A C T A U N I V E R S I T A T I S L O D Z I E N S I S FO LIA O EC O N O M IC A 193, 2005
W ł a d y s ł a w M i l o * , M a c ie j M a l a c z e w s k i **
C Z Y D Y N A M IK Ę IS - L M - P C P O T W IE R D Z A JĄ K W A R T A L N E D A N E O P O L S K IE J G O S P O D A R C E ?***
Streszczenie. Prezentowany artykuł m a na celu zadem onstrowanie przykładu rachunków stabilności modeli ekonomicznych. Rozważane jest, czy model D ornbuscha i Fischera k ró tk o okresowych efektów szoków popytowych i dostosow ania stopy N A IR U może mieć empiryczne zastosowanie w gospodarce Polski.
Słowa kluczowe: model D ornbuscha i Fischera, stabilność.
1. W STĘP
O tym , iż układy ekonom iczne m o żn a trak to w a ć ja k o układ ciał znaj dujących się w ruchu, pisało już wielu autorów (np.: Z aw ad zki 1996; M ilo 1995; M ilo i Z glińska-P ietrzak 1997; P anek 2000). Założenie, iż poszczególne zm ienne ekonom iczne są ciągłym i i różniczkow alnym i funkcjam i czasu, um ożliw ia opis ruchu tych układów za p o m ocą ró w n ań różniczkow ych zw yczajnych (por. np.: Pelczar i Szarski 1987; Pelczar 1989). K onieczność ta je d n a k często jest ignorow ana ze względu n a stopień tru d n o ści takich rów nań. N iezbędne jest posiadanie odpow iednich narzędzi (często koszto w nych) do ich rozw iązyw ania o raz wiedzy, sięgającej w ielokrotnie d o studiów m atem aty k i teoretycznej. T rudności te pow odują, iż m od elo w an ie tego typu często jest odrzucane n a rzecz m etod prostszych. B rak ujęcia ruchu w m odelu u k ład u przeszkodzić m oże w osiągnięciu celów, którym m odel m a służyć - od prognostycznych począwszy n a sym ulacyjnych skończywszy.
Niniejszy artykuł m a na celu zadem onstrow anie przykładu rozw ażań, które, korzystając z teorii układów dynamicznych, dają podstaw ę d o dalszych em piry cznych b ad a ń rynkow ych gospodarek św iata. W części drugiej do k o n am y prezentacji potrzebnych definicji dotyczących tzw. jakościow ej teorii rów nań
* Prof. zw. d r hab., K atedra Ekonom etrii Uniwersytetu Łódzkiego. ** M gr, asystent w K atedrze Ekonom etrii Uniwersytetu Łódzkiego.
*** Zawarte w tytule artykułu skróty pochodzą od pierwszych liter następujących angielskich terminów: Investm ent Saving (IS), Liquidity M oney (LM), Phillips Curve (PC).
różniczkow ych zw yczajnych i zadem onstrujem y jed n o tw ierdzenie niezbędne w dalszych rozw ażaniach. Ze względu n a rozm iar o p raco w an ia, podam y go bez dow odu. W części trzeciej skupim y uwagę n a szczegółowym opisie m odelu, k tó ry stanow ić będzie podstaw ę d o naszych em pirycznych rozw ażań, prze p ro w adzony ch w części czwartej i piątej arty ku łu . Przedm iotem oceny jest, czy m odelow e streszczenie R. D o rn b u sc h a i S. F isc h era k ró tk oo kresow ych efektów szoków popytow ych i sekwencyjne d o sto so w an ia stopy N A IR U em pirycznie zachow ują swe walory po „przepuszczeniu” ich poprzez rachunki stabilnościow e dynam iki.
2. PO D STA W O W E D EFIN IC JE
P rzedstaw im y definicje niezbędne w dalszej części rozw ażań. Zaczniem y od definicji u k ład u dynam icznego.
Definicja 1 (Pelczar 1989). N iech X będzie niepustym zbiorem , zwanym dalej przestrzenią, a (G, + ) pó łgrupą abelo w ą1 z elem entem neutralnym (który oznaczym y przez 0) i niech / będzie odw zorow aniem postaci:
f : G x X ^ X .
M ów im y, że tró jk a (X , G, f ) jest sem iukładem pseudodynam icznym (zwanym dalej d la uproszczenia układem dynam icznym lub po pro stu układem ), jeśli spełnione są w arunki:
/ (0, x) = x d la x e X ,
f ( t , f ( s , x ) ) = / (£ + s, x ) dla x e X t , s e G .
