Zajecia

ZADANIA POWT ´ORZENIOWE PRZED DRUGIM KOLOKWIUM Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I

1. Obliczy´c pochodne funkcji

(a) y = _3x−12 , (b) f (x) = 3 q 1 2x + 1, (c) f (x) = sin(5x − 1), (d) f (x) = (3x2_{− 7)e}−x2_+2x+1 , (e) f (x) = e−x2· ln x, (f) f (x) = ln3x − e−x, (g) f (x) = e √ sin x_{, (h) f (x) = ln e}1/x_{− x
.}

2. (a) Znale´z´c styczn¸a do wykresu funkcji f (x) = ln(1 − 3x) w punkcie o odci¸etej x0= 0.

(b) Znale´z´c styczn¸a do wykresu funkcji f (x) = e2x−1+ 2 w punkcie o odci¸etej x0= 1₂.

(c) Znale´z´c r´ownanie prostej stycznej do wykresu funkcji f (x) = (3π − 4x) sin x w punkcie (π₂, π). (d) Wyznaczy´c dziedzin¸e funkcji y =ln(3−

√ x) √

x oraz r´ownanie prostej stycznej do tej krzywej w punkcie (4, 0).

(e) Wyznaczy´c dziedzin¸e funkcji y = ln(2x+1)_x−1 oraz napisa´c r´ownanie prostej do niej stycznej i przechodz¸acej przez pocz¸atek uk ladu wsp´o lrz¸ednych.

3. Korzystaj¸ac z regu ly de l’Hˆopitala obliczy´c (a) limx→03x+e

2x₋₁ 2x , (b) limx→∞e 3x_−e−x x2 , (c) limx→−∞x ln  1−2x 3−2x  , (d) limx→2 (x−2) 2

ln cos(3πx), (e) limx→0+x 1

ln(ex −1)_{, (f) lim}

x→0+xx, .

4. (a) Znale´z´c asymptot¸e prawostronn¸a uko´sn¸a funkcji f (x) = e−3x_2x−1+4x2. (b) Wyznaczy´c lewostronn¸a asymptot¸e uko´sn¸a funkcji f (x) = 2x − e3x_.

(c) Wyznaczy´c asymptoty funkcji f (x) = _4−xex2. (d) Wyznaczy´c asymptoty funkcji f (x) = x

2_e1 x.

(e) Wyznaczy´c asymptoty funkcji f (x) = ln x_x . (f) Wyznaczy´c asymptoty funkcji f (x) = xe1−2x. 5. Wyznaczy´c asymptot¸e pionow¸a i ekstrema funkcji f (x) = _3x+1e2x .

6. Wyznaczy´c ekstrema i przedzia ly monotoniczno´sci funkcji (a) f (x) = _xe−4x2₋₃, (b) f (x) = (x

2_{− x − 1)e}−x_{, (c) f (x) = xe}−x3

, (d) f (x) = ln x_x . 7. Wyznaczy´c przedzia ly wkl¸es lo´sci i wypuk lo´sci funkcji oraz jej punkty przegi¸ecia

(a) f (x) = e−x2, (b) f (x) = x_x22−3x+3_−3x+2, (c) f (x) =

ln x x .

8. (a) Wyznaczy´c przedzia ly, w kt´orych funkcja f (x) = (x2_{+ x + 2)e}−x _{jest wypuk la.}

(b) Wyznaczy´c przedzia ly, w kt´orych funkcja f (x) = ln(1 + x2_{) jest wkl¸es la.}

ODPOWIEDZI: 1. (a) _(3x−1)−6 2 (b) 1 6√3 1 2x+1 2 (c) 5 cos(5x − 1) (d) (−6x 3_{+ 6x}2_{+ 20x − 14)e}−x2_+2x+1 (e) −2xe−x2ln x +1_xe−x2 (f) 3_xln2x + e−x (g) e √ sin x cos x 2√sin x (h) −1 x2e 1/x₋₁ e1/x_−x 2. (a) y = −3x (b) y = 2x + 2 (c) y = −4x + 3π (d) D = (0, 9), y = −1₈x + 1₂ (e) D = (−1₂, 1) ∪ (1, ∞), y = −2x 3. (a) 5₂ (b) ∞ (c) 1 (d) −_9π22 (e) e (f) 1

4. (a) y = 2x + 1 (b) y = 2x (c) y = 0 to asymptota pozioma lewostronna, x = 2, x = −2 to asymptoty pionowe obustronne (d) x = 0 to asymptota pionowa prawostronna (e) y = 0 to asymptota pozioma prawostronna, x = 0 to asymptota pionowa prawostronna (f) y = 0 to asymptota pozioma prawostronna

5. x = −1₃ to asymptota pionowa obustronna, fmin(1₆) =2₃ 3

√ e

6. (a) D = R \ {−√3,√3}, f0(x) = (−4x2_(x−2x+12)e2₋₃₎2 −4x, fmin(−2) = e8, fmax(3₂) = −4₃e−6, ro´snie w przedzia lach

(−2, −√3), (−√3,3₂), maleje w przedzia lach (−∞, −2), (3₂,√3), (√3, ∞)

(b) D = R, f0(x) = e−x(−x2+ 3x), fmin(0) = −1, fmax(3) = _e53, ro´snie dla x ∈ (0, 3), maleje w przedzia lach

(−∞, 0), (3, ∞) (c) D = R, f0(x) = e−x3(1 − 3x3_{), f} max  3 q 1 3  =q3 1 3e −1

3, ro´snie dla x ∈

 −∞,q3 1 3  , maleje dla x ∈q3 1 3, ∞  (d) D = (0, ∞), f0_{(x) =}1−ln x

x2 , fmax(e) = 1_e, ro´snie dla x ∈ (0, e), maleje dla x ∈ (e, ∞)

7. (a) D = R, f00(x) = 2e−x2(2x2− 1), wypuk la w przedzia lach−∞, −q1 2  ,q1₂, ∞, wkl¸es la w przedziale  −q1 2, q 1 2 

, punkty przegi¸ecia: −q1 2, e −1 2  ,q1₂, e−12 

(b) D = R \ {1, 2}, f00(x) = (x2−3x+2)(6x_(x2_−3x+2)2−18x+14)4 , wypuk la w przedzia lach (−∞, 1) , (2, ∞), wkl¸es la w przedziale

(1, 2), brak punkt´ow przegi¸ecia (c) D = (0, ∞), f00_{(x) =}2 ln x−3

x3 , wypuk la w przedziale  e32, ∞  , wkl¸es la w przedziale0, e32  , punkt przegi¸ecia: e32, 3 2e32  8. (a) f00(x) = e−x(x2− 3x + 2), (−∞, 1), (2, ∞) (b) f00_{(x) =} 2−2x2 (1+x2₎2, (−∞, −1), (1, ∞)