elementy dwóch takich szeregów tworzących odpowiadającą sobie parę nie są sobie co prawda równe, ale daje się dla nich wyznaczyć wartości rzeczywiste o takim samym poziomie przynależności do obu liczb nie wyklucza występowania częściowej zbieżności pomiędzy nimi. Tym samym jest to zastosowanie w odniesieniu do rozważanego problemu filozofii znajdującej się u podstaw teorii zbiorów rozmytych. W takim też ujęciu, znaczenie pojęcia zbieżności rozmytych szeregów czasowych odnosi się do takich wzajemnie sobie odpowiadających ich elementów, dla których można wskazać wspólne punkty wykresów funkcji przynależności. Dla merytorycznie poprawnej interpretacji takich punktów w kwestii przedstawionego określenia, można zastosować koncepcję opartą bezpośrednio na aparacie pojęciowym teorii zbiorów rozmytych. Polega ona na wykorzystaniu specyfiki rzeczywistych liczb rozmytych, która uwzględnia, że są one szczególnymi przypadkami zbiorów rozmytych. Wówczas zbieżność rozmytych szeregów czasowych może być uosabiana z częścią wspólną takich zbiorów. Tym samym mierzenie stopnia tak rozumianej zbieżności szeregów rozmytych należy realizować w oparciu o działania mnogo-.

(5) Analiza zbieżności rozmytych szeregów czasowych. 29. ściowe. Definicje takich działań na zbiorach rozmytych zostały zaproponowane w pracy [Zadeh 1965]. Definicja 5. Jeżeli A i B są zbiorami rozmytymi w przestrzeni X, ich suma, iloczyn i dopełnienie określone są następująco: suma A ∪ B iloczyn A ∩ B dopełnienie ~ A. A∪ B ( x ) =. max (. A ( x ),. x∈X. A∩ B ( x ) =. min ( x∈X. ~A (x) = 1 −. B ( x )). A ( x ),. A (x). (10). B ( x )). (11). ∀x ∈ X. (12). 3. Konstrukcja skalarnego wskaênika zbie˝noÊci rozmytych szeregów czasowych Jak wynika z rozważań zawartych w poprzedniej części artykułu, odpowiedni wskaźnik stopnia zbieżności pary rozmytych szeregów czasowych najłatwiej można skonstruować na bazie iloczynu mnogościowego dla odpowiadających sobie elementów obu szeregów. Należy przy tym zauważyć, że zgodnie z definicją iloczyn mnogościowy rzeczywistych liczb rozmytych należy także do tego samego zbioru co czynniki tegoż działania. Aby więc operować skalarnym wskaźnikiem stopnia zbieżności rozmytych szeregów czasowych, należy poddać iloczyn mnogościowy jako miernik o charakterze wielowymiarowym zabiegowi wyostrzania czy też inaczej skalaryzacji. Dla celów niniejszego opracowania zastosowano skalaryzację w oparciu o pole pod wykresem funkcji przynależności iloczynu. Samo jednak takie pole nie stanowi wystarczającej miary rozważanego zjawiska. Wynika to z braku porównywalności takiego wskaźnika dla różnych par procesów modelowanych przy pomocy rozmytych szeregów czasowych. Dlatego też można przypuszczać, że dużo efektywniejsza byłaby w takim przypadku relacja wskazanej wcześniej wielkości w stosunku do podobnego pola, wyznaczonego dla wykresu funkcji przynależności sumy mnogościowej, tej samej pary elementów rozmytych szeregów czasowych, dla której został obliczony uprzednio iloczyn mnogościowy. W ten sposób można uzyskać wskaźnik skalarny posiadający wspomnianą wcześniej własność porównywalności. Wynika ona z faktu, że w związku z zachodzeniem relacji równości dwóch rzeczywistych liczb rozmytych spełniony jest następujący warunek: x, y ∈ N ( R ) ∧ x = y. x∩ y = x∪ y. (13). Z punktu widzenia wymienionej wcześniej relacji warunek ten powoduje w takim przypadku, że:.