E kono m iczn a in terp retacja powyższych w aru n k ó w jest pro sta: X jest przestrzenią wszystkich możliwych stanów danego po dm iotu (gospodarczego), G jest zbiorem indeksów (np. czasu), a przekształcenie / - praw em kierującym ruchem danego ciała. W łaśnie to przekształcenie jest głów nym celem p o szukiw ań w b a d a n ia c h ekonom etrycznych - m oże być o n o zależne od położenia innych p o dm iotów gospodarczych b ądź też w aru n k ó w otoczenia, w k tó ry m działa p o d m io t naszych obserwacji. P rzestrzeń stanó w reprezentuje w ektory w artości, określających jednoznacznie położenie obiektu. Zdefiniujm y traje k to rię p o d m io tu w przestrzeni.
1 P ółgrupą abelow ą nazywamy uporządkow aną parę (X ,*), gdzie X jest dowolnym zbiorem , a * działaniem , posiadającym w zbiorze X własności działania wewnętrznego, łącznego i przemiennego, por. np. Białynicki-Birula (1970).
Definicja 2 (Pelczar 1989). N iech (X , G, f ) będzie układem dynam icznym i niech x będzie ustalonym punktem przestrzeni X . Z biór:
/ ( * ) = i f ( t , x ) : t e G }
nazyw am y trajektorią punktu x.
J a k w idać z definicji, tra je k to ria je st to zb ió r w szystkich położeń, w których znalazło się ciało w trakcie całej swojej „po dróży ” po przestrzeni X . Z p u n k tu w idzenia ekonom icznego rozpatrujem y traje k to rię jedynie na po d staw ie obserw acji przeszłości. E k stra p o la c ja tra je k to rii w przyszłość stanow i główny o biekt b ad ań dyscyplin prognostycznych.
P rognozow anie nie leży jed n ak w centrum zaintereso w an ia niniejszego tekstu, jest nim n ato m iast obserw acja stabilności ruchu pew nego zbioru przestrzeni X . S tabilność tę charakteryzuje następ u jąca definicja.
Definicja 3 (P elczar 1989). Niech M będzie ustalo n y m p od zbiorem przestrzeni X . Z b ió r M nazyw am y stabilnym , jeżeli:
VxeMVI>03,>0 p ( x , y ) < 6 = > p ( f ( t , y ) , M ) < £ ,
gdzie p jest m etry k ą przestrzeni X . Odległość pom iędzy zbioram i definiujem y ja k o kres dolny odległości wszystkich elem entów tych zbiorów od siebie
(K uratow ski 1965).
O znacza to , że pewien „w ycinek” tej przestrzeni, czyli pew ną sum ę przeliczalnej bądź nie ilości w ektorów stanu, traktujem y ja k o stabilny wtedy i ty lk o w tedy, gdy znalezienie się p o d m io tu w k tó ry m k o lw iek z jego pun k tó w zagw arantuje nam , iż jego traje k to ria od tej chwili nie będzie o d d alo n a (w sensie m etrycznym ) o więcej niż pew na u stalo n a wielkość od tego wycinka.
P o ra zatem na w prow adzenie pojęcia zbioru przyciągającego do siebie trajek to rie p odm iotów w przestrzeni X , a więc pojęcia atraktora.
Definicja 4 (M ilo 1995; M ilo i Z glińska-P ietrzak 1997). N iech zbiór M będzie ustalonym podzbiorem przestrzeni X , a x ustalonym p u n ktem tej przestrzeni. M ów im y, że zbiór M jest atraktorem, jeżeli:
38>o VXexP (x, M ) < £ = > lim ,^ 00p ( / '( i , x ) , M ) = 0.
P odam y teraz tw ierdzenie, k tóre przydatne będzie w b ad a n iu stabilności p u n k tu będącego a tra k to re m u kładu dynam icznego. Z e względu n a objętość i cel niniejszego tek stu , przyjm ujem y go bez do w o du .
