RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE
WYKŁAD 9
Twierdzenie (kryterium całkowe, Maclaurina-Cauchy'ego)
Jeżeli
a
n= f(n)
i funkcjaf
jest, nierosnąca i nieujemna na przedziale[n
0, ),
to szereg
n0 n
a
ni całka
0
) (
n
dx x
f
są jednocześnie zbieżne, lub jednocześnie rozbieżne.
Przykład
Uzasadnić zbieżność (rozbieżność) szeregu Dirichleta
Funkcj , spełnia warunki kryterium całkowego
Zatem szereg jest rozbieżny dla
1 i zbieżny dla >1
.
1
1
n
n
x
x x
f 1
) (
1 1 lim 1
1 1 1
) 1 1 1 ( 1
lim
lim
11
1 1
x
dx x dx
bb
bb dla a
b
b
1
1 n
Szeregi liczbowe
Przykład
Zbadać zbieżność szeregu
1
ln 1
n
n n
Niech
n n n
f ln
) 1 (
Funkcja
x x x
f ln
) 1 (
dla
x 2
jest malejąca i0 ln
lim 1
x x
x .
Ponieważ
ln 1 lim ln 1 lim ln | ln | ||
2lim (ln | ln | ln(ln | 2 |)
2 2
A x
x dx dx x
x
x
AA A
A A
szereg jest rozbieżny
Szeregi liczbowe
Twierdzenie (kryterium Abela)
Jeżeli
(a
n)
jest ciągiem monotonicznym i ograniczonym oraz szereg
n0 n
b
n jest zbieżny,to szereg
n0
n
n n
b
a
jest zbieżny. Twierdzenie (kryterium Dirichleta) Jeżeli ciąg sum częściowych szeregu
n0 n
b
njest ograniczony i
(a
n)
jestciągiem monotonicznym zbieżnym do zera, to szereg
n0 n
n n
b
a
jest zbieżny.(Są i inne kryteria np. Kummera, Raabego, Gaussa)
Szeregi liczbowe
Definicja
Szeregiem naprzemiennym nazywamy szereg liczbowy postaci
...
) 1 ( ...
) 1
(
1 1 2 3 10
n n nk n
n
a a a a a
,gdzie a
n 0 dla każdego n N .
PrzykładSzereg postaci
1
1
...
4 1 3 1 2 1 1 ) 1
1 (
n
n
n
jest przykładem szeregu naprzemiennego.
Nazywamy go szeregiem anharmonicznym.
Szeregi liczbowe
Twierdzenie (kryterium Leibniza) Jeżeli szereg naprzemienny
0
)
11 (
k n
n
n
a
spełnia warunki:1. ciąg
a
n jest nierosnący, 2.lim 0
n
n
a
,to szereg jest zbieżny.
Przykład
Z kryterium Leibniza wynika, że szereg anharmoniczny jest zbieżny ponieważ ciąg
a
n n 1
jest ciągiem malejącym, dążącym do zera.
Leibniz Gottfried Wilhelm (1646-1716)
Szeregi liczbowe
Definicja
Szereg liczbowy
1 n
an nazywamy szeregiem bezwzględnie zbieżnym, jeżeli
szereg
1 n
a
n (szereg wartości bezwzględnych) jest zbieżny. Definicja
Szereg liczbowy, który jest zbieżny, lecz nie jest zbieżny bezwzględnie nazywamy szeregiem warunkowo zbieżnym.
Twierdzenie
Jeżeli szereg liczbowy jest bezwzględnie zbieżny, to jest zbieżny.
Twierdzenie (Riemanna)
Jeżeli szereg liczbowy jest warunkowo zbieżny, to dla każdej liczby rzeczywistej
S
można wyrazy szeregu tak poprzestawiać, aby suma przekształconego szeregu była równa
S.
Szeregi liczbowe
Przykład Szereg
1
1
2 4
4 ) 3
1 (
n
n n
n n
jest szeregiem bezwzględnie zbieżnym, ponieważ szereg
1 1
1
2 4
4 3 2
4 4 ) 3
1 (
n
n
n
n n
n n n
n
jest szeregiem zbieżnym, co wynika z kryterium Cauchye’go.
