III Ci gło funkcji
Definicja. Niech f:A
→
R, A⊂Rn oraz p0∈
A. Mówimy, e funkcja f jest ci gła w punkcie p0gdy
( ) ( ) ( )
( δ ε )
δ
ε∀ ∃ ∀ − < − <
∈
>
>0 0 d(f p f p0 ) f(p) f p0
A p
Mówimy, e funkcja f jest ci gła w zbiorze A, je li jest ci gła w ka dym punkcie tego zbioru.
Twierdzenie 3.1. Załó my, e p0 jest punktem skupienia zbioru A. Funkcja f jest ci gła w punkcie p0 wtedy i tylko wtedy, gdy lim ( ) ( 0)
0
p f p
p f
p =
→
Ka da funkcja n zmiennych jest ci gła w ka dym punkcie izolowanym swojej dziedziny.
Twierdzenie 3.2. Je eli funkcja n zmiennych f(x1,…xn) okre lona w pewnym otoczeniu punktu p0=(x10,…,xn0) jest w tym punkcie ci gła, to dla ka dego k∈{1,…,n} funkcja f(x10,…,xk-10,xk, xk+10,…,xn0) jednej zmiennej xk jest ci gła w punkcie xk0 (inaczej mówimy, e funkcja f jest ci gła w punkcie p0 ze wzgl du na ka d zmienn oddzielnie). Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
Dla ci głych funkcji n zmiennych prawdziwe s twierdzenia analogiczne do własno ci funkcji ci głych jednej zmiennej. W szczególno ci
Twierdzenie 3.3. (O działaniach arytmetycznych) Je eli funkcje f i g s ci głe w punkcie p0∈Rn, to w tym punkcie ci głe s tak e funkcje: f+g, f-g, f g oraz gf , o ile g(p0)≠0.
Twierdzenie 3.4. (O ci gło ci funkcji zło onej) Je eli funkcje f, g1, g2,…,gn spełniaj warunki:
(1) funkcje g1, g2,…,gn s ci głe w punkcie p0
(2) funkcja f jest ci gła w punkcie g1(p0), …,gn(p0)) to funkcja zło ona f g1(p), …,gn(p)) jest ci gła w punkcie p0.
Twierdzenie 3.5. (O lokalnym zachowaniu znaku) Je eli funkcja f(p) okre lona w pewnym otoczeniu punktu p0 jest w tym punkcie ci gła oraz f(p0)>0 (albo f(p0)<0), to istnieje s siedztwo S(p0) punktu p0 takie,
e ( ) ( ) 0
0
>
∈∀ f p
p S
p (albo odpowiednio
( ) ( ) 0
0
<
∈∀ f p
p S
p ).
Twierdzenie 3.6 (Weierstrassa o osi ganiu kresów) Je eli funkcja f jest ci gła w zbiorze zwartym D⊂Rn, to jest w tym zbiorze ograniczona oraz
D p∃∈
1 p∃∈D
2
=
∧
=inf∈ ( ) ( ) sup∈ ( ) )
(p1 f p f p2 f p
f
D D p
p .
Twierdzenie 3.7 Niech f b dzie funkcja rzeczywist ci gł , okre lon na zbiorze spójnym D⊂Rn. Wówczas obraz f(D) jest zbiorem spójnym w R.
Twierdzenie 3.8. (Darboux, o przyjmowaniu warto ci po rednich)
Je li funkcja f jest ci gła w obszarze domkni tym i ograniczonym D⊂Rn,to
=
∃
≤
≤
∀∈ inf∈ ( ) sup∈ ( ) ∈ ( 0)
0
p f z p
f z
p
f p D p D
D p R z
Twierdzenie 3.9. (Cantora o ci gło ci jednostajnej)
Je li funkcja f jest ci gła w zbiorze domkni tym i ograniczonym D⊂Rn, to jest jednostajnie ci gła w tym zbiorze tzn.
>0 ε∀ δ∃>0
D p∀∈
1 p∀∈D
2