Twierdzenie 1 (T u 1994; M ilo i Z glińska-P ietrzak 1997). N iech układ ró w n a ń będzie postaci:
dt ( ) ’
gdzie i należy d o G, a f jest w ektorem funkcji (różniczkow alnych względem t) opisujących położenie ciała w przestrzeni. P unkt x = f ( i 0) , będący atrakto rem , jest stabilny, jeżeli wszystkie w artości własne m acierzy A m a ją ujem ne części rzeczywiste, a wszystkie jego w artości własne czysto u rojon e są w artościam i własnym i jed n o k ro tn y m i. Jeżeli choć je d n a w artość w łasna nie spełnia tego w arunku, to p u n k t graniczny nie jest atrak to rem tylko niestabilnym punktem rów now agi.
O znacza to, że sprow adzenie układ u d o powyższej p ostaci i policzenie wartości własnych m acierzy A daje nam pełną inform ację n a tem at charakteru p u n k tu (i tylko jego!), d o którego asym ptotycznie zm ierza uk ład .
3. M O D E L W ZRO STU G O SPO D A RC ZEG O
U kład dynam iczny, czyli u kład będący w ruchu, m odeluje się praw ie w yłącznie za p o m o cą ró w n ań różniczkow ych bądź różnicow ych. Ze względu je d n a k na problem y, jak ie spotykają praktyków , konieczne jest stosow anie w ystarczająco efektyw nego narzęd zia d o ich ro zw iązyw an ia. W dalszej części korzystam y z obliczeń do k o n an y ch za p o m o cą pak ietu Mapie 8™.
R ozpatrzm y następującej postaci m odel (C hiarella 2000) interakcji efektów keynesow sko-m undelhow skich, zwięźle zebranych przez D o m b u sch a i Fischera (1996):
d
j y ( t ) = a i ( ß ~ p ( 0 ) + cc0t ,
gdzie:
y (ť) - p ro d u k c ja krajo w a brutto; p(t) - w skaźnik inflacji;
p,(t) - funkcja oczekiwanej inflacji (zgodna z teorią raq'onalnych oczekiwań ludności dotyczących inflacji);
H - sto p a w zrostu podaży pieniądza, stala w czasie;
t - stała sto p a w zrostu in stru m entu polityki fiskalnej (np. stopy p o d a t kowej);
Y ^ - w ielkość produkcji w stanie rów now agi; a,,, a,, ßp, ß w - p aram etry układu rów nań.
U kład trzech ró w n ań (1) m ożna, po zróżniczkow aniu względem czasu drugiego rów n ania, w staw ieniu d oń trzeciego i pierw szego w m iejsce o d pow iednich po chodnych po czasie o raz zastąpieniu różnicy inflacji i inflacji oczekiw anej poprzez analogiczną różnicę w yliczoną z drugiego rów nania, sprow adzić do układu dw óch rów nań postaci:
d
j t y ( 0 = ® i 0 * - p ( 0 ) + <V,
i (2)
J t P(t) = ß „ * i ( M - p ( t ) ) + ß pß w( y ( t) - Y Kl) + ß wu0T,
w którym to układzie oznaczenia pozostają bez zm ian. K onieczne jest teraz rozw iązanie układu (2) ze względu na dwie zm ienne, jak im i są funkcje p rodukcji i cen. R ozw iązanie jest następującej postaci:
gdzie C, i C 2 są dow olnym i stałym i rzeczywistymi. Stałe te są funkcjam i w aru n k ó w początkow ych układu (2).
Z auw ażm y, iż istnienie granicy tych funkcji w nieskończoności (a więc też istnienie a tra k to ra , czy to pun ktow ego czy też będ ącego zbiorem ) uzależnione jest od w artości w yrażeń postaci:
Jeżeli w yrażenia te są skończonym i, rzeczywistym i liczbam i ujem nym i, to poprzez policzenie granicy powyższych funkcji przy t-> c c , odnajdujem y pu n k t, d o k tó reg o układ asym ptotycznie dąży:
Zauw ażm y też, że przy stałości polityki fiskalnej p ań stw a (tzn. przy zerowej stopie zm ian jego instrum entu) p ( t ) dąży d o /л. Z auw ażm y również, iż p u n k t ten je st niezależny od w yboru p u n k tu startow eg o (w arunków początkow ych układu).
