Index of /rozprawy2/10640

Pełen tekst

(1)Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisªawa Staszica Wydziaª Matematyki Stosowanej Katedra Analizy Matematycznej, Matematyki Obliczeniowej i Metod Probabilistycznych. Rozprawa doktorska. Estymatory falkowe w problemach odwrotnych dla procesów Poissona Bogdan miel. Promotor: dr hab. Zbigniew Szkutnik. Kraków 2013.

(2) Spis tre±ci. Podzi¦kowania . . . . . . . . . . . . Streszczenie . . . . . . . . . . . . . . Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . Wst¦p . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rozdziaª 1. Podstawowe poj¦cia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. 1.1. Procesy punktowe i proces Poissona. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. 1.2. Problemy odwrotne dla procesów Poissona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9. 1.3. Analiza wieloskalowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10. 1.4. Przestrzenie Biesowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12. Rozdziaª 2. Problem Lorda-Willisa-Spektora. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14. 2.1. Ryzyko minimaksowe w problemie Lorda-Willisa-Spektora . . . . . . . . . . . .. 15. 2.2. Dolne ograniczenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17. 2.3. Górne ograniczenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20. Rozdziaª 3. Estymator adaptacyjny. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30. 3.1. Konstrukcja i ryzyko estymatora adaptacyjnego . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30. 3.2. Symulacje numeryczne dla estymatora adaptacyjnego . . . . . . . . . . . . . . .. 38. Rozdziaª 4. Estymator gªadko±ci funkcji g¦sto±ci. . . . . . . . . . . . . . . .. 48. 4.1. Parametr gªadko±ci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 49. 4.2. Gªadko±¢ dla funkcji z izolowanym punktem defektu gªadko±ci . . . . . . . . . .. 51. 4.3. Estymacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 55. 4.4. Estymacja gªadko±ci w eksperymencie numerycznym . . . . . . . . . . . . . . .. 58. Rozdziaª 5. Podsumowanie . Bibliograa . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 63. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 65. 1.

(3) Podzi¦kowania. Serdecznie. dzi¦kuj¦. mojemu. Promotorowi. Prof.. Zbigniewowi. Szkutnikowi. za. pomoc merytoryczn¡ i redakcyjn¡ w moich pracach naukowych oraz w niniejszej pracy doktorskiej.. Dzi¦kuj¦ Prof. Karolowi Dziedziulowi za wspópªprac¦ naukow¡ i owocne dyskusje.. Dzi¦kuj¦ moim Rodzicom i mojemu Bratu za wsparcie.. Dzi¦kuj¦ mojej narzeczonej Dorocie za pomoc przy rysunkach w moich pracach naukowych, pomoc w cz¦±ci redakcyjnej niniejszej pracy doktorskiej oraz za wsparcie.. 2.

(4) Streszczenie. Gªównym celem rozprawy jest zastosowanie falkowego podej±cia do estymacji intensywno±ci procesu Poissona w problemach odwrotnych w konkretnym problemie stereologicznym, znanym w literaturze jako problem Lorda-Willisa-Spektora. Poka»emy, jak wykorzysta¢ podej±cie falkowe do wyznaczenia minimaksowych temp zbie»no±ci na klasach funkcji zdeniowanych w kategoriach przestrzeni Biesowa. Wybór tych przestrzeni jest naturalny w przypadku estymacji falkowej, gdy» s¡ one w peªni scharakteryzowane przez wspóªczynniki falkowego rozwini¦cia funkcji. Poka»emy równie», jak mo»na poradzi¢ sobie z problemem nieznajomo±ci kluczowego parametru dla estymatora minimaksowego, jakim jest parametr gªadko±ci funkcji. Skonstruujemy estymator adaptacyjny, który nie wymaga znajomo±ci parametrów modelu do osi¡gni¦cia prawie optymalnego tempa zbie»no±ci, i zbadamy jego zachowanie w eksperymencie numerycznym. Przedstawimy równie» now¡ metod¦ estymacji parametru gªadko±ci, która mo»e sªu»y¢ do werykacji zaªo»e« o nieznanym parametrze gªadko±ci. Udowodnimy równie», »e na pewnych klasach funkcji omawiana metoda estymacji jest mocno zgodna. Dziaªanie estymatora parametru gªadko±ci zostanie równie» zbadane w eksperymencie numerycznym.. Sªowa kluczowe proces Poissona, problem odwrotny, problem Lorda-Willisa-Spektora, tempo zbie»no±ci estymatora, ryzyko minimaksowe, parametr gªadko±ci funkcji. 3.

(5) Abstract. The main objective of the thesis is to apply a wavelet approach to the intensity estimation in Poisson inverse problems in order to solve a specic stereological problem known in the literature as the Lord-Willis-Spektor problem. We will use the wavelet approach to obtain minimax rates of convergence on some classes of functions dened in terms of Besov spaces. These spaces admit a characterization in terms of wavelet coecients, so the choice of those spaces is natural for wavelet estimators. We will also present some solutions to the problem of unknown smoothness parameter, which is essential for the minimax estimator. Firstly, we will construct an adaptive estimator that achieves an almost optimal rate of convergence without the knowledge of the exact values of the Besov space parameters. We will also demonstrate nite sample behaviour of this estimator in a numerical experiment. Secondly, we will propose a new method of the smoothness parameter estimation, which could be used for the verication of the smoothness assumptions. We will also prove that our smoothness estimator is strongly consistent on some function classes. The behaviour of our estimator will also be demonstrated in a numerical experiment.. Key words Poisson process, inverse problem, Lord-Willis-Spektor problem, rate of convergence, minimax risk, smoothness parameter. 4.

(6) Wst¦p. Problemy odwrotne dla procesów Poissona pojawiaj¡ si¦ przy opisie zjawisk, które mog¡ by¢ modelowane za pomoc¡ teorii procesów Poissona, lecz nie daj¡ si¦ obserwowa¢ w sposób bezpo±redni. Przykªadami s¡ problemy stereologiczne oraz problem tomograi komputerowej, bardzo szeroko rozwa»any w literaturze. Polega on na rekonstrukcji obrazu pewnego procesu zachodz¡cego w ciele pacjenta (np. aktywno±ci mózgu) na podstawie informacji dostarczanych przez specjalistyczne detektory, które rejestruj¡ cz¡steczki emitowane przez ciaªo pacjenta na skutek dziaªania radioaktywnego kontrastu. Matematyczny model tego problemu oraz wyznaczenie minimaksowego tempa zbie»no±ci mo»na znale¹¢ w pracy [21]. Przykªadem problemu stereologicznego jest rozwa»any w niniejszej pracy problem Lorda-Willisa-Spektora, którego opis znajduje si¦ w rozdziale 2. Ma on zastosowanie, mi¦dzy innymi, w in»ynierii materiaªowej oraz metalurgii (patrz [3], [17] oraz [19]).. W obszernej literaturze na temat problemów odwrotnych dla procesów Poissona mo»na. znale¹¢. wiele. ró»nych. metod. konstrukcji. estymatorów. dla. ró»nych. klas. estymowanych parametrów i z wykorzystaniem ró»nych metryk do pomiaru ryzyka. Na przykªad w pracy [1] rozwa»any jest problem estymacji funkcji intensywno±ci w poissonowskich problemach odwrotnych przy zaªo»eniu, »e estymowana funkcja jest zªo»eniem funkcji o odpowiedniej regularno±ci oraz funkcji wykªadniczej. Ryzyko estymatora mierzone jest za pomoc¡ odlegªo±ci Kullbacka-Leiblera, a jego konstrukcja polega na zastosowaniu falkowej dyskretyzacji Galerkina. W pracach [32] i [29] podobny problem rozwa»any jest w przypadku, gdy dokªadna posta¢ operatora deniuj¡cego. problem. odwrotny. jest. nieznana,. a. estymator. uzyskiwany. jest. za. pomoc¡ metody sit z u»yciem histogramów. W pracy [31] zaproponowano pewn¡. 5.

(7) Wst¦p metod¦ wygªadzania takich estymatorów wyznaczonych za pomoc¡ algorytmu EM, a w pracy [30] uogólniono wyniki, u»ywaj¡c metody sit z funkcjami B-splajnowymi. W pracy [15] rozwa»ano problem rekonstrukcji obrazu w problemach odwrotnych z operatorem splotu, przy u»yciu metod falkowych. Statystyczne problemy odwrotne, ze szczególnym uwzgl¦dnieniem problemów odwrotnych dla procesów Poissona, s¡ rozwa»ane równie» w pracach [20] i [24].. W. niniejszej. adaptuj¡c. pracy. wyniki. z. skupimy pracy. si¦. [5],. na. estymatorach. przedstawimy. falkowych.. metod¦. estymacji. Odpowiednio w. problemie. Lorda-Willisa-Spektora, opart¡ na idei falkowej dekompozycji operatora deniuj¡cego problem odwrotny, któr¡ po raz pierwszy opisano w pracy [8]. Poka»emy, »e nasz estymator jest asymptotycznie minimaksowy na pewnej klasie funkcji zdeniowanej w terminach przestrzeni Biesowa (ryzyko estymatora b¦dzie mierzone za pomoc¡ normy. L2 ).. Poka»emy, »e kluczowym parametrem tej przestrzeni, maj¡cym wpªyw. zarówno na sam¡ posta¢ asymptotycznie minimaksowego estymatora, jak i na tempo zbie»no±ci, jest parametr gªadko±ci. Poniewa» w praktyce parametr ten jest nieznany, skonstruujemy. estymator. adaptacyjny,. który. osi¡ga. prawie. optymalne. tempo. zbie»no±ci bez wykorzystywania warto±ci tego parametru. Przedstawimy równie» now¡ metod¦ estymacji nieznanego parametru gªadko±ci za pomoc¡ wspóªczynników falkowych. Metoda ta mo»e zosta¢ u»yta na przykªad do werykacji zaªo»e« o nieznanym. parametrze. estymatora. funkcji. gªadko±ci. intensywno±ci. estymowanej oraz. funkcji.. estymatora. zilustrowane w eksperymencie numerycznym.. Dziaªanie. parametru. adaptacyjnego. gªadko±ci. zostanie.

