prof. dr hab. inĪ. Mikoáaj Busáowicz dr inĪ. Andrzej Ruszewski
Politechnika Biaáostocka Wydziaá Elektryczny
BADANIE STABILNOĝCI LINIOWYCH UKàADÓW
CIĄGàO-DYSKRETNYCH
Rozpatrzono problem badania asymptotycznej stabilnoĞci liniowych ukáadów cią-gáo-dyskretnych. Podano poprawioną komputerową metodĊ badania stabilnoĞci modelu typu Fornasiniego-Marchesiniego. Proponowana metoda moĪe byü wyko-rzystana do badania stabilnoĞci modeli innych typów liniowych ukáadów ciągáo-dyskretnych. RozwaĪania zilustrowano przykáadami liczbowymi.
STABILITY INVESTIGATION OF CONTINUOUS-DISCRETE LINEAR SYSTEMS
The problem of asymptotic stability of continuous-discrete linear systems is con-sidered. Improved computer method for stability analysis of the Fornasini-Marchesini type model is given. The method proposed can be applied to stability analysis of the other type models of continuous-discrete linear systems. The con-siderations are illustrated by numerical examples.
1. WSTĉP
Ukáadami ciągáo-dyskretnymi (hybrydowymi) nazywamy takie ukáady dynamiczne, w modelu matematycznym, których jedna czĊĞü zmiennych stanu jest z czasem ciągáym zaĞ druga czĊĞü jest z czasem dyskretnym , przy czym nie da si Ċ ro zdzieliü równa Ĕ dynam iki opisuj ących czĊĞü ciągáą oraz czĊĞü dyskretną.
W niniejszej pracy rozpatrzym y problem badania stabilno Ğci liniow ych uk áadów ci ągáo-dyskretnych, których modele m atematyczne maj ą st rukturĊ podobn ą do m odeli liniowych ukáadów 2D. Takie m odele byáy rozpatrywane w [13, 14] w przypadku uk áadów dodatnich. Nowy model dodatniego uk áadu ci ągáo-dyskretnego (hybrydowego) zosta á wprowadzony w pracy [15] za Ğ w [16] rozpatrzono problem realizacji dodatnich uk áadów ci ągáo-dyskretnych.
Problemowi badania stabilno Ğci oraz odpornej stabilno Ğci liniowych uk áadów ci ągáo-dyskretnych są poĞwiĊcone prace [1, 4–9, 12, 17, 18–20] oraz [10, 11], odpowiednio. Niektó-re z nich zawierają báĊdne Niektó-rezultaty. Mianowicie, warunki stabilno Ğci podane w [4, 5] oraz odpornej stabilnoĞci podane w [10, 11] s ą tylko warunka mi koniecznymi, a nie koniecznym i i wystarczającymi, co zostanie pok azane w niniejszej p racy. Ponadto , w [2] pokazano, Īe podany w [18] rezultat dotycz ący stabilnoĞci ukáadów ciągáo-dyskretnych jest báĊdny. W pra-cach [19, 20] wykorzystano rezultaty pracy [18], a wiĊc i one zawierają báĊdne rezultaty. W niniejszej pracy zostanie podana poprawiona kom puterowa metoda badania asym ptotycz-nej stabilno Ğci m odelu typu Fornasiniego-Marchesiniego liniowych uk áadów ci ągáo-dyskretnych. MoĪe ona byü wykorzystana do badania asym ptotycznej stabilnoĞci innych mo-deli takich ukáadów.
W pracy b Ċdziemy stosowaü nastĊpujące oznaczenia: Oi{X} – i-ta wartoĞü wáasna macierzy
X, num – zbiór m acierzy o wymiarach nu , przy czym m n nu1, Z – zbiór liczb ca á-
2. WPROWADZENIE I SFORMUàOWANIE PROBLEMU
WeĨmy pod uwag Ċ model typu Fornasiniego-Marchesiniego uk áadu ciągáo-dyskretnego, któ-rego równanie stanu ma postaü
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ),
x t i 1 A x t i0 A x t i1 A x t i2 1 Bu t i i Z , t , (1)
gdzie x(t,i) wx(t,i)/wt, x(t,i)n, u t i( , ) m oraz A0,A1,A2nun, Bnum.