D o k o n ajm y podstaw ienia następującej postaci:
co spow oduje przesunięcie a tra k to ra do p o czątku u k ład u. W ów czas nasz układ red u k u je się do postaci:
З А Л П - j y J ß W l - 4 ß ,ß w * l, 2 # » а 1 - j y j ß l * * - * ß , ß * * i ■ / ч a0r Patr ( 0 — / Н ---ifr\ 4 — И i > a i Уalr ( 0 Yeq. 9\ ( t ) — У 02 (0 = P (£) — a, gdzie:
f (0 : = '
0,(01
r j ( 0 J ‘N a m ocy tw ierdzenia 1 m acierz tak ieg o u k ład u je st stab iln a, gdy w szystkie jej w artości w łasne m ają ujem ne części rzeczyw iste. W e k to r w artości w łasnych m acierzy A w ygląda następująco:
1 1
- 2 Pw*i + 2 y / ß l * i - 4 ß , ß w“ i
1 1
- 2 ^ « > ~ 2 >IßZ<*2i- 4 ß , ß w * i
P odobieństw o pom iędzy wartościam i własnymi m acierzy A a wyrażeniam i, od któ ry ch zależy istnienie a tra k to ra naszego m o delu, daje nam szansę uzyskać jednocześnie odpow iedź na dw a postaw io ne uprzed nio pytania. M ożem y w tym m om encie rozpatrzyć trzy przypadki:
a) w yrażenia powyższe m ają w artości d o d atn ie - wówczas b rak a tra k to ra układu elim inuje konieczność rozw ażania jego stabilności;
b) w yrażenia te przyjm ują w artości ujem ne - wówczas nie tylko istnieje a tra k to r, lecz jest też punktem stabilnym ;
c) wartości wyrażeń powyższych są liczbami zespolonym i (Białynicki-Birula 1970), gdy wyrażenie pod pierw iastkiem jest ujem ne. W ów czas niemożliwym staje się policzenie granicy całek (por. Pelczar i Szarski 1987) naszego uk ład u w nieskończoności.
Zauw ażm y, iż sytuacja m ieszana, gdy jed n o z w yrażeń jest d o datn ie, a d ru g ie ujem ne, zw alnia nas od ro z p a try w a n ia p rz y p a d k u . W ów czas granica całek układu (2) jest niewłaściwa.
4. W ERYFIKACJA EM PIRY CZN A STABILN OŚCI M O D E L U
S tosu jąc pow yższe w nioski, aby d o k o n a ć analizy stab iln o ści ruchu g o spodarki Polski, konieczna jest znajom ość w ektora p aram etró w naszego m odelu. N iestety - p aram etry te są nieznane i nieobserw ow alne. K orzy stać m usim y z pew nych oszacow anych przybliżeń, co zresztą pow oduje, iż nasze w nioskow anie jest obarczone błędem estymacji.
C hcąc oszacow ać p aram etry a0, a „ ßp, ß w, do kon aliśm y udyskretnienia czasu oraz, w ykorzystując klasyczną m etodę najm niejszych k w a d rató w (np.: G o ld b e rg e r 1972; M ilo 1995; L in n ik 1962), o sza co w aliśm y p a ra m e try
ró w nań m odelu postaci (2) na próbie zaw ierającej 24 obserw acje kw artalne (od pierw szego k w artału 1997 r. do czw artego k w artału 2002 r.)2. W yniki zaw iera tabela 1.
T abela 1. Oszacowania param etrów
Param etr Oszacowanie Odchylenie standardowe Oszacowanie ± 2 odchylenia standardow e “ l 290356,0418 192317,7159 - 94279,4 674991,5 «0 9192,987458 9641,236887 - 10089,48632 28475,46123 ß „ ß . -0,00000108438 0,0000000588891 -0,000001202161 - 0,000000966604 /1 - * , - 1,305818746 0,081350024 - 1,468518795 - 1,143118698 ßw ' “О 0,000755888 0,004054409 - 0,0073529 0,0088647
Źródło: obliczenia własne za pom ocą programu E-views©.
Z auw ażm y, że oszacow ania zaw arte w tabeli 1 są sprzeczne - d o d atn i znak p aram etru a, im plikuje ujemny znak p a ra m e tru ß K, któ ry je d n a k nie m oże być m niejszy od zera ze względu na d o d a tn io ść p a ra m e tru a0. O dłożenie jed n ak że dw óch odchyleń stand ardow ych d la każd ego p aram etru rozw iązuje spraw ę (zm ienna zw iązana z tym param etrem podczas oszacow ań o k a z a ła się n ie isto tn a statystycznie w o b jaśn ian iu zjaw iska) - w tym przedziale zaw ierają się także ujemne realizacje a0, co gw aran tow ało by niesprzeczność układu. Ze względu na teorię ekonom ii o raz niezaprzeczalną sprzeczność u k ład u przy a0 d o d a tn im , d o k o n u jem y obcięcia przedziału zm ienności tego p aram etru do liczb rzeczywistych ujem nych, a a, - do zbioru liczb rzeczywistych d odatnich. Z a oszacow anie p a ra m e tru przyjm iem y środek now ego przedziału. N ow e przedziały zm ienności zaw iera tab ela 2.