(8) Rozdziaª 1. Podstawowe poj¦cia. 1.1. Procesy punktowe i proces Poissona Przypomnimy, w du»ym skrócie, podstawowe poj¦cia z teorii procesów punktowych, potrzebne do zdeniowania procesu Poissona. Podrozdziaª ten jest w caªo±ci oparty na ksi¡»ce Reissa [26].. Niech. (S, B). przestrzeni¡ przestrzeni. b¦dzie stanów.. S,. przestrzeni¡ Rozwa»my. mierzaln¡ wszystkie,. (wyposa»on¡ co. najwy»ej. zwane konguracjami. Ka»da konguracja. uto»samiona z miar¡ punktow¡ zdeniowan¡ na. µ(·) :=. ∑. w. σ -ciaªo B),. przeliczalne,. {x1 , x2 , ...} ⊂ S. zwan¡. podzbiory mo»e by¢. σ -ciele B :. εxi (·),. i gdzie. εx (·). jest miar¡ Diraca skupion¡ w punkcie. wszystkich miar punktowych na. σ -ciele B. x.. Niech. M(S, B). przestrzeni stanów. S.. oznacza przestrze«. Odwzorowanie. ¯ 0 = N ∪ {0, ∞} πB : M ∋ µ → πB (µ) := µ(B) ∈ N nazywamy projekcj¡. Przestrze« rym projekcje. πB , B ∈ B. M mo»na wyposa»y¢ w najmniejsze σ -ciaªo, przy któ-. s¡ mierzalne:. ¯ 0 }), M = M(S, B) := σ({πB : B ∈ B}) = σ({πB−1 (C) : B ∈ B, C ⊂ N 7.

(9) 1.1. Procesy punktowe i proces Poissona co umo»liwia przyj¦cie nast¦puj¡cej denicji procesu punktowego:. Denicja 1.1. Niech (Ω, A, P ) b¦dzie przestrzeni¡ probabilistyczn¡. Mierzaln¡ funkcj¦ N : (Ω, A) → (M, M). nazywamy procesem punktowym.. Proces punktowy jest wi¦c losow¡ miar¡ punktow¡ na przestrzeni stanów. (S, B):. N : Ω ∋ ω → N (ω, ·) = N ω (·) ∈ M(S, B). W dalszej cz¦±ci b¦dziemy u»ywa¢ uproszczonej notacji, pisz¡c. N (B). zamiast. N ω (B).. Rozkªad prawdopodobie«stwa na przestrzeni miar punktowych (czyli rozkªad procesu) uzyskujemy, dokonuj¡c transportu miary. N,. i oznaczamy przez. L(N ).. P. z przestrzeni. Ω. za pomoc¡ odwzorowania. Zdeniujmy pewn¡ nielosow¡ miar¦ na. B,. zwan¡ miar¡. intensywno±ci (miar¡ ±redni¡) procesu punktowego:. Denicja 1.2.. Miar¡ intensywno±ci. ν. procesu punktowego. N. nazywamy. ν(·) := E(N (·)), tzn.. ∀B∈B. ν(B) = E(N (B)) =. ∫. πB dL(N ).. M. Prawdziwe jest nast¦puj¡ce twierdzenie:. Twierdzenie 1.1. miar¡ na. Miara intensywno±ci procesu punktowego. N : Ω → M(S, B). jest. B.. Je±li miara. ν jest absolutnie ci¡gªa wzgl¦dem pewnej miary λ na B, to mo»emy zdenio-. wa¢ g¦sto±¢ miary intensywno±ci, któr¡ b¦dziemy nazywa¢ po prostu intensywno±ci¡:. Denicja 1.3.. Funkcj¦. wzgl¦dem miary. λ.. f := dν/dλ. nazywamy intensywno±ci¡ procesu punktowego. Mo»emy teraz zdeniowa¢ proces Poissona ze sko«czon¡ miar¡ intensywno±ci.. Denicja 1.4.. Niech. ν. b¦dzie miar¡ sko«czon¡ na. procesem Poissona z miar¡ intensywno±ci. ν,. (S, B).. Proces punktowy. N. jest. gdy:. • ∀B ∈ B N (B) ∼ P(ν(B)), gdzie P(ν(B)) oznacza rozkªad Poissona z parametrem ν(B), • ∀k ∈ N ∀B1 , ..., Bk ∈ B N (B1 ), ..., N (Bk ) Je±li miara. ν. jest. B, B1 , B2 , ..., Bk. takich, »e. B1 , ..., Bk. s¡ parami rozª¡czne,. s¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi.. σ -sko«czona,. takich, »e. to postuluj¡c powy»sze warunki dla wszystkich. ν(B) < ∞ oraz ν(Bj ) < ∞, j = 1, ..., k , deniujemy proces 8.

(10) 1.2. Problemy odwrotne dla procesów Poissona Poissona z. σ -sko«czon¡. (ale niekoniecznie sko«czon¡) miar¡ intensywno±ci. Mo»na. pokaza¢ (patrz [26], twierdzenie 2.1.1), »e. σ -sko«czona. miara intensywno±ci, a w kon-. sekwencji tak»e intensywno±¢ procesu Poissona, wyznacza jednoznacznie rozkªad tego procesu. Mo»emy wi¦c mówi¢, »e proces Poissona jest wyznaczony jednoznacznie (w sensie rozkªadu) przez funkcj¦ intensywno±ci.. 1.2. Problemy odwrotne dla procesów Poissona Rozwa»my problem estymacji funkcji intensywno±ci. N1 , ..., Nn. stawie obserwacji jego realizacji. Niech sona o tej samej funkcji intensywno±ci. N. n. f,. f. procesu Poissona. N. na pod-. b¦d¡ niezale»nymi procesami Pois-. czyli tak»e o tym samym rozkªadzie. Przez. oznaczamy proces b¦d¡cy sum¡ procesów. n ∑. n. N =. N1 , ..., Nn : Ni .. i=1 Niech. ν(·) = ENi (·), i = 1, ..., n. Poniewa». EN n (·) = nEN1 (·),. Traktuj¡c realizacje procesów. oznacza miar¦ intensywno±ci procesów. to funkcj¡ intensywno±ci procesu. ν,. a. jest funkcja. nf .. N1 , ..., Nn jak obserwacje, a n jak rozmiar eksperymentu,. mo»na pokaza¢ (patrz [23], lemat 6.1), »e intensywno±ci. Nn. N1 , ..., Nn .. νˆ := N n /n. Nn. jest statystyk¡ dostateczn¡ dla miary. jest jej naturalnym estymatorem.. n Zaªó»my, »e proces N jest dla nas nieobserwowalny, ale potramy obserwowa¢ proces n ∑ Gn := Gi , gdzie G1 , ..., Gn s¡ niezale»nymi procesami Poissona o intensywno±ci g , i=1 która jest zwi¡zana w pewien sposób z intensywno±ci¡ f . Niech f ∈ F oraz g ∈ G , gdzie. F ⊂ H1. H1 , H2 .. i. G ⊂ H2. s¡ podzbiorami pewnych rzeczywistych przestrzeni Hilberta. Zakªadamy, »e zwi¡zek pomi¦dzy. f. i. g. jest postaci. g = Kf, ∀f ∈ F, gdzie. K. operator. jest znanym, ograniczonym i ró»nowarto±ciowym operatorem liniowym. Je±li. K −1 jest ci¡gªy, to intensywno±¢ f. mo»emy estymowa¢ w nast¦puj¡cy sposób:. fˆ = K −1 gˆ, gdzie. G. n. gˆ jest jakim± estymatorem intensywno±ci g , opartym na obserwowanym procesie. . Bardzo cz¦sto jednak w praktycznych problemach operator. K −1. jest nieci¡gªy.. Mówimy wtedy, »e problem jest ¹le postawiony w sensie Hadamarda. W konsekwencji, je±li estymator. gˆ,. obarczony bª¦dem estymacji, obªo»ymy nieci¡gªym operatorem. 9.

(11) 1.3. Analiza wieloskalowa. K −1 , to tracimy kontrol¦ nad bª¦dem estymatora fˆ. W takich przypadkach potrzebna jest tak zwana regularyzacja rozwi¡zania, na temat której powstaªa bardzo bogata literatura np: [14], [22], [34]. W niniejszej pracy skupimy si¦ na pewnej szczególnej metodzie regularyzacji, opartej na dekompozycji falkowej, któr¡ przedstawimy w kolejnym rozdziale, przy okazji konstrukcji estymatora w problemie odwrotnym Lorda-Willisa-Spektora.. W. niniejszej. nimaksowego. pracy. estymator. funkcji. f. Zdeniujmy. tempo. zbie»no±ci. konstruujemy. tempa. zbie»no±ci.. optymalny. poj¦cie estymatora asymptotycznie minimaksowego. Niech estymatora. fˆn. funkcji. f ∈F. sensie. estymatora. R(fˆn , f ). w eksperymencie o wielko±ci próby. w. n,. mioraz. oznacza ryzyko gdzie. n. d¡»y do. niesko«czono±ci.. Denicja 1.5.. Mówimy, »e estymator. fˆn. ma tempo zbie»no±ci. a(n),. gdy. sup R(fˆn , f ) = O(a(n)). f ∈F. Je±li istnieje dodatnia staªa estymatora. fˆn. C0. taka, »e dla pewnego ci¡gu. a(n). oraz dla dowolnego. mamy. lim inf n→∞. to estymator o tempie zbie»no±ci. supf ∈F R(fˆn , f ) > C0 , a(n). a(n). W dalszej cz¦±ci pracy rol¦ zbioru. F. nazywamy asymptotycznie minimaksowym. przejmie pewien podzbiór przestrzeni Biesowa,. natomiast ryzyko estymatora b¦dzie obliczane jako warto±¢ oczekiwana kwadratu odlegªo±ci w normie. L2 .. 1.3. Analiza wieloskalowa W tym podrozdziale zaprezentujemy ide¦ konstrukcji bazy falkowej w przestrzeni. L2 (R). (patrz [18], rozdziaª 3). Niech. lacji tej funkcji. {ϕ(· − k), k ∈ Z} ∀j, k ∈ Z. ϕ ∈ L2 (R). b¦dzie funkcj¡, dla której zbiór trans-. jest zbiorem funkcji ortonormalnych, tzn:. ∫. ϕ(x − j) ϕ(x − k) dx = δjk ,. R gdzie. δjk. oznacza delt¦ Kroneckera. W dalszych rozwa»aniach b¦dziemy posªugiwali. si¦ skalowanymi funkcjami ze zbioru translacji funkcji. ϕ,. mianowicie:. ϕjk (x) = 2j/2 ϕ(2j x − k), j ∈ Z, k ∈ Z. 10.

