RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE

(1)

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE

WYKŁAD 13

(2)

Geometria różniczkowa to dział matematyki, w którym do badania obiektów geometrycznych wykorzystuje się metody oparte na rachunku różniczkowym.

Obiekty geometryczne (krzywe, powierzchnie, hiperpowierzchnie itp.) opisuje się przy pomocy funkcji różniczkowalnych, a ich własności geometryczne bada się przy pomocy pochodnych zwyczajnych i cząstkowych tych funkcji.

W niniejszym wykładzie ograniczymy się do zagadnień związanych z geometrią krzywych na płaszczyźnie lub w przestrzeni trójwymiarowej.

Intuicyjnie, przez krzywą rozumie się jednowymiarowy podzbiór pewnej przestrzeni (płaszczyzny, przestrzeni trójwymiarowej lub ich uogólneń).

Geometria różniczkowa

(3)

Niech

I R

będzie dowolnym przedziałem.

Definicja

Funkcję

r : I R

ⁿnazywamy funkcją wektorową jednej zmiennej.

Uwaga

Jeżeli

n = 2

^{, to}

I t t

y t x

t ) [ ( ), ( )], (

r

_,

Jeżeli

n = 3

^{, to}

I t t

z t y t x

t ) [ ( ), ( ), ( )], (

r

Definicja

Funkcja wektorowa

r : I R

ⁿ jest klasy

C

^k^{na zbiorze}

I

₀

I

jeżeli posiada ciągłe pochodne do rzędu

k

włącznie w każdym punkcie zbioru

I

₀^.

Twierdzenie

Funkcja wektorowa jest klasy

C

^k ^{na zbiorze}

I

₀ wtedy i tylko wtedy, gdy jej wszystkie współrzędne są klasy

C

^k na zbiorze

I

₀

.

Geometria różniczkowa

3

(4)

Definicja

Krzywą w przestrzeni

R

ⁿ

(n > 1)

nazywamy dowolny ciągły obraz przedziału

I

(otwartego lub domkniętego właściwego lub nie)

.

Funkcję, której obrazem jest krzywa nazywamy parametryzacją krzywej.

Definicja

Układ równań

I t t z z

t y y

t x x

) (

nazywamy równaniami parametrycznymi krzywej w

R

³

, t

jest parametrem

.

Tam gdzie nie prowadzi to do nieporozumień krzywa i jej opis parametryczny

Geometria różniczkowa

(5)

Uwagi

Parametryzacja krzywej nie jest określona w sposób jednoznaczny, np.

równania

R t

t z

t y

t

x 1

R s s

z

s y

s x

3 3

1

3

definiują tę samą prostą.

Równoważna notacja w zapisie funkcji wektorowych:

I t t

z t y t x

t ) [ ( ), ( ), ( )], (

r

I t t

z t

y t

x

t ) ( ) ( ) ( ) ,

( i j k

r

Wartości funkcji wektorowej można interpretować jako końce wektora zaczepionego w początku układu współrzędnych (wektora wodzącego).

Zbiór tych końców bywa nazywany hodografem.

Krzywą można więc utożsamiać z hodografem funkcji wektorowej.

W kinematyce hodograf jest interpretowany jako tor poruszającego się punktu.

Geometria różniczkowa

5

(6)

Geometria różniczkowa

wektor wodzący

(7)

Definicja

Jeżeli przedział

I

występujący w definicji krzywej jest domknięty (

[a, b], a < b

), to krzywą nazywamy krzywą Jordana, a punkty odpowiadające krańcom

przedziału nazywamy odpowiednio początkiem i końcem krzywej.

Definicja

Łuk zwykły to krzywa Jordana bez punktów wielokrotnych.

Definicja

Krzywa zamknięta to krzywa Jordana, której początek pokrywa się z końcem.

Geometria różniczkowa

7

(8)

Definicja

Łukiem gładkim nazywamy łuk zwykły klasy

C

¹ taki, że

I t

t ) 0 , dla Int (

'

r

_.

Definicja

Punkt, w którym

0 r ' t ( )

lub nie istnieje nazywamy punktem osobliwym krzywej.

Definicja

Krzywa kawałkami gładka (regularna) to krzywa, która daje się podzielić na skończona liczbę łuków gładkich.

Punkty złączenia tych łuków nazywamy wierzchołkami krzywej.

Geometria różniczkowa

(9)

Krzywa na płaszczyźnie

(10)

Definicja

Krzywą płaską nazywamy krzywą, której wszystkie punkty należą do pewnej płaszczyzny.

Oczywiście każda krzywa płaską jest szczególnym przypadkiem krzywej przestrzennej.

Przy badaniu własności krzywych płaskich wykorzystuje się ich opis w przestrzeni dwuwymiarowej, którą jest zawierająca je płaszczyzna.

Prowadzi to do istotnego uproszczenia wzorów obliczeniowych.