Tabela 2. Przedziały zmienności param etrów
Param etr Oszacowanie Przedział zmienności
*i 337495,7368 0 674991,4737
“o -5044,743158 - 10089,48632 0
ßf ' ß» -0,00000108438 -0,000001202161 - 0,000000966604
A .-“ i - 1,305818746 -1,468518795 - 1,143118698
A .- “o 0,004432353 0 0,0088647
Źródło: obliczenia własne.
Z auw ażm y, iż d o rozw ażań dotyczących w artości w łasnych m acierzy A, a więc p ośrednio też istnienia a tra k to ra naszego u kładu , nie je st konieczna wiedza o wartościach poszczególnych param etrów , w szczególności param etrów ß w i ßp. W zupełności w ystarczą nam oszacow ania w yrażeń zam ieszczone w tabeli 2.
D o k o n ajm y obliczeń w artości własnych m acierzy A :
— 2 ^ a i + X2 \lß W \ ~ 4 ß PßK<*i = 1,543001658,
Т - ' Ч / и , = -0 ,2 3 7 1 8 2 9 1 2 0 .
D o d a tn i znak pierw szego w yrażenia (połączony n a d o d a te k z wielkością spoza k o ła jedno stkow ego) jednoznacznie daje inform acje o nieistnieniu a tra k to ra naszego układu. K orzystaliśm y jed n ak z oszacow ań pu nktow ych naszych param etró w i wyrażeń z nimi zw iązanym i. S próbujm y zaobserw ow ać zm ianę w artości własnej na przekroju przedziałów zm ienności w yrażeń ß p ■ ß w i ß w-(xl. W ykres trójw ym iarow y wygląda ja k na rysun ku 1.
Rys. 1. Pierwsza wartość własna w zależności od param etrów Źródło: opracowanie własne
J a k w idać, w przedziale zm ienności tych w yrażeń nie jesteśm y w stanie znaleźć m iejsca, w którym w artość w łasna wl byłaby ujem na. P od ob ne wyniki otrzym ujem y, gdy uzm ienniam y inny zestaw dw óch param etrów . U zyskanie ujem nej w artości jest niem ożliw e w o k re ślo n y ch przez nas przedziałach zm ienności dla param etrów . W niosek stąd jest ty lk o jeden:
układ postaci (2), przy oszacow aniach param etró w zaw artych w tabeli 2, nic po siad a p u n k tu atrakcyjnego.
Przyjrzyjm y się w ykresom fazowym rów nań różniczkow ych, składających się na m odel (2). Ja k o w artości początkow e dla PK B z a d a n a została jego w artość z pierw szego kw artału 1997 r. (rysunek 1), a dla w skaźnika CP1 - je d y n k a (rysunek 2).
t
Rys. 2. Wykres fazowy funkcji produktu krajowego brutto Źródło: opracowanie własne
Z g o d n ie z w ykresam i funkcji, będących ro zw iązan iam i uk ład u (2), m od elow a w artość funkcji p ro d u k tu krajow ego b ru tto najpierw powoli będzie ro sła przez pew ien okres, po czym funkcja ta, nie tracąc swojej wklęsłości zacznie dram atycznie m aleć (rysunek 1). P oziom w skaźnika CPI n ato m iast rośnie nieprzerw anie, z tym że w pierw szym okresie pow oli, po czym n astąp i gw ałtow ne wybicie w górę (rysunek 2). Interesu jące jest, że p u n k t, w k tó ry m styczna d o wykresu tw orzyła z osią odciętych k ą t w pier wszym p rz y p ad k u 135 stopni, a w drugim - 45 stopni, w ystępuje mniej więcej w tym sam ym m iejscu na obu w ykresach. O znacza to, że kryzys gospodarczy, objaw iający się drastycznym spadkiem PK B i w zrostem cen dla obu tych zjawisk nastąpi niem al równocześnie.
