W8. Dynamika bryły, ruch płaski Plik

(1)

(2)

Reakcje dynamiczne w łożyskach.

Wyobraźmy sobie ciało sztywne osadzone na wale, który z kolei podparty jest w łożyskach A i B (rys. 3.6). Załóżmy, że środek masy nie leży w osi obrotu. Przyjmijmy układ odniesienia jak na rysunku. Położenie środka masy w układzie określimy podając współrzędne: x_S,y_S,z_S

x Rys.3.6 y z S(m) x_S y_S z_S A B X_A YA Z_A X_B YB P_i  



Równania dynamiczne opisujące

ruch środka masy będzie:

























   n i iz S n i iy S n i ix S

P

z

m

P

y

m

P

x

m

1 1 1



(3.9)

(3)

Zgodnie z wzorem (3.3) składowe przyspieszenia środka masy możemy zapisać:



x

y

x

y

x

y

z

S S S S S S S

  





 

























2 2

0

(3.10) Wprowadzimy (3.10) do (3.9) :

 

P

m

y

m

x

P

m

x

m

y

P

M P

I

M P

I

ix i n S S iy i n S S iz i n x i i n xz yz y i i n yz xz     



   

 



  

 





 

 



 

 















1 2 1 2 1 1 2 1 2

0 















(3.11)

(4)

Układ (3.11) umożliwia określenie reakcji w łożyskach. Trzy pierwsze równania wynikają z równań (3.9) a dwa następne wynikają z równań (3.6). Uwaga!!!

Z równań (3.11) określamy reakcje w łożyskach. Zależą one od



i



 













n

30

Mówimy, że reakcje mają charakter dynamiczny, co ze względu na żywotność łożysk jest niekorzystne.

Dlatego układ mamy tak rozwiązać aby bez względu na i reakcje miały charakter statyczny. Jeżeli środek masy leży na osi obrotu z to:

 

x

y

S S









0

(5)

Jeżeli oś obrotu jest główną osią bezwładności to:

I

xz yz









0

Gdy spełnione są oba powyższe warunki to mówimy, że bryła jest wyważona dynamicznie, a oś z jest główną centralną osią bezwładności.

(6)

Ruch płaski bryły

Pamiętamy z kinematyki, że ruch płaski to ruch jaki wykonuje bryła w jednej płaszczyźnie, będący złożeniem ruchu postępowego i ruchu obrotowego.

Różniczkowe równania ruchu

płaskiego bryły będą: Rys.3.7 x y (z) 0 S(m) P_i a_S

 

m x

P

m y

P

I

M P

S ix i n S iy i n S S i i n









 













  





1 1 1



(3.12)

Pierwsze dwa równania wzoru (3.12) opisują ruch postępowy środka masy, trzecie równanie opisuje ruch obrotowy bryły względem środka masy.

(7)

Dynamika układu brył

Opisując zjawisko ruchu układu brył postępujemy wg. następującej kolejności:

1. Na rysunku wprowadzamy wszystkie siły działające na poszczególne bryły.

2. W zależności od tego jakim ruchem porusza się bryła, opisujemy ruch podając różniczkowe równania ruchu.

3. Podajemy równania wynikające z zależności siłowych. 4. Określamy zależności kinematyczne układu.

Tak otrzymany układ równań rozwiązujemy.