(6) Wit Urban. 30. x, y ∈ N ( R ) ∧ x = y. Px∩ y Px∪ y. =1. (14). W sytuacji natomiast gdy obie liczby nie mają części wspólnej (ich iloczyn mnogościowy jest zbiorem pustym), wartość relacji pól pod wykresem funkcji przynależności, ich iloczynu mnogościowego do sumy mnogościowej jest równa zeru: P (15) x, y ∈ N ( R ) ∧ x ∩ y = ∅ Px∩ y = 0 ∧ x∩ y = 0 Px∪ y Stan taki odpowiada ponadto brakowi pomiędzy tymi liczbami jakichkolwiek punktów wspólnych na wykresach ich funkcji przynależności, co z kolei oznacza dla odpowiadających im rozmytych szeregów czasowych brak zbieżności, a więc rozbieżność: (16) x, y ∈ N ( R ) ∧ x ∩ y = ∅ x < y ∨ y < x Z przedstawionych rozważań, wynika, że stany zbieżności pomiędzy pełną zgodnością badanych procesów a ich rozbieżnością odzwierciedlają wartości proponowanego wskaźnika z przedziału od zera od jeden. Wielkości w tym zakresie określają więc miarę stopnia zbieżności procesów rozmytych. Dzięki tak zdefiniowanej metodzie pomiaru możliwa jest jego porównywalność zarówno w ramach tej samej grupy analizowanych procesów, jak też pomiędzy różnymi układami dynamicznymi. Ponadto wskaźnik oparty na relacji pól pod wykresem funkcji przynależności iloczynu mnogościowego do sumy mnogościowej zmiennych rozmytych uwzględnia także efekt zwiększenia obu tych wielkości, towarzyszący zmianie ich argumentów, wynikającej z kolejnego przebiegu przetwarzania modelu symulacyjnego. Naturalną konsekwencją w takim przypadku jest przyrost pola pod wykresem funkcji przynależności zmiennych składających się nań równań różnicowych. Konsekwencją z kolei utrzymania tego samego stopnia zbieżności przez odpowiadające im rozmyte szeregi czasowe powinno być w takim wypadku odpowiednie zwiększenie, także pola pod wykresem funkcji przynależności iloczynu mnogościowego. Warunek pomiaru faktycznej zmiany tak rozumianego stopnia zbieżności spełnia wspomniana uprzednio relacja uwzględniająca sumę mnogościową. Takiego stwierdzenia nie można zaś odnieść bezpośrednio do iloczynu mnogościowego. Oczywistym bowiem następstwem procesu zmiany pola dla zmiennych modelu badanego układu dynamicznego i ich iloczynu mnogościowego jest także ewolucja podobnego wyostrzenia dla sumy. Prezentowana teza jest następstwem występowania specyficznego w swojej postaci zjawiska chaosu deterministycznego w odniesieniu do szeregów czasowych generowanych przy pomocy równań.

