RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE

WYKŁAD 11

 Definicja

Funkcja

y = f (x)

^jestklasy

C

^{n jeżelijest}

n

-krotnie różniczkowalna i jej

n

-ta pochodna jest funkcjąciągłą.

 Definicja

Funkcja

y = f (x)

^jestklasy

C

^

,

jeżeli jest klasy

C

ⁿ dla każdego

nN.

 Twierdzenie

Jeżeli funkcja

y = f (x)

jest klasy

C

ⁿ w pewnym otoczeniu

U(x

₀

, h)

^punktu

x

₀, to dla każdego

x

z tego otoczenia zachodzi wzór Taylora

) ( ...

)

! ( 3

) ) (

! ( 2

) ( ) ''

! ( 1

) ( ) '

( )

(

⁰ ₀ ³

'' ' 2 0 0

0 0

0

f x x x R x

x x x

x f x x

x f f x

f

         _{n .}

gdzie

n n

n

x x

n c x f

R ( )

! ) ) (

(

₀

)

(





nazywamy resztą w postaci Lagrange’a,

c  U(x

0

, h)

^.

Szeregi potęgowe

3

 Definicja

Jeżeli funkcja

y = f (x)

jest klasy

C

^ w pewnym otoczeniu

U(x

₀

, h)

punktu

x

₀, to szereg potęgowy

...

)

! ( 3

) ) (

! ( 2

) ( ' ) '

! ( 1

) ( ) '

( )

! ( )

(

₃

0 0

'' ' 2 0 0

0 0

0 0

0 0

)

(         



^



x x x

x f x x

x f x x

x f f x

n x x f

n

n n

nazywamy szeregiem Taylora tej funkcji o środku w punkcie

x

₀

.

Jeżeli

x

₀

= 0,

to szereg ten nazywamy szeregiem Maclaurina

.

Uwaga

Ze zbieżności szeregu nie wynika, że jego suma jest równa tej funkcji.

Np. dla funkcji



 







^



0 dla

0

0 ) dla

(

2

1

x x x e

f

^x

f

⁽ⁿ⁾

(0) = 0,

więc suma szeregu Maclaurina jest funkcją zerową.

Szeregi potęgowe

Szeregi potęgowe

Wykres funkcji



 







^



0 dla

0

0 ) dla

(

2

1

x x x e

f

^x

5

 Twierdzenie

Jeżeli funkcja

y = f (x)

jest klasy

C

^ w pewnym otoczeniu

U(x

₀

, h)

punktu

x

₀,

i dla każdego

x



U(x

₀

, h)

(gdzie oznacza

n

-tą resztę

we wzorze Taylora), to

) , ( dla

)

! ( ) ) (

(

₀

0

0 0

) (

h x U x x

n x x x f

f

n

n

n  





^

 .

Uwaga

Warunek jest spełniony jeśli wszystkie pochodne funkcji

f

są wspólnie ograniczone tzn.

M x

f h x U x N

n

M     

ⁿ



 { 0 } (

₀

, ) |

^{( )}

( ) |

0 ) (

lim 



 R_n x

n

n n

n

x x

n c x f

R ( )

! ) ) (

(

₀

)

( 



0 ) (

lim 





R

_n

x

n

Szeregi potęgowe

 Twierdzenie (o jednoznaczności rozwinięcia w szereg potęgowy)

Jeżeli funkcja

y = f (x)

jest w pewnym otoczeniu

U(x

₀

, h)

punktu

x

₀, sumą szeregu potęgowego



^







0

0

) (

) (

n

n

n

x x

a x

f

to

, 0 , 1 , 2 , ...

! ) (

₀

)

(



 n

n x a f

n n

Szeregi potęgowe

Przykłady rozwijania funkcji w szeregi potęgowe w załączonym pliku:

Szereg_potegowy_przyklady.doc

Szeregi potęgowe

Rozwinięcia funkcji w szeregi potęgowe wyznacza się:

Przez znalezienie wzoru na pochodną dowolnego rzędu rozwijanej funkcji,

Przez wykorzystanie znanych rozwinięć funkcji i wykorzystanie

stosownych twierdzeń o szeregach potęgowych.

Szeregi potęgowe

Rozwinięcia do zapamiętania



^



















0 3

2

! ... 1

! ... 1

! 3

1

! 2

1

! 1 1 1

n

n n

x

x

x n x n

x x

e

1

|

| ...

...

1 1

1   

₂



₃

    

 

^



x x

x x

x x x

n n

9

 Definicja

Wielomianem trygonometrycznym nazywamy funkcję postaci

 











N

n

n n

N

a a nx b nx

x T

1

0

cos sin

) 2 (

gdzie a

₀

, a

_n

, b

_n

 R

.