(12) 1.3. Analiza wieloskalowa Zdeniujmy nast¦puj¡ce przestrzenie liniowe.  . Vj = O przestrzeniach. . f=. ∑. αjk ϕjk :. k∈Z. Vj , j ∈ Z.  . ∑. 2 αjk < ∞ , j ∈ Z.. . k∈Z. mówimy, »e s¡ generowane przez funkcj¦. ϕ.. Mo»emy teraz. przej±¢ do denicji analizy wieloskalowej:. Denicja 1.6.. Niech. {ϕ(· − k), k ∈ Z}. b¦dzie zbiorem funkcji ortonormalnych w. L (R). Klas¦ przestrzeni {Vj , j ∈ Z}, generowanych przez funkcj¦ ϕ, nazywamy analiz¡ 2. L2 (R),. wieloskalow¡ przestrzeni. je±li speªnione s¡ nast¦puj¡ce warunki:. • ∀ j ∈ Z Vj ⊂ Vj+1 , •. ∪. Vj = L2 (R),. gdzie. A. oznacza domkni¦cie zbioru. A.. j>0. Funkcj¦. ϕ. L2 (R). generuj¡c¡ analiz¦ wieloskalow¡ w. b¦dziemy nazywa¢ falk¡ ojcem. lub funkcj¡ skaluj¡c¡. Przykªadem takiej funkcji jest funkcja Haara:. ϕH (x) = 1(0;1] (x). Niech. {Vj , j ∈ Z}. b¦dzie analiz¡ wieloskalow¡ przestrzeni. Vj. dopeªnienie ortogonalne przestrzeni. do przestrzeni. L2 (R).. Vj+1 ,. Oznaczmy przez. Wj. tzn:. Vj Wj = Vj+1 . Otrzymujemy. V0 . ⊕. Wj =. j>0 Niech. ∪ j>0. ψjk , k ∈ Z oznacza ortonormaln¡ baz¦ przestrzeni Wj. f ∈ L2 (R). dla. j ∈ Z. Ka»da funkcja. mo»e by¢ reprezentowana przez nast¦puj¡cy szereg:. f (x) =. ∑. αj1 k ϕj1 k +. k∈Z gdzie. Vj = L2 (R).. j1 ∈ Z. ∞ ∑ ∑. βjk ψjk ,. j=j1 k∈Z. jest dowolne, ustalone oraz. ∫. αjk :=. ∫. ϕjk (x)f (x)dx, βjk := R. ψjk (x)f (x)dx. R. Je±li dodatkowo zaªo»ymy, »e istnieje funkcja. ψ ∈ L2 (R). taka, »e. ψjk (x) = 2j/2 ψ(2j x − k),. 11.

(13) 1.4. Przestrzenie Biesowa to powy»sze rozwini¦cie w szereg nazywamy niejednorodnym rozwini¦ciem falkowym,. ψ. a funkcj¦. nazywamy falk¡ matk¡ lub po prostu falk¡. Je±li rozwa»ymy analiz¦. wieloskalow¡ generowan¡ przez funkcj¦ Haara, to falk¡ matk¡ jest funkcja. ψ H (x) = −1[0; 1 ] (x) + 1( 1 ;1] (x). 2. 2. Funkcje Haara nie s¡ zbyt wygodne do aproksymacji funkcji gªadkich ze wzgl¦du na swoj¡ nieci¡gªo±¢. W literaturze istnieje wiele konstrukcji gªadkich falek o no±niku zwartym, a jedn¡ z najbardziej popularnych jest konstrukcja Daubechies (patrz np. [18], rozdziaª 7), dzi¦ki której mo»na uzyska¢ falki o dowolnej liczbie pochodnych. Niestety, falek tych nie mo»na wyrazi¢ w postaci wzoru analitycznego z u»yciem funkcji elementarnych. Mo»na natomiast wyznaczy¢ ich warto±ci w punktach diadycznych (o sko«czonym rozwini¦ciu dwójkowym) z dowoln¡ dokªadno±ci¡, co w poª¡czeniu z odpowiedni¡ gªadko±ci¡ takich falek jest wystarczaj¡ce dla oblicze« numerycznych.. 1.4. Przestrzenie Biesowa W tym podrozdziale podamy denicj¦ przestrzeni Biesowa (patrz [18], rozdziaª 9). Wprowad¹my najpierw poj¦cie moduªu ci¡gªo±ci rz¦du 2:. Denicja 1.7. oraz. Niech. ∆2h f = ∆h (∆h f ).. f ∈ Lp (R), Dla. t>0. gdzie. 1 6 p 6 ∞.. Niech. (∆h f )(x) = f (x − h) − f (x). moduªem ci¡gªo±ci rz¦du 2 nazywamy. ωp2 (f, t) = sup ∥∆2h f ∥Lp (R) . |h|6t. Do zdeniowania przestrzeni Biesowa wykorzystamy równie» denicj¦ przestrzeni Sobolewa:. Denicja 1.8.. Niech. 16p6∞. m strzeni Sobolewa Wp , gdy f jest p 0 (w szczególno±ci Wp = L ).. oraz. ¯ 0. m∈N. m-krotnie. Funkcja. f ∈ Lp (R). nale»y do prze-. sªabo ró»niczkowalna oraz. f (m) ∈ Lp (R). Sªaba pochodna deniowana jest w nast¦puj¡cy sposób:. Denicja 1.9. Funkcj¦ f nazywamy sªabo ró»niczkowaln¡, gdy istnieje funkcja f ′ taka, »e. ∀x6y. ∫y. f ′ (u) du = f (y) − f (x).. x. Funkcj¦. f. ′. (o ile istnieje) nazywamy sªab¡ pochodn¡ funkcji. f.. 12.

(14) 1.4. Przestrzenie Biesowa Oczywi±cie funkcja. f′. wyznaczona jest z dokªadno±ci¡ do zbiorów miary Lebesgue'a. zero. Podamy teraz denicj¦ przestrzeni Biesowa:. Denicja 1.10. 0 < α 6 1. Sobolewa. Niech. Funkcja. Wpm. f. 1 6 p 6 ∞, 1 6 q 6 ∞. oraz. σ = m + α,. σ nale»y do przestrzeni Biesowa Bpq , gdy. f. gdzie. m ∈ N0. i. nale»y do przestrzeni. oraz. ωp2 (f (m) , t) = ε(t) tα , gdzie. ∞ 1 q ∫  |ε(t)|q dt/t < ∞. dla q < ∞. 0. oraz. ess supt | ε(t)| < ∞. dla q = ∞.. Uwaga: Z powy»szych denicji ªatwo zauwa»y¢, »e Bpqσ ⊂ Wp⌊σ⌋ ⊂ Lp . W dalszej cz¦±ci pracy powy»sz¡ denicj¦ zast¡pimy wygodniejsz¡ dla nas charakteryzacj¡ falkow¡ (patrz [18]). Niech. ϕ ∈ Cr. oraz. ψ ∈ Cr,. b¦d¡ funkcjami. ograniczonymi i oznaczaj¡ odpowiednio falk¦ ojca i falk¦ matk¦. Funkcja. ∑. f=. σ Bpq ,. βjk ψjk. j=j1 k∈Z. k∈Z nale»y do przestrzeni Biesowa. ∞ ∑ ∑. αj1 k ϕj1 k + dla.  σ := ∥αj · ∥l +  ∥f ∥Bpq p 1. σ < r,. ∞ ∑. wtedy i tylko wtedy, gdy. 1/q. (2j(σ+1/2−1/p) ∥βj· ∥lp )q . < ∞.. j=j1. q. Je±li parametr. jest równy. ∞,. to powy»szy warunek przyjmuje posta¢. (. ∥αj1 · ∥lp < ∞ oraz ∥βj· ∥lp 2j(σ+1/2−1/p) Je±li. σ ∥f ∥Bpq 6 M,. f∈. i piszemy. to mówimy, »e. f. )∞ j=j1. ∈ l∞ .. nale»y do kuli Biesowa o promieniu. M,. σ (M ). Bpq. Uwaga: Z powy»szej charakteryzacji ªatwo zauwa»y¢, »e dla σ > σ′ oraz q > q′ mamy ′. σ σ ⊂ Bpq Bpq. oraz. σ σ Bpq ′ ⊂ Bpq .. oraz. σ σ Bpq ′ ⊂ Bpq ..

(15) Rozdziaª 2. Problem Lorda-Willisa-Spektora. Rozdziaª ten jest oparty na pracach [6] i [7]. Rozwa»my populacj¦ kul o losowych. Q. promieniach, losowo rozmieszczonych w pewnym nieprzezroczystym o±rodku. Przez. oznaczymy rozkªad prawdopodobie«stwa promieni kul na przedziale [0;1], niezale»ny od poªo»enia ±rodków tych kul, absolutnie ci¡gªy wzgl¦dem miary Lebesgue'a z g¦sto±ci¡ prawdopodobie«stwa procesu Poissona na. n. R3 .. q.. Przez. Wspóªrz¦dne ±rodków kul pochodz¡ z jednorodnego. Ffn. oznaczymy proces dªugo±ci promieni kul, gdzie. jest rozmiarem eksperymentu oraz. nf. jest intensywno±ci¡ tego procesu. Oznacza. to, »e promienie kul znajduj¡cych si¦ w rozwa»anym obszarze w konguracj¦ w jako iloczyn. n = 1.. [0; 1],. f = cq ,. b¦d¡c¡ realizacj¡ procesu Poissona. Funkcj¦ gdzie. c. R3 f. tworz¡ losow¡. mo»emy zapisa¢. oznacza ±redni¡ liczb¦ kul w eksperymencie o wielko±ci. Ze wzgl¦du na nieprzezroczysto±¢ o±rodka nie mo»emy wprost obserwowa¢. realizacji procesu. Ffn .. Dokonujemy wi¦c przekroju o±rodka losow¡ prost¡ i na niej ob-. serwujemy losowe odcinki, które s¡ cz¦±ci¡ wspóln¡ tej prostej i kul znajduj¡cych si¦ w tym o±rodku (je±li odlegªo±¢ pomi¦dzy ±rodkiem kuli i losow¡ prost¡ jest wi¦ksza ni» promie« kuli, to jest ona dla nas nieobserwowalna). Dªugo±ci tych losowych odcinków tworz¡ realizacj¦ procesu Poissona, który oznaczymy przez. Gng , gdzie ng. jest intensyw-. no±ci¡ tego procesu. Mo»na wyprowadzi¢ zwi¡zek operatorowy pomi¦dzy funkcjami. f. 14.

