RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE

WYKŁAD 7

(uzupełnienia)

Metody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych stosujemy wówczas, gdy równania nie można rozwiązać metodami analitycznymi.

Umożliwiają one wyznaczenie wartości przybliżonych rozwiązań dla wybranych wartości argumentów.

Za pomocą metod numerycznych rozwiązuje się wyłącznie zagadnienia Cauchyego.

Metodami numerycznymi rozwiązuje się równania (układy równań) zapisane w postaci normalnej/kanonicznej

Metody te są zaimplementowane w licznych komputerowych

bibliotekach matematycznych np. w pakietach Mathematica i MATLAB.

Metody numeryczne

Rozważmy zagadnienie Cauchy’ego

 







0 0

)

(

) , ( '

y x

y

y x f y

.

Zgodnie z wzorem Taylora dla rozwiązanie tego zagadnienia zachodi równość

) ( )

( ' )

( )

( x

h y x

y x

h O h

y    

Zatem wartości przybliżone rozwiązania można wyznaczać z wzoru

h y x f x

y h

x

y (

 )  (

)  (

,

)

Ponieważ błąd przybliżenia wzrasta ze wzrostem

|h|

wzór może być stosowany gdy

|h|

Leonhard Euler 1707 - 1783

Metoda Eulera

Interpretacja geometryczna przybliżenia

wartość przybliżona wartość dokładna

błąd

h y x f x

y h

x

y (

 )  (

)  (

,

)

Metoda Eulera

Dla wyznaczenia wartości rozwiązania w punktach odległych od punktu startowego wykorzystuje się procedurę iteracyjną, w której wielokrotnie wykorzystuje się tę samą formułę przybliżenia przyjmując jako warunek początkowy wartości obliczone

w poprzedniej iteracji.

...

, 2 , 1 ,

) ,

1

  ( 



y f x y h i

y

Powyższą procedurę obliczeniową nazywamy metodą Eulera.

rozwiązanie dokładne

Metoda Eulera

Uwagi realizacyjne

 Wpływ długości kroku (h)

 Automatyczny dobór długości kroku

 Błędy metody

 Wady metody

rozw. dokładne

Metoda Eulera

Metoda Eulera

Przykład

Rozwiązania zagadnienia Cauchy’ego

 











8 , 1 ) 3 (

0 cos

' y

x y

y

uzyskane metodą Eulera dla różnych wartości współczynnika kroku.

Kolor czerwony przedstawia rozwiązanie dokładne

y  1 , 8 e

Metoda Eulera

Metoda Eulera

Adresy witryn internetowych zawierających aplety ilustrujące metodę Eulera

http://www.csun.edu/~hcmth018/EuM.html

http://www-math.mit.edu/daimp/EulerMethod.html

http://www.math.psu.edu/dlittle/java/calculus/eulersmethod.html

http://www.cse.illinois.edu/iem/ode/eulrmthd/

Metoda Rungego-Kutty (czwartego rzędu)

) ,

(

2 ) , 1

2 ( 1

2 ) , 1

2 ( 1

) , (

3 4

2 3

1 2

1

h K y

h x f K

h K y

h x

f K

h K y

h x

f K

y x f K

i i

i i

i i

i i

























1

2 2

6 K K K K

y h

y



   

Carl Runge (1856-1927)

Martin Wilhelm Kutta (1867-1944)

Metody Rungego-Kutty

Metody Rungego-Kutty

x

x

+ h/2 x

+ h K

K

K

K



²

²



6

1 K K K K

f    

Interpretacja geometryczna metody RK4

Układy równań rzędu pierwszego w postaci normalnej (kanonicznej) rozwiązujemy podobnie jak pojedyncze równania

Równania wyższych rzędów sprowadzamy do układu równań rzędu pierwszego

Metody numeryczne

Przykład

Równanie opisujące drgania nieliniowe układu o jednym stopniu swobody 3

0

1







 c x kx k x x

m   

gdzie

:

m – ^masa

,

,

k – sztywność sprężyny

,

–

z warunkiem początkowym

x(t

) = x

, x’(t

) = x



 













3 1 1 1

2 2

2 1

m x x k

m x k

m x c

x x





Teraz możemy zastosować procedurę numeryczną.

Metody numeryczne