Macierz charakterystyczna modelu (1) wyraĪa siĊ wzorem
2 1 0 sA zA A szI z s H( , ) n ( 2)
zaĞ funkcja charakterystyczna tego modelu, którą oblicza siĊ ze wzoru ] det[ ) , ( det ) , (s z H s z szI A0 sA1 zA2 w n (3)
jest wielomianem dwóch zmiennych niezaleĪnych s i z. MoĪna ją napisaü w ogólnej postaci
w s z a s zkj k j j n k n ( , ) ¦ ¦ , 0 0 ann 1. (4)
Wielomiany charakterystyczne m odeli innych typów uk áadów ciągáo-dyskretnych teĪ moĪna zapisaü w postaci (4).
Twierdzenie 1 [1]. Model uk áadu ci ągáo-dyskretnego o wielom ianie charak terystycznym
w s z( , ) jest asymptotycznie stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy
, 0 ) , (s z z w Re ts 0, | tz| 1. (5)
Wielomian w s z( , ) dwóch z miennych niezaleĪnych speániający warunek (5) b Ċdziemy nazy-waü wielomianem stabilnym w sensie Schura albo krótko wielom ianem Hurwitza-Schura.
BezpoĞrednie sprawdzenie warunku (5) nie jest mo Īliwe, poniewaĪ nie ma metod wyznacza-nia zer wielomianów wielu zmiennych. Warunek ten moĪna sprawdziü poĞrednio z wykorzy-staniem m.in. obliczeĔ komputerowych.
Do podstawowych prac z zakresu stabilno Ğci w sensie Hurwitza-Schura wielomianu (4) nale-Īą: [1] oraz [12].
W pracy [1] podano algebraiczną, dosyü záoĪoną metodĊ badania stabilnoĞci w sensie Hurwi-za-Schura wielomianów dwóch zmiennych zespolonych. Jest to metoda bĊdąca uogólnieniem na klasĊ wielomianów dwóch zm iennych algebraicznej m etody badania stabilno Ğci ukáadów dyskretnych 1D.
W pracy [12] podano kilka grup warunków równowa Īnych z (5). Zosta áy one sformu áowane w drodze uogólnienia rezultatów pracy [17], w której rozpatrywano wielomian
, ) , ( ¦ ¦1 0 0 n k m j j k kj n a s z s z s w (6)
bĊdący przypadkiem szczególnym wielomianu (4).
Istotna róĪnica pomiĊdzy wielomianami (4) i (6) polega na tym , Īe wielomian (6) ma zawsze staáy stopieĔ (równy n) ze wzglĊdu na zmienną s zaĞ w wielomianie (4) moĪe nastąpiü reduk-cja stopnia ze wzglĊdu na zmienną s (dla pewnych wartoĞci zmiennej z). Ta róĪnica powodu-je, Īe warunki stabilnoĞci w sensie H urwitza-Schura wielomianu (6) są tylko warunkami
ko-W pracy [4], bazuj ąc na warunkach stabilno Ğci w sensie Hurwitza-Schura wielom ianu (6) pokazano, Īe warunek (5) jest równowaĪny z warunkiem
, ) ,
(s ejZ z0
w Rest0, Z[ S0, ]. (7)
Warunek (7) zostaá nastĊpnie wykorzystany do badania stabilnoĞci w sensie Hurwitza-Schura wielomianu (4), co doprowadziáo do báĊdnych rezultatów.
Jak wynika z pracy [12], w przypadku wielomianu (4) warunek (5) jest równowaĪny z dwoma poniĪszymi warunkami , ) , (s z z0 w Re ts 0, | z| ,1 (8) , 0 ) , (s z z w Re s 0, |z|t1. (9)
Warunki te moĪna napisaü w równowaĪnych postaciach [6] , ) , (s ejZ z0 w Re ts 0, Z[0,2S], (10) , 0 ) , (jy z z w | tz| ,1 y[ f0, ). (11)
Z powyĪszego wynika, Īe warunek (7) jest tylko warunkiem koniecznym stabilnoĞci w sensie Hurwitza-Schura wielomianu (4).
W pracach [4, 5] oraz [ 10, 11], bazuj ąc na warunku (7) podano m etody badania stabilno Ğci oraz odpornej stabilno Ğci, odpowiednio, m odeli liniowych uk áadów ci ągáo-dyskretnych. Metody te, jak to wynika z powy Īszych rozwaĪaĔ, bazują na warunkach tylko kon iecznych asymptotycznej stabilnoĞci, a nie koniecznych i wystarczających.
