W5. Dynamika układu punktów materialnych Plik

(1)

(2)

2. Dynamika układu punktów materialnych

Aby zbiór punktów materialnych tworzył układ materialny, należy ruch każdego punktu uzależnić od ruchu pozostałych punktów. Rozróżnia się układy swobodne i nieswobodne.

Układ, którego punkty nie mogą zajmować dowolnych położeń i mieć dowolnych prędkości niezależnie od działających sił, nazywamy układem nieswobodnym.

(3)

Badając ruch układu materialnego opieramy się na prawach Newtona, które należy zastosować do każdego punktu układu.

Siły działające na punkty układu materialnego możemy podzielić na siły

wewnętrzne i siły zewnętrzne.

 

W

_i

Siły wewnętrzne to siły

pochodzące od wzajemnego

oddziaływania punktów materialnych wchodzących w skład układu.

(m₁…m_n) – zbiór punktów materialnych, zwany układem punktów materialnych y z a_i _ m_i x_i y_i 0 z_i m₁ m_n P_i W_i Rys.2.1 x

 

P

_i

Siły zewnętrzne to wszystkie inne siły działające na dany punkt.

(4)

Równanie wektorowe opisujące ruch i - tego punktu materialnego w układzie punktów materialnych, przy uwzględnieniu prawa Newtona można zapisać: y z a_i _ m_i x_i y_i 0 z_i m₁ m_n P_i W_i Rys.2.1 x

m a

_i

 

_i

P W

_i



_i (2.1)

Jeżeli (2.1) zrzutujemy na osie układu odniesienia xyz (rys. 2.1) to otrzymamy:





























iz iz i i iy iy i i ix ix i i

W

P

z

m

W

P

y

m

W

P

x

m



(2.2) (2.2) są to różniczkowe równania ruchu i - tego punktu materialnego.

(5)

Z powyższych rozważań wynika, że opisywanie ruchu każdego punktu przy pomocy różniczkowych równań ruchu prowadzi do bardzo dużej ilości równań.

Aby opisać w możliwie najprostszy sposób ruch układu punktów materialnych, wprowadzimy pewne pojęcia.

(6)

Środek masy układu

Rozważamy układ złożony z n - punktów materialnych.

y z r_i _ m_i x_i y_i z_i 0 x x_s y_s z_s S r_s m m₁ Rys. 2.2

Położenie punktu i o masie m_i

określa wektor r_i (rys. 2.2).

Punkt S, w którym umieszczamy całkowitą masę układu, a którego

położenie opisuje równanie

wektorowe:











n i i i S

m

r

m

1 (2.3)

nazywamy środkiem masy układu.

m

_i i n









1

(7)

Współrzędne środka masy określimy z równań wynikających z rzutu równania (2.3) na osie xyz układu odniesienia.



























   n i i i S n i i i S n i i i S

z

m

z

m

y

m

y

m

x

m

x

m

1 1 1 (2.4)

W warunkach ziemskich środek masy to ten sam punkt co środek ciężkości

(8)

Wektor pędu środka masy

Rozważmy układ punktów materialnych, którego środek masy znamy.

Równanie (2.3) tego układu

różniczkujemy względem czasu:











n i i i S

m

r

m

1



S S

v

r





i i

v

r





W równaniu tym

m v

_S

m v

_i _i i n











1 (2.5) czyli

(9)

gdzie:

m v



_S



wektor pędu środka masy,

m v

_i _i i n

 





1

wektor pędu układu punktów materialnych.

Z (2.5) wynika, że wektor pędu układu punktów materialnych równy jest wektorowi pędu środka masy. Równanie (2.5) rzutujemy na osie xyz układu odniesienia i dostajemy:



























   n i i i S n i i i S n i i i S

z

m

z

m

y

m

y

m

x

m

x

m

1 1 1



(2.6)

(10)

(2.6) to rzuty wektora pędu środka masy na poszczególne osie układu odniesienia. Wektor pędu można zapisać:

x y z L 0 Rys.2.4 Q_S Q_SX Q_SY Q_SZ

k

Q

j

Q

i

Q

v

m

Q

_S





_S



_Sx





_Sy





_Sz



(2.7)

(11)

Wartość wektora pędu środka masy wyznaczymy z wzoru:

 

2

 

2

 

2 Sz Sy Sx S

Q





(2.8) gdzie:





































   n i i i S Sz n i i i S Sy n i i i S Sx

z

m

z

m

Q

y

m

y

m

Q

x

m

x

m

Q

1 1 1



(2.9)

1 kg

m

s











W układzie SI jednostką pędu jest

(12)

Równanie ruchu środka masy

Zróżniczkujmy równanie (2.5) względem czasu. Otrzymujemy:

i n i i S

m

v

m













1 W równaniu tym









i i S S

a

v

a

v



co pozwala nam zapisać powyższe równanie w postaci:











n i i i S

m

a

m

1 (2.10)

ponieważ równanie (2.1) mówi

m a

_i

 

_i

P W

_i



_i , to po wstawieniu do (2.10) dostaniemy:

m a

_S

m a

_i _i

P

W

i n i i n i i n





 



  



1 1 1

(13)

W

_i i n 



1

Wektor , jest sumą sił wewnętrznych układu (wzajemnego

oddziaływania punktów materialnych), która wynosi zero. Równanie powyższe będzie miało postać:

m a

_S

m a

_i _i

P

i n i i n









 



1 1 (2.11)

Równanie (2.11) to równanie wektorowe opisujące zjawisko ruchu

środka masy układu.

Wynika z niego, że ruch środka masy całego układu powodować mogą

tylko siły zewnętrzne układu.

Siły wewnętrzne mogą zmienić ruch środka masy tylko części układu, ale nie całości.

(14)

Rzutując (2.11) na osie układu odniesienia, mamy:





































      n i iz n i i i S n i iy n i i i S n i ix n i i i S

P

z

m

z

m

P

y

m

y

m

P

x

m

x

m

1 1 1 1 1 1



(2.12)