Wybrane metody analizy i modelowania zależnych zmiennych losowych wykorzystywanych w ubezpieczeniach

Pełen tekst

(1)Zeszyty Naukowe nr. 726. Akademii Ekonomicznej w Krakowie. 2006. Monika Papież Katedra Statystyki. Stanisław Wanat Katedra Statystyki. Wybrane metody analizy i modelowania zależnych zmiennych losowych wykorzystywanych w ubezpieczeniach 1. Wprowadzenie W ostatnich latach firmy ubezpieczeniowe w systemach zarządzania ryzykiem wykorzystują koncepcję dynamicznej analizy finansowej (dynamic financial analysis – DFA). Jest to system powiązanych ze sobą modeli, za pomocą których można modelować reakcje ubezpieczyciela w długim horyzoncie czasowym (np. kilku lat) na dużą liczbę powiązanych ze sobą czynników ryzyka, zarówno ubezpieczeniowego (związanego z posiadanymi przez ubezpieczyciela portfelami ubezpieczeń), jak i finansowego (związanego z posiadanymi aktywami). Można powiedzieć, że dynamiczna analiza finansowa DFA jest platformą, która integruje różne modele i techniki z zakresu finansów i ubezpieczeń w jeden wielowymiarowy dynamiczny model symulacyjny. Ze względu na kompleksową analizę i duży horyzont czasowy DFA opiera się przede wszystkim na modelowaniu stochastycznym (Monte Carlo), umożliwiającym wygenerowanie dużej liczby losowych scenariuszy i reakcji na nie ubezpieczyciela. Otrzymane w ten sposób wyniki są następnie poddane analizie statystycznej. Dynamiczna analiza finansowa powstała w latach 90. XX w. jako wynik badań naukowych, których inspiratorem był komitet naukowy CAS (Casualty Actuarial. ZN_726.indb 63. 1/30/08 12:57:41 PM.

(2) Monika Papież, Stanisław Wanat. 64. Society). W praktyce została zastosowana najpierw przez firmy ubezpieczeniowe w Europie, a potem w Kanadzie i Stanach Zjednoczonych. Należy jeszcze zwrócić uwagę, że termin „dynamiczna analiza finansowa” używany jest głównie w ubezpieczeniach majątkowych, podczas gdy analogiczne metody w ubezpieczeniach na życie określa się jako dostosowanie aktywów i pasywów (assets-liabilities management – ALM). Podstawowe elementy dynamicznej analizy finansowej przedstawiono na rys. 1. Kalibracja polega na ustaleniu parametrów wszystkich modeli wykorzystanych do generowania scenariuszy. Odbywa się to na podstawie analizy odpowiednich danych historycznych (por. [Blum, Dacorogna 2003]). Kontrola/optymalizacja. Analiza/prezentacja Zmienne wyjściowe Model firmy. Strategie Czynniki ryzyka. Generator scenariuszy. Kalibracja. Rys. 1. Elementy DFA. Źródło: [Blum, Dacorogna 2003].. Generator scenariuszy obejmuje stochastyczne modele czynników ryzyka wpływających na ubezpieczyciela. Zalicza się do nich zarówno czynniki zewnętrzne (np. inflacja, wielkość rynku), jak i wewnętrzne (związane z działalnością operacyjną, lokacyjną i finansową ubezpieczyciela). Wynikiem tego etapu są zmienne opisujące „wspólne zachowanie” wszystkich modelowanych czynników ryzyka w objętym analizą przedziale czasowym. Reprezentują one „stan natury” w tym przedziale czasu. Z kolei wykorzystując model działalności danego ubezpieczyciela (tzw. model firmy), następuje przełożenie wygenerowanych scenariuszy zachowania się modelowanych czynników ryzyka na wartości konkretnych zmiennych wyjściowych opisujących wynik techniczny i finansowy. Na stronie internetowej tego towarzystwa można znaleźć wiele materiałów i artykułów dotyczących DFA. . ZN_726.indb 64. 1/30/08 12:57:42 PM.