Podane w [4] kom puterowe metody badania stabilno Ğci m odeli typu Fornasiniego-Marchesiniego oraz typu Roessera zostaáy skorygowane w pracy [6].
Celem niniejszej pracy jest skorygowanie rezultatów pracy [5] poprzez podanie poprawionej metody badania asym ptotycznej stabilnoĞci modelu typu F ornasiniego-Marchesiniego linio-wego uk áadu ci ągáo-dyskretnego. P roponowana m etoda bazuje na warunkach koniecznych i wystarczających (10), (11).
3. ROZWIĄZANIE PROBLEMU
Macierz charakterystyczną (2) moĪna napisaü w dwóch równowaĪnych postaciach )], ( ][ [ ) , (s z zI A sI S z H 1 1 (12) )], ( ][ [ ) , (s z sI A zI S s H 2 2 (13) gdzie ), ( ) ( ) ( 1 1 0 2 1 z zI A A zA S (14) ). ( ) ( ) ( 2 1 0 1 2 s sI A A sA S (15)
Z (12) i (13) wynika, Īe wielomian charakterystyczny (3) mo Īna napisaü w dwóch równo-waĪnych postaciach )], ( det[ ] det[ ) , (s z zI A sI S z w 1 1 (16) )]. ( det[ ] det[ ) , (s z sI A zI S s w 2 2 (17)
Lemat 1. Proste warunki konieczne asymptotycznej stabilnoĞci modelu (1) mają postaci: , | ) ( |O Ai 1 1 ReO Ai( 2) 0, i 1,2,...,n. (18)
Speánienie warunków (18) oznacza, Īe macierz A1 jest stabilna w sensie S chura zaĞ macierz
2
A jest stabilna w sensie Hurwitza.
W dalszych rozwaĪaniach bĊdziemy przyjmowaü, Īe warunki konieczne (18) są speánione. Ze wzorów (16) i (17) i warunków (10), (11) wynika nastĊpujące twierdzenie.
Twierdzenie 2. Model (1) jest asymptotycznie stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy są speánione
warunki konieczne (18) oraz dwa poniĪsze warunki , )} ( { ReO 1 jZ 0 i S e Z[0,2S], i ,12,...,n, (19) , | )} ( { |Oi S2 jy 1 yt0, i ,12,...,n, (20) gdzie ), ( ) ( ) ( 1 1 0 2 1 e e I A A e A S jZ jZ jZ (21) ). ( ) ( ) ( 2 1 0 1 2 jy jyI A A jyA S (22)
Speánienie warunku (1 9) oznacza, Īe linie warto Ğci w áasnych m acierzy (21), wyznaczone w funkcji parametru Z[0,2S], leĪą caákowicie w otwartej lewej pó ápáaszczyĨnie páaszczy-zny zmiennej zespolonej.
Speánienie warunku (20) natom iast oznacza, Īe linie warto Ğci wáasnych macierzy (22), wy-znaczone w funkcji parametru y[ f0, ), leĪą caákowicie w otwartym kole jednostkowym na páaszczyĨnie zmiennej zespolonej.
Komputerowe m etody sprawdzania warunków (19) i (20) dla m odeli typu Fornasiniego-Marchesiniego oraz typu Roessera, bazuj ące na sprawdzaniu po áoĪeĔ linii wartoĞci wáasnych macierzy (21) i (22), zostaáy podane w pracy [6].
PoniĪej podany inną metodĊ sprawdzania warunków twierdzenia 2, która wym aga obliczania wartoĞci odpowiednich wielomianów dla zadanych wartoĞci zmiennych i dlatego jest prostsza w stosowaniu. W pracy [5] metoda ta zostaáa zastosowana do sprawdzania warunku (19). WprowadĨmy oznaczenie )), ( det( ) , ( 1 1 s ejZ sI S ejZ w (23)
gdzie macierz S1(ejZ) jest zdefiniowana wzorem (21).
Z kryterium stabilno Ğci Michajáowa (np. [3]) wynika, Īe warunek (19) jest spe ániony wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka Īdego ustalonego Z[0,2S] wykres funkcji w1(jy,ejZ) przy y zmieniającym siĊ od 0 do niesko ĔczonoĞci (hodograf Michaj áowa), nie trafiaj ąc w pocz ątek páaszczyzny zmiennej zespolonej, o krąĪa go n/2 razy w kierunku m atematycznie dodatnim, gdzie n jest stopniem wielomianu (23) ze wzglĊdu na zmienną s.