(7) Analiza zbieżności rozmytych szeregów czasowych. 31. różnicowych w przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych. Polega ono zgodnie z rozważaniami zawartymi w pracy [Urban 2001] na zbieżności do nieskończoności pola pod wykresem funkcji przynależności zmiennej równania tego typu: lim P. t →°. x (t ). =°. (17). Spełnienie tej zależności odpowiada z kolei zdążaniu funkcji przynależności zmiennej do postaci granicznej funkcji stałej. Stała wartość tej funkcji jest równa wówczas minimum po maksimach funkcji przynależności wszystkich argumentów działań arytmetyki rozmytej w kolejnych przebiegach symulacyjnych z badanym równaniem różnicowym. Z reguły przyjmuje się w charakterystykach rozmytych założenie, że dla najbardziej możliwych wielkości funkcja przynależności przyjmuje wartość jeden. Wynika z niego, że rozważana funkcja graniczna osiąga w takim przypadku jeden dla całego zbioru wartości zmiennej rozmytej: lim. x (t ) ( x x (t ) ) = 1. t →°. (18). 4. Wykorzystanie skalarnego wskaênika zbie˝noÊci rozmytych szeregów czasowych w eksperymentach symulacyjnych Przedstawione rozważania dotyczące konstrukcji skalarnego wskaźnika zbieżności rozmytych szeregów czasowych zostały zastosowane w odniesieniu do modelu układu dynamicznego zdefiniowanego wzorem (19). Model ten charakteryzują własności opisane w poprzednich częściach opracowania. xt +1 = α xt + β yt +1 = χ yt + δ xt , yt , α, β, χ, δ ∈ N ( R ) x0 = ~ 0 / 180, 9 + ~ 1 / 181,1 + ~ 0 / 182,1 y0 = ~ 0 / 1, 5 + ~ 1 / 1, 8 + ~ 0 / 2, 0 ~. ~. (19). ~. α = 0 / 0, 9 + 1 / 1, 0 + 0 / 1,1 β = ~ 0 / 1, 0 + ~ 1 / 2, 0 + ~ 0 / 3, 0 χ = ~ 0 / 1, 0 + ~ 1 / 2, 0 + ~ 0 / 3, 0 δ = ~ 0 / 0, 5 + ~ 1 / 1, 0 + ~ 0 / 1, 5. Ilustrację zmian pola pod wykresami funkcji przynależności dla zmiennych xt oraz yt przedstawiają wykresy na rys. 1 i 2..

(8) Wit Urban. 32. 5000 4500 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 1. 3. 5. 7. 9. 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39. Rys. 1. Zmiana pola pod wykresem funkcji przynależności zmiennej xt w kolejnych przebiegach symulacji z modelem (19) Źródło: opracowanie własne.. 6E+18 5E+18 4E+18 3E+18 2E+18 1E+18 0 1. 3. 5. 7. 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39. Rys. 2. Zmiana pola pod wykresem funkcji przynależności zmiennej yt w kolejnych przebiegach symulacji z modelem (19) Źródło: opracowanie własne.. Zgodnie z symulacyjną analizą zbieżności ciągu pól dla równań różnicowych, przedstawioną w pracach [Urban 2003] i [Wołoszyn, Urban 2003], w przypadku równań modelu (19) zachodzi także następująca zależność: lim. T1 , T2 <<°. t →T1. 1 1 = 0 ∧ lim =0 t →T P Px (t ) y (t ) 2. (20).

(9) Analiza zbieżności rozmytych szeregów czasowych. 33. Wynika z niej szybki przyrost pól w odniesieniu do każdej ze zmiennych, a więc także, jak można oczekiwać, odpowiednio dynamiczne tempo zmian stopnia zbieżności odpowiadających im rozmytych szeregów czasowych. Potwierdzeniem tej tezy może być wykres kształtowania się pola pod wykresem funkcji przynależności iloczynu mnogościowego zmiennych modelu (19) na rys. 3. 140 120 100 80 60 40 20 0 1. 3. 5. 7. 9. 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39. Rys. 3. Zmiana pola pod wykresem funkcji przynależności iloczynu mnogościowego zmiennych xt, yt w kolejnych przebiegach symulacji z modelem (19) Źródło: opracowanie własne.. Z jego analizy wynika, że maksimum osiąga on dla szóstego przebiegu symulacji wskazanego modelu. Oznacza to osiągnięcie największego stopnia zbieżności przez rozmyte szeregi czasowe odpowiadające jego zmiennym właśnie dla tej symulacji. Jest to jednak wniosek wynikający z przebiegu zmian pola pod wykresem funkcji przynależności iloczynu mnogościowego. Jak wykazują wcześniejsze rozważania, takie wskazania nie gwarantują odpowiedniej wiedzy na temat badanego zjawiska ani też nie są zawsze wiarygodne. Może świadczyć o tym także rozważany przypadek modelu (19). Wstępną przesłankę dla tej tezy daje wykres dynamiki pola pod wykresem funkcji przynależności sumy mnogościowej jego zmiennych. Został on przedstawiony na rys. 4. Zakres zarejestrowanego na nim tempa zmian wraz z analizą rys. 1 i 2 pozwala przypuszczać, że ta dynamika może mieć określony wpływ na faktyczną obserwację zjawiska zbieżności procesów rozmytych generowanych przy pomocy modelu (19). Wiedzy na ten temat dostarcza proponowany wskaźnik stopnia zbieżności. Jego wykres przedstawia rys. 5..