(16) 2.1. Ryzyko minimaksowe w problemie Lorda-Willisa-Spektora i. g. (patrz [33]):. ∫1. g(u) = 2u. f (x)dx =: Gf (u),. (2.1). u gdzie. G : L ([0; 1], dx) → L ([0; 1], du). 2. 2. G. Poniewa» operator. jest zwarty (jako operator caªkowy, z j¡drem caªkowalnym z. kwadratem), to operator do niego odwrotny jest nieci¡gªy, a co za tym idzie, problem estymacji funkcji. f. na podstawie obserwacji odcinków na prostej, czyli problem. Lorda-Willisa-Spektora (LWS), jest ¹le postawiony w sensie Hadamarda (szczegóªow¡ dyskusj¦ tego zagadnienia mo»na znale¹¢ w pracy [33]). Problem ten jest podobny do bardziej znanego z literatury problemu Wicksella, lecz jest on od niego trudniejszy w sensie stopnia zªego uwarunkowania. W problemie Wicksella estymujemy funkcj¦. f. na. podstawie obserwacji losowych kóª na przekroju o±rodka losow¡ pªaszczyzn¡. Problem LWS byª analizowany w pracy [33], gdzie konstruowano estymator metod¡ sit. W pracach [11] i [28] skonstruowano estymator liniowy, który okazaª si¦ asymptotycznie minimaksowy na pewnych specjalnych klasach typu Sobolewa.. Naszym. celem. jest. znalezienie. estymatora. falkowego. funkcji. f,. optymalnego. w. sensie minimaksowym na pewnej klasie funkcji. Naturalnym wyborem b¦dzie klasa opisana w terminach przestrzeni Biesowa, poniewa» przestrzenie te s¡ w peªni scharakteryzowane za pomoc¡ wspóªczynników falkowych. Bª¡d estymacji b¦dzie mierzony w normie przestrzeni. L2 ([0; 1], dx),. któr¡ b¦dziemy oznacza¢. ∥ · ∥ L2 .. 2.1. Ryzyko minimaksowe w problemie Lorda-Willisa-Spektora W tym rozdziale przyjmiemy, »e funkcje. Warunek W1: k = 0, 1, ..., r. ϕ. oraz. ψ. speªniaj¡ zaªo»enia:. ϕ ∈ C r , ψ ∈ C r , r > 2, supp ψ = [0; N ],. oraz. ∫∞ −∞. ∫∞ −∞. xk ψ(x)dx = 0. dla. ψ 2 (x)dx = 1.. Uwaga: Zaªo»enia te speªniaj¡ np. falki Daubechies o odpowiednio du»ym no±niku. Zdeniujmy nast¦puj¡c¡ klas¦ funkcji:. 15.

(17) 2.1. Ryzyko minimaksowe w problemie Lorda-Willisa-Spektora. Denicja 2.1.. Klasa. σ Fpq (M, ε). jest zbiorem wszystkich funkcji. f. speªniaj¡cych nast¦-. puj¡ce warunki: σ • f ∈ Bpq (M ),. • f > 0, • supp f ⊂ [0, 1], 4σ/3 • ∃f1 ∈ Bpq. f1 · 1(0;ε) = f · 1(0;ε) ,. • f (x) = O(x(4σ/3−1/2)+ ),. gdy. x → 0+ .. Jest to klasa wszystkich nieujemnych funkcji nale»¡cych do kuli Biesowa, o no±niku zawartym w przedziale. [0, 1],. z dwoma dodatkowymi zaªo»eniami: W pewnym epsilo-. nowym otoczeniu zera klasa gªadko±ci funkcji dla. f. jest nieco wy»sza i równa. 4σ/3. oraz,. x malej¡cego do zera, f (x) maleje do zera nie wolniej ni» x(4σ/3−1/2)+ . Te dodatkowe. zaªo»enia zwi¡zane s¡ z pewnymi trudno±ciami w estymacji funkcji. f. w otoczeniu zera,. czego nale»aªo si¦ spodziewa¢ w zwi¡zku z natur¡ problemu. Szczegóªy zostan¡ wyja±nione pó¹niej, ale trudno±¢ wynika z tego, »e frakcja obserwowanych kul o promieniu. R. R.. d¡»y do zera wraz z. Dla uproszczenia modelu mogliby±my odci¡¢ si¦ od zera,. zast¦puj¡c trzy ostatnie zaªo»enia w denicji 2.1 jednym zaªo»eniem:. supp f ⊂ [ε, 1]. (patrz [6]). Okazuje si¦ jednak, »e to samo tempo zbie»no±ci mo»na uzyska¢ przy mniej restrykcyjnych zaªo»eniach ni» zerowanie si¦ funkcji. f. w pewnym epsilonowym otocze-. niu zera. W kolejnych dwóch podrozdziaªach udowodnimy nast¦puj¡ce twierdzenie:. Twierdzenie 2.1.. Niech. (. ∀ ε ∈ 0; gdzie. fˆn. Uwaga:. p>1 1 2. oraz. σ > 3/(2p).. ). inf. sup. σ (M,ε) fˆn f ∈Fpq. Wtedy. 2σ Ef ∥fˆn − f ∥2L2 ≍ n− 2σ+3 ,. oznacza dowolny estymator funkcji intensywno±ci. Zaªo»enie. σ > 3/(2p). b¦dzie nam potrzebne przy oszacowaniu od góry ry-. zyka estymatora i ma ono swoje konsekwencje: poniewa» (patrz [18], wniosek 9.2) oraz. 3/(2p) > 1/p,. ⊂ L (R, dx), 2. gdy. σ > 1/p.. wadzamy dodatkowych zaªo»e« o. σ. σ ⊂ C(R) Bpq. dla. wi¦c wszystkie funkcje z klasy. σ (M, ε) Fpq. s¡ ci¡gªe. Poniewa» funkcje z klasy. σ (M, ε) Fpq. f.. σ > 1/p σ (M, ε) Fpq. maj¡ ograniczony no±nik, to tak»e. Przy wyznaczaniu dolnych ogranicze« nie wproi. p,. wi¦c przynale»no±¢ funkcji. f. do. L2 (R, dx). postulowana b¦dzie jawnie w sformuªowaniu twierdzenia 2.2.. 16.

(18) 2.2. Dolne ograniczenie 2.2. Dolne ograniczenie W celu oszacowania od doªu supremum ryzyka dla dowolnego estymatora, posªu»ymy si¦ lematem Assouada. Prawdziwe jest nast¦puj¡ce twierdzenie:. Twierdzenie 2.2. estymatora. 0 6 ε < 1/2.. Niech. Wtedy istnieje taka staªa. C,. »e dla dowolnego. fˆn sup σ (M,ε) ∩ L2 (R,dx) f ∈ Fpq. 2σ Ef ∥fˆn − f ∥2L2 > Cn− 2σ+3 .. Dowód: Dla miar probabilistycznych. P, Q dominowanych przez miar¦ λ oraz ci¡gów (am ) i (bm ). wprowad¹my nast¦puj¡ce oznaczenia:. ∫ √. •. Odlegªo±¢ Hellingera:. •. Podobie«stwo Hellingera (Hellinger anity):. •. Odlegªo±¢ Hamminga:. (am ), (bm ). H 2 (P, Q) = 1/2 ( dP/dλ −. ∆((am ), (bm )) =. √. dQ/dλ)2 dλ.. ρ(P, Q) =. ∫√. dP/dλ dQ/dλ dλ.. Liczba miejsc, na których dwa ci¡gi. o tej samej dªugo±ci si¦ ró»ni¡.. B¦dziemy korzysta¢ z lematu Assouada w wersji Birg´ ego (patrz [2], oraz [4]):. Lemat 2.1. zbioru. Niech. D = {0, 1}. m. {Pω , ω ∈ D} , a. X1 , ..., Xn. b¦dzie rodzin¡ rozkªadów indeksowan¡ elementami b¦d¡ niezale»nymi elementami losowymi o tym sa-. mym rozkªadzie z tej rodziny. Je±li. ∆(ω, ω ′ ) = 1,. ρ(Pω , Pω′ ) > ρ. to dla ka»dego estymatora. dla ka»dych. ω ˆ (X1 , ..., Xn ). ω, ω ′ ∈ D. o warto±ciach w. D. takich, »e prawdziwa. jest nierówno±¢. sup Eω [∆(ω, ω ˆ )] > mρ2n /4 .. ω∈D. Uwaga: W powy»szym lemacie elementami losowymi mog¡ by¢ niezale»ne replikacje tego. samego. procesu. Poissona,. w. naszym. przypadku. n. niezale»nych. replikacji. 1 procesu Gg .. Z powy»szego lematu skorzystamy w nast¦puj¡cy sposób: skonstruujemy dyskretny podzbiór zbioru. σ (M, ε), Fpq. zwany podmodelem. B¦dzie to pewien zbiór funkcji indek-. sowanych ci¡gami zero-jedynkowymi, o odpowiednio dobranej dªugo±ci. Nast¦pnie, pokazuj¡c zwi¡zek pomi¦dzy ryzykiem mierzonym w odlegªo±ci Hamminga a ryzykiem mierzonym w normie. L2 ([0; 1], dx),. oszacujemy od doªu ryzyko estymatora funkcji z. podmodelu za pomoc¡ lematu Assouada. Ostatnim krokiem b¦dzie udowodnienie, »e to oszacowanie jest równie» prawdziwe dla dowolnego estymatora funkcji z klasy. 17.