Każda funkcja ciągła odwzorowująca przedział liczbowy

I R

^w

R

²

definiuje pewną krzywą płaską, lecz oprócz poznanych wcześniej prostej i krzywych stożkowych istotne znaczenie, z teoretycznego i praktycznego punktu widzenia, ma jeszcze ok. kilkadziesiąt rodzajów krzywych.

Krzywe na płaszczyźnie

(11)

Niech

I t t

y y

t x x

) (

będzie parametryzacją krzywej płaskiej.

Jeżeli powyższy układ można przekształcić do postaci

y = f(x),

lub

x = g(y),

przez eliminację (rugowanie) parametru

t,

to taką postać przedstawienia krzywej nazywamy postacią jawną.

Przykład

Równanie parametryczne prostej

R t t

y

t x

2 1

można zapisać w postaci jawnej

2 2x

y

_.

Krzywe na płaszczyźnie

11

(12)

Jeżeli krzywą da się opisać za pomocą równania F(x, y) = 0

to postać tę nazywamy postacią uwikłaną.

Przykład

Równanie parametryczne okręgu jednostkowego

) 2 , 0 sin [

cos t

t y

t x

ma postać uwikłaną

2

1

2

y

x

.

Krzywe na płaszczyźnie

(13)

Niech

P(x(t), y(t))

ⁱ

Q(x(t

₁

), y(t

₁

))

oznaczają dwa różne punkty krzywej.

Definicja

Prostą przechodząca przez punkty

P

i

Q

nazywamy sieczną.

Kąt nachylenia siecznej do osi

Ox

oznaczamy ₁

.

Jeżeli dla ustalonej wartości parametru

t

istnieje skończona granica kątów nachylenia siecznych

1

lim

t t

to prostą o kącie nachylenia nazywamy styczną do krzywej w punkcie

P.

styczna

P

Q

O x

y

sieczna 1

Krzywe na płaszczyźnie

13

(14)

Definicja

Wektor kierunkowy stycznej nazywamy wektorem stycznym.

Twierdzenie

Wektor styczny łuku gładkiego w punkcie

P(x(t), y(t))

ma postać

)]

( ), ( [ ) (

' t x  t y  t

r

.

Zwrot wektora stycznego jest zgodny z kierunkiem wzrostu parametru

t.

Interpretacja kinematyczna: wektor prędkości chwilowej punktu materialnego poruszającego się wzdłuż krzywej.

Definicja

Wersor styczny (unit tandent vector) w punkcie

P(x(t), y(t))

ma postać

| ) ( '

|

) ( ) '

( t

t t

r T r

Krzywe na płaszczyźnie

(15)

Definicja

Prostą przechodzącą przez punkt

P

, prostopadłą do stycznej w tym punkcie nazywamy prostą normalną do krzywej w punkcie

P.

Jej wektor kierunkowy nazywamy wektorem normalnym.

Twierdzenie

Wektor normalny łuku gładkiego w punkcie

P(x(t), y(t))

ma postać

)]) ( ),

( [ ) ( (lub ,

)]

( ), ( [ )

( t y  t x  t n t y  t x  t

n

.

Definicja

Wersor normalny (unit normal vector) w punkcie

P(x(t), y(t))

ma postać

| ) (

|

) ) (

( t

t t

n N n

Krzywe na płaszczyźnie

15

(16)

Wektor styczny i normalny

Zadanie

Napisać równanie stycznej i normalnej do łuku gładkiego w zadanym

wektor styczny

P

O x

y

wektor normalny

Krzywe na płaszczyźnie

(17)

Definicja

Długość łuku krzywej regularnej

r = r(t)

^dla

t [t

₀

, t]

obliczamy z wzoru

d d

y x

t l

t

t t

t₀ ₀

| ) (

| )

( )

( 

²



²

r

Definicja

Parametryzację krzywej, w której przyrost długości łuku jest równy przyrostowi parametru nazywamy parametryzacją łukową (naturalną).

Parametr wyznaczający parametryzację łukową krzywej nazywamy parametrem łukowym (naturalnym) i oznaczamy literą

s

.

Twierdzenie

Przy parametryzacji łukowej wektor styczny jest wersorem.

(przy zmianie parametru s wektor styczny zmienia jedynie kierunek zachowując stałą długość !).

Twierdzenie

Każda krzywa regularna posiada parametryzację naturalną.

) (s r

Krzywe na płaszczyźnie

17

(18)

Przykład

Funkcja

R t t

v y t v x

t) [ _x , _y ],

( ₀ ₀

r

jest parametryzacją łukową prostej wtedy i tylko wtedy, gdy wektor

v = [v

_x

, v

_y^]jest wersorem.

Funkcja

) 2 , 0 [ ],

sin ,

cos [

)

( t a

a a t

t r

jest parametryzacją łukową okręgu o środku (0, 0) i promieniu

a

^.