(10) Wit Urban. 34. 6E+18 5E+18 4E+18 3E+18 2E+18 1E+18 0 1. 4. 7. 10. 13. 16. 19. 22. 25. 28. 31. 34. 37. Rys. 4. Zmiana pola pod wykresem funkcji przynależności iloczynu mnogościowego zmiennych xt, yt w kolejnych przebiegach symulacji z modelem (19) Źródło: opracowanie własne.. 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 0. 5. 10. 15. 20. –0,05. Rys. 5. Zmiana stopnia zbieżności procesów rozmytych generowanych przy pomocy modelu (19), mierzonego stosunkiem pola pod wykresem funkcji przynależności iloczynu mnogościowego zmiennych xt, yt w kolejnych przebiegach symulacji do podobnego pola obliczonego dla ich sumy mnogościowej Źródło: opracowanie własne..

(11) Analiza zbieżności rozmytych szeregów czasowych. 35. 70 000 60 000 50 000 40 000 30 000 20 000 10 000 0 0. 100. 200. 300. 400. 500. –10 000. Rys. 6. Zmiana pola pod wykresem funkcji przynależności iloczynu mnogościowego zmiennych xt, yt w kolejnych czterystu pięćdziesięciu przebiegach symulacji z modelem (19) Źródło: opracowanie własne.. 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 0. 100. 200. 300. 400. 500. –0,05. Rys. 7. Zmiana stopnia zbieżności procesów rozmytych generowanych przy pomocy modelu (19), mierzonego stosunkiem pola pod wykresem funkcji przynależności iloczynu mnogościowego zmiennych xt, yt w kolejnych czterystu pięćdziesięciu przebiegach symulacji do podobnego pola obliczonego dla ich sumy mnogościowej Źródło: opracowanie własne.. Wskazuje on na piąty przebieg symulacji, w którym stopień zbieżności osiąga maksimum. Tym samym występuje różnica w stosunku do wskazania określonego przy pomocy iloczynu mnogościowego. Wynik ten jest jednak ze względu na.

(12) 36. Wit Urban. przedstawione wcześniej rozważania bardziej wiarygodny, jak też porównywalny w czasie ze względu na uwzględnienie efektu skali. Jego zalety potwierdzają też wykresy przygotowane zarówno dla niego, jak też pola pod wykresem funkcji przynależności iloczynu mnogościowego zmiennych modelu (19) przy czterystu pięćdziesięciu przebiegach symulacji. Zostały one przedstawione na rys. 6 i 7. Na skutek wspomnianego zjawiska chaosu deterministycznego w rozmytych szeregach czasowych, występującego również w odniesieniu do modelu (19) pojawia się powtórnie zbieżność dla wygenerowanych przy jego pomocy procesów. Wynika ona jednak ze znaczniej większej dynamiki pola pod wykresem funkcji przynależności zmiennej yt, w której stopniowo zawiera się druga ze zmiennych. Zbieżność taka ma realnie mniejszą dynamikę niż ta, na którą wskazuje zmiana pola pod wykresem iloczynu mnogościowego tych wielkości. Fakt ten uwzględnia proponowany wskaźnik stopnia zbieżności. Literatura Anile A.M., Deodato S.,Privitera G. [1994], Implementing Fuzzy Arithmetic, Dipartimento Di Matematica, Universit’a Degli Studi Di Catania, Italy. Chang W.K., Chów L.R., Chang S.K. [1984], Arithmetic Operations on Level Sets of Convex Fuzzy Numbers, Fuzzy Sets and Systems. Forrester J.W. [1968], Principles of Systems, Industrial Dynamics, MIT Press, Cambridge Mass. Hanczar P. [1998], Symulowane wyżarzanie – optymalizacja procesów logistycznych, Ekonometria czasu transformacji, red. A.S. Barczak, WU AE, Katowice. Homer J.B. [1969], Why we Iterate: Scientific Modeling in Theory and Practice, System Dynamics Review, vol. 12, Spring, nr 1–19. Kaufmann A., Gupta M.M. [1985], Introduction to Fuzzy Arithmetic: Theory and Applications, New York, Van Nostrand. Klir G.J., Pan Y. [1998], Constrained Fuzzy Arithmetic: Basic Questions and Some Answers, Soft Computing 2, nr 2. Munakata Y. [1994], Fuzzy Systems: An Overview Communications of the ACM, vol. 37, nr 3, March. Navara M., Zabokrtsky Z. [2000], Computational Problems of Constrained Fuzzy Arithmetic [w:] The State of the Art in Computational Intelligence, P. Sinc’ak, J. Vasc’ak, V. Kvasnicka and R. Mesiar (eds.), Physica-Verlag, Heidelberg–New York. Resnick R., Halliday D. [1973], Fizyka, PWN, Warszawa. Schuster H.G. [1995], Chaos deterministyczny. Wprowadzenie, PWN, Warszawa. Song Q., Leland R.P., Chissom B.S. [1995], A New Fuzzy Time-series Model of Fuzzy Number Observations, Fuzzy Sets and Systems, vol. 73, August. Turksen L.B. [1988], Stochastic Fuzzy Sets, A. Survey Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems Series, vol. 310, Springer. Urban W. [1999], Podstawy rozmytej dynamiki systemowej, Zeszyty Naukowe AE w Krakowie, Kraków..

