Zajecia

Egzamin A, 8:00-10:15,24 lutego 2019r. .. . . .. . . .. . . .. . Imi . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . .. Nazwisko . .. . . .. . . .. . . Indeks . .. .. ... .. .. ... .. Grupa Zadanie 1. Znajd¹ wszystkie li zby zespolone z, w∈ Cspeªniaj¡ erównania

i) z

2 _{= −8 − 6i,}

ii) 2w − iw = 5.

Rozwi¡zanie 1. i) nie hz= p + qi,wtedyz

2 _{= p}2_{− q}2_{+ 2pqi}

.Dajetoukªadrówna«

   p2_{− q}2_{= −8} 2pq = −6 p2+ q2 = 10

(ostatnie równanie bierze si z równo± i |z|

2 _{= |w|}

). Dodaj¡ do siebie pierwsze i trze ie równanieotrzymujemy p

2 _{= 1}

,zatem p = ±1, o uwzgldniaj¡ drugie daje

q _{= ∓3}.Zatemz= ±(1 − 3i). ii) w= 5 2 − i = 5(2 + i) (2 − i)(2 + i) = 2 + i.

Inna metoda:nie h w= a + bi,gdziea, b∈ R.Wtedy

2w − iw = 2(a + bi) − i(a + bi) = (2a + b) + i(−a + 2b) = 5,

o daje ukªadrówna«



2a + b = 5 −a + 2b = 0

z jednozna znym rozwi¡zaniem a= 2, b = 1.

Zadanie 2. Obli z z±¢ rze zywist¡iurojon¡ li zbyzespolonej

z=  cos5π 9 + i sin 5π 9 15 .

Rozwi¡zanie 2. Ze wzoru deMoivre'a mamy

z=  cos5π 9 + i sin 5π 9 15 =  cos  15 ·5π 9  + i sin  15 ·5π 9  =  cos25π 3 + i sin 25π 3  = =cos8π + π 3  + i sin8π + π 3  =cosπ 3 + i sin π 3  = 1 2 + √ 3 2 i. Zatem Re(z) =1 2, Im(z) = √ 3 2 .

ierzdoposta is hodkowejzredukowanejiwyra»aj¡ zmiennezwi¡zaneprzezparametry.        x1 − 2x2 + 12x3 + x4 = 5 − 2x1 + x2 − 12x3 − x4 = 1 − x1 + 2x2 − 12x3 + 2x4 = 10 x1 − x2 + 8x3 + 2x4 = 8

Rozwi¡zanie 3. Tworzymy ma ierz ukªadu i sprowadzamy j¡ przeksztaª eniami ele-mentarnymi doposta is hodkowej zredukowanej.

    1 −2 12 1 5 −2 1 −12 −1 1 −1 2 −12 2 10 1 −1 8 2 8     w2+2w1 w3+w1 w4−w1 −→     1 −2 12 1 5 0 −3 12 1 11 0 0 0 3 15 0 _{1 −4 1} 3     w1+2w4 w2+3w4 w3/5 −→     1 0 4 3 11 0 0 0 4 20 0 0 0 1 5 0 1 −4 1 3     w2−4w3 w3↔w4 −→   1 0 4 3 11 0 1 −4 1 3 0 0 0 1 5   w1−3w3 w2−w3 −→   1 0 4 0 ₋₄ 0 1 −4 0 −2 0 0 0 1 5  

Codaje rozwi¡zanie ogólne

   x_{1= −4x3− 4} x2= 4x3− 2 x4= 5 , x3 ∈ R. Zadanie 4. Nie h A=   1 −1 1 2 1 0  , B =   1 3 1 1 3 2 1 4 1  

Je±lito mo»liwe, obli zAA, AB, BA, A

−1_{, B}−1_.

Rozwi¡zanie 4. Mo»liwedo obli zenie s¡

BA=   5 5 6 5 6 7  , B −₁ =   5 −1 −3 −1 0 1 −1 1 0  , bo   1 3 1 1 0 0 1 3 2 0 1 0 1 4 1 0 0 1   w2−w1 w3−w1 −→   1 3 1 1 0 0 0 0 1 _{−1 1 0} 0 1 0 −1 0 1   w1−3w3 w2↔w3 −→   1 0 1 _{4 0 −3} 0 1 0 _{−1 0} 1 0 0 1 −1 1 0   w1−w3 −→   1 0 0 _{5 −1 −3} 0 1 0 ₋₁ 0 1 0 0 1 −1 1 0  

Zadanie 5. Stosuj¡ metodCramera obli z zmienn¡ x3.        5x1 + 5x2 + 10x3 + x4 = 0 3x1 + 6x2 + 12x3 + x4 = 1 12x1 + 10x2 + 20x3 + 2x4 = 0 x1 + x2 + 3x3 + x4 = 0 Rozwi¡zanie 5. det A = det     5 5 10 1 3 6 12 1 12 10 20 2 1 1 3 1     k3−2k2 = det     5 5 0 1 3 6 0 1 12 10 0 2 1 1 1 1    = (−1) 4+3 ·1·det   5 5 1 3 6 1 12 10 2   w3−2w1 = = − det   5 5 1 3 6 1 2 0 0  = (−1) · (−1)3+1· 2 · det 5 1 6 1  = 2 det A3 =     5 5 0 1 3 6 1 1 12 10 0 2 1 1 0 1    = (−1) 2+3_{· 1 · det}   5 5 1 12 10 2 1 1 1   k1−k2 = = − det   0 5 1 2 10 2 0 1 1  = (−1)(−1)2+1· 2 · det 5 1 1 1  = 8 x3 = det A3 det A = 8 2 = 4.