(3) Wybrane metody analizy i modelowania zależnych zmiennych…. 65. W wyniku zastosowania modelowania Monte Carlo otrzymuje się bardzo dużo wartości wyjściowych. W celu ułatwienia „wydobycia” z tych danych jak najwięcej informacji dotyczących dalszego rozwoju ubezpieczyciela najczęściej stosuje się analizę statystyczną i graficzną (analiza/prezentacja). Na podstawie tych informacji następuje testowanie strategii (strategie) i dopasowanie najlepszej z nich, które będą optymalizować (kontrola/optymalizacja) podstawowe wielkości określające cel ubezpieczyciela. Efektem zastosowania dynamicznej analizy finansowej jest wybór optymalnej strategii, którą następnie realizuje się w praktyce. Następuje szczegółowa kontrola rzeczywistych wyników ubezpieczyciela i porównywanie ich z wartościami planowanymi. Wyniki rzeczywiste uwzględnia się w celu ciągłej weryfikacji modelu. Centralnym modułem DFA jest generator scenariuszy, składający się z dużej liczby stochastycznych modeli czynników ryzyka zaliczanych do różnych grup, np. ekonomicznego, ubezpieczeniowego, inwestycyjnego, operacyjnego. Podstawowym wymogiem stawianym temu modułowi jest to, aby za jego pomocą można było generować nie tylko scenariusze dotyczące indywidualnych czynników ryzyka, ale również możliwe było zidentyfikowanie i modelowanie współzależności między tymi czynnikami. Zatem prawdziwym wyzwaniem przy opracowywaniu tego modułu DFA jest połączenie wszystkich modeli w zintegrowany model, który będzie uwzględniał współzależność między możliwie największą liczbą czynników ryzyka. W tym względzie proponuje się dwa podejścia: deterministyczne modelowanie współzależności (polegające na postulowaniu funkcyjnych zależności miedzy wybranymi czynnikami ryzyka) oraz modelowanie stochastyczne. W ostatnich latach modelowaniu stochastycznemu poświęcono wiele prac naukowych. Kilka wybranych zamieszczono w spisie literatury: [Ambagaspitiya 1998], [Bäuerle, Müller 1998], [Cossette, Marceau 2000], [Denuit, Lefèvre, Utev 2002], [Dhaene, Goovaerts 1997], [Dhaene, Denuit 1999], [Embrechts, Lindskog, McNeil 2001], [Frees, Valdez 1998], [Genest, Marceau, Mesfioui 2002], [Jajuga 2002], [Jajuga, Kuziak 2003], [Lindskog, McNeil 2001], [Papież, Wanat 2003 a,b,c], [Valdez 2001], [Wang, Dhaene 1998], [Wang 1998]. Autorzy podanych publikacji proponują m.in. następujące narzędzia i modele służących do modelowania struktury zależności: analizę połączeń (copula analysis), wykorzystanie metody wspólnej zmiennej mieszającej (np. common mixture models, extended common Poisson mixture models), modele z niezależnymi komponentami (component models), modele z funkcję zniekształcająca (distortion methods), frailty models. Struktura zależności w tych modelach opisywana jest dystrybuantą wielowymiarową, która przedstawiana jest za pomocą funkcji połączeń lub wielowymiarowej funkcji charakterystycznej. Wykorzystanie funkcji połączenia umożliwia zastosowanie technik symulacyjnych przy badaniu zależności, z kolei funkcja. ZN_726.indb 65. 1/30/08 12:57:42 PM.

(4) 66. Monika Papież, Stanisław Wanat. charakterystyczna umożliwia zastosowanie szybkiej transformaty Fouriera przy „agregacji” poszczególnych rodzajów ryzyka. W pracach tych sugeruje się, aby wybór odpowiedniego modelu był poprzedzony analizą mechanizmu generującego straty w danym portfelu ryzyka. W dalszej części uwagę koncentrujemy na stochastycznym modelowaniu struktury zależności w obrębie ryzyka ubezpieczeniowego. Głównymi czynnikami ryzyka są tutaj liczba odszkodowań i ich wysokość. Ponieważ towarzystwa ubezpieczeniowe najczęściej prowadzą działalność w ramach kilku grup ubezpieczeń charakteryzujących się w miarę jednorodnym ryzykiem, wysokości łącznych odszkodowań wypłacanych przez towarzystwo generuje się, opracowując wcześniej modele liczby i wysokości odszkodowań dla jednorodnych portfeli ubezpieczeń. Uzyskane w ten sposób rozkłady poddaje się następnie agregacji, zakładając najczęściej, że odpowiednie zmienne są niezależne. Nie zawsze jednak takie założenie jest usprawiedliwione i wtedy dokonując agregacji należy uwzględnić współzależność między agregowanymi zmiennymi. W artykule zostaną zaprezentowane wybrane metody stochastycznego modelowania współzależności, które można wykorzystać opracowując model generujący łączne odszkodowania w towarzystwie ubezpieczeniowym, działającym w obrębie kilku grup ubezpieczeń. Za pomocą przedstawionych metod można modelować strukturę zależności zarówno w konkretnym portfelu ubezpieczeń, jak również między portfelami. 2. Analiza połączeń W ostatnich latach w analizie i opisie struktury współzależności często wykorzystywana jest tzw. funkcja połączenia. Podstawy formalne i wskazania zastosowań tej metody zostały przedstawione m.in. w pracach: [Nelsen 1999] oraz [Embrechts, Lindskog, McNeil 2001], w których można znaleźć także rozszerzoną bibliografię prac z tej dziedziny wiedzy. Na uwagę zasługuje również praca [Frees, Valdez 1998], w której przedstawiono zastosowanie analizy połączeń w zagadnieniach aktuarialnych. Idea analizy połączeń polega na przedstawieniu rozkładu wielowymiarowego za pomocą rozkładów brzegowych powiązanych pewną funkcją C, nazywaną funkcją połączenia (copula function). Formalnie C jest to dystrybuanta wektora losowego (U1, …, Un ), dla którego rozkłady brzegowe są jednostajne na przedziale [0, 1]. Jest to więc funkcja C : [0, 1]n → [0, 1], której dziedziną jest n-wymiarowa kostka [0, 1]n, a zbiorem wartości przedział [0, 1], spełniająca wszystkie własności dystrybuanty rozkładu wielowymiarowego.. ZN_726.indb 66. 1/30/08 12:57:42 PM.