(19) 2.2. Dolne ograniczenie σ Fpq (M, ε).. Kluczowym elementem dowodu jest odpowiednia konstrukcja podmodelu. tak, aby oszacowanie ryzyka przeniesione na caªy model nie byªo zbyt grube.. Wybierzmy nast¦puj¡cy podmodel. σ Gpq (j, ε) :=.     . σ σ Gpq (j, ε) ⊂ Fpq (M, ε):. ∑. fω > 0 : fω = f0 + δj.   . ωk ψjk ,  . k∈Gjε (ψ). gdzie. A1 A2. σ f0 ∈ Fpq (M/2, ε). ∫1. jest ustalone i niezale»ne od. ω,. f0 (x)dx = C1 > 0,. 1/2. A3. ωk ∈ {0, 1},. A4. Gjε (ψ) := k ∈ Z : supp ψjk ⊂ ε, 12. A5. δj = min. {. {. [. −j/2 C M −j(σ+ 12 ) 1 2 , 2A2N N ∥ψ∥ 2 ∞. ε (|Gj (ψ)| oznacza liczno±¢ zbioru. Uwaga:. W. powy»szych. }. ,. ]}. ,. gdzie. Gjε (ψ)),. zaªo»eniach. a. AN N. jest staª¡ tak¡, »e. |Gjε (ψ)| 6 AN 2j. jest dªugo±ci¡ no±nika falki. istnienie. staªej. AN ,. niezale»nej. ψ.. od. j,. jest. oczywiste z denicji analizy wieloskalowej i rozwini¦cia falkowego.. Niech. σ fω ∈ Gpq (j, ε). ρ(L(PGfω ), L(PGfω′ )), sywno±ci. Gf. i. σ fω′ ∈ Gpq (j, ε). gdzie. L(PGf ). oraz. ∆(ω, ω ′ ) = 1.. Oszacujmy od doªu. oznacza rozkªad procesu Poissona. PGf. o inten-. wzgl¦dem miary Lebesgue'a. W tym celu skorzystamy z nast¦puj¡cego. faktu (patrz [26], rozdz. 3.2):. ρ(L(PGfω ), L(PGfω′ )) = exp[−H 2 (Gfω , Gfω′ )], gdzie. 1∫ H (Gfω , Gfω′ ) = 2. 1. 2. (√. Gfω (u) −. √. Gfω′ (u). )2. du .. 0. Aby oszacowa¢. ρ(L(PGfω ), L(PGfω′ )). od doªu, wystarczy oszacowa¢. H 2 (Gfω , Gfω′ ). od. góry:. 18.

(20) 2.2. Dolne ograniczenie. H 2 (Gfω , Gfω′ ) 1∫ (Gfω (u) − Gfω′ (u) )2 = √ (√ )2 du 2 Gfω (u) + Gfω′ (u) 0 1. ∫1/2. =. δj2 ε. ( ∫1. )2 v v u1 u1 ∫ u∫ u ψjk (x)dx u fω (x)dx u u fω′ (x)dx u u u u u u +u u ∫1 u 1 ∫1 ∫ t t  u. f0 (x)dx. u. f0 (x)dx. u. [0; 1]. W powy»szym równaniu przej±cie z caªki po przedziale. [ε; 1/2]. f0 (x)dx. −2     . du.. na caªk¦ po przedziale. umo»liwia zaªo»enie A4, które sprawia, »e no±nik ró»nicy funkcji. zawiera si¦ w przedziale [ε; 1/2]. Z zaªo»enia A2 wynika, »e dla ka»dego ∫1 mamy f0 (x)dx > C1 , wi¦c u. ∫1 u ∫1 u. δj. fω (x)dx = 1+. ∫1. ∑. u k∈Gjε (ψ). ∫1. f0 (x)dx. u. δj. ωk ψjk (x)dx >1−. ∑. ∫1. k∈Gjε (ψ) u. ∫1. f0 (x)dx. u. Gfω − Gfω′ u ∈ [ε; 1/2]. |ψjk (x)|dx. f0 (x)dx. 1 > 1 − δj AN 2j N 2−j/2 ∥ψ∥∞ /C1 > . 2 Wynika z tego, »e. (. 1 2 H (Gfω , Gfω′ ) 6 δ 2 j. u. ∫. )2. ∫1. ψjk (x)dx. u. 2. ∫1. suppψjk. (. u. du f0 (x)dx. 6 C2 δj2 N 2−j ∥ψ∥∞ N 2−j/2. )2. 6 C3 2−j(2σ+3) .. Z lematu 2.1 wynika, »e. sup σ (j,ε) fω ∈Gpq. Efω ∥fñ − fω ∥2L2 =. sup σ (j,ε) fω ∈Gpq. δj2 Efω [∆(˜ ω , ω)] [. ]. > C4 2−2jσ exp −C3 n2−j(2σ+3) , gdzie. σ (j, ε) fñ ∈ Gpq. jest dowolnym estymatorem. fω .. Skoro powy»sze oszacowanie jest. prawdziwe dla dowolnego estymatora funkcji z podmodelu, to jest w szczególno±ci prawdziwe dla estymatora. fñ. wybranego tak, aby. ∥fñ − fˆn ∥L2 =. inf. σ (j,ε) fω ∈Gpq. ∥fˆn − fω ∥L2 ,. 19.

(21) 2.3. Górne ograniczenie gdzie. fˆn. σ σ f ∈ Fpq (M, ε). Poniewa» Gpq (j, ε) ⊂ ˆ ˆ + ∥fn − fω ∥L2 6 2∥fn − fω ∥L2 , to. jest dowolnym estymatorem funkcji. σ Fpq (M, ε). sup σ (M,ε) f ∈Fpq. oraz. ∥fñ − fω ∥L2 6 ∥fñ − fˆn ∥L2. Ef ∥fˆn − f ∥2L2 >. 1 Efω ∥fˆn − fω ∥2L2 > max Efω ∥fñ − fω ∥2L2 σ (j,ε) fω ∈Gpq (j,ε) 4 fω ∈Gpq max σ. [. ]. > C5 2−2jσ exp −C3 n2−j(2σ+3) . Teraz wystarczy uzale»ni¢. j. od. n. w nast¦puj¡cy sposób:. 2j ≍ n1/(2σ+3) , aby zako«czy¢ dowód. atwo zauwa»y¢, »e powy»szy sposób uzale»nienia optymalny, to znaczy, je±li zwi¦kszymy b¡d¹ zmniejszymy pot¦g¦. j. od. n. jest. 1/(2σ + 3), to otrzy-. mamy gorsze oszacowanie od doªu.. 2.3. Górne ograniczenie Udowodnimy teraz, »e na klasie funkcji intensywno±ci, opisanej w denicji 2.1, istnieje estymator, który asymptotycznie osi¡ga tempo zbie»no±ci z uzyskanego dolnego ograniczenia. Konstrukcja tego estymatora oraz oszacowanie jego ryzyka opiera si¦ na pracy [5] z istotnymi modykacjami. Po pierwsze, miar¡ dominuj¡c¡ na przestrzeni obrazu operatora. K. nie jest miara Lebesgue'a, lecz pewna inna miara. µ,. co sprawia,. »e aby u»y¢ metod opisanych w pracy [5], trzeba najpierw rozszerzy¢ zakres ich stosowalno±ci. Po drugie, wprowadzenie parametru. ε oraz pewnych dodatkowych warunków. w otoczeniu zera istotnie zmienia sposób konstrukcji górnych ogranicze« dla ryzyka. Prawdziwe jest nast¦puj¡ce twierdzenie:. Twierdzenie 2.3. dla dowolnego. f∈. Niech. p>1. oraz. σ > 3/(2p).. Wtedy istnieje estymator. fˆ taki,. »e. σ Fpq (M, ε). E∥fˆ − f ∥2L2 6 Cn− 2σ+3 , 2σ. gdzie. C. jest pewn¡ staª¡, zale»n¡ tylko od parametrów modelu.. Zanim udowodnimy powy»sze twierdzenie, wró¢my do rozwini¦cia falkowego funkcji, któr¡ chcemy estymowa¢:. f=. ∑ k∈Z. αj1 k ϕj1 k +. ∞ ∑ ∑. βjk ψjk ,. j=j1 k∈Z. gdzie. αjk =< f, ϕj1 k >, βjk =< f, ψjk >, 20.

(22) 2.3. Górne ograniczenie oraz. < ·, · > oznacza iloczyn skalarny w L2 (R, dx). Poniewa» w problemie odwrotnym,. jakim jest problem Lorda-Willisa-Spektora, nie obserwujemy procesu o intensywno±ci. f,. to potrzebujemy innej postaci tego rozwini¦cia, takiej która zamiast korzysta¢ z. funkcji. f. do obliczenia wspóªczynników, korzysta z funkcji. ju» wspominali±my, nie mo»emy estymowa¢ funkcji. g,. falkowego, a nast¦pnie znale¹¢ jej obrazu przez operator. g = Gf .. Oczywi±cie, jak. korzystaj¡c z jej rozwini¦cia. G−1 , poniewa» problem jest ¹le. postawiony w sensie Hadamarda. W celu otrzymania po»¡danego rozwini¦cia falkowego skorzystamy z metody falkowej dekompozycji operatora, opisanej w pracy Donoho (ang. Wavelet-Vaguelette Decomposition, [8]). Metody tej u»yto równie» w pracy [16], w której rozwa»ano problem Wicksella. W tej pracy uogólniamy j¡ dla dowolnej miary. µ. dominuj¡cej. na przestrzeni obrazu operatora. K. (W pracach [8] i [16] u»yto miary. Lebesgue'a).. Denicja 2.2.. Niech. K : L2 (R, dx) → L2 (R, dµ). wiednio iloczyn skalarny w. ujk , νjk. κj. oraz staªe. • Kψjk = κj νjk. 2. L (R, dx). i. 2. L (R, dµ).. oraz. < ·, · >. i. [·, ·]. Je±li dla ka»dego. oznaczaj¡ odpo-. j. oraz. k. funkcje. speªniaj¡ warunki:. oraz. • [ujk , νj ′ k′ ] = δjk,j ′ k′

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28) ∑ ∑

(29)

(30)

(31)

(32) •

(33)

(34) ajk ujk

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

(40) j k

(41)

(42). K ∗ ujk = κj ψjk. (quasi-singularno±¢),. (biortogonalno±¢),. ≍ ∥(ajk )∥l2. L2 (R,dµ).