(13) Analiza zbieżności rozmytych szeregów czasowych. 37. Urban W. [2002], Wprowadzenie do skalarnej analizy chaosu deterministycznego w przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych, Zeszyty Naukowe AE w Krakowie, Kraków, nr 604. Urban W. [2004], Wykorzystanie teorii grawitacji w analizie funkcjonowania systemów społeczno-ekonomicznych, Zeszyty Naukowe AE w Krakowie, Kraków, nr 641. Urban W. [2003], Wybrane wskaźniki skalarnej analizy rozmytych szeregów czasowych, Zeszyty Naukowe AE w Krakowie, Kraków. Wołoszyn J., Urban W. [2001], Koncepcja filtru aproksymująco-przeskalowującego w działaniach arytmetyki rozmytej, Wydawnictwo AE w Krakowie, Kraków. Wołoszyn J., Urban W. [2002], Symulacyjna aproksymacja uwarunkowań numerycznych wykorzystania ogólnej teorii grawitacji do opisu relacji społeczno-ekonomicznych, Zeszyty Naukowe AE w Krakowie, Kraków. Wołoszyn J., Urban W. [2006], Symulacyjna analiza zbieżności szeregów czasowych skalarnych wskaźników dla rzeczywistych liczb rozmytych, Zeszyty Naukowe AE w Krakowie, Kraków, nr 724. Wołoszyn J. [1990], Grafy rozmyte i możliwości ich wykorzystania w ekonomii, Zeszyty Naukowe AE, Seria Specjalna: Monografie, nr 90, Kraków. Wołoszyn J. [2000], Elementy teorii chaosu deterministycznego w badaniach systemów ekonomicznych, Zeszyty Naukowe AE w Krakowie, nr 551, Kraków. Zadeh L.A. [1996], Fuzzy Logic, Computing with Words, IEEE Transactions on Fuzzy Systems, vol. 4, May. Zadeh L.A. [1965], Fuzzy Sets, „Information and Control”, nr 8. Analysis of Fuzzy Time Series Convergence The article considers the aspects of convergence analysis of fuzzy time series that are generated by discrete differential equations. For this purpose, a sufficient meaning scheme that comprises a definition of convergence of such time series has been elaborated. The scalar indicator for convergence rate measurement has also been created. The study includes description of its applications in relation to the real dynamics model that is based on discrete differential equations in linear form. Key words: fuzzy sets theory, fuzzy time series..

(14)