(5) Wybrane metody analizy i modelowania zależnych zmiennych…. 67. Istnienie funkcji połączenia dla dowolnego rozkładu wielowymiarowego zostało udowodnione w twierdzeniu Sklara [Sklar 1959], zgodnie z którym dystrybuantę rozkładu wielowymiarowego można przedstawić w następujący sposób:. H ( x1 , …, xn ) = C ( F1 (x1 ), …, Fn (xn )) ,. (1). gdzie: H – dystrybuanta rozkładu wielowymiarowego, Fi – dystrybuanta i-tej składowej brzegowej, C – funkcja połączenia. W przypadku wielowymiarowego rozkładu ciągłego funkcja połączenia jest określona w sposób jednoznaczny. Na podstawie twierdzenia Sklara można otrzymać również zależność odwrotną, w której funkcja połączenia jest zdefiniowana jako wielowymiarowa dystrybuanta określona w odniesieniu do kwantyli rozkładów brzegowych, a mianowicie:. (. ). C ( u1 , …, un ) = H F1−1 (u1 ), …, Fn−1 (un ) ,. (2). gdzie ui ∈ [0, 1], i = 1, …, n. Można pokazać, że każda funkcja połączenia jest ograniczona przez dolną i górną granicę Frécheta-Hoeffinga [Nelsen 1999]:. W ( u1 , …, un ) ≤ C ( u1 , …, un ) ≤ M ( u1 , …, un ) ,. (3). gdzie: W ( u1 , …, un ) = max ( u1 +…+ un – n + 1, 0 ) – dolna granica Frécheta-Hoeffinga, M ( u1 , …, un ) = min ( u1 , …, un ) – górna granica Frécheta-Hoeffinga. W przypadku dwuwymiarowym obie granice W i M są także funkcjami połączeń, natomiast dla wyższych wymiarów nie jest nią dolna granica W. Z kolei korzystając ze wzoru (3) ograniczenie Frécheta-Hoeffinga można zapisać następująco:. W ( F1 (x1 ), …, Fn (xn )) ≤ H ( x1 , …, xn ) ≤ M ( F1 (x1 ), …, Fn (xn )) .. (4). Można również łatwo udowodnić, że w przypadku niezależnych zmiennych losowych funkcja połączenia ma postać [Nelsen 1999]:. C ( u1 , …, un ) = Π ( u1 , …, un ) = u1 ⋅…⋅ un ,. (5). co oznacza, że dystrybuanta wielowymiarowa daje się przedstawić jako iloczyn dystrybuant jednowymiarowych.. ZN_726.indb 67. 1/30/08 12:57:46 PM.

(6) Monika Papież, Stanisław Wanat. 68. Funkcję połączeń wykorzystuje się także do badania zależności. W pracy [Schweizer, Wolff 1981] udowodniono, że jeżeli dwie funkcje g1 i g2 są ściśle rosnące, to zmienne losowe X1 i X2 mają taką samą funkcję połączenia jak g1(X1) i g2(X2). Pokazano także, że dwie miary współzależności – współczynnik korelacji ρ-Spearmana oraz współczynnik τ-Kendalla – mogą być wyznaczone za pomocą funkcji połączenia w następujący sposób: – współczynnik korelacji ρ-Spearmana: ρS ( X1 , X 2 ) = 12 ∫∫ C ( u1 ,u2 ) − u1u2 du1du2 , I2. (. ). (6). – współczynnik τ-Kendalla: τ ( X1 , X 2 ) = 4 ∫∫ C ( u1 ,u2 ) dC ( u1 ,u2 ) − 1. I2. (7). W obydwu wzorach zakłada się, że zmienne X1 i X2 mają ciągłą dystrybuantę dwuwymiarową, którą można wyrazić za pomocą funkcji połączenia C oraz dystrybuant brzegowych zmiennych X1 i X2; ponadto I 2 = [0, 1]2. W przypadku współczynnika korelacji Pearsona pokazano, że zależy on nie tylko od funkcji połączenia, ale także od rozkładów brzegowych. Możliwość przedstawienia dystrybuanty rozkładu wielowymiarowego jako funkcji połączenia rozkładów brzegowych stwarza naturalny sposób analizy rozkładów wielowymiarowych przez oddzielne badanie rozkładów brzegowych i funkcji połączenia. Można zatem powiedzieć, że funkcja połączenia odzwierciedla strukturę zależności miedzy rozkładami brzegowymi. Można to wykorzystać do generowania wektorów losowych podlegających wielowymiarowemu rozkładowi H danemu wzorem (1). W tym celu można zastosować następujący schemat postępowania (por. [Embrechts, Lindskog, McNeil 2001]): – dokonujemy estymacji rozkładów brzegowych F1, …, Fn , – estymujemy współczynniki korelacji rang (np. ρ-Spearmana, τ-Kendalla) między parami zmiennych, – na podstawie uzyskanej macierzy korelacji rang wybieramy n-wymiarową funkcję połączenia (por. [Nelsen 1999]). – generujemy wartości wektora losowego (U1, …, Un ) podlegającego wielowymiarowemu rozkładowi C, – stosujemy transformację ui → Fi −1 (ui ), i = 1, …, n ; wtedy wektor losowy. ( F (U ) , …, F (U )) ma wielowymiarowy rozkład H. −1 1. ZN_726.indb 68. 1. −1 n. n. 1/30/08 12:57:47 PM.

(7) Wybrane metody analizy i modelowania zależnych zmiennych…. 69. 3. Wykorzystanie wspólnej zmiennej mieszającej w modelowaniu zależności W wielu przypadkach można przyjąć, że indywidualne ryzyka danego portfela są zależne, ponieważ są one narażone na wspólny mechanizm generujący szkody (np. w przypadku ubezpieczenia domów może to być położenie w pobliżu rzeki, w przypadku ubezpieczeń na życie uwarunkowania genetyczne itp.). Załóżmy, że portfel składa się z n ubezpieczonych ryzyk {X1, …, Xn}, które podlegają temu samemu zewnętrznemu mechanizmowi generującemu szkody. Jednym ze sposobów modelowania wysokości łącznych szkód w tym portfelu jest wprowadzenie zmiennej mieszającej Θ. Wtedy łączne szkody otrzymuje się w dwóch etapach. Najpierw „ustala” się wartość zmiennej mieszającej Θ, z kolei przy założeniu, że Θ = θ liczbę roszczeń (ewentualnie wysokość roszczenia) dla ryzyka Xi , i = 1, …, n, otrzymujemy jako realizacje warunkowej zmiennej losowej Xi / Θ o dystrybuancie FX θ ( xi / θ ) . i. 4. Modele z niezależnymi komponentami (component models) Do opisu struktury zależności w tych modelach wykorzystuje się rozkłady nieskończenie podzielne. Zakłada się w nich, że ryzyka Xi mogą być modelowane za pomocą tego typu rozkładów. Wówczas każde z nich można przedstawić jako sumę niezależnych zmiennych losowych należących do tej samej rodziny. Można to zapisać w następujący sposób: X1 = X11 + X12 +…+ X1k. , � X n = X n1 + X n2 +…+ X nk. (8). gdzie zmienne Xi1, …, Xik , i = 1, …, n należą do tej samej rodziny rozkładów. Wówczas funkcja tworząca wektora X1, …, Xn jest postaci: k. PX , …, X = ∏ QX i. n. s =1. 1s. , …, X ns. ,. (9). gdzie QX , …, X , s = 1, …, k jest funkcją tworzącą s-tego komponentu. Można także pokazać [Wang 1998], że: 1s. ZN_726.indb 69. ns. (. ). k. (. ). cov Xi , X j = ∑ cov Xis , X js . s =1. (10). 1/30/08 12:57:50 PM.