(43)

(44)

(45)

(46)

(47)

(48) ∑ ∑

(49)

(50)

(51)

(52) oraz

(53)

(54) ajk νjk

(55)

(56)

(57)

(58)

(59)

(60) j k

(61)

(62). ≍ ∥(ajk )∥l2. (prawie. L2 (R,dµ). ortogonalno±¢),. to funkcje staªe. κj ,. ujk. oraz. νjk. niezale»ne od. nazywamy funkcjami dekompozycji falkowej operatora. k,. K,. a. nazywamy wspóªczynnikami tej dekompozycji (δ oznacza. delt¦ Kroneckera). Niestety, nie ka»dy operator mo»na podda¢ takiej dekompozycji. Donoho w pracy [8] podaª pewne warunki istnienia dekompozycji oraz przedstawiª trzy przykªady operatorów, które mo»na w ten sposób zdekomponowa¢, gdy operator. G,. pewnych. k. µ jest miar¡ Lebesgue'a. Poniewa». opisuj¡cy problem LWS, nie daje si¦ w ten sposób zdekomponowa¢ (dla funkcje. ujk. dla operatora. G. nie nale»¡ do przestrzeni. ksztaªcamy równanie (2.1), dziel¡c obie strony przez operatorowy:. u. 2. L2 (R, du)),. prze-. , i otrzymujemy nowy zwi¡zek. g(u) 2∫ h(u) := 2 = f (x)dx =: (Kf )(u), u uu 1. 21.

(63) 2.3. Górne ograniczenie gdzie. K : L2 ([0; 1], dx) → L2 ([0; 1], dµ). oraz. dµ = u2 du.. Operacj¦ t¦ mo»na nazwa¢. zmian¡ miary na przestrzeni obrazu. Oczywi±cie, operator. K. nadal deniuje zwi¡-. zek mi¦dzy intensywno±ci¡ procesu losowych dªugo±ci promieni kul w przestrzeni a intensywno±ci¡ procesu dªugo±ci odcinków na prostej, ale ta ostatnia, oznaczona teraz przez. h,. jest intensywno±ci¡ wzgl¦dem miary. µ.. W problemie LWS operator. dziaªa na funkcje o no±nikach zawartych w przedziale. [0; 1].. K. Na potrzeby konstruk-. cji dekompozycji falkowej jego denicja w poni»szym lemacie jest nieco zmodykowana, a dziedzina jest ograniczona do przestrzeni tym z norm¡. L2 (R, dx).. D. funkcji ci¡gªych o no±niku zwar-. Celem jest konstrukcja takich funkcji. γjk , γ˜jk ,. dla których. < f, ψjk >= [Kf, γjk ] oraz < f, ϕjk >= [Kf, γ˜jk ]. Dekompozycja falkowa operatora K prowadzi do nast¦puj¡cego lematu:. Lemat 2.2. oznaczymy. Niech. K : D → L2 (R, dµ). ψ (−1) (u) :=. ∫u −∞. ujk (u) := 2. −j. ψ(x)dx,. oraz. (Kf )(u) =. 2 u. ∫∞. f (x)dx = h(u).. to. ′ ψjk (u) 2 (−1) , νjk (u) := − 2j ψjk (u), κj := 2−j 2u u. K.. s¡ odpowiednio funkcjami i wspóªczynnikami dekompozycji falkowej operatora. Uwaga: Zauwa»my, »e powy»sze wzory nie zadaj¡ warto±ci funkcji ujk Poniewa» zale»y nam tylko aby te funkcje nale»aªy do przestrzeni przyj¡¢, »e warto±ci tych funkcji w zerze s¡ dowolne, np. ka»dego. Je±li. u. i. νjk. w zerze.. L2 (R, dµ), to mo»emy. ujk (0) = νjk (0) = 0. dla. j, k ∈ Z.. Dowód: •. Quasi-singularno±¢:. ∞ u 2∫ 2 ∫ 2 (−1) Kψjk (u) = ψjk (x)dx = − ψjk (x)dx = − ψjk (u) = κj νjk (u). uu u u −∞. Wyznaczmy operator. K∗ ∫∞. < f, K ∗ g > = [Kf, g] =. −∞. ∫∞ ∫∞. =.  . ∫∞ −∞. . 2 1{u<x} (u, x)f (x)dx g(u)u2 du u. 2uf (x)g(u)1{u<x} (u, x)dxdu −∞ −∞  ∫∞. . = −∞. ∫x. . . 2ug(u)du f (x) dx,. −∞. 22.

(64) 2.3. Górne ograniczenie czyli. K ∗ g(x) =. ∫x. 2ug(u)du.. −∞. Sprawdzamy drugi warunek. ∫x. ∗. ′ 2−j ψjk (u)du = κj ψjk (x).. K ujk (x) = −∞. •. Biortogonalno±¢:. [ujk , νj ′ k′ ] = −. ∫∞. −∞. . . u ψ ′ (u) ∫  jk ψj ′ k′ (x)dx u2 du. 2 u −∞. Caªkuj¡c przez cz¦±ci, otrzymujemy. ∫∞. [ujk , νj ′ k′ ] =. ψjk (u)ψj ′ k′ (u)du =< ψjk (u), ψj ′ k′ (u) >= δ(jk),(j ′ k′ ) . −∞. •. Prawie ortogonalno±¢:. Poniewa». ′ ψjk (u) = 23j/2 ψ ′ (2j u − k).

(65)

(66)

(67)

(68)

(69)

(70) ∑

(71)

(72)

(73)

(74)

(75)

(76)

(77)

(78) ajk νjk

(79)

(80)

(81)

(82)

(83)

(84)

(85)

(86) jk

(87)

(88). L2 (R,dµ). L2 (R,dµ). Uwaga:. −1 ψjk (u) = 2−j/2 ψ −1 (2j u − k),.

(89)

(90)

(91)

(92)

(93)

(94)

(95)

(96)

(97)

(98)

(99)

(100) ∑ j (−1) j

(101)

(102) (2 u − k)

(103)

(104)

(105)

(106) = 4

(107)

(108) ajk 2 2 ψ

(109)

(110)

(111)

(112) jk. to. ≍ ∥(ajk )∥l2 ,. L2 (R,du).

(113)

(114)

(115)

(116).

(117)

(118)

(119)

(120)

(121)

(122) ∑

(123)

(124)

(125)

(126)

(127)

(128)

(129)

(130) ajk ujk

(131)

(132)

(133)

(134)

(135)

(136)

(137)

(138) jk

(139)

(140). oraz.

(141)

(142)

(143)

(144).

(145)

(146) j 1

(147)

(148) ∑ =

(149)

(150)

(151)

(152) ajk 2 2 ψ ′ (2j u − k)

(153)

(154)

(155)

(156) 4

(157)

(158) jk

(159)

(160). ≍ ∥(ajk )∥l2 .. L2 (R,du). Powy»sz¡ dekompozycj¦ falkow¡ mo»na tak»e przeprowadzi¢, zamieniaj¡c. falk¦ matk¦ na falk¦ ojca. Otrzymamy wtedy nast¦puj¡c¡ dekompozycj¦ operatora. K: u˜jk (u) := 2. −j. ϕ′jk (u) 2 (−1) , ν˜jk (u) := − 2j ϕjk (u), κj := 2−j . 2u u. Poniewa» do konstrukcji estymatora u»yjemy niejednorodnego rozwini¦cia falkowego, to do estymacji wspóªczynników tego rozwini¦cia b¦dziemy potrzebowali zarówno funkcji. ujk ,. jak i. u˜jk (u).. Je±li teraz oznaczymy. γ˜jk (u) :=. ϕ′ (u) ψ ′ (u) u˜jk (u) ujk (u) = jk , γjk (u) := = jk , κj 2u κj 2u. (2.2). 23.

(161) 2.3. Górne ograniczenie to korzystaj¡c z denicji 2.2 i lematu 2.2, otrzymujemy nast¦puj¡ce rozwini¦cie falkowe funkcji intensywno±ci:. ∑. f=. [Kf, γ˜j1 k ]ϕj1 k +. ∞ ∑ ∑. [Kf, γjk ]ψjk .. (2.3). j=j1 k∈Z. k∈Z. Dysponuj¡c takim rozwini¦ciem, mo»emy przej±¢ do dowodu twierdzenia 2.3.. Dowód twierdzenia 2.3: Wprowad¹my nast¦puj¡ce oznaczenia: Kjϕ (A) := {k ∈ Z : supp ϕjk ∩ A ̸= ∅} , Gjϕ (A) := {k ∈ Z : supp ϕjk ⊂ A} , Hjϕ (A) := {k ∈ Z : supp ϕjk ∩ A ̸= ∅, supp ϕjk ⊂ [0; ∞)} . Kjψ (A), Gψj (A) (np.. A=. oraz. Hjψ (A). deniujemy analogicznie. Je±li zbiór. [a; b]), to dla wygody b¦dziemy pisa¢ Kjϕ [a; b] zamiast. b¦dzie obserwowanym procesem Poissona o intensywno±ci. νhn. nh. A. jest przedziaªem. Kjϕ ([a; b]). Niech. wzgl¦dem miary. Gnh. µ,. a. miar¡ intensywno±ci tego procesu. Rozwa»my nast¦puj¡cy estymator funkcji inten-. sywno±ci. f: ∑. fˆn =. α ˆ j1 (n)k ϕj1 (n)k +. k∈Hjϕ (n) [0;1] 1 j2 (n). ∑. +. ∑. j=j1 (n) k∈G ψ. j1 (n). j2 (n). ∑. ∑. j=j1 (n). k∈Kjψ (n) (ε;1] 1. δS (βˆjk , µj )ψjk ,. 1∫ = γ˜j1 (n)k dGnh , n 1. 2. ≍n. 3/(8σ+12). ,. α ˆ j1 (n)k. 0. oraz nieujemne ci¡gi. (λj ) i (µj ). (2.4). [0;ε]. gdzie. j1 (n). δS (βˆjk , λj )ψjk. 1∫ βˆjk = γjk dGnh n 1. (2.5). 0. deniuj¡ metod¦ wygªadzania (soft-treshold rule):. δS (βˆjk , λj ) = sgn(βˆjk )(|βˆjk | − λj )+ ,. δS (βˆjk , µj ) = sgn(βˆjk )(|βˆjk | − µj )+ ,. ( · )+ = max{ · , 0}. Postaci ci¡gów. (j2 (n)), (λj ) oraz (µj ) zostan¡ omówione pó¹niej (pod koniec dowodu).. Poka»emy, »e ryzyko tego konkretnego estymatora zbiega do zera w tempie nie gorszym ni» to z dolnego ograniczenia (twierdzenie 2.2). Ryzyko estymatora (2.4) funkcji. σ (M, ε) f ∈ Fpq. mo»emy oszacowa¢ poprzez nast¦puj¡ce rozbicie:. 24.