Oznaczmy przez w1o(s) stabilny w sensie Hurwitza wielom ian stopnia n, który b Ċdziemy traktowaü jako wielomian odniesienia dla wielomianu (23).
Ze zmodyfikowanego kryterium stabilnoĞci Michajáowa [3] wynika poniĪszy lemat.
, ) ( ) , ( ) , ( 1 1 1 jy e wwjy jye o j jZ Z I Z: [0,2S], (24)
nie obejmuje początku páaszczyzny zmiennej zespolonej ani te Ī nie przechodzi przez niego, przy czym w1(jy,ejZ) ma postaü (23) dla s jy.
Dowód. Dla ka Īdego ustalonego Z: wykres funkcji w (jy,ejZ),
1 sporządzony w funkcj i parametru y[ f0, ), obejmuje tyle samo razy początek páaszczyzny zmiennej zespolonej co wykres funkcji w1o(jy) wtedy i tylko wtedy, gdy
. 0 ) , ( arg 1 ) , 0 [ I ' Z f j y e jy (25)
JeĪeli zatem wielom ian w1o(s) jest stabilny w sensie Hurwitza, to (25) jest w arunkiem ko-niecznym i wystarczaj ącym stabilnoĞci w sensie Hurwitza wielom ianu zespolonego (23) dla kaĪdego Z:. Ŷ
Za wielomian odniesienia w1o(s) moĪemy przyjąü np. wielomian )), ( det( ) , ( 1 1 1 1 s sI S w S1(1) (I A1)1(A0A2), (26)
który otrzymuje siĊ z wielomianu (23) podstawiając Z 0. StabilnoĞü w sensie Hurwitza tego wielomianu jest warunkiem koniecznym stabilnoĞci w sensie Hurwitza wielom ianu zespolo-nego (23) dla kaĪdego Z:.
JeĪeli przyjmiemy w1o(s) w1(s,1), to , ) , ( ) , ( ) , ( 1 1 1 1 jy w e jy w e jy j jZ Z I Z: [0,2S]. (27)
ZauwaĪmy, Īe dla kaĪdego ustalonego yt0 wykres funkcji (27) jest linią krzywą zamkniĊtą. Rozpoczyna si Ċ ona przy Z 0 i ko Ĕczy si Ċ przy Z 2 w punkcie S I jy1( ,1) 1. àatwo sprawdziü, Īe jeĪeli yof, to wykres (27) dąĪy do punktu (1, j0).
Podamy teraz komputerową metodĊ sprawdzania warunku (20). WprowadĨmy oznaczenie )), ( det( ) , (jy z zI S jy w2 2 (28)
gdzie macierz S2( jy) jest zdefiniowana wzorem (22).
Oznaczmy przez w2o(z) stabilny w sensie Schura wielom ian stopnia n, który bĊdziemy trak-towaü jako wielomian odniesienia dla wielomianu (28).
PostĊpując podobnie jak w przypadku warunku (19), otrzymamy nastĊpujący lemat.
Lemat 3. Warunek (20) jest spe ániony wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka Īdego ustalonego
0 t y wykres funkcji , ) ( ) , ( ) , ( Z ZZ I j o j j e w e jy w e jy 2 2 2 Z: [0,2S], (29)
nie obejmuje początku páaszczyzny zmiennej zespolonej ani te Ī nie przechodzi przez niego, przy czym ( , jZ)
e jy
w2 ma postaü (28) dla z ejZ.
Za wielomian odniesienia w2o(z) moĪemy przyjąü np. wielomian )), ( det( ) , (0 2 0 2 z zI S w S2(0) (A2)1A0, (30)
który otrzymuje si Ċ z wielom ianu (28) podstawiaj ąc y 0. StabilnoĞü w sensie Schura tego wielomianu jest warunkiem koniecznym stabilnoĞci w sensie Schura wielomianu zespolonego (28) dla kaĪdego yt0.
