Punktowa zupełność i punktowa degeneracja układów dyskretnych niecałkowitego rzędu / PAR 2/2012 / 2012 / Archiwum / Strona główna | PAR Pomiary - Automatyka - Robotyka

(1)

Punktowa zupełność i punktowa degeneracja

układów dyskretnych niecałkowitego rzędu

Wojciech Trzasko

Politechnika Białostocka w Białymstoku

Streszczenie: W pracy rozpatrzono liniowe stacjonarne układy dyskretne niecałkowitego niewspółmiernego rzędu. Sformułowa-no definicje oraz podaSformułowa-no warunki konieczne i wystarczające punktowej zupełności oraz punktowej degeneracji układów dys-kretnych standardowych oraz dodatnich. Rozważania zilustrowa-no przykładami

Słowa kluczowe: punktowa zupełność, punktowa degeneracja, niecałkowity niewspółmierny rząd, układ dyskretny, standardowy, dodatni.

kład dynamiczny, niepoddany wymuszeniu, jest na-zywany punktowo zupełnym, jeżeli każdy zadany stan końcowy można osiągnąć poprzez odpowiedni wybór stanu początkowego. Układ, który nie jest punktowo zupełny, jest nazywamy punktowo zdegenerowanym. Pierwszy raz pojęcie punktowej zupełności i punktowej degeneracji dla ciągłych układów z opóźnieniami wprowadził Weiss (np. [17]).

1. Wprowadzenie

W ostatnich latach coraz częściej wykorzystuje się teorię rachunku różniczkowego i różnicowego niecałkowitego rzędu [11, 12, 18] w zagadnieniach modelowania zjawisk fizycznych i projektowania regulatorów. W monografii [9] teorię układów niecałkowitego współmiernego rzędu roz-szerzono na układy dodatnie ciągłe i dyskretne.

W układach dodatnich składowe wektorów wymuszeń, warunków początkowych, stanu i wyjścia przyjmują tylko wartości nieujemne. Przykłady dodatnich układów linio-wych są podane w monografii [10] oraz cytowanej tam literaturze.

Sformułowany przez Weissa problem był rozpatrywa-ny w wielu pracach, np. [3, 13]. Problem punktowej zu-pełności oraz punktowej degeneracji dodatnich układów: dyskretnych, ciągłych, z opóźnieniami oraz niecałkowitego rzędu został sformułowany i rozwiązany w pracach [1, 2, 8, 9, 16], zaś w pracach [6, 7, 14, 15] został rozwiązany dla układów dwuwymiarowych, w tym hybrydowych.

W niniejszej pracy rozpatrzymy układy liniowe stacjo-narne dyskretne, opisane równaniami różnicowymi niecał-kowitego niewspółmiernego rzędu, dla których zostaną na początku podane warunki dodatniości oraz zostanie wy-prowadzona postać rozwiązania równania stanu. Następnie zostaną podane definicje oraz warunki konieczne i wystarczające punktowej zupełności i punktowej degene-racji takich układów. Przy ich sformułowaniu wykorzy-stamy rezultaty prac [1, 5, 9], poświęconych dyskretnym układom niecałkowitego współmiernego rzędu.

2. Układ dyskretny niecałkowitego

rzędu

Niech _ℜn×m_{będzie zbiorem macierzy o wymiarach}

m

n × o rzeczywistych elementach oraz _ℜn ₌_ℜn×1._Zbiór macierzy o wymiarach n ×m, których elementami są licz-by rzeczywiste nieujemne, będziemy oznaczać przez n×m,

+ ℜ przy czym n n×1.

+

+=ℜ

ℜ Zbiór liczb całkowitych dodatnich będziemy oznaczać przez Z zaś macierz jednostkową +, o wymiarach n × przez .n I n

Weźmy pod uwagę dyskretny układ liniowy, opisany jednorodnym równaniem stanu niecałkowitego niewspół-miernego rzędu [4, 5] ), ( ) 1 (i Ax i x + = Δα ₍₁₎ gdzie , ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 1 1 n q i x i x i x q ℜ ∈           + Δ + Δ = + Δ α α α _ _(1a) , ) ( ) ( ) ( 1 n q i x i x i x ∈ℜ           =  (1b) , ... ... ... 1 1 11 nxn qq q q A A A A A ∈ℜ           =   (1c) przy czym 1 0<αj< dla j=1,...,q, q ≤ (2) n, jest niecałkowitym niewspółmiernym rzędem, zaś

j

n j i

x ()∈ℜ ( j=1,...,q) są składowymi wektora stanu x (i) oraz nk nj kj A ∈ℜ × , n=n1+nq. Natomiast [5, 9] , 1 0 ,) ( ) 1 ( ) ( 0 < <  _ −      − = Δ = j i k j j k j i _k x i k x j α _α α (3) jest różnicą wsteczną niecałkowitego rzędu ,αj przy czym