Dziedziną wielomianu trygonometrycznego jest zbiór liczb rzeczywistych.

Jest on funkcją klasy C

^

^{, na} R ^.

Jest funkcją okresową o okresie podstawowym 2 .

Uwaga

Niejawnymi przykładami wielomianów trygonometrycznych są funkcje

2 2 cos 2

cos 1 )

(

²

2

x x x

C    _oraz S x x x sin 2 x

2 cos 1

sin )

2

(  

Szeregi Fouriera

 Definicja

Szeregiem trygonometrycznym nazywamy szereg funkcyjny postaci

 



^







1

0

cos sin

2

n

n

n

nx b nx

a a

gdzie

a

₀

, a

_n

, b

_n są stałymi rzeczywistymi.

Ponieważ jest to szereg funkcyjny mają do niego zastosowanie poznane twierdzenia dotyczące szeregów funkcyjnych np. jeśli szereg jest zbieżny jednostajnie, to jego suma jest funkcją ciągłą (wyrazy szeregu są funkcjami ciągłymi!).

Jeżeli szereg jest zbieżny, to jego suma jest funkcją okresową o okresie podstawowym

2.

 Twierdzenie

Jeżeli szereg liczbowy,

 



^





1

|

|

|

|

n

n

n

b

a

jest zbieżny, to szereg trygonometryczny

S(x)

jest zbieżny jednostajnie na

R.

Dowód wynika z tw. Weierstrassa (

| f

_n

( x ) |  | a

_n

cos nx  b

_n

sin nx |  | a

_n

|  | b

_n

|

).

Szeregi Fouriera

11

 Lemat

Zachodzą równości:











^



0 sin

)

( n N nxdx











^



0 cos

)

( n N nxdx











^



0 cos

sin )

,

( m n N mx nxdx



   



 





^



 dla n m

m n nxdx dla

mx N

n

m 0

sin sin

) ,

(



   



 





^



 dla n m

m n nxdx dla

mx N

n

m 0

cos cos

) ,

(

(Udowodnić powyższe równości)

Szeregi Fouriera

 Twierdzenie

Jeżeli funkcja

f(x)

jest sumą jednostajnie zbieżnego szeregu trygonometrycznego

 



^









1

0

cos sin

) 2 (

n

n

n

nx b nx

a a x

f

to jego współczynniki wyrażają się wzorami





































nxdx x

f b

nxdx x

f a

dx x f a

n n

sin ) 1 (

cos ) 1 (

) 1 (

0

...

3 , 2 ,

 1 n

Powyższe związki między funkcją graniczną i współczynnikami szeregu otrzymujemy całkując szeregi odpowiadające funkcjom

f(x), f(x)cosnx

^oraz

f(x)sinnx, nN

wyraz po wyrazie i wykorzystując lemat.

Szeregi Fouriera

13 Niech

f

będzie dowolną funkcją całkowalną w przedziale

[-,].

 Definicja

Szeregiem Fouriera funkcji

f

, całkowalnej w przedziale

[-,]

nazywamy szereg trygonometryczny, którego współczynniki, zwane współczynnikami Fouriera, zostały wyznaczone wg wzorów Eulera-Fouriera:

Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830)





































nxdx x

f b

nxdx x

f a

dx x f a

n n

sin ) 1 (

cos ) 1 (

) 1 (

0

Leonhard Euler (1707-1783)

Szeregi Fouriera

Szereg Fouriera może być skonstruowany dla każdej funkcji

f ,

dla której istnieją całki występujące we wzorach definiujących współczynniki Fouriera.

Zapisujemy to wzorem

 



^







1

0

cos sin

~ 2 ) (

n

n

n

nx b nx

a a x

f

Uwaga

Wyznaczony w ten sposób szereg nie musi być zbieżny.

W przypadku zbieżności jego suma nie musi być równa funkcji

f.

Warunki wystarczające na to by suma szeregu Fouriera była równa funkcji, na podstawie której szereg został skonstruowany, nazywane są warunkami Dirichleta.

Szeregi Fouriera

15 Niech

f(x)

będzie funkcją ograniczoną na przedziale (a, b) .

 Definicja

Funkcja

f(x)

jest przedziałami monotoniczna na (a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy przedział ten można podzielić na skończoną liczbę podprzedziałów, wewnątrz których funkcja jest monotoniczna.

 Definicja

Funkcja

f(x)

spełnia w przedziale

[-, ]

warunki Dirichleta wtedy i tylko wtedy, gdy:

1. jest ograniczona i przedziałami monotoniczna na

(-, )

,

2. ma co najwyżej skończoną liczbę punktów nieciągłości i w każdym punkcie

x

₀^,

w którym funkcja nie jest ciągła spełniony jest warunek

)) (

) ( 2 ( ) 1

( x

₀ 

f x

₀ 

f x

₀

f

gdzie

f (x

₀

+)

i

f (x

₀

+)

oznaczają odpowiednio granicę prawo i lewostronną funkcji

f

w punkcie

x

_0.