JeĪeli przyjmiemy w2o(z) w2(0,z), to dla kaĪdego ustalonego yt0 wykresem funkcji
, ) , ( ) , ( ) , ( Z ZZ I j jj e w e jy w e jy 0 2 2 2 Z: [0,2S], (31)
jest lin ia krzywa zam kniĊta. Rozpoczyna si Ċ ona przy Z 0 i ko Ĕczy si Ċ przy Z 2 S w punkcie . )) ( det( )) ( det( ) , ( ) , ( ) , ( 0 1 0 1 1 2 2 2 2 2 S I jy S I w jy w jy I (32)
Z twierdzenia 2 oraz lematów 2 i 3 wynika bezpoĞrednio poniĪsze twierdzenie.
Twierdzenie 3. Model (1) jest asymptotycznie stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy są speánione
warunki konieczne (18) i dwa poniĪsze warunki:
1. dla kaĪdego ustalonego yt0 wykres funkcji (27), sporz ądzony dla Z: [0,2S], nie obejmuje początku páaszczyzny zmiennej zespolonej ani teĪ nie przechodzi przez niego, 2. dla kaĪdego ustalonego yt0 wykres funkcji (31), sporz ądzony dla Z: [0,2S], nie
obejmuje początku páaszczyzny zmiennej zespolonej ani teĪ nie przechodzi przez niego. Przy komputerowym sprawdzaniu w arunków twierdzenia 3 obliczenia nale Īy przeprowadziü zgodnie z poniĪszą uwagą.
Uwaga 1. Nale Īy przyj ąü odpowiednio du Īy przedzia á Y [0, ykon] warto Ğci p arametru .
0 t
y Dla ka Īdego ustalonego y wyznaczonego z odpowiednio m aáym krokiem ,Y, ' y
sporządzamy oddzielnie wykresy funkcji (27) i (31). Dokonujem y w tym celu dyskretyzacji przedziaáu : [0,2S] z odpowiednio m aáym krokiem Z' i dla ka Īdego ustalonego Z: obliczamy warto Ğci odpowiedniej funkcji. W artoĞü ykon nale Īy przyj ąü odpowiednio du Īą,
taką aby na podstawie wyznaczony ch wykresó w stwierd ziü spe ánienie (lub niespe ánienie) warunków 1. i 2. twierdzenia 3 dla wszystkich yt0.
4. PRZYKàADY
Przykáad 1. NaleĪy zbadaü asymptotyczną stabilnoĞü modelu (1) ukáadu ciągáo-dyskretnego o
macierzach , 1 0 2 2 4 . 0 0 2 1 3 0 » » » ¼ º « « « ¬ ª A , 2 2 . 0 0 2 1 . 0 0 0 1 5 1 » » » ¼ º « « « ¬ ª A . 1 2 0 3 . 0 0 0 1 4 2 2 » » » ¼ º « « « ¬ ª A (33)
Dla rozpatrywanego modelu warunek 1. twierdzenia 3 jest spe ániony, co zosta áo pokazane w pracy [5]. NaleĪy wiĊc sprawdziü warunek 2. tego twierdzenia.
Sprawdzimy najpierw stabilnoĞü w sensie Schura wielomianu (30). Miejsca zerowe tego wie-lomianu są wartoĞciami wáasnymi macierzy S2(0) (A2)1A0.
Obliczając warto Ğci w áasne m acierzy S2(0) otrzym amy: z1 3.2909; z2 0.2340;
3582 7
3 .
z . PoniewaĪ nie wszystkie warto Ğci wáasne mają wartoĞci bezwzglĊdne mniejsze
od 1, wielomian (30) nie jest stabiln y w sensie Schura. Oznacza to, Īe nie jest speániony wa-runek (20) dla y 0. Z twierdzenia 2 wynika zatem , Īe rozpatrywany model nie jest asymp-totycznie stabilny.
Obliczając wartoĞci wáasne macierzy A1 otrzymamy: z1 5; z2 0.3411; 75891z3 . . Nie
speániają one pierwszego z warunków koniecznych (18), co potwierdza, Īe rozpatrywany mo-del ukáadu ciągáo-dyskretnego nie jest asymptotycznie stabilny.
Problem stabilnoĞci modelu (1) o m acierzach (33) by á rozpatrywany w pracy [5]. Pokazano w niej na bazie analizy wykresu funkcji (27), Īe warunek 1. twierdzenia 3 jest spe ániony i na tej podstawie, bez analizy spe ánienia warunku 2. tego twierdzenia b áĊdnie stwierdzono, Īe rozpatrywany model jest asymptotycznie stabilny.