(8) Monika Papież, Stanisław Wanat. 70. Szczególnym przypadkiem opisanego wyżej modelu jest tzw. common shock model. Zakłada się w nim, że ryzyka Xi , i = 1, …, n opisywane są przez sumę dwóch niezależnych komponentów: Xi = Xia + Xib , i = 1, …, n ,. takich że X1a = X2a = … = Xna = X0 , oraz że zmienne Xib są niezależne. Wówczas [Wang 1998]: X PX , …, X ( t1 , …, t n ) = E ⎡⎣( t1 … t n ) ⎤⎦ E ⎡⎣t1X ... t nX ⎤⎦ 0. 1. n. 1b. nb. (11). (12). oraz. (. ). cov Xi , X j = var ( X 0 ) .. (13). Przy tych założeniach jedynym „źródłem” zależności miedzy ryzykami jest oddziaływanie wspólnej zmiennej X0 (tzw. shock variable). Opisany model można uogólnić na dowolny wymiar k > 2. Modele takie mają szerokie zastosowanie w teorii niezawodności. W poniższych dwóch przykładach przedstawiono sposób wyznaczania rozkładu łącznych roszczeń dwóch portfeli ubezpieczeń, przy założeniu, że liczba roszczeń w tych portfelach modelowana jest za pomocą modelu (11). W pierwszym z nich do opisu liczby roszczeń wykorzystujemy rozkład Poissona, a w drugim rozkład ujemny dwumianowy. Ponadto zakładamy, że zmienne opisujące liczbę roszczeń są niezależne od zmiennych opisujących wysokość pojedynczych roszczeń oraz że zmienne opisujące wysokość pojedynczych roszczeń są niezależne. Przykład 1 W przykładzie tym obliczenia dokonane będą przy następujących założeniach dotyczących parametrów rozkładów: Portfel 1: – liczba roszczeń N1 jest opisana rozkładem Poissona z parametrem λ1 = 32 (w skrócie N1 ~ Po (32)), – wysokość roszczeń jest zmienną losową X o rozkładzie Pareto X ~ P (2; 5). Portfel 2: – liczba roszczeń N2 jest opisana rozkładem Poissona z parametrem λ2 = 16, N1 ~ Po (16), – wysokość roszczeń jest zmienną losową Y o rozkładzie Pareto Y ~ P (1,5; 4). Dodatkowo zakładamy, że zmienne X i Y są niezależne i każda z nich nie zależy od N1 oraz N2.. ZN_726.indb 70. 1/30/08 12:57:51 PM.

(9) Wybrane metody analizy i modelowania zależnych zmiennych…. 71. Korzystając ze wzoru (11), zmienne N1 i N2 można przedstawić następująco: N1 = N 0 + N1b , N 2 = N 0 + N 2b ,. . gdzie: N0 ~ Po (λ0 ), N1b ~ Po (λ1 – λ0 ), N2b ~ Po (λ2 – λ0 ) .. Przy tych założeniach wektor (N1, N2) ma wielowymiarową funkcję tworzącą postaci: PN , N ( t1 , t 2 ) = E ⎡⎣t1N t 2N ⎤⎦ = exp ( λ1 (t1 − 1) + λ 2 (t 2 − 1) + λ 0 (t1 − 1)(t 2 − 1)) (14) 1. 1. 2. 2. oraz cov ( N1 , N 2 ) = var ( N 0 ) = λ 0 .. Z kolei wykorzystując zależność pomiędzy funkcją charakterystyczną zmiennej Z = X + Y a wielowymiarową funkcją tworzącą (14), otrzymujemy:. ( Φ X (t ) , ΦY (t )) = exp ( λ1 (Φ X (t ) − 1) + + λ 2 (ΦY ( t ) − 1) + λ 0 (Φ X ( t ) − 1)(ΦY ( t ) − 1)) . . Φ z ( t ) = PN. 1. , N2. W celu wyznaczenia rozkładu wysokości łącznych roszczeń dla dwóch portfeli zostanie zastosowana szybka transformata Fouriera. Aby zobrazować różnicę pomiędzy rozkładami w zależności od założonego parametru λ 0 cov ( N1 , N 2 ) = λ 0 , obliczenia wykonano dla następujących wartości: λ0 = 0 (zmienne losowe N1, N2 są niezależne); λ0 = 4; λ0 = 8; λ0 = 15. Wartości parametru λ0 zostały tak dobrane, aby wraz ze wzrostem wielkości tego parametru wzrastała zależność pomiędzy zmiennymi losowymi N1, N2. Wyniki obliczeń przedstawia rys. 2, na którym zaprezentowano poszczególne funkcje gęstości dla wysokości łącznych roszczeń dwóch portfeli w zależności od przyjętego stopnia skorelowania.. (. ). Przykład 2 W tym przykładzie liczba roszczeń opisana będzie rozkładem dwumianowym ujemnym o parametrach α, β (N ~ NB(α, β)). Tak więc E[N] = αβ i D 2[N] = = αβ(1 + β) oraz funkcja tworząca jest następującej postaci:. ZN_726.indb 71. −a PN ( t ) = ⎡⎣1 − β ( t − 1) ⎤⎦ .. . 1/30/08 12:57:54 PM.