    = + − − = =       ,... 2 , 1 ! ) 1 ( ) 1 (1 0 k k k k kj αj αj αj α _ ₍₄₎

W przypadku szczególnym, dla układu niecałkowitego współmiernego rzędu, mamy

(2)

, 2

1 α α α

α = == q= (5) przy czym 0<α<1. Wtedy równanie (1) upraszcza się do postaci [1, 9] ), ( ) 1 (i Axi x + = Δα ₍₆₎

która jest łatwiejsza do analizy, i dlatego najczęściej w literaturze jest rozpatrywany tego typu model, np. [1, 9, 11, 12, 14, 18].

Zauważmy, że dla przypadku αj=1 mamy różnicę wsteczną pierwszego rzędu i otrzymamy klasyczne równa-nie stanu układu dyskretnego całkowitego rzędu

), ( ) ( ] [ ) 1 (i A1 A xi x i xj + = j  jq + j (7)

Taki przypadek będziemy określać mianem układu dys-kretnego rzeczywistego rzędu.

Niech  , 2 ,1 , ) 1 ( ) ( 1 ₌       − = + _k k c k j j k α α (8)

gdzie dwumian wyznaczamy z (4).

Uwzględniając definicję różnicy wstecznej (3), równa-nie (1) możemy napisać w postaci

 − + ∈ + = + + = + 1 2 ( 1), , ) ( ) 1 ( i k Akxi k i Z i x A i x α (9) gdzie , α α =A+ A (9a) nxn n q n I q I diag ∈ℜ = [α1 ₁ α ] α  (9b)   ( ) ] , 2,3, ) ( [ 1 ₁ ∈ℜ = =diag c I c I k A nxn n q k n k k α α q (9c) W przypadkach szczególnych,

− dla układu niecałkowitego współmiernego rzędu zależ-ności (9a) – (9c) przyjmują postać:

, n I A Aα = +α (10a)  , 3 , 2 = =c I k Ak k n (10b)

przy czym współczynniki c wyznacza się z zależności _k

(8) dla 0<α<1,

− dla układu rzeczywistego rzędu w zależnościach (9b) i (9c) dla αj=1 podstawiamy, odpowiednio

j j n n jI =I α (11a)  , 3 , 2 , 0 ) ( = k= ck αj (11b)

Z równania (9) wynika, że układ niecałkowitego nie-współmiernego rzędu jest równoważny układowi standar-dowemu z rosnącą liczbą opóźnień, przy czym współczyn-niki ck(αj), k=2 ,3, , maleją szybko do zera, gdy k rośnie do nieskończoności oraz dla dowolnych niecałkowi-tych rzędów 0<αj<1, j =1 q,..., .

Twierdzenie 1. Rozwiązanie równania stanu (1) z

wa-runkiem początkowym x(0)=[x1(0)  xq(0)]T ≠0 ma postać ). 0 ( ) (i x x =Φi (12)

Macierze podstawowe (tranzycyjne) Φ wyznacza się i

z zależności rekurencyjnej  Φ + Φ + = Φ + = −+ + 1 2 1 1 ( ) i k k i k i i A α A (13) z warunkiem początkowym , 0 0 , 0= Φ = < Φ I i dla i (14)

przy czym macierze współczynników α i A wyznacza k

się ze wzorów (9b) i (9c).

Dowód. Dowód przeprowadzimy, podobnie jak w pracy

[9], korzystając z przekształcenia (transformaty) Z funk-cji dyskretnych.

Dokonując obustronnej transformaty Z równania (9) przy niezerowych warunkach początkowych, otrzymamy

.) ( ) ( ) ( 1 2 ) 1 ( 0 = +  − + = − − i k k kz X z A z X A zx z zX α (15) Po przekształceniach dostaniemy 0 1 1 2 1 ) (z I A z Az x X i k k k n − + = − −     ₋ ₋ _ = α (16) Niech , 0 1 1 2 1 ₌ __Φ     ₋ ₋ _ ∞ = − − + = − − i i i i k k k n A z A z z I α (17)

wówczas równanie (16) możemy napisać w postaci . ) ( ) ( 0 0 i z x z X i i Φ = ∞ = − ₍₁₈₎

Dokonując odwrotnego przekształcenia Z otrzymamy rozwiązanie równania różnicowego niecałkowitego rzędu (1) w postaci (12).

