wyznaczniki,

Wyznacznik macierzy 2 × 2.

Dana jest macierz A ∈ Mat_{2×2(R), A =}

"

a b c d

#

.

Wyznacznikiem macierzy A nazywamy liczbę |A| =      a b c d      = ad − bc.

Dla macierzy A = " a₁₁ a₁₂ a₂₁ a₂₂ # mamy det A = a₁₁a₂₂ − a₁₂a₂₁.

Są dwie permutacje zbioru {1, 2}.

Permutacja 1 2 1 2

!

jest parzysta, ma znak +1.

Permutacja 1 2 2 1

!

Wyznacznik macierzy 3 × 3.

Wyznacznikem macierzy A ∈ Mat_{3×3(R), A =}

   a b c d e f g h i    nazy-wamy liczbę |A| =        a b c d e f g h i       

Dla macierzy A =    a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃    mamy det A = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ −a₁₁a₂₃a₃₂ − a₁₂a₂₁a₃₃ − a₁₃a₂₂a₃₁.

Jest 6 permutacji zbioru {1, 2, 3}. Permutacje 1 2 3 1 2 3 ! , 1 2 3 2 3 1 ! , 1 2 3 3 1 2 !

są parzyste, mają znak +1. Permutacje 1 2 3 1 3 2 ! , 1 2 3 2 1 3 ! , 1 2 3 3 2 1 !

Wyznacznik macierzy (kwadratowej!) A ∈ Mat_n×n(R), A =      a₁₁ a₁₂ . . . a_1n a₂₁ a₂₂ . . . a_2n ... ... ... a_n1 a_n2 . . . a_nn      , określamy następująco: det A = X σ∈Sn (sgn σ) · a_1σ(1)a_2σ(2) . . . a_nσ(n).

Wyznacznik macierzy jednostkowej: det(I_n) =             1 0 . . . 0 0 0 1 . . . 0 0 ... ... ... ... 0 0 . . . 1 0 0 0 . . . 0 1             = 1.

Wyznacznik macierzy diagonalnej:

            c₁ 0 . . . 0 0 0 c₂ . . . 0 0 ... ... ... ... 0 0 . . . c_n−1 0 0 0 . . . 0 c_n             = c₁c₂ . . . c_n.

Wyznacznik macierzy górnotrójkątnej:             a₁₁ a₁₂ . . . a_1,n−1 a_1n 0 a₂₂ . . . a_2,n−1 a_2n ... ... ... ... 0 0 . . . a_n−1,n−1 a_n−1,n 0 0 . . . 0 a_nn             = a₁₁a₂₂ . . . a_nn.

Wyznacznik macierzy dolnotrójkątnej:

            a₁₁ 0 . . . 0 0 a₂₁ a₂₂ . . . 0 0 ... ... ... ... a_n−1,1 a_n−1,2 . . . a_n−1,n−1 0 a_n1 a_n2 . . . a_n,n−1 a_nn             = a₁₁a₂₂ . . . a_nn.

Wyznacznik macierzy transponowanej: det AT = det A.

Wyznacznik iloczynu macierzy: dla dowolnych macierzy A, B ∈ Mat_{n×n(R) zachodzi równość}

Wyznacznik jako funkcja wierszy macierzy: w₁ = h a₁₁ a₁₂ . . . a_1n i, w₂ = h a₂₁ a₂₂ . . . a_2n i,

...

w_n = h a_n1 a_n2 . . . a_nn i.

Zapiszmy wyznacznik w postaci det A =

         w₁ w₂ ... w_n          .