(10) Monika Papież, Stanisław Wanat. 72. Portfel 1: – liczba roszczeń N1 jest opisana rozkładem dwumianowym ujemnym N1 ~ NB(α1, β), gdzie: α1 = 16 i β = 2, – wysokość roszczeń jest zmienną losową X o rozkładzie Pareto X ~ P(2; 5). Portfel 2: – liczba roszczeń N2 jest opisana rozkładem dwumianowym ujemnym N2 ~ NB(α2, β), gdzie: α2 = 8 i β = 2, – wysokość roszczeń jest zmienną losową Y o rozkładzie Pareto Y ~ P(1,5; 4). Dodatkowo zakładamy, że zmienne X i Y są niezależne i każda z nich nie zależy od N1 oraz N2. Podobnie jak poprzednio korzystając z (11) zmienne N1 i N2 można przedstawić następująco:. gdzie:. N1 = N 0 + N1b , N 2 = N 0 + N 2b ,. N 0 ~ NB ( α 0 , β ) , N1b ~ NB ( α1 − α 0 , β ) , N 2b ~ NB ( α 2 − α 0 , β ) .. . Przy tych założeniach wektor (N1, N2) ma wielowymiarową funkcję tworzącą następującej postaci: PN. 1. , N2. = 1 − β ( t1 − 1) − β ( t 2 − 1). (. (t1 , t2 ) = E ⎡⎣t1N t2N 1. ) (1 − β(t −α 0. 2. ⎤⎦ =. 1 − 1)). α 0 − α1. (1 − β(t2 − 1))α − α 0. 2. . (15). oraz dodatkowo zachodzi następująca zależność: cov ( N1 , N 2 ) = α 0β 2 =. α0 E [ N1 ] E [ N 2 ] . α1α 2. Wykorzystując zależność pomiędzy funkcją charakterystyczną zmiennej Z = X + Y a wielowymiarową funkcją tworzącą (15), otrzymujemy:. ( Φ X (t ) , ΦY (t )) = −α α −α α −α = (1 − β ( Φ X ( t ) − 1) − ( ΦY ( t ) − 1)) (1 − β(Φ X ( t ) − 1)) 1 − β(ΦY ( t ) − 1)) (. Φ z ( t ) = PN. 1. , N2. 0. 0. 1. 0. 2. . . Natomiast gdy zmienne są niezależne, czyli α0 = 0, wówczas wielowymiarowa funkcja tworząca jest następującej postaci:. ZN_726.indb 72. Φ z ( t ) = PN. 1. , N2. ( Φ X (t ) , ΦY (t )) = (1 − β(Φ X (t ) − 1))−α (1 − β(ΦY (t ) − 1))−α 1. 2. .. . 1/30/08 12:57:57 PM.

(11) Wybrane metody analizy i modelowania zależnych zmiennych…. 73. 0,003 0,003. F(z). 0,002 0,002 0,001 5e-4 0. 0. 200 λ=0. 400 λ=4. z. 600. 800. λ=8. 1000 λ = 15. Rys. 2. Funkcje gęstości wysokości łącznych roszczeń w przykładzie 1 w zależności od stopnia skorelowania Źródło: opracowanie własne.. 0,003 0,002. F(z). 0,002 0,001 5e-4 0. 0. 200. α=0. 400. α=1. z. 600. α=2. 800. 1000. α=4. Rys. 3. Funkcje gęstości wysokości łącznych roszczeń w przykładzie 2 w zależności od stopnia skorelowania Źródło: opracowanie własne.. ZN_726.indb 73. 1/30/08 12:57:58 PM.

(12) Monika Papież, Stanisław Wanat. 74. W celu wyznaczenia rozkładu wysokości łącznych roszczeń dla dwóch portfeli zostanie zastosowania szybka transformata Fouriera. Aby zobrazować różnicę pomiędzy rozkładami w zależności od założonego parametru. (. ). α 0 cov ( N1 , N 2 ) = β 2 α 0 , obliczenia wykonano dla następujących wartości: α0 = 0 (zmienne losowe N1, N2 są niezależne); α0 = 1; α0 = 2; α0 = 4. Wartości parametru α0 zostały tak dobrane, aby wartości kowariancji między zmiennymi losowymi N1, N2, były takie same jak w przykładzie 1. Wyniki obliczeń przedstawia rys. 3, na którym zaprezentowano poszczególne funkcje gęstości dla wysokości łącznych roszczeń dwóch portfeli w zależności od przyjętego stopnia skorelowania. 5. Modele z funkcją zniekształcającą Wiadomo, że w przypadku niezależnych zmiennych losowych X1, …, Xn wielowymiarowa funkcja tworząca ma postać: n. PX , …, X ( t1 , …, t n ) = ∏ PX ( ti ) , 1. n. (16). i. i=1. gdzie PX , i = 1, …, n jest funkcją tworzącą rozkładu zmiennej Xi . Jeżeli założymy, że funkcja g jest silnie rosnąca w przedziale [0; 1] oraz g(1) = 1, to równanie postaci [Wang 1998]: i. PX1 , …, Xn ( t1, …, t n ) = g. 1. n. i=1. (. ). g PXi (ti ) . (17). może (przy pewnych warunkach) określać rozkład wielowymiarowych zależnych zmiennych losowych. Funkcję g nazywa się wówczas funkcją zniekształcającą. W celu zamiany występującego we wzorze (17) iloczynu na sumę można przyjąć, że h(x) = ln g(x). Wówczas równanie (17) przyjmuje postać: PX1 , …, Xn ( t1, …, t n ) = h. 1. n i=1. h PXi (ti ) .. (. ). (18). Można udowodnić [Wang 1998], że jeżeli równanie (18) określa wielowymiarowy rozkład prawdopodobieństwa, to:. (. ). cov Xi , X j =. h (1) + 1 E [ X i ] E X j . h (1). (19). Przykładem zastosowania tej metody jest pewna rodzina wielowymiarowych rozkładów z ujemnymi dwumianowymi rozkładami brzegowymi. Można mianowicie wykazać (por. [Wang 1998]), że wielowymiarowa funkcja tworząca postaci:. ZN_726.indb 74. 1/30/08 12:58:00 PM.