Zadanie 6. Odwzorowanie liniowe f: R

3 _{→ R}3

jest zadanewzorem

f(x1, x2, x3) = (x1− x2,−x1+ 3x2− 6x3,3x1− 7x2+ 12x3).

i) znajd¹ bazy iwymiary przestrzeni ker f oraz im f, ii) znajd¹ ma ierz M(f )

st st. Rozwi¡zanie 6. i) ker f :    x1− x2 = 0 −x1+ 3x2− 6x3= 0 3x1− 7x2+ 12x3 = 0

Ukªad równa« rozwi¡zujemy sprowadzaj¡ jego ma ierz do posta is hodkowej zre-dukowanej opera jamielementarnymi na wiersza h.

  1 −1 0 −1 3 −6 3 −7 12   w2+w1 w3−3w1 −→   1 −1 0 0 _{2 −6} 0 −4 12   w3+2w2 w2/2 −→ 1 −1_{0 1 −3}0  w1+w3 −→ 1 0 −3_{0 1 −3} 

J¡dro ker f opisane jest ukªadem równa« jednorodny h z rozwi¡zaniem ogólnym posta i

x1 = 3x3

x₂ = 3x3

ker f = lin((3, 3, 1)), dim ker f = 1. Bazaker f to (3, 3, 1). Poniewa» f(x1, x2, x3) = (x1− x2,−x1+ 3x2− 6x3,3x1− 7x2+ 12x3) = x1(1, −1, 3) + x2(−1, 3, −7) + x3(0, −6−, 12), to im f = lin((1, −1, 3), (−1, 3, −7), (0, −6, −12)).

Szukamy bazy przestrzeni rozpitej wpisuj¡ wektory poziomow wiersze ma ierzy, któr¡ sprowadzamy do posta i s hodkowej zredukowanej (lub s hodkowej) opera- jami elementarnymi nawiersza h.

  1 −1 3 −1 3 −7 0 −6 12   w2+w1 −_w3/6 −→   1 −1 3 0 _{2 −4} 0 _{1 −2}   w1+w3 w2−2w3 −→ 1 0 1 0 1 −2  St¡d im f = lin((1, 0, 1), (0, 1, −2)), dim im f = 2. Bazaim f to(1, 0, 1), (0, 1, −2). ii) M(f )st_st=   1 −1 0 −1 3 −6 3 −7 12  

Zadanie 7. Odwzorowanie liniowe f: R

3 _{→ R}3

jest zadanema ierz¡

M(f )st_st=   1 _{4 −4} −2 −5 2 0 _{0 −3}  .

i) znajd¹ bazA przestrzeniR

3

zªo»on¡ z wektorów wªasny h endomorzmu f, ii) znajd¹ ma ierz M(f )

A

A,gdzieA jestbaz¡ z punktui). Rozwi¡zanie 7. i) Szukamywielomianu harakterysty znego

w(x) = det   1 − x 4 ₋₄ −2 −5 − x 2 0 0 _{−3 − x}  = (−1)3+3(−x−3) det  1 − x 4 −2 −5 − x  = = −(x + 3)((1 − x)(−5 − x) + 8) = −(x + 3)(x2+ 4x + 3) = −(x + 1)(x + 3)2.

Zatem warto± i wªasne to x = −1 oraz x = −3. Przestrzenie wªasne opisane s¡ jednorodnymiukªadami równa« zma ierzami jakponi»ej.

V₍₋₁₎:   2 _{4 −4} −2 −4 2 0 _{0 −2}  → . . . →  1 2 0 0 0 1 

 x1= −2x2 x3= 0 , x2 ∈ R, sk¡d V_{(−1)= lin((−2, 1, 0)).} V₍₋₃₎:   4 _{4 −4} −2 −2 2 0 0 0  → . . . →  1 1 −1  z rozwi¡zaniem ogólnym x3= x1+ x2 , x1, x2∈ R, sk¡d V₍₋₃₎= lin((1, 0, 1), (0, 1, 1)).

Bazazªo»ona z wektorów wªasny h to

A = ((−2, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)). ii) M(f )AA=   −1 0 0 0 −3 0 0 _{0 −3}  .

Zadanie8. Obli zpoletrójk¡taABCowierz hoªka hwA= (1, 1, 1), B = (3, 2, 3), C =

(2, −1, 1). Rozwi¡zanie 8. −−→ AB_{= B − A = (2, 1, 2),} −→ AC _{= C − A = (1, −2, 0).}

Pole równolegªoboku rozpitego przezwektory

−−→

AB,−→AC jest równe

v u u tdet " h−−→AB,−−→AB_{i h}−−→AB,−→AC_i h−→AC,−−→AB_{i h}−→AC,−→AC_i # = s det9 0 0 5  = 3√5.

Pole trójk¡ta jest równe poªowie pola tegorównolegªoboku, sk¡d

P△_ABC =

3√5 2 .

Innysposób:polerównolegªoboku rozpitegoprzezwektory

−−→

AB,−→AC jestrównedªugo± i wektora −−→ AB_×−→AC. −−→ AB_×−→AC = det   e1 e2 e3 2 1 2 1 −2 0  =  det  1 2 −2 0  ,_{− det}2 2 1 0  ,det2 1 1 −2  = (4, 2, −5). Zatem P△ABC = 1 2k(4, 2, −5)k = 1 2p42+ 22+ (−5)2 = 3√5 2 .