Z definicji macierzy odwrotnej mamy . 0 1 2 1 n i i i i k k k n A z A z z I I =      Φ     ₋ ₋ _ ∞ = − + = − − α (19)

Porównując współczynniki przy tych samych potęgach zmiennej _z−k, _k₌_{0 }_,₁_, _,_{w (19) otrzymamy} 0 2 1 2 1 0= , Φ = , Φ = Φ + Φ Φ In Aα Aα A (20)

i w ogólnym przypadku zależność (13). ■ Rozwiązanie (12) równania stanu układu (1) można także wyprowadzić z zależności (9), wyznaczając bezpo-średnio kolejne wartości x(i), i=0,1,2,

Definicja 1. [9] Układ niecałkowitego niewspółmiernego

(3)

do-wolnego nieujemnego wektora warunków początkowych ,

) 0

( n

x ∈ℜ+ zachodzi x(i)∈ℜ+n dla wszystkich i∈Z+.

W monografii [9] wykazano, że jeśli niecałkowity rząd

j

α jest z przedziału 0<αj<1, to współczynniki ck(αj)

(8), k=1 ,2, , są dodatnie.

Lemat 1. Jeżeli niecałkowity rząd α_j spełnia zależność 1

0<αj< dla każdego j=1,...,q oraz , ] [_A n×n + ℜ ∈ +α (21)

to macierze Φ mają wszystkie elementy nieujemne, tzn. _i . , + × + ∈ ℜ ∈ Φ nn i Z i (22)

Dowód. Dowód wynika wprost z zależności (13) i (9a-9c).

Z powyższych właściwości oraz rozwiązania równania stanu (12) wynika warunek dodatniości układu (1).

Twierdzenie 2. Układ (1) niecałkowitego

niewspółmier-nego rzędu jest dodatni wtedy i tylko wtedy, gdy , 1 0<αj< j=1,...,q, q ≤ n, (23) , n n A × + ℜ ∈ +α (24)

gdzie macierz współczynników α ma postać (9b).

Powyższe twierdzenie jest prawdziwe dla opisanych wcześniej przypadków szczególnych, przy czym w macie-rzy współczynników α należy uwzględnić modyfikacje opisane zależnościami (10a) i (11a), odpowiednio.

3. Punktowa zupełność i punktowa

degeneracja

Przy formułowaniu definicji punktowej zupełności i punk-towej degeneracji oraz podaniu odpowiednich warunków wykorzystamy rezultaty prac [1, 9] poświęconych dyskret-nym układom ułamkowego rzędu (lub inaczej niecałkowi-tego współmiernego rzędu).

Standardowy układ dyskretny

Definicja 2. [9] Układ dyskretny niecałkowitego

nie-współmiernego rzędu jest punktowo zupełny w dyskretnej chwili i=N≥1, gdy dla każdego wektora n

f

x ∈ℜ można dobrać wektor warunków początkowych _x₍₀₎_∈_ℜn_{taki, że}

f T q N x x N x N x( )=[ 1( ),, ( )] = .

Definicja 3. [9] Układ dyskretny niecałkowitego

nie-współmiernego rzędu jest punktowo zdegenerowany w dyskretnej chwili i=N≥1, jeżeli istnieje niezerowy wektor _{v ℜ}_∈ n_{taki, że dla każdego niezerowego wektora}

warunków początkowych _x₍₀₎_∈_ℜn_{rozwiązanie równania}

(9) spełnia warunek vTx(N)=vT[x1(N),,xq(N)]T =0. Z zależności (12) dla i=N≥1 mamy, że xf =ΦNx(0). Z twierdzenia Kroneckera-Capellego wynika, że dla do-wolnego wektora n f x ∈ℜ równanie to ma rozwiązanie f N x x₍₀₎₌_[_Φ _]−1 _{, jeżeli}_rank _n N = Φ (tzn. detΦ_N ≠0).

Twierdzenie 3. Układ dyskretny niecałkowitego

nie-współmiernego rzędu jest punktowo zupełny w dyskretnej chwili i=N≥1 wtedy i tylko wtedy, gdy

.

n

rankΦN = (25)

Z powyższego wynika, że układ (1) jest punktowo zdege-nerowany w chwili i=N≥1 wtedy i tylko wtedy, gdy warunek (25) nie jest spełniony. W takim przypadku istnieje wektor _{v ℜ}_∈ n_{taki, że} _v _x₍_N₎₌_v _Φ _x₍₀₎₌₀_.

N T T

Zatem kierunek degeneracji wyznacza się ze wzoru . 0 = ΦN T v

Z powyższego wynika warunek konieczny i wystarcza-jący punktowej degeneracji.