(13) Wybrane metody analizy i modelowania zależnych zmiennych…. PN1 , …, N n ( t1 ,…, t n ) =. n i=1. 75 1. (1. i (t i. 1)). k +1. i. ,. 0. (20). określa wielowymiarowy ujemny rozkład dwumianowy z rozkładami brzego1 , i = 1, …, n lub ω < 0, tak że wymi postaci NB(αi , βi ), gdy 0 < < min i. 1 PN , …, N ( 0, …, 0 ) > 0 i jest ujemną liczbą całkowitą. Funkcja zniekształcająca ω ma tu postać: h(x) = 1 − x −ω . (21). 1. n. Przykład 3 Podobnie jak w przykładach 1 i 2, w celu zilustrowania zastosowania modelu (17) wyznaczymy rozkład wysokości łącznych roszczeń dla dwóch portfeli (portfele te są takie same jak w przykładzie 2): Portfel 1: – liczba roszczeń N1 jest opisana rozkładem dwumianowym ujemnym N1 ~ NB(α1, β), gdzie: α1 = 16 i β = 2, – wysokość roszczeń jest zmienną losową X o rozkładzie Pareto X ~ P(2; 5). Portfel 2: – liczba roszczeń jest opisana rozkładem dwumianowym ujemnym N2 ~ NB(α2, β) gdzie: α2 = 8 i β = 2, – wysokość roszczeń jest zmienną losową Y o rozkładzie Pareto Y ~ P(1,5; 4). Dodatkowo zakładamy, że zmienne X i Y są niezależne i każda z nich nie zależy od N1 oraz N2. Ponadto zakładamy, że między N1 oraz N2 zachodzi następująca zależność: cov ( N1 , N 2 ) = ωE [ N1 ] E [ N 2 ]. Dla powyższych portfeli funkcja tworząca liczby roszczeń jest postaci: PN ( t ) = ⎡⎣1 − βi ( t − 1) ⎤⎦. −α i. i. .. . Natomiast wielowymiarowa funkcja tworząca wektora (N1, N2) na podstawie wzoru (20) ma następującą postać:. (. PN , N ( t1 , t n ) = (1 − β1 (t1 − 1)) 1. 2. α1 ω. + (1 − β 2 (t 2 − 1)). α2 ω. ). −1. −. 1 ω. , ω≠0 . skąd funkcja charakterystyczna zmiennej Z wynosi:. ZN_726.indb 75. 1/30/08 12:58:04 PM.

(14) Monika Papież, Stanisław Wanat. 76. Φ z ( t ) = PN. 1. , N2. ( Φ X (t ) , ΦY (t )) = ((1 − β1 ( Φ X (t ) – 1)). α1 ω. (. + 1 − β 2 ( ΦY ( t ) – 1). ). α2 ω. ). −1. −. 1 ω. , ω≠0 .. +. . Natomiast gdy ω = 0 (przypadek niezależnych portfeli):. Φ z ( t ) = PN. 1. , N2. ( Φ X (t ) , ΦY (t )) = ⎡⎣1 − β1 ( Φ X (t ) − 1)⎤⎦. −α1. ⎡⎣1 − β 2 ( ΦY ( t ) − 1) ⎤⎦. −α 2. .. . Podobnie jak poprzednio, w celu wyznaczenia rozkładu wysokości łącznych roszczeń dwóch portfeli zostanie zastosowana szybka transformata Fouriera. Również w tym wypadku dla zobrazowania różnicy pomiędzy rozkładami w zależcov ( N1 , N 2 ) obliczenia wykonano dla ności od założonego parametru ω ω = E [ N1 ] E [ N 2 ] następujących wartości: ω = 0 (zmienne losowe N1, N2 są niezależne); ω = 1/32; ω = 1/16; ω = 1/8. Wyniki obliczeń zilustrowano na rys. 4, na którym przedstawiono poszczególne funkcje gęstości dla wysokości łącznych roszczeń dwóch portfeli w zależności od przyjętego stopnia zależności. 0,003 0,002. F(z). 0,002 0,001 5e-4 0. 0. 200. ω=0. 400. ω = 1/128. z. 600. ω = 1/64. 800. 1000. ω = 1/32. Rys. 4. Funkcje gęstości wysokości łącznych roszczeń w przykładzie 3 w zależności od stopnia skorelowania Źródło: opracowanie własne.. Wartości w zostały tak dobrane, aby wartości kowariancji między zmiennymi były takie same jak w przykładach 1 i 2.. ZN_726.indb 76. 1/30/08 12:58:06 PM.

