Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów - podstawowe pojęcia

Równania różniczkowe

liniowe wyższych rzędów

-podstawowe pojęcia

Autorzy:

Julian Janus

2019

(1)

(2)

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów - podstawowe pojęcia

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów - podstawowe pojęcia

Autor: Julian Janus

DEFINICJA

Definicja 1: Równania liniowego rzędu n-tego

Definicja 1: Równania liniowego rzędu n-tego

Równaniem różniczkowym liniowym rzędu nazywamy równanie postaci

gdzie jest szukaną funkcją a dane funkcje i są ciągłe i określone w przedziale o wartościach rzeczywistych. Przez przedział rozumiemy jeden z następujących zbiorów:

lub .

UWAGA

Uwaga 1:

Uwaga 1:

Jeżeli dla każdego to równanie ( 1 ) będziemy nazywać równaniem jednorodnymrównaniem jednorodnym, w przeciwnym razie równaniem niejednorodnym równaniem niejednorodnym.

DEFINICJA

Definicja 2: Rozwiązania

Definicja 2: Rozwiązania

Rozwiązaniem

Rozwiązaniem równania ( 1 ) nazywamy funkcję określoną w przedziale i -krotnie różniczkowalną, spełniającą dla każdego równanie ( 1 ).

DEFINICJA

Definicja 3: Problemu początkowego

Definicja 3: Problemu początkowego

Zagadnienie polegające na znalezieniu rozwiązania równania ( 1 ), które dla ustalonego spełnia -równości: gdzie są danymi stałymi, będziemy nazywać problemem początkowymproblemem początkowym.

n

(t)

(t) +

(t)

(t) + ⋯ + (t) (t) + (t)y(t) = f(t)

a

n

y

(n)

a

n−1

y

(n−1)

a1

y

′

a0

y(t)

y : I → R,

f(t)

a

i

(t), i = 0, …, n

I ⊂ R

I

(a, b), (−∞, a), (a, +∞)

R

f(t) = 0

t ∈ I,

y(t)

I n

t ∈ I

∈ I

t0

n

y( ) = ,

t

0

b

0

y

′

( ) = , …,

t

0

b

1

y

n−1

( ) =

t

0

b

n−1

,

, …,

b

0

b

n−1

PRZYKŁAD

Przykład 1:

Przykład 1:

Pokażemy, że funkcja jest rozwiązaniem problemu początkowego postaci

Rozwiązanie: i więc czyli

funkcja jest rozwiązaniem równania.

Ponadto i , zatem funkcja spełnia waruneki początkowe.

PRZYKŁAD

Przykład 2:

Przykład 2:

Pokażemy, że funkcja jest rozwiązaniem następującego problemu początkowego

w przedziale dla dowolnego parametru . Rozwiązanie: i zatem

Ponadto i , co kończy dowód, że jest rozwiązaniem problemu początkowego.

y(t) = sin(2t)

(t) + 4y(t) = 0, y(0) = 0, (0) = 2, gdzie t ∈ R.

y

′′

_y

′

(t) = 2 cos(2t)

y

′

_y

′′

_{(t) = −4 sin(2t),}

_y

′′

_{(t) + 4y(t) = −4 sin(2t) + 4 sin(2t) = 0,}

y(t)

y(0) = sin(0) = 0

y

′

(0) = 2 cos(0) = 2

_y(t)

y(t) = c + t + 1

t

2

(t) − 2t (t) + 2y(t) = 2, y(0) = 1,

(0) = 1

t

2

_y

′′

_y

′

_y

′

(−∞, ∞),

c

(t) = 2ct + 1

y

′

_y

′′

_{(t) = 2c}

(t) − 2t (t) + 2y(t) = 2c − 2t(2ct + 1) + 2(c + t + 1) = 2.

t

2

_y

′′

_y

′

_t

2

_t

2

y(0) = 1

y

′

(0) = 1

_y(t)

(3) (4)

TWIERDZENIE

Twierdzenie 1:

Twierdzenie 1:

ZAŁOŻENIA: ZAŁOŻENIA:

Niech funkcje będą rozwiązanimi równania jednorodnego

TEZA: TEZA:

Wtedy dowolna liniowa kombinacja tych funkcji gdzie

są dowolnymi stałymi, jest również rozwiązaniem równania ( 3 )

DOWÓD: DOWÓD:

Dowód przeprowadzimy w przypadku, gdy , (dla dowolnego dowód jest analogiczny). Niech będą rozwiązaniami równania

Definiujemy gdzie są to dowolne stałe, wtedy

Podstawiając teraz do równania ( 4 ) otrzymujemy

Zatem jest rozwiązaniem równania ( 4 ).

PRZYKŁAD

Przykład 3:

Przykład 3:

Funkcje i są rozwiązaniami równania

Zatem na mocy twierdzenia 1, funkcja gdzie - są to dowolne stałe, jest też rozwiązaniem tego równania.

(t), …, (t)

y

1

y

k

(t)

(t) +

(t)

(t) + ⋯ + (t) (t) + (t)y(t) = 0.

a

n

y

(n)

a

n−1

y

(n−1)

a1

y

′

a0

y(t) =

c

1

y

1

(t) + ⋯ +

c

k

y

k

(t),

, …

c

1

c

k

k = n = 2

k, n ∈ N

(t), (t)

y

1

y

2

(t) (t) + (t) (t) + (t)y(t) = 0.

a

2

y

′′

a

1

y

′

a

0

y(t) =

c1y1

(t) +

c2y2

(t)

c1

,

c2

(t) =

(t) +

(t) i

(t) =

(t) +

(t).

y

′

_c1

_y

′ 1

c2

y

2′

y

′′

c1y

1′′

c2

y

2′′

y(t), (t),

y

′

_y

′′

(t)

(t) (

(t) +

(t)) + (t) (

(t) +

(t)) + (t) (

(t) +

(t)]) =

a

2

c

1

y

′′1

c

2

y

2′′

a

1

c

1

y

1′

c

2

y

2′

a

0

c

1

y

1

c

2

y

2

( (t) (t) + (t) (t) + (t) (t)) + ( (t) (t) + (t) (t) + (t) (t)]) = 0.

c

1

a

2

y

′′1

a

1

y

1′

a

0

y

1

c

2

a

2

y

2′′

a

1

y

2′

a

0

y

2

y(t)

(t) =

y1

e

−t

_y2

_{(t) =}

_e

−3t

_y

′′

_{+ 3 + 2y = 0.}

_y

′

y(t) =

c1

e

−t

+

_c2

_e

−3t

,

_c1

_,

_c2

TWIERDZENIE

Twierdzenie 2:

Twierdzenie 2: O istnieniu i jednoznaczności rozwiązania problemu Cauchy'ego

O istnieniu i jednoznaczności rozwiązania problemu Cauchy'ego

ZAŁOŻENIA: ZAŁOŻENIA:

Niech funkcje i będą ciągłe i określone w przedziale ponadto dla każdego

TEZA: TEZA:

Wtedy problem początkowy

gdzie , zaś - są to dowolne stałe, posiada dokładnie jedno rozwiązanie określone w przedziale .

Dowód tego twierdzenia jest przedstawiony w module Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności dla równań różniczkowych zwyczajnych.

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-16 01:11:30

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=fac207bd64fc77beb89f746616139ab4

Autor: Julian Janus

f(t)

a

k

(t), gdzie k = 0, …, n,

I ⊂ R ,

a

n

(t) ≠ 0,

t ∈ I.

{ (t)

a

n

y

(n)

(t) +

a

n−1

(t)

y

(n−1)

(t) + ⋯ + (t) (t) + (t)y(t) = f(t),

a1

y

′

a0

y( ) = , ( ) = , …,

t

0

b

0

y

′

t

0

b

1

y

(n−1)

( ) =

t

0

b

n−1

t ∈ I,

∈ I

t0

b0

, . . . ,

b

n−1

I