Znalezienie parametryzacji łukowej krzywej jest na ogół zadaniem trudnym, ponieważ całki wyrażające długość krzywej są kłopotliwe do obliczenia.

Krzywe na płaszczyźnie

(19)

Krzywizna krzywej regularnej

Niech

r = r(s)

będzie parametryzacją naturalną krzywej regularnej klasy

C

²

,

punkty

P

ⁱ

Q

dwoma różnymi punktami krzywej, kątem między stycznymi w tych punktach,

s

długością łuku krzywej pomiędzy punktami.

Krzywe na płaszczyźnie

styczna

P

Q

O x

y

styczna

Definicja

Jeżeli istnieje granica

to nazywamy ją krzywizną krzywej, w punkcie

P

^.

Δs Δ

P Q

lim

19

(20)

Definicja

Promieniem krzywizny nazywamy odwrotność krzywizny

0 1 ,

R

Definicja

Okrąg jest styczny do krzywej w punkcie

P,

jeżeli ma z nią wspólną styczną w tym punkcie.

Definicja

Okręgiem krzywiznowym (oskulacyjnym, ściśle stycznym) krzywej w punkcie

P

nazywamy okrąg styczny do krzywej w tym punkcie, leżący po tej samej stronie co krzywa i mający promień równy promieniowi krzywizny.

Definicja

Środkiem krzywizny krzywej w punkcie nazywamy środek okręgu krzywiznowego.

Krzywe na płaszczyźnie

(21)

Krzywe na płaszczyźnie

okrąg krzywiznowy

P

S

O x

y _styczna

środek krzywizny

wektor krzywizny

21

(22)

Krzywe na płaszczyźnie

Okrąg krzywiznowy

(23)

Krzywe na płaszczyźnie

Okrąg krzywiznowy

23

(24)

Krzywe na płaszczyźnie

y = sin x,

styczna

Okręgi krzywiznowe krzywej o równaniu

y = sin x,

(25)

Twierdzenie

Jeżeli krzywa o równaniu

r [ x ( t ), y ( t )]

jest klasy

C

²^oraz^x^^^y^ ^x^^^y^ ⁰^,

to w punkcie

(x,y)

zachodzą wzory:

Krzywizna:

3 2

2

| |

|

| )

(

|

r



 x y x y

y x

y x y x

Promień krzywizny.

R 1

Współrzędne środka krzywizny

y x y x

y x x

y y x y x

y y x

x      



 



 

2 2

,

( x , x  ,  x  , y , y  ,  y 

, są obliczane dla stosownej wartości parametru

t)

Krzywe na płaszczyźnie

25

(26)

Definicja

Zbiór środkow krzywizny krzywej nazywamy ewolutą (rozwiniętą) tej krzywej.

Jeżeli

x

_s

(t), y

_s

(t)

są współrzędnymi środków krzywizny dla różnych wartości parametru

t

, to równania

I t t

y y

t x x

s s

) (

są parametrycznymi równaniami ewoluty.

Definicja

Jeżeli krzywa

C

jest ewolutą krzywej

K

, to krzywą

K

nazywamy ewolwentą (rozwijającą) krzywej

C. Krzywe na płaszczyźnie

(27)

Przykład

Wyznaczyć ewolutę elipsy ₂ 1

2 2

2

b y a

x Równania parametryczne elipsy

) 2 , 0 sin [

cos t t b y

t a x

Pochodne

t b y

t a x

t b y

t a x

sin cos cos

sin



Wstawiamy do wzorów na współrzędne środka okręgu krzywiznowego

2 2 2 3

2

2 2 2

2 2

2 2 2

2

gdzie ,

cos

)) cos sin

( cos (

) cos (sin

cos cos sin

cos

b a c a t

c

t b

t a

a a t

t t

ab

t b

t t a

b t a x

Podobnie

, sin³

2

b t y c

Krzywe na płaszczyźnie

27

(28)

Ewoluta elipsy

Ewolutą elipsy jest asteroida o równaniach parametrycznych

b t y c

a t x c

3 2

sin cos

lub w postaci uwikłanej

3 4 3

2 3

2

) ( )

( ax by c

Krzywe na płaszczyźnie

elipsa

(29)

Krzywe na płaszczyźnie

normalna do elipsy elipsa

ewoluta elipsy (asteroida)

Twierdzenie

Jeśli środek krzywizny nie jest punktem osobliwym ewoluty, to jest on punktem styczności normalnej do krzywej z jej ewolutą.

(Ewolutą krzywej K jest krzywą K₁, której styczne przecinają krzywą K pod kątem prostym.)

29

(30)

Krzywe na płaszczyźnie

Ewoluta elipsy

(31)

Krzywe na płaszczyźnie

Ewoluta asteroidy

asteroida

ewoluta asteroidy promień krzywizny okrąg oskulacyjny

31

(32)

Krzywe na płaszczyźnie

Ewoluta paraboli

parabola

(33)

DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