(15) Wybrane metody analizy i modelowania zależnych zmiennych…. 77. 6. Wykorzystanie funkcji połączeń w analizie przeżycia grupy Analizując wymieralność określonej grupy intuicja podpowiada nam, że wpływają na nią, wspólne dla wszystkich jej członków, czynniki ryzyka. Mogą to być np. czynniki genetyczne (grupa złożona z bliźniaków) czy też czynniki zawiązane z wspólnym otoczeniem (małżonkowie, grupa pracowników pewnego zakładu pracy). Właściwe zatem wydaje się uwzględnie tych czynników przy określaniu funkcji przeżycia analizowanej grupy. Można tu skorzystać z modeli wykorzystywanych w biologii i epidemiologii. Tego typu modele, nazywane frailty models, zostały opisane w pracach [Hougaard 1987] oraz [Vaupel, Manton, Stallard 1979]. Wykorzystanie tych modeli w analizie wielowymiarowej funkcji przeżycia zostało opisane w pracach [Oakes 1989, 1994]. W modelu typu „frailty” analizowanych jest m zmiennych losowych T(x1), …, T(x m ) (gdzie T(xi ) oznacza dalsze trwanie życia osoby w wieku xi ), o których zakłada się, że są niezależne, pod warunkiem że Z = z, gdzie Z jest nieobserwowalną, nieujemną zmienną losową (frailty random variable) charakteryzującą ryzyko danej grupy. Przy tym założeniu warunkowa funkcja przeżycia ma postać [Valdez 2001]: m. ( ( ). ). P T ( x1 ) > t1 , …, T ( xm ) > t m Z = z = ∏ P T x j > t j Z = z =. (. ). m. j =1. (. ). = ∏ S j|z t j Z = z , j =1. (. . (22). ). gdzie S j|z t j Z = z jest j-tą warunkową brzegową funkcją przeżycia. Z kolei przyjmując, że zmienna losowa Z ma funkcję gęstości g(z), wielowymiarową funkcję przeżycia można przedstawić w postaci: S ( t1 ,…, t m ) = P T ( x1 ) > t1 ,…, T ( x m ) > t m =. (. m. = 0. j =1. ). (. S j|z t j Z = z. ). g(z)dz .. . (23). Jeżeli założymy, że warunkowe funkcje przeżycia mają postać: z. S j|z ( t Z = z ) = B j ( t ) ,. . ZN_726.indb 77. . Uzasadnienie takiego założenia można znaleźć w pracy [Frees, Valdez 1998].. 1/30/08 12:58:08 PM.

(16) Monika Papież, Stanisław Wanat. 78. to S ( t1,..., t m ) =. m 0. j =1. ( ). Bj t j. z. g(z)dz = M Z. m j =1. ( ( )) ,. ln B j t j. (24). gdzie Mz jest funkcją tworzącą momenty zmiennej Z. Ponieważ [Valdez 2001]: ∞. ∞. 0. 0. ( (. z. )). S j ( t ) = ∫ S j|z ( t Z = z ) g(z)dz = ∫ B j ( t ) g(z)dz =M Z ln B j ( t ) ,. (25). zatem. (. (. )). B j ( t ) = exp M Z−1 S j (t) .. (26). Z równań (24) i (26) wynika, że z rozważanymi zmiennymi losowymi T(x1), …, T(xm ) związana jest funkcja połączeń Archimedesa postaci [Valdez 2001]: C ( u1 ,…, um ) = M Z. m j =1. ( ). M Z1 u j. ,. (27). dla której generatorem jest funkcja tworząca momenty rozkładu zmiennej Z. Przedstawiony powyżej model daje możliwość analizowania czasu przeżycia grupy z uwzględnieniem zależności czasu życia poszczególnych jej członków. Przy czym zależność ta jest związana z oddziaływaniem nieobserwowalnych czynników na wszystkich członków grupy. 7. Podsumowanie Wzrastające zainteresowanie całościową oceną firm ubezpieczeniowych, wykazywane przez urzędy nadzoru ubezpieczeń, agencje ratingowe, jak również same firmy ubezpieczeniowe, przyczynia się do szybkiego rozwoju technik DFA. Opracowanie generatora scenariuszy, będącego centralnym modułem DFA (nazywanym często „duszą” modelu), wymaga uwzględnienia struktury zależności miedzy modelowanymi czynnikami ryzyka. Ponieważ czynników ryzyka jest zazwyczaj bardzo dużo, występują różne mechanizmy generujące straty w danym portfelu Mówimy, że funkcja połączenia C jest połączeniem Archimedesa, jeżeli można ją przedstawić w postaci: C(u1, …, un ) = ψ–1 (ψ(u1) + … + ψ (un)), gdzie 0 ≤ ui ≤ 1, i = 1, …, n, natomiast ψ jest funkcją spełniającą następujące własności: ψ(1) = 0, ψ jest funkcją malejącą i wypukłą, tzn. ψ'(t) < 0 oraz ψ''(t) ≥ 0, 0 < t < 1 (funkcję tę często nazywa się generatorem). . ZN_726.indb 78. 1/30/08 12:58:10 PM.