Twierdzenie 4. Układ dyskretny niecałkowitego

nie-współmiernego rzędu jest punktowo zdegenerowany w dyskretnej chwili i=N≥1 wtedy i tylko wtedy, gdy

.

n

rankΦN < (26)

Biorąc pod uwagę sposób wyznaczania macierzy Φ i

można łatwo wykazać, że prawdziwe są poniższe wnioski.

Wniosek 1. Punktowa zupełność lub punktowa

degene-racja układu standardowego (1) niecałkowitego niewspół-miernego rzędu nie jest własnością niezmienniczą ze względu na chwile dyskretne i=N≥1, w przeciwieństwie do układów dyskretnych całkowitego rzędu.

Wniosek 2. Twierdzenia 3 i 4 są prawdziwe dla układu

(6) niecałkowitego współmiernego rzędu oraz w przypadku układu rzędu rzeczywistego (tzn. dla αj=1 mamy (7)).

3.1.1. Przykład

Zbadać punktową zupełność układu (1) niecałkowitego niewspółmiernego rzędu: α1=0,5, α2=0,6, o macierzy stanu , 5 , 0 0 0       − = a A _a_∈_ℜ1. ₍₂₇₎

Obliczając A macierze współczynników _α, A ze wzorów k

(9a-9c) oraz macierze Φ ze wzoru (13), otrzymamy od-i

powiednio , 1 , 0 0 0 5 , 0       + = a Aα , 12 , 0 0 0 125 , 0 2       = A , 0560 , 0 0 0 0625 , 0 3       = A , 1 , 0 0 0 5 , 0 1       + = = Φ Aα a , 13 , 0 0 0 125 , 0 ) 5 , 0 ( 2 2 1 2       ₊ ₊ = + Φ = Φ Aα A a  , 0081 , 0 0 0 3125 , 0 5 , 1 2 3 3 1 2 2 3       ₊ ₊ ₊ = + Φ + Φ = Φ Aα A A a a a

Z powyższego oraz twierdzeń 3 i 4 wynika, że rozpa-trywany układ niecałkowitego niewspółmiernego rzędu:

(4)

− jest punktowo zupełny w chwili i=N=1 dla a≠−0,5, bowiem rankΦ1=2. Dla a=−0,5 układ jest punktowo

zdegenerowany w kierunku _{v =}[1,0]T,

− jest zawsze punktowo zupełny w chwili i=2 dla do-wolnej wartości współczynnika _a_∈_ℜ1,

− jest punktowo zupełny w chwili i=3 dla a≠−0,7119, bowiem rankΦ3=2. Dla a=−0,7119 mamy

0 3125 , 0 5 , 1 2 3₊ _a ₊_a₊ ₌

a i rankΦ3=1, zatem układ

jest punktowo zdegenerowany.

Oznacza to, że w rozpatrywanym układzie możliwość wyznaczenia wektora warunków początkowych _x₍₀₎_∈_ℜn

dla dowolnego zadanego stanu końcowego x(N)=xf ściśle

zależy od wartości współczynnika a oraz chwili dyskret-nej i=N≥1.

Dodatni układ dyskretny

Uogólniając definicje 2 i 3 na układy dodatnie niecałkowi-tego niewspółmiernego rzędu otrzymamy.

Definicja 4. [9] Dodatni układ dyskretny niecałkowitego

niewspółmiernego rzędu jest punktowo zupełny w dys-kretnej chwili i=N≥1, gdy dla każdego wektora

n f

x ∈ℜ+ można dobrać wektor warunków początkowych

n

x(0)∈ℜ+ taki, że x(N)=[x1(N),,xq(N)]T =xf .

Definicja 5. [1] Dodatni układ dyskretny niecałkowitego

niewspółmiernego rzędu jest punktowo zdegenerowany w dyskretnej chwili i=N≥1, jeżeli istnieje przynajmniej jeden stan końcowy n

f

x ∈ℜ+, który nie jest osiągalny

w N krokach z dowolnego stanu początkowego ,

) 0

( n

x ∈ℜ+ tzn. nie istnieje liczba naturalna N i

niezero-wy wektor warunków początkoniezero-wych _x n

+ ℜ ∈ ) 0 ( takie, że . )] ( , ), ( [ ) (N x1 N xq N T xf x =  =

Ze wzoru (12) i definicji (4) wynika, że (25) jest tylko warunkiem koniecznym punktowej zupełności w chwili

1 ≥ =N

i dodatniego układu (1).