t
Rys. 3. Wykres fazowy funkcji wskaźnika CPI Źródło: opracowanie własne
5. W N IOSKI I PO D SU M O W A N IE
N ieposiadanie a tra k to ra przez empiryczny odpow iednik (dotyczący polskiej gospo d ark i) układu ekonom icznego typu (2) oznacza, iż w pew nym sensie układ ten zm ierza do nikąd. Brak jest bowiem p u n k tu , k tó ry przyciągałby go w sposób jednoznaczny. K onsekw encją tego jest sw oista niestabilność i b rak w iarygodnych m ożliwości do oszacow ania jego granicy. Nie oznacza to je d n a k wcale, iż układ zm ierza d o k atastro fy , w yw nioskow ać bowiem m ożna, iż nie istnieje granica w zrostu w artości ujętych w m odelu: p ro d u k tu krajow ego b ru tto o ra z poziom u cen. Świadczy to o m ożliw ościach stojących przed p o lsk ą g o sp o d a rk ą , jed n ak ż e jej d o m n iem an a n iestab iln o ść każe zachow yw ać się ostrożnie i postępow ać ze szczególną uwagą. N iestabilność bowiem oznacza też d u żą wrażliwość uk ład u n a otaczające go w aru nk i, co w przełożeniu n a język m atem atyki oznacza w rażliw ość n a za d ane w arunki początkow e (Pelczar 1989).
M ożliw e (i w skazane) byłoby rozw ażanie zm odyfikow anych wersji u k ła du (1) lub (2), ja k też i bardziej złożonych układów , składających się z kilku bądź naw et kilkunastu rów n ań różniczkow ych. B adanie jego s ta bilności oraz wyliczenia zbiorów atrakcyjnych daw ałyby niew ątpliw ie szersze pole d o popisu dla specjalistów od ekonom ii m atem atycznej niż opisany
w niniejszym artykule m odel dw urów naniow y. E m piryczno-obliczeniow a wersja wyjściowej s tru k tu ry liczbowej tego m odelu zo stała w yb rana na podstaw ie przyjętych założeń. Ich zm iana (szczególnie d o ty cząca ró w n o w agow ych w artości param etró w ) m oże zm ienić nasz osąd o konsekw encjach ekonom icznych tego m odelu.
LITERATURA
Białynicki-Birula A. (1970), Algebra, PWN, Warszawa.
Chiarella C. i in. (2000), Disequilibrium, Growth and Labor M arket Dynamics, Springer-Verlag, Berlin.
D ornbusch R., Fischer S. (1996), Macroeconomics, M cG raw Hill, New York. G oldberger A. S. (1972), Teoria ekonometrii, Warszawa, PWE.
K uratow ski K. (1965), Wstęp do teorii mnogości i topologii, PW N, W arszawa.
Linnik J. (1962), Metoda najmniejszych kwadratów i teoria opracowywania obserwacji, PWN, Warszawa.
M ilo W. (1995), Stabilność i wrażliwość m etod ekonometrycznych, W ydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź.
M ilo W., Zglińska-Pietrzak A. (1997), Stabilność, atraktory stabilności i chaosu, opracowanie w K BN , nr 1 H02B 01 31 1.
Panek E. (2000), Ekonomia matematyczna, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej, Poznań. Pelczar A., Szarski J. (1987), Wstęp do teorii równań różniczkowych, Część I: Wstęp do teorii
równań zwyczajnych i równań cząstkowych pierwszego rzędu, PW N, W arszawa.
Pelczar A. (1989), Wstęp do teorii równań różniczkowych, Część II: Elementy jakościowej teorii równań różniczkowych, PW N, Warszawa.
Tu P.N.V. (1994), Dynamical Systems, Springer-Verlag, Berlin.
Zawadzki H. (1996), Chaotyczne system y dynamiczne - elementy teorii i wybrane przykłady ekonomiczne, „Prace Naukowe Akademii Ekonomicznej im. K arola Adamieckiego”, Katowice.
Władysław Milo, Maciej Malaczewski
IS T H E DYNAM ICS O F IS - LM - PC CO N FIR M ED BY T H E Q U A RTERLY DATA OF TH E P O L IS H ECONOM Y?
Sum mary
The paper contains an example o f stability analysis o f an economic model. We consider if the D ornbusch and Fischer model o f short-term demand shocks and N A1RU adjustm ent may be a useful tool in modeling the Polish economy.