3. na końcach przedziału spełniony jest warunek

)) ( ) (

2 ( ) 1 ( )

(







f 



f





 

f 



f

Szeregi Fouriera

 Twierdzenie (Dirichleta)

Jeżeli funkcja

f(x)

spełnia w przedziale

[-,

] warunki Dirichleta, to w każdym punkcie tego przedziału jest sumą swojego szeregu Fouriera.

Szeregi Fouriera

O x f (x)

-

 

Przykład

Wykres funkcji spełniającej warunki Dirichleta

18 Przykład

Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję

f (x) = x

na przedziale

(-, )

. Wyznaczamy współczynniki szeregu Fouriera.

Funkcja jest nieparzysta, zatem a₀ = 0 i am= 0 dla m  N.

Szereg Fouriera funkcji

f (x) = x

na przedziale (-, ) jest dany wzorem

Uwaga

Z kryterium Dirichleta wynika, że ten szereg jest zbieżny do

f

na całym przedziale otwartym

(-, )

Na końcach przedziału suma szeregu wynosi zgodnie z kryterium Dirichleta zero (!).

Szeregi Fouriera

Szeregi Fouriera

k x kx

S

ⁿ

n

k n

) sin 1 ( 2 )

(

¹

1





 ^



Przykład (c. d.)

Szeregi Fouriera

k x kx

S

ⁿ

n

k n

) sin 1 ( 2 )

(

¹

1





 ^



Przykład (c. d.)

Szeregi Fouriera

k x kx

S ⁿ

k

) sin 1 ( 2 )

( ¹

50

1 50





 ^



Przykład (c. d.)

Szeregi Fouriera

n = 1

n = 2

n = 4 n = 3

Przykład

Aproksymacja „sygnału prostokątnego” za pomocą pierwszych 4 wyrazów szeregu Fouriera

Trygonometryczny szereg Fouriera - animacja

Szeregi Fouriera

24 Uwagi praktyczne związane z wyznaczaniem szeregów Fouriera

1. Całki występujące we wzorach na współczynniki Fouriera zazwyczaj oblicza się metodą całkowania przez części.

2. Warto zapamiętać

N n n

N n n

n











, ) 1 ( cos

, 0 sin





3. W trakcie obliczeń wykorzystać nieparzystość, bądź parzystość funkcji (o ile występuje) dla funkcji nieparzystej









^



₀

0

2 ( ) sin

0 b f x nxdx

a

a

_{n n}

dla funkcji parzystej

0 cos

) 2 (

0



 

ⁿ

n

f x nxdx b

a





4. Należy pamiętać o warunkach Dirichleta przy wyznaczaniu sumy szeregu.

Szeregi Fouriera

Szeregi Fouriera

0 cos

)

1 ( 

 









^{f t nxdx}

a

_n

(nieparzysta) (parzysta)

| |

0 )

1 (

0

  









^{f x dx}

a ^  ^ 













₀

^{( ) sin}

sin 2 ) 1 (

nxdx x

f nxdx

x f b

_n

| |

(parzysta)

(nieparzysta)

×

(nieparzysta) (nieparzysta)





) (x f

 x

Wyznaczanie współczynników Fouriera funkcji nieparzystej

Szeregi Fouriera



 

) (x f

x

Wyznaczanie współczynników Fouriera funkcji parzystej



 ^















₀

^{( ) cos}

cos 2 )

1 (

nxdx x

f nxdx

x f a

_n

| |

(parzysta)

0 sin

)

2 ( 

 









^{f x nxdx}

b

_n

(parzysta)

×

(nieparzysta)

| |

(nieparzysta) (parzysta) (parzysta)

Przykłady rozwijania funkcji w szeregi Fouriera w załączonym pliku:

Szereg_Fouriera_przyklady.doc

Szeregi Fouriera

28 Jeżeli

f

jest funkcją okresową o okresie

2l

, to jej współczynniki Fouriera wyznaczamy z wzorów



















l

l n

l

l n

l

l

l dx x x n

l f b

l dx x x n

l f a

dx x l f

a





sin ) 1 (

cos ) 1 (

) 1 (

0

Wzory te otrzymujemy w wyniku liniowej transformacji zmiennych wg wzoru

l y _  x

przekształcającej przedział

[-l, l]

w przedział

[-  ,  ].

Szeregi Fouriera

Szereg Fouriera ma wówczas postać

 



^







1

0

cos sin

~ 2 ) (

n

n

n

nx b nx

a a x

f

Szeregi Fouriera

DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ

Szeregi potęgowe