Dla dowolnego i ∈ {1, . . . , n} mamy:             w₁ ... w_i + w_i0 ... w_n             =             w₁ ... w_i ... w_n             +             w₁ ... w_i0 ... w_n             oraz             w₁ ... c · w_i ... w_n             = c ·             w₁ ... w_i ... w_n             ,

Dla dowolnych i, j ∈ {1, . . . , n}, i 6= j, mamy:                 w₁ ... w_i ... w_j ... w_n                 = −                 w₁ ... w_j ... w_i ... w_n                 . Wnioski:             w₁ ... 0 ... w_n             =             w₁ ... 0 · 0 ... w_n             = 0 ·             w₁ ... 0 ... w_n             = 0,

                w₁ ... w_i ... w_i ... w_n                 = −                 w₁ ... w_i ... w_i ... w_n                 ⇒                 w₁ ... w_i ... w_i ... w_n                 = 0,              w₁ ... w_i + c · w_j ... w_j ...              =              w₁ ... w_i ... w_j ...              +              w₁ ... c · w_j ... w_j ...              =              w₁ ... w_i ... w_j ...              + c ·              w₁ ... w_j ... w_j ...              =              w₁ ... w_i ... w_j ...             

Kolumny macierzy A:      a₁₁ a₂₁ ... a_m1      ,      a₁₂ a₂₂ ... a_m2      , . . . ,      a_1n a_2n ... a_mn      .

Zapiszmy wyznacznik w postaci det A = 

k1 k2 . . . kn   .

Wówczas dla dowolnego i ∈ {1, . . . , n} mamy:   k1 . . . ki + k 0 i . . . kn    =   k1 . . . ki . . . kn    +   k1 . . . k 0 i . . . kn    oraz   k1 . . . c · ki . . . kn    = c ·   k1 . . . ki . . . kn   ,

dla dowolnych i, j ∈ {1, . . . , n}, i 6= j, mamy:

  k1 . . . ki . . . kj . . . kn    = −   k1 . . . kj . . . ki . . . kn   .

Wnioski:   k1 . . . 0 . . . kn    = 0,   k1 . . . ki . . . ki . . . kn    = 0,   k1 . . . ki + c · kj . . . kj . . . kn    =   k1 . . . ki . . . kj . . . kn   .

Niech A ∈ Mat_{n×n(R). Przez Aij} oznaczmy macierz otrzymaną z macierzy A przez wykreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny.

Rozwinięcie Laplace’a względem i-tego wiersza:

|A| = (−1)i+1a_i1· |A_i1| + (−1)i+2a_i2· |A_i2| + . . . + (−1)i+na_in· |A_in|.

Rozwinięcie Laplace’a względem j-tej kolumny:

Niech A ∈ Mat_{n×n(R), Aij} – macierz otrzymana z macierzy A przez wykreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny.

Liczbę D_ij = (−1)i+j · |A_ij| nazywamy dopełnieniem algebraicz-nym elementu a_ij. Macierz dopełnień algebraicznych oznaczamy przez AD: AD =      D₁₁ D₁₂ . . . D_1n D₂₁ D₂₂ . . . D_2n ... ... ... D_n1 D_n2 . . . D_nn      .

Twierdzenie. Macierz odwrotna do macierzy A istnieje dokład-nie wtedy, gdy det A 6= 0, i wówczas

A−1 = 1

det A · (A

D₎T_.

Dowód. Jeśli macierz A jest odwracalna, to A · A−1 = I, więc det A · det A−1 = det(A · A−1) = det I = 1,

skąd det A 6= 0.

Pozostaje wykazać, że jeśli det A 6= 0, to macierz A jest odwra-calna i macierz odwrotna wyraża się podanym wzorem.

Rozważmy rozwinięcie Laplace’a względem i-tego wiersza: det A =                 a₁₁ a₁₂ . . . a_1n ... ... ... a_i1 a_i2 . . . a_in ... ... ... a_j1 a_j2 . . . a_jn ... ... ... a_n1 a_n2 . . . a_nn                 = a_i1D_i1 + a_i2D_i2 + . . . + a_inD_in.

Jeśli zamiast i-tego wiersza wstawimy j-ty wiersz, gdzie j 6= i, to otrzymamy: 0 =                 a₁₁ a₁₂ . . . a_1n ... ... ... a_j1 a_j2 . . . a_jn ... ... ... a_j1 a_j2 . . . a_jn ... ... ... a_n1 a_n2 . . . a_nn                 = a_j1D_i1 + a_j2D_i2 + . . . + a_jnD_in.