(162) 2.3. Górne ograniczenie. E∥fˆn − f ∥2L2. (2.6). j2 (n). ∑. 6. k∈Hjϕ. 1 (n). ∑. ∑. E[δS (βˆjk , λj ) − βjk ]2. j=j1 (n) k∈Kψ (ε;1] j. [0;1]. j2 (n). +. ∑. E[ˆ αj1 (n)k − αj1 (n)k ]2 + ∑. j=j1 (n) k∈G ψ [0;ε] j −j (n) (N −1)2 ∫ 1. +. ∞ ∑. E[δS (βˆjk , µj ) − βjk ]2 +. ∑. 2 βjk. j=j2 (n)+1 k∈Hψ [0;1] j. ˆ n (f ) + Sˆn (f, (λj )) + Sˆn (f, (µj )) + Tˆn (f ) + R ˆ n (f ). f 2 (x)dx := L. 0. Pierwsze trzy skªadniki to ryzyko wspóªczynników, które s¡ estymowane. Kolejny skªadnik to bª¡d, wynikaj¡cy z estymacji tylko sko«czenie wielu wspóªczynników falko-. j2 (n)). Ostatni skªadnik to oszacowanie od góry. wych (tylko do poziomu rozdzielczo±ci. bª¦du, wynikaj¡cego z braku estymacji wspóªczynników odpowiadaj¡cych tym falkom, których no±niki nie zawieraj¡ si¦ w przedziale. [0; ∞].. Bª¡d ten jest równy normie. tych wspóªczynników, która z kolei jest mniejsza ni» norma przedziale. L2. l2. estymowanej funkcji na. [0; (N − 1)2−j1 (n) ] (przy szacowaniu tego skªadnika wykorzystamy zaªo»enie:. f (x) = O(x(4σ/3−1/2)+ ),. x → 0+ ).. gdy. atwo pokaza¢ (patrz [25], rozdziaª 3.2), »e. 1∫ = γ˜j1 (n)k dνhn =< f, ϕj1 (n)k >:= αj1 (n)k , n 1. Eα ˆ j1 (n)k. 0. 1∫ ˆ E βjk = γjk dνhn =< f, ψjk >:= βjk , n 1. 0. Var. 1 = n. α ˆ j1 (n)k. ∫1. 1∫ 2 βˆjk = γjk dνh . n 1. γ˜j21 (n)k dνh ,. Var. 0. (2.7). 0. Poniewa» u»ywamy falek, dla których. ϕ∈C. 2. oraz. supp ϕ. =[0;N], otrzymujemy. lim ϕ′ (x)/x = 0,. x→0 z czego wynika, »e funkcja dla. k∈. γ˜. jest ograniczona na przedziale. [0; 1].. Korzystaj¡c z (2.2). Hjϕ [0; 1], mamy ∫1 2 γ˜j,k dνh = 0. (. ∫1. 23j 0. 6 C1 2. ϕ′ (2j u − k) 2u. ∫1. 3j 0.  )2  ∫1 2  f (x)dx u2 du. uu. (2.8). ∫ ′ j ϕ (2 u) ϕ′ (2j u − k) j 4j 2 du 6 C1 2 du 6 C2 23j . j 2u 2j u 1. 0. 25.

(163) 2.3. Górne ograniczenie Z oszacowania (2.8) oraz ze wzorów (2.5) i (2.7) wynika, »e. ˆ n (f ) 6 C2 1 L n. ∑ k∈Hjϕ. 1. Oszacujmy teraz. 23j1 (n) 6 C3 n−1 24j1 (n) 6 C4 n− 2σ+3 . 2σ. (2.9). [0;1] (n). Tˆn (f ):. σ Tˆn (f ) 6 sup{Tˆn (f ), f ∈ Fpq (M, ε)}.   . . 6 sup Tˆn (f ) : ∥αj1 (n)· ∥lp +      . ∑ (. )q. = sup Tˆn (f ) :    {. ∑ (. 1. 1. )q. 1 q. 2j(σ+ 2 − p ) ∥βj· ∥lp  = M 1. q. 2j(σ+ 2 − p ) ∥βj· ∥lp  6 M. j>j1 (n). . 1. 1. j>j1 (n).     .      }. 1 1 = sup Tˆn (f ) : ∥β(j2 (n)+1)· ∥lp = 2−(j2 (n)+1)(σ+ 2 − p ) M. = M 2 2−2(j2 (n)+1)(σ+ 2 − p ) = C5 2−2j2 (n)(σ+ 2 − p ) . 1. Do oszacowania. Sˆn (f, (λj )). 1. 1. ljk := √ n. γjk βˆjk. Var. to ªatwo pokaza¢, korzystaj¡c z (2.7) i (2.2), »e dla. ∫1. , k ∈ Kjψ (ε; 1]. mamy. 3. 2 ljk dνh. = 1,. 2 2 j C1. ∥ljk ∥∞ 6. √. ε. n. Var. βˆjk ,. 0 Niech. √. ηˆjk = βjk + zjk zjk. (2.10). potrzebna b¦dzie gaussowska aproksymacja, zapropono-. wana w [5]. Je±li oznaczymy. gdzie. 1. Var. βˆjk. .. (2.11). (2.12). jest gaussowsk¡ zmienn¡ losow¡, któr¡ okre±limy poni»ej. Zaªó»my na chwil¦,. »e dla pewnej staªej. C6 Var. Wtedy. βˆjk > C6 ε−2 n−2 23j log3 n. . E[βˆjk − ηˆjk ]2 = Var βˆjk E n. − 12. ∫1. (2.13). 2. ljk d(Gnh − νhn ) − zjk  .. 0 Je±li oznaczymy. Vn =. ∫1 0. ljk d(Gnh − νhn ) :=. ∫1 0. ¯ nh , ljk dG [. to. 1 E[βˆjk − ηˆjk ]2 = Var βˆjk E n− 2 Vn − zjk. ]2. .. Skorzystamy teraz z nast¦puj¡cego lematu (patrz [5], lemat V.1):. 26.

(164) 2.3. Górne ograniczenie. Lemat 2.3. ∫1 0. Zaªó»my, »e. νh ([0; 1]) = 1. oraz. ∫1. l2 dνh = 1.. Niech. 0. l(dGnh −dνhn ), gdzie Gnh. jest procesem Poissona z miar¡ intensywno±ci. powy»szych zaªo»eniach istniej¡ staªe absolutne (niezale»ne od l , »e je±li. 2 −1. Ln. ∥l∥∞ 6 L. log n 6 D1 , 3. to istnieje zmienna losowa. (. E n− 2 Vn − Z 1. )2. oraz. Vn =. νhn = nνh . Przy. L i n) D1. D2. takie,. zjk ∼ N (0, 1). takie,. Z ∼ N (0, 1). i. taka, »e. 6 D2 L2 n−1 .. Powy»szy lemat oraz warunki (2.11) i (2.13) pokazuj¡, »e istnieje »e. E[βˆjk − ηˆjk ]2 6 C3 ε−2 Powy»sza nierówno±¢ korzysta z zaªo»enia, »e Var. 23j . n2 βˆjk > C6 ε−2 n−2 23j log3 n.. (2.14) Je±li to. zaªo»enie nie jest speªnione, czyli. βˆjk < C6 ε−2 n−2 23j log3 n,. Var. to dla dowolnego. zjk ∼ N (0, 1). prawdziwa jest nierówno±¢. . E[βˆjk − ηˆjk ]2. 1 = E n . ∫1. γjk dGnh − βjk − zjk. 0. 2. √ Var. βˆjk . Var. βˆjk = 4. 2. 1∫ 6 2E  γjk dGnh − βjk  + 2 n 1. Var. 0 −2 −2 3j. < C7 ε n 2 log3 n.. (2.15). Nierówno±ci (2.14) oraz (2.15) pokazuj¡, »e dla ustalonej pary zmienna losowa. zjk ,. j, k. istnieje gaussowska. dla której. E[βˆjk − ηˆjk ]2 6 C8 ε−2 n−2 23j log3 n, √ gdzie. βˆjk. ηˆjk = βjk + zjk. Var. wªasno±ci zmiennej losowej. βˆjk .. Mo»emy teraz oszacowa¢. Sˆn (f, (λj )),. (2.16). korzystaj¡c z. ηˆjk : j2 (n). Sˆn (f, (λj )) 6. ∑. ∑. 2E[δS (βˆjk , λj ) − δS (ˆ ηjk , λj )]2. j=j1 (n) k∈Kψ (ε;1] j. j2 (n). +. ∑. ∑. 2E[δS (ˆ ηjk , λj ) − βjk ]2 .. j=j1 (n) k∈Kψ (ε;1] j. 27.