(17) Wybrane metody analizy i modelowania zależnych zmiennych…. 79. ryzyk ubezpieczeniowych, jak również w całej firmie. To z kolei wymaga zastosowania odpowiednich metod modelowania struktury zależności. W przypadku czynników zaliczanych do grupy ryzyka ubezpieczeniowego można w tym względzie zastosować omówione w artykule metody modelowania współzależności. Literatura Ambagaspitiya R.S. [1998], On the Distributions of a Sum of Correlated Aggregate Claims, „Insurance: Mathematics and Economics”, vol. 23. Bäuerle N., Müller A. [1998], Modeling and Comparing Dependencies in Multivariate Risk Portfolios, „ASTIN Bulletin”, vol. 28. Blum P., Dacorogna M. [2003], Dynamic Financial Analysis – Understanding Risk and Value Creation in Insurance [w:] Encyclopedia of Actuarial Science, J. Teugels, B. Sundt (eds), John Wiley & Sons. Cossette H., Marceau E. [2000], The Discrete-time Model with Correlated Classes of Business, „Insurance: Mathematics and Economics”, vol. 26. Denuit M., Lefèvre Cl., Utev S. [2002], Measuring the Impact of Dependence between Claims Occurrences, „Insurance: Mathematics and Economics”, vol. 30. Dhaene J., Goovaerts M.J. [1997], On the Dependency of Risks in the Individual Life Model, „Insurance: Mathematics and Economics”, vol. 19. Dhaene J., Denuit M. [1999], The Safest Dependency Structure Among Risks, „Insurance: Mathematics and Economics”, vol. 25. Embrechts P., Lindskog F., McNeil A. [2001], Modelling Dependence with Copulas and Applications to Risk Management, Report, ETHZ, Zurich. Frees E.W., Valdez E.A. [1998], Understanding Relationships Using Copulas, „North American Actuarial Journal”, vol. 2. Genest C., Marceau E., Mesfioui M. [2002], Upper Stop-loss Bounds for Sums of Possibly Dependent Risks with Given Means and Variances, „Statistics & Probability Letters”, vol. 57. Hougaard P. [1987], Life Table Methods for Heterogeneous Populations: Distributions Describing for Heterogeneity, „Biometrika”, vol. 71. Jajuga K. [2002], Modeling the Relationship in Financial Risk Management – Copula Analysis [w:] Quantitative Methods in Economy and Business – Methodology and Practice in the New Millenium, University of Economics in Bratislava, Bratislava. Jajuga K., Kuziak K. [2003], Extreme Dependence in Finance – Application of Copula Function [w:] Inwestycje finansowe i ubezpieczenia – tendencje światowe a rynek Polski, red. K. Jajuga, W. Ronka-Chmielowiec, Prace Naukowe AE we Wrocławiu, nr 991, Wrocław. Lindskog F., McNeil A.J. [2001], Common Poisson Shock Models: Applications to Insurance and Credit Risk Modelling, ETHZ, Zurich. Nelsen R.B. [1999], An Introduction to Copulas, Springer-Verlag, New York. Oakes D. [1989], Bivariate Survival Models Induced by Frailties, „Journal of the American Statistical Association”, vol. 84. Oakes D. [1994], Multivariate Survival Distributions, „Journal of Nonparametric Statistics”, vol. 3.. ZN_726.indb 79. 1/30/08 12:58:11 PM.

(18) 80. Monika Papież, Stanisław Wanat. Papież M., Wanat S. [2003a], Wykorzystanie funkcji copula w analizie zależnych ryzyk ubezpieczeniowych [w:] Inwestycje finansowe i ubezpieczenia – tendencje światowe a rynek Polski, red. K. Jajuga, W. Ronka-Chmielowiec, Prace Naukowe AE we Wrocławiu, nr 990, Wrocław. Papież M., Wanat S. [2003b], Wykorzystanie funkcji połączeń w ocenie ryzyka w ubezpieczeniach na życie [w:] Modelowanie preferencji a ryzyko, red. T. Trzaskalik, Prace Naukowe AE w Katowicach, Katowice. Papież M., Wanat S. [2003c], Wykorzystanie analizy połączeń w modelowaniu wielowymiarowych funkcji przeżycia, Zeszyty Naukowe WSPiM w Chrzanowie, Chrzanów. Schweizer B., Wolf E.F. [1981], On Nonparametric Measures of Dependence for Random Variable, „The Annals of Statistics”, vol. 9. Sklar A. [1959], Fonctions de Répartition a n Dimensions et Leurs Marges, Publications de L’Institut de Statistiques de L’Université de Paris, Paris. Valdez E.A. [2001], Copula Models for Sums of Dependent Risk, The University of New South Wales, Sydney. Vaupel J.M., Manton K.G., Stallard E. [1979], The Impact of Heterogeneity in Individual Frailty on the Dynamics of Mortality, „Demography”, vol. 16. Wang S., Dhaene J. [1998], Comonotonicity, Correlation Order and Premium Principles, „Insurance: Mathematics and Economics”, vol. 22. Wang, S. [1998], Aggregation of Correlated Risk Portfolios: Models and Algorithms [w:] Proceedings of the 1998 Casualty Actuarial Society, vol. LXXXV. Selected Methods of Analysing and Modelling Dependent Random Variables Used in Insurance In recent years, insurance companies have used dynamic financial analysis (DFA) in risk management systems. The central DFA module is a scenario generator comprising a large number of stochastic models of risk factors: economic, insurance, investment, and operational. The real challenge in developing this model is comsbining all of these models in an integrated whole that will take into account the correlation between the greatest possible number of risk factors. In this respect, the author proposes two approaches: deterministic modelling of correlation (involving the postulating of functional dependencies between selected risk factors) and stochastic modelling. In this article, the author presents selected methods of stochastic modelling of correlation that can be used to develop a model to generate the most important insurance risk factors, i.e., the combined total compensation of an insurance company operating under several insurance groups. Using this method, it is possible to model the correlation structure in a specific insurance portfolio as well as between portfolios.. ZN_726.indb 80. 1/30/08 12:58:11 PM.

(19)