Dla dowolnego i mamy:

a_i1D_i1 + a_i2D_i2 + . . . + a_inD_in = det A, a dla dowolnych i 6= j:

a_j1D_i1 + a_j2D_i2 + . . . + a_jnD_in = 0. Możemy to zapisać tak:

    a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... ... an1 an2 . . . ann     ·     D11 D21 . . . Dn1 D12 D22 . . . Dn2 ... ... ... D1n D2n . . . Dnn     =     det A 0 . . . 0 0 det A . . . 0 ... ... ... 0 0 . . . det A     .

Mamy zatem

A · (AD)T = det A · I. Analogicznie pokazujemy, że

(AD)T · A = det A · I. Jeśli det A 6= 0, to otrzymujemy równości

A · 1

det A · (A

D₎T ₌ 1

det A · (A

D₎T _{· A = I,}

które oznaczają, że macierz A jest odwracalna oraz A−1 = 1

det A · (A

Minorem macierzy A ∈ Mat_{m×n(R) nazywamy wyznacznik jej} podmacierzy kwadratowej:           a_i1j1 a_i1j2 . . . a_i1j k a_i2j1 a_i2j2 . . . a_i2j k ... ... ... a_i kj1 aikj2 . . . aikjk           , gdzie 1 6 i1 < i2 < . . . < ik 6 m, 1 6 j1 < j2 < . . . < jk 6 n.

Rzędem macierzy A ∈ Mat_{m×n(R) nazywamy największy stopień} jej niezerowego minora.

Twierdzenie Kroneckera – Capellego (wersja krótka)

Układ równań Ax = b, gdzie A ∈ Mat_{m×n(R), b ∈ R}m_{, x ∈ R}n po-siada rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy rank(A) = rank[A|b].

Uwaga: "posiada rozwiązanie" oznacza "posiada co najmniej jed-no rozwiązanie".

Twierdzenie Kroneckera – Capellego (wersja długa)

Rozważmy układ równań Ax = b, gdzie A ∈ Mat_{m×n(R), b ∈ R}m, x ∈ Rn.

a) Jeśli rank(A) = rank[A|b] = n, to układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie.

b) Jeśli rank(A) = rank[A|b] = r < n, to układ równań ma nie-skończenie wiele rozwiązań. Rozwiązanie zależy od n − r para-metrów.

Co to znaczy, że rozwiązanie zależy od n − r parametrów?

Wszystkie rozwiązania układu Ax = b są postaci x = x₀ + c₁v₁ + . . . + c_n−rv_n−r

dla dowolnych wartości parametrów c₁, . . . , c_{n−r ∈ R,} gdzie x₀, v₁, . . . , v_{n−r ∈ R}n.

Dla różnych wartości parametrów c₁, . . . , c_n−r otrzymujemy różne rozwiązania x.

Rozwiązania układu jednorodnego Ax = 0 są wówczas postaci x = c₁v₁ + . . . + c_n−rv_n−r

Niech x₀ będzie pewnym rozwiązaniem układu równań Ax = b. Wówczas wszystkie rozwiązania tego układu są postaci

x = x₀ + v,

gdzie v jest dowolnym rozwiązaniem układu Ax = 0.

Dowód. Jeśli Ax₀ = b i Av = 0, to

A(x₀ + v) = Ax₀ + Av = b + 0 = b.

Jeśli Ax₀ = b i Ax = b, to dla v = x − x₀ mamy Av = Ax − Ax₀ = b − b = 0.

Twierdzenie. Dla macierzy kwadratowej A ∈ Mat_n×n(R) nastę-pujące warunki są równoważne:

– macierz A jest odwracalna,

– det(A) 6= 0,

Wzory Cramera: x₁ = W1 W , . . . , xn = W_n W , gdzie W = det A 6= 0,

W_i - wyznacznik macierzy otrzymanej z macierzy A przez zamia-nę i-tej kolumny na kolumzamia-nę b:

W_i =          a₁₁ . . . b₁ . . . a_1n a₂₁ . . . b₂ . . . a_2n ... ... ... a_n1 . . . b_n . . . a_nn          .