Twierdzenie 5. Dodatni układ dyskretny niecałkowitego

niewspółmiernego rzędu jest punktowo zupełny

a) dla każdej zadanej dyskretnej chwili i=N≥1 wtedy i tylko wtedy, gdy macierz _A n×n

+ ℜ ∈

α jest nieosobli-wą macierzą diagonalną,

b) dla każdej zadanej dyskretnej chwili i=N≥2 wtedy i tylko wtedy, gdy macierz _A n×n

+ ℜ ∈

α jest osobliwą macierzą diagonalną.

Dowód. Z zależności (12) dla i=N≥1 mamy, że ).

0 (

x

xf =ΦN Z twierdzenia Kroneckera-Capellego

wyni-ka, że dla dowolnego wektora n f

x ∈ℜ równanie to ma rozwiązanie x(0)=[ΦN]−1xf, jeżeli rankΦN =n lub

rów-noważnie detΦN ≠0. Aby uzyskać warunek dodatniości wektora stanu początkowego _x n

+

ℜ ∈ ) 0

( musi być

spełnio-ny warunek nn N − ∈ℜ+× Φ _]1 [ przy dowolnym n. f x ∈ℜ+

Ogólnie wiadomo, że macierz nn N − ∈ℜ+× Φ _]1

[ wtedy i tylko

wtedy, gdy nn

N∈ℜ+×

Φ jest macierzą monomialną. Ze sposobu wyznaczania macierzy Φi (patrz wzór (13)) oraz

struktury macierzy dodatnich współczynników α i A k

(wzory (9b) i (9c)) wynika, że aby Φi była macierzą

monomialną dla i=N≥1, macierz _A n×n + ℜ ∈

α musi być

nieosobliwą macierzą diagonalną. Zatem ze wzoru (9a)

wynika, że macierz stanu A musi być diagonalna, aby układ (1) był punktowo zupełny. Jeżeli macierz

n n A × + ℜ ∈

α jest osobliwą macierzą diagonalną, to dla 1

= =N

i nie jest spełniony warunek konieczny (25), tzn.

n

rankΦ1< lub równoważnie detΦ1=0. Natomiast ze

wzoru (13) wynika, że w tym przypadku Φ będzie nie-_i osobliwą macierzą diagonalną dla każdego i=N≥2 i rozpatrywany układ jest punktowo zupełny dla każdej chwili i=N≥2. ■ Z twierdzenia 4 wynika, że (26) jest warunkiem dosta-tecznym punktowej degeneracji dodatniego układu (1). Z powyższych rozważań i twierdzenia 5 wynika następują-cy warunek konieczny i wystarczająnastępują-cy punktowej degene-racji.

Twierdzenie 6. Dodatni układ dyskretny niecałkowitego

niewspółmiernego rzędu jest punktowo zdegenerowany w dyskretnej chwili i=N≥1 wtedy i tylko wtedy, gdy

n n N∈ℜ+×

Φ nie jest macierzą monomialną.

Biorąc pod uwagę sposób wyznaczania macierzy Φ _i można łatwo wykazać, że prawdziwe są poniższe wnioski.

Wniosek 3. Twierdzenie 5 jest prawdziwe dla układu (6)

niecałkowitego współmiernego rzędu. W przypadku ukła-du rzęukła-du rzeczywistego (7) Twierdzenie 5 jest prawdziwe tylko dla punktu a), przy czym _A n×n

+ ℜ ∈

α (9a) może być macierzą quasi-diagonalną, tzn. dla całkowitego rzędu

1 =

j

α podmacierz A +_jj I_n_j może być macierzą mono-mialną.

Można łatwo wykazać, że dla całkowitego rzędu 1

=

j

α w macierzy blokowej Φ (13) mamy podmacierz _i . ) ( ) ( i n jj jj i = A +I j

Φ Jest ona monomialną dla i=1,2, wtedy i tylko wtedy, gdy podmacierz j j

j n n n jj I A + ∈ℜ+× jest monomialna.

Zauważmy, że jeżeli osobliwość macierzy diagonalnej

n n A × + ℜ ∈

α wynika z osobliwości podmacierzy

j j j n n n jj I

A + ∈ℜ+× dla całkowitego rzędu αj=1, to w tym

przypadku Φ nie będzie nieosobliwą macierzą quasi-_i diagonalną dla i=N≥2, ponieważ z (11a - 11b) wynika, że w macierzach A (9c) mamy _k ck(αj)=0 dla k=2,3,

3.1.2. Przykład

Zbadać punktową zupełność układu (1) niecałkowitego niewspółmiernego rzędu: α1=0,5, α2=α3=0,6, o

macie-rzy stanu          − = 2 0 0 0 1 0 0 0 1 α A (28)