1
4 3 2 4
4 lim 3
2 4
4 lim 3
n n n
n
n n
n
n .
Szeregi liczbowe
Przykład Szereg
12 1
)!
2 (
)
! ) (
1 (
n
n
n n
jest szeregiem bezwzględnie zbieżnym, ponieważ szereg
1 2
1
2 1
)!
2 (
)
! ( )!
2 (
)
! ) (
1 (
n n
n
n n n
n
jest zbieżny, co wynika z kryterium d’Alemberta.
1
4 1 2 6 4
1 lim 2
) 2 2 )(
1 2 (
) 1 lim (
)
! ( )!
2 2 (
)!
2 ( ) )!
1
lim ((
22 2
2 2
n n
n n
n n
n n
n
n n
n n
n .
Szeregi liczbowe
Przykład
Szereg anharmoniczny
11
1 ) 1 (
n
n
n
nie jest szeregiem bezwzględnie zbieżnym, ponieważ szereg jego bezwzględnych wartości
1 1
1
1 1
) 1 (
n n
n
n
n
jest szeregiem rozbieżnym (szereg harmoniczny).
Jest on zbieżny warunkowo, ponieważ spełnia kryterium Leibniza.
Szeregi liczbowe
Przykład
n e
n
0
! 1
Szeregi liczbowe
Definicja
Jeżeli dla każdego n N została przyporządkowana dokładnie jedna funkcja f
n(x) ,
to mówimy, że został określony ciąg funkcyjny
...
) ( , ...
), ( ), ( ),
(
2 31
x f x f x f x
f
nOznaczamy go ( f
n(x))
nN, lub ( f
n(x)).
Niech X N oznacza dziedzinę funkcji tworzących ciąg, zaś f funkcję określoną na X . Wówczas dla każdego x
0 X wartości funkcji f
n(x
0) tworzą ciąg liczbowy.
Definicja
Ciąg funkcyjny ( f
n(x)) jest zbieżny punktowo na zbiorze X do funkcji f jeśli
) ( )
( lim
f x f x
X
x
nn
x X 0 n
0 N n n
0f
n( x ) f ( x ) .
Ciągi funkcyjne
Przykład
Niech
X R
,2
)
2( x n
x n f
n
,wtedy początkowe wyrazy ciągu funkcyjnego są następujące:
1 ) 1
( 2
1
x x
f ,
4 ) 2
( 2
2
x x
f ,
9 ) 3
(
23
x x
f ,
Ciągi funkcyjne
Definicja
Ciąg funkcyjny ( f
n(x)) jest zbieżny jednostajnie na zbiorze X do funkcji f jeśli
0 n
0N n n
0x X f
n( x ) f ( x )
Twierdzenie
Jeśli ciąg funkcyjny jest zbieżny jednostajnie, to jest zbieżny punktowo.
Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe!
Twierdzenie
Jeśli ciąg funkcyjny jest zbieżny jednostajnie i funkcje f
nsą ciągłe, to funkcja graniczna f też jest ciągła.
Ciągi funkcyjne
Przykład
Niech
X [ 0 , 1 ]
,N n x x
f
n( )
n,
,Funkcja graniczna ma postać
1 1
) 1 , 0 [ lim 0
) ( lim )
( dla x
x x dla
x f x
f
nn n
n ,
Ciągi funkcyjne
Niech
f
będzie granicą ciągu funkcyjnego (f
n)
na zbiorzeX.
Twierdzenie
Jeśli funkcje
f’
n,n N,
są ciągłe i ciąg funkcyjny (f’
n)
jest zbieżny jednostajnie, to funkcja granicznaf
jest różniczkowalna i zachodzi równość) ( lim
) (
' x f
'x
f
nn
Twierdzenie
Jeśli funkcje
f
n,n N,
są całkowalne na przedziale [a, b] i ciąg funkcyjny (f
n)
jestzbieżny jednostajnie na tym przedziale, to funkcja graniczna