Przykáad 2. Zbadaü asymptotyczną stabilnoĞü modelu (1) uk áadu ciągáo-dyskretnego o m
a-cierzach , 1 . 0 1 . 0 0 5 . 0 2 . 0 0 0 1 4 . 0 0 » » » ¼ º « « « ¬ ª A , 2 . 0 2 . 0 0 4 . 0 1 . 0 0 0 1 . 0 5 . 0 1 » » » ¼ º « « « ¬ ª A . 7 . 0 0 0 0 4 . 0 1 . 0 0 8 . 1 4 . 0 2 » » » ¼ º « « « ¬ ª A (34)
Obliczając wartoĞci wáasne macierzy A1 oraz A2 odpowiednio otrzymamy:
x wartoĞci wáasne macierzy A1: z1 0.5; z2,3 0.15r j0.2784.
x wartoĞci wáasne macierzy A2: s1 0.7; s2,3 0.4r j0.4243.
àatwo zauwaĪyü, Īe warunki konieczne (18) są speánione.
StabilnoĞü modelu sprawdzim y kor zystając z twierdzen ia 3. Zanim wyznaczym y wykresy funkcji (27) i (31), sprawdzimy stabilnoĞü wielomianów doniesienia.
Wielomian odniesienia (26), o postaci
)) ( ) ( det( ) , ( 1 1 0 2 1 s1 sI I A A A w (35) ma miejsca zerowe: s1 0.6996; s2,3 0.3760r j0.3674.
Natomiast wielomian odniesienia (30) ) ) ( det( ) , ( 2 1 0 2 0 z zI A A w (36) ma miejsca zerowe: z1 0.5458; z2,3 0.2309r j0.1977.
Z powyĪszego wynika, Īe wielomian (35) jest stabilny w sensie Hurwitza za Ğ wielomian (36) jest stabilny w sensie Schura.
Wyznaczając, z uwzgl Ċdnieniem uwagi 1, wykresy funkcji (27) i (31) przy wielom ianach odniesienia (35) i (36), odpowiednio, otrzymamy przebiegi pokazane na rys. 1 i 2.
0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 Re Im
Rys. 1. Wykresy funkcji (27) dla yY [ 100, ]
0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Re Im
Pokazane na rys. 1 i 2 wykresy zosta áy sporz ądzone dla warto Ğci param etru ] , [ ] , [0 0 10 Y ykon
y zmieniającego z krokiem 'y 0.1. Dla ka Īdego ustalonego y Y
przyjmowano dyskretyzacjĊ przedziaáu : [0,2S] z krokiem 'Z 0. S01 .
Wykresy te nie obejmuj ą pocz ątku uk áadu w spóárzĊdnych dla rozpatrywanego przedzia áu wartoĞci param etru y. àatwo sprawdzi ü, Īe powy Īsze zachodzi te Ī d la ws zystkich
10 ! ykon
y . Warunki twierdzenia 3 są zatem speánione i rozpatrywany model jest
asympto-tycznie stabilny.
4. UWAGI KOēCOWE
W pracy skorygowano podany w [5] rezultat dotycz ący badania asymptotycznej stabilnoĞci modelu typu Fornasiniego-Marchesiniego (1) uk áadu ciągáo-dyskretnego. Pokazano, Īe gáów-ny rezultat pracy [5] bazuje na warunku konieczgáów-nym , a nie na konieczgáów-nym i wystarczającym asymptotycznej stabilnoĞci modeli liniowych ukáadów ciągáo-dyskretnych.
Podano proste warunki konieczne (lem at 1) oraz konieczne i wystarczaj ące (twierdzenie 2) asymptotycznej stabilnoĞci modelu typu Fornasiniego-Mar chesiniego (1) oraz kom puterowe metody sprawdzania warunków tego twierdzenia (lematy 2 i 3 oraz twierdzenie 3). Metody te bazują na zmodyfikowanym kryterium stabilnoĞci Michajáowa [3].
Proponowane metody mogą byü wykorzystane do badania asymptotycznej stabilnoĞci innych modeli ukáadów ciągáo-dyskretnych, takich jak model typu Roessera oraz model ogólny. Praca nauk owa finansowana ze Ğrodków Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wy Īszego w latach 2007-2010 jako projekt badawczy nr N N514 1939 33.