Obliczając A macierz współczynników α, A ze wzorów k

(9a - 9c) oraz macierze Φ ze wzoru (13), otrzymamy i

, 2 0 0 0 1 0 0 0 0 2 2           + + = α α α A ] 12 , 0 12 , 0 125 , 0 [ ] 2 / ) 1 ( 2 / ) 1 ( 2 / ) 1 ( [ 1 1 2 2 2 2 2 diag diag A = = − − − = α α α α α α  ], 056 , 0 056 , 0 0625 , 0 [ 3 diag A =

(5)

          = = Φ 6 , 2 0 0 0 6 , 1 0 0 0 0 1 Aα  , 68 , 3 0 0 0 68 , 2 0 0 0 125 , 0 2 1 2           = + Φ = Φ Aα A

Rozpatrywany układ jest dodatni, gdyż . 3 3× + ℜ ∈ α

A Macierze podstawowe Φ są nieosobliwymi _i macierzami diagonalnymi o nieujemnych elementach dla

. 2 ≥

i

Z powyższego oraz z twierdzeń 5 i 6 wynika, że badany układ niecałkowitego niewspółmiernego rzędu:

− nie jest punktowo zupełny w chwili i=N=1, bowiem

, 2

1=

Φ

rank czyli macierz Φ1 jest osobliwa. W takim

przypadku układ jest punktowo zdegenerowany w kie-runku _{v =}[1,0,0]T,

− jest zawsze punktowo zupełny dla każdej chwili dys-kretnej i=N≥2.

Oznacza to, że w rozpatrywanym układzie istnieje możliwość wyznaczenia nieujemnego wektora warunków

początkowych n

f

N x

x(0)=[Φ ]−1 ∈ℜ+ dla dowolnego

zada-nego stanu końcowego n

f

x N

x( )= ∈ℜ+ wtedy i tylko

wtedy, gdy i=N≥2.

Dowolny nieujemny stan końcowy

3 3 2 1 2 1(2), (2)] [ , , ] [ ) 2 ( = x x T = x f x f x f T∈ℜ+ x (29)

można najwcześniej osiągnąć w drugiej dyskretnej chwili, wychodząc z nieujemnego warunku początkowego

. 2717 , 0 3731 , 0 8 2717 , 0 0 0 0 3731 , 0 0 0 0 8 ) 2 ( ] [ ) 0 ( 3 3 2 1 3 2 1 1 2 − ∈ℜ+           =                     = Φ = f f f f f f x x x x x x x x

4. Uwagi końcowe

W pracy rozpatrzono problem punktowej zupełności i punktowej degeneracji liniowych stacjonarnych układów dyskretnych niecałkowitego niewspółmiernego rzędu, opisanych jednorodnym równaniem stanu (1), które może być zapisane w postaci (9).

Sformułowano podstawowe definicje oraz podano wa-runki konieczne i wystarczające punktowej zupełności i punktowej degeneracji układu niecałkowitego niewspół-miernego rzędu: standardowego oraz dodatniego. Podano też wnioski dla przypadków szczególnych: układu niecał-kowitego współmiernego rzędu oraz rzeczywistego rzędu. Powyższe rozważania można łatwo uogólnić na dwu-wymiarowe układy dyskretne niecałkowitego niewspół-miernego rzędu oraz układy z opóźnieniami.

Praca finansowana ze środków Narodowego Centrum Nauki w ramach projektu badawczego G/WE/1/2011

Bibliografia

1. Busłowicz M., Punktowa zupełność i punktowa

dege-neracja liniowych układów dyskretnych ułamkowego rzędu. „Zesz. Nauk. Politechniki Śląskiej”, ser.

Auto-matyka, nr 151, 2008, 17-29.

2. Busłowicz M., Kociszewski R., Trzasko W., Punktowa

degeneracja i punktowa zupełność liniowych dodatnich układów dyskretnych z opóźnieniami. „Zesz. Nauk.

Politechniki Śląskiej”, ser. Automatyka, vol. 145, 2006, 51-56.

3. Choundhury A. K., Necessary and sufficient

condi-tions of pointwise completeness of linear time-invariant delay-differential systems, „Int. J. Control”,

vol. 16, no. 6, 1972, 1083-1100.

4. Dzieliński A., Sierociuk D., Observer for discrete

fractional order systems. [w] Proc. of the 2nd_IFAC

Workshop on Fractional Differentiation Applications,

2006, Portugalia, 524-529.

5. Guerman S., Djennoune S., Bettayeb M.,

Controlla-bility and observaControlla-bility of linear discrete-time frac-tional-order systems. „Int. J. Appl. Math. Comput.

Sci.”, vol. 18, no. 2, 2008, 213-222.

6. Kaczorek T., Pointwise completeness and pointwise

degeneracy of standard and positive hybrid systems described by the general model. “Archives of Control

Sciences”, vol. 20, nr 2, 2010, 121-131.

degeneracy of standard and positive Roesser models.

