7. Funkcje zmiennych losowych - zadania na ¢wiczenia ‚w. 7.1

Rachunek prawdopodobie«stwa (2mef, lato 2012/2013)

7. Funkcje zmiennych losowych - zadania na ¢wiczenia

‚w. 7.1 Zmienna losowa skokowa X ma rozkªad dany tabelk¡:

x_i -1 0 1 2

pi 0,4 0,3 0,2 0,1

Znajd¹ rozkªad zmiennej Y = X² i oblicz EY oraz V ar(Y ).

‚w. 7.2 Zmienna losowa ma rozkªad geometryczny z parametrem p. Jaki rozkªad ma zmienna losowa Y = (−1)^X?

‚w. 7.3 Niech X ma rozkªad jednostajny na przedziale (0, 1), a

g(x) =











0, x < 0, 1, 0 ≤ x < ¹₂, 2, ¹₂ ≤ x < 1, 3, 1 ≤ x.

Jaki rozkªad ma zmienna losowa Y = g(X)?

‚w. 7.4 Wyznaczy¢ rozkªad zmiennej losowej Y = 3X − 5, je»eli X ma rozkªad wykªad- niczy z parametrem α. Oblicz jej warto±¢ oczekiwan¡ i wariancj¦.

‚w. 7.5 Niech zmienna losowa X ∼ E(λ). Znale¹¢ g¦sto±¢ zmiennej Y = X²+ 1.

‚w. 7.6 Niech X b¦dzie zmienn¡ losow¡ o rozkªadzie jednostajnym U(−^π₂,^π₂). Poka»,

»e zmienna losowa Y = tg(X) ma rozkªad Cauchy'ego C(0, 1).

‚w. 7.7 Zmienna losowa ma rozkªad wykªadniczy E(λ). Wyznacz rozkªad zmiennej Y = [X].

‚w. 7.8 Niech zmienna losowa X ma rozkªad U[0, 2). Znajd¹ g¦sto±¢ zmiennej losowej Y = max{X, 2 − X}.

‚w. 7.9 Zmienna losowa X ma rozkªad wykªadniczy E(λ). Wyznacz rozkªad zmiennej Y = max(2, 3 − X).

‚w. 7.10 Niech X b¦dzie zmienn¡ losow¡ o rozkªadzie Cauchy'ego o g¦sto±ci f (t) = 1

π(1 + t²). Znale¹¢ g¦sto±¢ zmiennej losowej:

(a) Y = 1 − X³, (b) Z = _X¹.

Rachunek prawdopodobie«stwa (2mef, lato 2012/2013)

7. Funkcje zmiennych losowych - zadania domowe

Zad. 7.1 Zmienna losowa X ma rozkªad geometryczny G(p). Wyznacz rozkªad zmiennej (a) Y = max{2 − (−1)^X, 2},

(b) Z = min{2 + (−1)^X, 2}.

Zad. 7.2 Zmienna losowa X ma rozkªad dany g¦sto±ci¡

f (x) =

 ₂

x², x ∈ (2, ∞), 0, x /∈ (2, ∞).

Wyznaczy¢ g¦sto±¢ zmiennej losowej Y = X².

Zad. 7.3 Zmienna losowa X ma rozkªad wykªadniczy E(λ). Wyznacz rozkªad zmiennej Y = e^X oraz oblicz jej warto±¢ oczekiwan¡ i wariancj¦.

Zad. 7.4 Niech X ∼ U(0, 3). Jaki rozkªad ma zmienna losowa Y = max{X, 2}?

Zad. 7.5 Niech X ma rozkªad wykªadniczy E(1), za±

g(x) =







0, x < −1, 1, −1 ≤ x < ¹₂, 4, ¹₂ ≤ x.

Jaki rozkªad ma zmienna losowa Y = g(x)?

Zad. 7.6 Zmienna losowa X ma rozkl ad jednostajny U(0, 1). Jaki rozkªad ma zmienna losowa Y = − ln X?

Zad. 7.7 Niech X b¦dzie zmienn¡ losow¡ o rozkªadzie E(1). Znajd¹ rozkªad zmiennej losowej

(a) Y = min{X, 1}, (b) Z = max{X, 1}.

Zad. 7.8 Zmienna losowa X ma rozkªad normalny N(0, 1). Wyznacz g¦sto±¢ zmiennej Y = e^X.

Zad. 7.9 Niech X ∼ U(0, π). Jaki rozkªad ma zmienna losowa Y = cos(X)?