5. BIBLIOGRAFIA
1. Bistritz Y.: A stability test for continuous-dis crete bivariate polynomials, Proc. of the Int. Symp. on Circuits and Systems, vol. 3, pp. III682–685, 2003.
2. Bistritz Y.: On an inviable approach for derivation of 2-D stability tests. IEEE Trans. Circuit Syst. II, vol. 52, no. 11, pp. 713–718, 2005.
3. Busáowicz M.: Stabiln oĞü ukáadów liniowych stacjonarnych o niepewnych parametrach, Dziaá Wydawnictw i Poligrafii Politechniki Biaáostockiej, Biaáystok 1997.
4. Busáowicz M.: Stabiln oĞü m odeli liniowych uk áadów ci ągáo-dyskretnych, Pom iary Automatyka Robotyka, nr 2/2009, str. 425–434 (CD-ROM).
5. Busáowicz M.: Kom puterowe m etody badania stabilno Ğci m odeli ogólnych liniowych ukáadów ci ągáo-dyskretnych, Pom iary Autom atyka Robotyka, nr 2/2010, str. 396–405 (CD-ROM).
6. Busáowicz M.: Computational methods for investigation of stability of models of 2D con-tinuous-discrete linear system s, Journal of Autom ation, Mobile Robotics and Intelligent Systems (in press).
7. Busáowicz M.: Stab ility and robu st stability conditions for a gen eral m odel of scalar continuous-discrete linear systems, Pomiary Automatyka Kontrola, vol. 56, nr 2, str. 133– 135, 2010.
8. Busáowicz M.: Im proved stability and robus t stability conditions for a general m odel of scalar continuous-discrete linear systems, Pomiary Automatyka Kontrola, praca zgáoszona do publikacji.
9. Busáowicz M.: Robust stability of the new general 2D model of a class of continuous-discrete linear systems, Bull. Pol. Ac.: Tech., vol. 57, no. 4, 2010 (in press).
10. Busáowicz M., Sokólski M.: Odporna stabilno Ğü uk áadów ci ągáo-dyskretnych o f unkcji charakterystycznej zale Īnej liniowo od jednego niep ewnego param etru, Pom iary Automatyka Robotyka, nr 2/2009, str. 435–444 (CD-ROM).
11. Busáowicz M., Sokólski M.: Odporna stabilno Ğü uk áadów ci ągáo-dyskretnych o f unkcji charakterystycznej zale Īnej liniow o od niepewnych param etrów, Pom iary Autom atyka Robotyka, nr 2/2010, str. 416–425 (CD-ROM).
12. Guiver J. P., Bose N. K.: On test for zero-sets of multivariate polynom ials in noncompact polydomains. Proc. of the IEEE, vol. 69, no. 4, 467-496, 1981.
13. Kaczorek T.: Dodatnie ukáady jedno- i dwuwymiarowe, Oficyna Wydawnicza Politechni-ki WarszawsPolitechni-kiej, Warszawa 2000.
14. Kaczorek T.: Positive 1D and 2D Systems, Springer-Verlag, London 2002.
15. Kaczorek T .: Positive 2D hybrid linear system s, Bulletin of the P olish Acad emy of Sciences, Technical Sciences, Vol. 55, No. 4, pp. 351–358, 2007.
16. Kaczorek T.: Realization problem for positive 2D hybrid systems, COMPEL, vol. 27, no. 3, pp. 613–623, 2008.
17. Kamen E. W.: On the relationship between zer o criteria for two-variable polynom ials and asymptotic stability of delay differential equations. IEEE Trans. Autom at. Control, vol. AC-25, no. 5, 983–984, 1980.
18. Xiao Y.: Stability test for 2-D continuous-discrete system s, Proc. of the 40th IEEE Conf. on Decision and Control, vol. 4, pp. 3649–3654, 2001.
19. Xiao Y.: Robust Hurwitz-Schur stability conditions of polytopes of 2-D polynom ials, Proc. of the 40th IEEE Conf. on Decision and Control, vol. 4, pp. 3643–3648, 2001.
20. Xiao Y.: Stability, controllability and observabili ty of 2-D continuous-discrete system s, Proc. of the Int. Symp. on Circuits and Systems, vol. 4, pp. IV468–IV471, 2003.