„PAK”, vol. 56, nr 2, 2010, 163-165.

8. Kaczorek T., Busłowicz M., Pointwise completeness

and pointwise degeneracy of linear continuous-time fractional order systems. „JAMRIS”, vol. 3, nr 1,

2009, 8-11.

9. Kaczorek T., Wybrane zagadnienia teorii układów

niecałkowitego rzędu, Oficyna Wydawnicza

Politech-niki Białostockiej, Białystok, 2009.

10. Kaczorek T., Positive 1D and 2D Systems. Springer-Verlag, London, 2002.

11. Miller K. S., Ross B., An Introduction to the

frac-tional calculus and fracfrac-tional differential equations.

Willey, New York, 1993.

12. Podlubny I., Matrix approach to discrete fractional

calculus. „An International Journal for Theory and

Applications”, vol. 3, no 4, 2000, 359-386.

13. Popov V. M., Pointwise degeneracy of linear

time-invariant delay-differential equations. „J. Diff.

Equa-tion”, vol. 11, 1972, 541-561.

14. Trzasko W., Względna punktowa zupełność dodatnich

układów ciągło-dyskretnych niecałkowitego rzędu.

Au-tomation 2011, „Pomiary – Automatyka –Robotyka”, nr 2, 2011, 528-537.

układów ciągło-dyskretnych. Automation 2009,

„Po-miary – Automatyka –Robotyka”, nr 2, 2009, 455-464.

16. Trzasko W., Busłowicz M., Kaczorek T., Pointwise

completeness of discrete-time cone systems with de-lays. [w] Proc. of EUROCON 2007, IEEE Xplore,

606-611.           = = Φ 6 , 2 0 0 0 6 , 1 0 0 0 0 1 Aα  , 68 , 3 0 0 0 68 , 2 0 0 0 125 , 0 2 1 2           = + Φ = Φ Aα A

Rozpatrywany układ jest dodatni, gdyż . 3 3× + ℜ ∈ α

A Macierze podstawowe Φ są nieosobliwymi i

macierzami diagonalnymi o nieujemnych elementach dla .

2 ≥

i

Z powyższego oraz z twierdzeń 5 i 6 wynika, że badany układ niecałkowitego niewspółmiernego rzędu:

− nie jest punktowo zupełny w chwili i=N=1, bowiem

, 2

1=

Φ

rank czyli macierz Φ₁ jest osobliwa. W takim przypadku układ jest punktowo zdegenerowany w kie-runku _{v =}[1,0,0]T,

− jest zawsze punktowo zupełny dla każdej chwili dys-kretnej i=N≥2.

Oznacza to, że w rozpatrywanym układzie istnieje możliwość wyznaczenia nieujemnego wektora warunków

początkowych n

f

N x

x(0)=[Φ ]−1 ∈ℜ+ dla dowolnego

zada-nego stanu końcowego n

f

x N

x( )= ∈ℜ+ wtedy i tylko

wtedy, gdy i=N≥2.

Dowolny nieujemny stan końcowy

3 3 2 1 2 1(2), (2)] [ , , ] [ ) 2 ( = x x T = x f x f x f T∈ℜ+ x (29)

można najwcześniej osiągnąć w drugiej dyskretnej chwili, wychodząc z nieujemnego warunku początkowego

. 2717 , 0 3731 , 0 8 2717 , 0 0 0 0 3731 , 0 0 0 0 8 ) 2 ( ] [ ) 0 ( 3 3 2 1 3 2 1 1 2 − ∈ℜ+           =                     = Φ = f f f f f f x x x x x x x x

4. Uwagi końcowe

W pracy rozpatrzono problem punktowej zupełności i punktowej degeneracji liniowych stacjonarnych układów dyskretnych niecałkowitego niewspółmiernego rzędu, opisanych jednorodnym równaniem stanu (1), które może być zapisane w postaci (9).

Sformułowano podstawowe definicje oraz podano wa-runki konieczne i wystarczające punktowej zupełności i punktowej degeneracji układu niecałkowitego niewspół-miernego rzędu: standardowego oraz dodatniego. Podano też wnioski dla przypadków szczególnych: układu niecał-kowitego współmiernego rzędu oraz rzeczywistego rzędu. Powyższe rozważania można łatwo uogólnić na dwu-wymiarowe układy dyskretne niecałkowitego niewspół-miernego rzędu oraz układy z opóźnieniami.