(165) 2.3. Górne ograniczenie. λ. Poniewa» dla ka»dego. δS (y2 , λ)| < |y1 − y2 |,. odwzorowanie. jest zw¦»aj¡ce, tzn.. |δS (y1 , λ) −. otrzymujemy:. j2 (n). ∑. Sˆn (f, (λj )) 6. y → δS (y, λ). j2 (n). ∑. 2E[βˆjk − ηˆjk ]2 +. ∑. ∑. 2E[δS (ˆ ηjk , λj ) − βjk ]2. j=j1 (n) k∈Kψ (ε;1]. j=j1 (n) k∈Kψ (ε;1] j. j. := an (f ) + bn (f ). Korzystaj¡c z (2.16), mamy:. an (f ) 6 C9 ε−2 n−2 log3 n 24j2 (n) . Do oszacowania. Lemat 2.4. [. bn (f ). potrzebny b¦dzie jeszcze jeden lemat (patrz [9], lemat 3):. Je±li Var. (. βˆjk 6 σj2. k ∈ Kjψ (ε; 1],. j2 (n). bn (f ) 6. βˆjk , λj − βjk. Var. βˆjk =. Var. dla ka»dego. ). √. E δS βjk + zjk Dla. (2.17). ∑. 1 n. ∫1 0. j, k ,. ]2. to. 6 2E [δS (βjk + σj zjk , λj ) − βjk ]2 .. 2 2 −2 −1 2j γjk dνh 6 C10 ε n 2 .. [. ∑. (. Z tego wynika, »e. ). 4E δS βjk + n− 2 2j C10 ε−1 zjk , λj − βjk 1. ]2. .. j=j1 (n) k∈Kψ (ε;1] j. Zauwa»my, »e w tym momencie oszacowanie (pod sum¡ jest bª¡d wspóªczynnika. βj,k. bn (f ). nie zale»y od naszego estymatora. zakªóconego gaussowskim szumem, obci¦tego. zgodnie z zasad¡ soft-treshold rule z parametrem. j,. wiemy, »e wraz ze wzrostem. λj ).. Poniewa». σ f ∈ Bpq (M ),. warto±ci bezwzgl¦dne wspóªczynników. odpowiednim tempie, zale»nym od parametru gªadko±ci. σ.. βj,k. to. malej¡ w. Korzystaj¡c z tej wiedzy,. Donoho pokazaª (patrz [8], rozdziaª 8), »e przy odpowiednim wyborze parametrów. λj. prawdziwa jest nierówno±¢. ∑ ∑. [. (. ). 4E δS βjk + b2 2aj zjk , λj − βjk. ]2. σ. 6 C11 b σ+1/2+a ,. j=j1 k∈Z dla. a, b > 0,. czo±ci. j. oraz gdy funkcja. f. ma no±nik zwarty (czyli na danym poziomie rozdziel-. jest tylko sko«czenie wiele niezerowych wspóªczynników. βjk ).. Korzystaj¡c z. tego faktu, otrzymujemy:. bn (f ) 6 C11 n− 2σ+3 ε− 2σ+3 6 C11 n− 2σ+3 ε−2 . 2σ. 4σ. 2σ. (2.18). Z nierówno±ci (2.17) i (2.18) wynika, »e 2σ Sˆn (f, (λj )) 6 C9 ε−2 n−2 log3 n 24j2 (n) + C11 n− 2σ+3 ε−2 .. (2.19). 28.

(166) 2.3. Górne ograniczenie. Sˆn (f, (µj )). szacujemy dokªadnie w taki sam sposób, pami¦taj¡c, »e tym razem. Gjψ [0; ε], co zmienia oszacowania zwi¡zane z. γjk ,. k ∈. mianowicie:. 1∫ 2 2 −1 3j βˆjk = γjk dνh 6 C13 n 2 . n 1. 5 j 2. ∥γjk ∥∞ 6 C12 2 ,. Var. 0. Korzystaj¡c z tych oszacowa« oraz z faktu, »e parametr gªadko±ci funkcji trywanym przedziale jest równy. 4σ/3,. f. na rozpa-. otrzymujemy: 4σ/3. Sˆn (f, (µj )) 6 C14 n−2 log3 n 26j2 (n) + C15 n− 4σ/3+2 , przy odpowiednim wyborze parametrów. γjk. µj .. (2.20). Oszacowanie od góry supremum funkcji. pokazuje natur¦ problemów z estymacj¡ intensywno±ci w otoczeniu zera, o których. byªa mowa wcze±niej. Poniewa» no±nik tej funkcji nie jest odci¦ty od zera, to zamiast. 3j/2. pot¦gi. (patrz [6], rozdziaª 3.2), mamy pot¦g¦. 5j/2,. co uniemo»liwia osi¡gni¦cie. przez estymator tempa zbie»no±ci z dolnego ograniczenia bez dodatkowych zaªo»e« o funkcji. f.. Ponadto zauwa»my, »e funkcja. γjk. staje si¦ nieograniczona, gdy we wn¦trzu. jej no±nika znajduje si¦ zero.. Przy gdy. oszacowaniu. ˆ n (f ) R. wykorzystamy. zaªo»enie,. »e. f (x) = O(x(4σ/3−1/2)+ ),. x → 0+ :. ˆ n (f ) 6 (N − 1)2−j1 (n) R Mo»emy teraz dobra¢. max. x∈[0;(N −1)2−j1 (n) ]. j2 (n). f 2 (x) 6 C11 2−2j1 (n)4σ/3 6 C12 n− 2σ+3 . 2σ. (2.21). tak, aby. σ log2 n σ+3 1 ≪ j2 (n) ≪ log2 n − log2 log n, (2σ + 3)(σ + 1/2 − 1/p) 3(2σ + 3) 2 gdzie. a n ≪ bn. oznacza, »e. lim (bn − an ) = ∞.. n→∞. Taki wybór. j2 (n). jest mo»liwy, gdy. σ+3 σ < . (2σ + 3)(σ + 1/2 − 1/p) 3(2σ + 3) Dla. p>1. 3/(2p).. ªatwo pokaza¢, »e powy»szy warunek jest speªniony, gdy zaªo»ymy »e. Z tak dobranym. j2 (n),. korzystaj¡c z nierówno±ci (2.6), (2.9), (2.10), (2.19),. (2.20) oraz (2.21), otrzymujemy. E∥fˆn − f ∥2L2 6 Cn− 2σ+3 , 2σ. co ko«czy dowód.. σ>.

(167) Rozdziaª 3. Estymator adaptacyjny. W tym rozdziale zajmiemy si¦ konstrukcj¡ estymatora mo»liwego do zastosowania w praktyce. Estymator u»yty w dowodzie twierdzenia 2.3 zale»y od nieznanych parametrów przestrzeni poziomów wygªadzania. σ Fpq (M, ε). λj , µ j .. poprzez wybór granic sumowania. j1 (n), j2 (n). oraz. Kluczowym parametrem jest tutaj parametr gªadko±ci. σ , od którego zale»y tempo zbie»no±ci estymatora fˆn . Jedn¡ z metod poradzenia sobie z problemem nieznajomo±ci parametru gªadko±ci jest podj¦cie próby jego estymacji, któr¡ rozwa»ymy w nast¦pnym rozdziale. Drug¡ metod¡ (najcz¦±ciej spotykan¡ w literaturze) jest konstrukcja estymatora adaptacyjnego, w którym granice sumowania oraz poziomy wygªadzania zostan¡ dobrane tak, aby osi¡gn¡¢ prawie optymalne tempo zbie»no±ci (z dokªadno±ci¡ do czynnika logarytmicznego) przy nieznanym parametrze gªadko±ci, i t¡ metod¡ posªu»ymy si¦ w tym rozdziale. Zaprezentujemy równie» dziaªanie naszego estymatora w eksperymencie numerycznym. Rozdziaª ten oparty jest na pracach [6] i [7].. 3.1. Konstrukcja i ryzyko estymatora adaptacyjnego Tak jak w poprzednim rozdziale, do konstrukcji i oszacowania ryzyka estymatora posªu»ymy si¦ metodami opisanymi w pracy [5] z modykacjami wynikaj¡cymi ze zmiany miary oraz wprowadzenia parametru. ε.. W tej cz¦±ci pracy zakªadamy, »e. 30.

(168) 3.1. Konstrukcja i ryzyko estymatora adaptacyjnego parametry przestrzeni Biesowa, do której nale»y estymowana funkcja, s¡ nieznane. Zaªo»ymy tylko, »e znamy górne ograniczenie na parametr gªadko±ci jest mniejsze ni» jaki± znany parametr tylko parametry. r0 .. σ,. czyli »e. σ. Skonstruujemy estymator wykorzystuj¡cy. r0 i ε, a nast¦pnie udowodnimy, »e osi¡ga on prawie optymalne tempo. zbie»no±ci z dokªadno±ci¡ do czynnika logarytmicznego. Zdeniujmy nast¦puj¡c¡ klas¦ parametrów:. {. }. 3 J := (σ, p, q) : < σ < r0 , 1 6 p, q 6 ∞ , 2p gdzie. r0 > 3/2. jest znan¡ staª¡. Rozwa»my nast¦puj¡cy estymator. ∑. f˜Tn =. α ˆ j3 (n)k ϕj3 (n)k +. k∈Hjϕ (n) [0;1] 3 j4 (n). ∑. +. ∑. j4 (n). ∑. ∑. j=j3 (n). k∈Kjψ (ε;1]. δH (βˆjk , T (ε) cj )ψjk .. δH (βˆjk , T (ε) dj )ψjk ,. (3.1). j=j3 (n) k∈G ψ [0;ε] j. gdzie funkcje. ϕiψ. speªniaj¡ warunek W1, wspóªczynniki. α ˆ j3 (n)k. oraz. βˆjk. s¡ zdenio-. wane wzorem (2.5),. √. c j = 2j. j , n. √. dj = 23j/2. j , n. 2j3 (n) ≍ n3/(8r0 +12) ,.   βˆ , jk δH (βˆjk , T ) =  0,. oraz. 2j4 (n) ≍. n1/2 , log2 n. T (ε) > 0,. |βˆjk | > T ˆjk | 6 T if |β. if. jest metod¡ wygªadzania (tzw. hard-threshold rule). Prawdziwe jest nast¦puj¡ce twierdzenie:. Twierdzenie 3.1. (. 1 ∀ ε ∈ 0; 2. Uwaga:. Niech. ). (σ, p, q) ∈ J .. Wtedy. (. ∃ T (ε) > 0. sup σ (M,ε) f ∈Fpq. W powy»szym twierdzeniu staªa. Ef ∥f˜Tn. T (ε). −. f ∥2L2. log n 6C n. ). 2σ 2σ+3. .. nie jest wyznaczona jednoznacznie. przy ustalonym parametrze. ε.. Wystarczy, »eby byªa ona odpowiednio du»a. Warunki. na t¦ staª¡, przy ustalonym. ε,. pojawi¡ si¦ w dowodzie.. 31.