Praca finansowana ze środków Narodowego Centrum Nauki w ramach projektu badawczego G/WE/1/2011

Bibliografia

1. Busłowicz M., Punktowa zupełność i punktowa

dege-neracja liniowych układów dyskretnych ułamkowego rzędu. „Zesz. Nauk. Politechniki Śląskiej”, ser.

Auto-matyka, nr 151, 2008, 17-29.

2. Busłowicz M., Kociszewski R., Trzasko W., Punktowa

degeneracja i punktowa zupełność liniowych dodatnich układów dyskretnych z opóźnieniami. „Zesz. Nauk.

Politechniki Śląskiej”, ser. Automatyka, vol. 145, 2006, 51-56.

3. Choundhury A. K., Necessary and sufficient

condi-tions of pointwise completeness of linear time-invariant delay-differential systems, „Int. J. Control”,

vol. 16, no. 6, 1972, 1083-1100.

4. Dzieliński A., Sierociuk D., Observer for discrete

fractional order systems. [w] Proc. of the 2nd_IFAC

Workshop on Fractional Differentiation Applications,

2006, Portugalia, 524-529.

5. Guerman S., Djennoune S., Bettayeb M.,

Controlla-bility and observaControlla-bility of linear discrete-time frac-tional-order systems. „Int. J. Appl. Math. Comput.

Sci.”, vol. 18, no. 2, 2008, 213-222.

degeneracy of standard and positive hybrid systems described by the general model. “Archives of Control

Sciences”, vol. 20, nr 2, 2010, 121-131.

degeneracy of standard and positive Roesser models.

„PAK”, vol. 56, nr 2, 2010, 163-165.

8. Kaczorek T., Busłowicz M., Pointwise completeness

and pointwise degeneracy of linear continuous-time fractional order systems. „JAMRIS”, vol. 3, nr 1,

2009, 8-11.

9. Kaczorek T., Wybrane zagadnienia teorii układów

niecałkowitego rzędu, Oficyna Wydawnicza

Politech-niki Białostockiej, Białystok, 2009.

10. Kaczorek T., Positive 1D and 2D Systems. Springer-Verlag, London, 2002.

11. Miller K. S., Ross B., An Introduction to the

frac-tional calculus and fracfrac-tional differential equations.

Willey, New York, 1993.

12. Podlubny I., Matrix approach to discrete fractional

calculus. „An International Journal for Theory and

Applications”, vol. 3, no 4, 2000, 359-386.

13. Popov V. M., Pointwise degeneracy of linear

time-invariant delay-differential equations. „J. Diff.

Equa-tion”, vol. 11, 1972, 541-561.

układów ciągło-dyskretnych niecałkowitego rzędu.

Au-tomation 2011, „Pomiary – Automatyka –Robotyka”, nr 2, 2011, 528-537.

układów ciągło-dyskretnych. Automation 2009,

„Po-miary – Automatyka –Robotyka”, nr 2, 2009, 455-464.

16. Trzasko W., Busłowicz M., Kaczorek T., Pointwise

completeness of discrete-time cone systems with de-lays. [w] Proc. of EUROCON 2007, IEEE Xplore,

(6)

nauka

17. Weiss L., Controllability for various linear and

nonli-near systems models, Lecture Notes in Mathematics,

vol. 144, Seminar on Differential Equations and Dy-namic System, Springer Verlag, 1970, 250-262. 18. Vinagre B. M., Fractional Calculus Fundamentals.

Tutorial Workshop #2. [w] Fractional Calculus Ap-plications in Automatic Control and Robotics, 41st

IEEE Conference on Decision and Control, Las

Ve-gas, 2002.

Pointwise completeness and pointwise

degen-eracy of fractional discrete-time systems

Abstract: In the paper the linear discrete-time non-commensurate fractional-order systems is considered. Definitions and necessary and sufficient conditions for the pointwise com-pleteness and pointwise degeneracy of standard and positive systems are given. The considerations are illustrated by exam-ples.

Keywords: pointwise completeness, pointwise degeneracy, non-commensurate fractional-order, standard, positive, discrete-time system

dr inż. Wojciech Trzasko

Absolwent Wydziału Elektrycznego Politechniki Białostockiej. Obecnie zatrudniony jako adiunkt w Katedrze Automatyki i Elektroniki WE PB. Główne kierunki badań naukowych to analiza i synteza układów dodat-nich: z opóźnieniami, dwuwymiaro-wych ciągło-dyskretnych oraz ukła-dów niecałkowitego rzędu.

e-mail: wtrzasko@pb.edu.pl

Ve-gas, 2002.

Pointwise completeness and pointwise

degen-eracy of fractional discrete-time systems

namic System, Springer Verlag, 1970, 250-262. 18. Vinagre B. M., Fractional Calculus Fundamentals.